Một số tính chất của không gian mêtric compact trong q hoặc en

Mở đầu Những khái niệm đầu tiên của lý thuyết shape xuất hiện từ năm 1968, cho đến nay đã tích luỹ đợc một nội dung vô cùng phong phú. Đã có nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và phát triển nh: K.Bosuk, R.H.Fox, R.B.Sher, B.J.Ball, . Mục đích của lý thuyết shape là phân loại các không gian tôpô thành từng lớp tơng đơng dựa trên các tính chất tôpô của chúng. Thời gian gần đây có nhiều luận văn thạc sỹ viết về shape trên không gian mêtric, mêtric compact, xuất phát từ hai khái niệm cơ bản đó là dãy cơ bản yếu (W - dãy) và dãy cơ bản mạnh (S - dãy). Với tiêu đề "Một số tính chất của không gian mêtric compact trong Q hoặc E n " luận văn đợc trình bày thành 2 chơng: Chơng 1. Tác giả đa vào một số kiến thức chuẩn bị cần thiết . Chơng 2. "Một số tính chất của không gian mêtric compact trong Q hoặc E n " là nội dung cơ bản của luận văn, đợc chia làm 5 phần. Phần thứ nhất. Tác giả trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của Z - tập, - đẩy, Z k - tập mạnh, lân cận chính quy, - lân cận chính quy, giả đa diện. Phần thứ hai. Tác giả trình bày hai bổ đề làm cơ sở cho các phần sau. Phần thứ ba.Tác giả giới thiệu về mối quan hệ giữa shape và không gian điểm. Phần này trả lời câu hỏi với điều kiện nào mà sh(A) = sh(B) thì hai không gian điểm (E n / A, A ) và (E n / B, B ) là đồng phôi. Phần thứ t. Tác giả trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của các không gian điểm tơng đơng đủ. Trong phần này trả lời câu hỏi: Nếu hai không gian điểm tơng đơng đủ thì shape của chúng có bằng nhau hay không? 1 Phần thứ năm. Tác giả giới thiệu về điều kiện tơng đơng giữa shape và không gian điểm. Mục đích của luận văn là làm sáng tỏ mối quan hệ giữa shape và không gian điểm. Điều này đợc chứng minh ở phần 2.3, 2. 4 , 2.5 của luận văn. Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã xen lẫn thêm một số nhận xét và các chứng minh của mình để làm chi tiết hơn các chứng minh trong các tài liệu đã đọc. Tác giả đã chứng minh Nhận xét 2.1.3, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.13, Hệ quả 2.1.21, Nhận xét 2.4.2 mà tài liệu cha chứng minh . Luận văn đợc thể hiện và hoàn thành tại khoa sau Đại học Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, TS. Tạ Khắc C. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, đến khoa đào tạo Sau Đại học, các thầy, cô giáo trong tổ giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều khiếm khuyết, mong đợc độc giả đóng góp xây dựng. Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả 2 Chơng 1. kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm co rút và các tính chất cơ bản của nó 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các T 2 - không gian. ánh xạ f : X Y đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ g : Y X sao cho fg : Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y. Nếu f : X Y là r - ánh xạ thì Y đợc gọi là r - ảnh của X. 1.1.2. Nhận xét. i) Mỗi phép đồng phôi là một r - ánh xạ. ii) Hợp của hai r - ánh xạ là r - ánh xạ. 1.1.3. Định nghĩa. Cho X, Y là các T 2 - không gian, Y là tập con của X. Khi đó ánh xạ f: X Y đợc gọi là phép co rút nếu f(x) = x, x Y. 1.1.4. Mệnh đề. Mỗi cái co rút Y của X là đóng trong X. 1.1.5. Định nghĩa. Tập con X 0 của T 2 - không gian X đợc gọi là cái co rút của X nếu tồn tại phép co rút từ X lên X o . 1.1.6. Định nghĩa. Một tập con đóng X o của không gian X đợc gọi là co rút lân cận trong không gian X nếu X o là một cái co rút của một tập mở X, U X và X o U. Rõ ràng rằng mỗi cái co rút của X cũng là co rút lân cận của X. 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian mêtric. i) Không gian mêtric X đợc gọi là co rút tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric, nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng h(X) của không gian mêtric Y thì h(X) là cái co rut của Y, ký hiệu X AR hoặc X là một AR - không gian. ii) Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng h(X) của 3 không gian mêtric Y thì h(X) là cái co rút lân cận của Y, ký hiệu X ANR hoặc nói rằng X là một ANR - không gian. Rõ ràng nếu X AR thì X ANR. 1.2. Đồng luân và thác triển ánh xạ 1.2.1. Định nghĩa. Cho X, Y là các T 2 - không gian, X 0 X, f 0 : X 0 Y. Ta nói f: X Y là thác triển liên tục của f 0 nếu 0 X f = f 0 . 1.2.2. Định lý. Cho X là T 2 - không gian. Tập con X 0 của X là cái co rút của X nếu và chỉ nếu với mọi ánh xạ liên tục f 0 : X 0 Y đều có thác triển liên tục (Y là không gian tuỳ ý). 1.2.3. Định lý. Tập con Y 0 của không gian Y là cái co rút của nó khi và chỉ khi nếu với mỗi không gian X, mỗi tập con X 0 của không gian đó và mỗi ánh xạ f 0 : X 0 Y sao cho f(X 0 ) Y 0 thì từ sự tồn tại một thác triển nào đó f': X Y sẽ kéo theo tồn tại thác triển f: X Y thoả mãn điều kiện f(X) Y 0 . 1.2.4. Định nghĩa. Cho hai không gian X, Y. Khi đó ta ký hiệu Y X là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y. Trong không gian hàm Y X có thể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở trong đó. Ta làm nh sau: Đối với mỗi tập compact X 0 X và tập mở V Y, ta ký hiệu G(X 0 , V) là tập tất cả các ánh xạ f Y X sao cho f(X 0 ) V. Họ tất cả các tập G(X 0 , V) nh thế tạo nên tiền cơ sở của không gian Y X . Do đó, tôpô này đợc gọi là tôpô compact mở. Nếu X compact, Y là không gian mêtric thì ta có thể trang bị mêtric trong Y X . Mêtric đó tơng thích với tôpô compact mở nói trên. Thật vậy, đặt ( , ) = x X sup ( (x), (x)) với , Y X . Ký hiệu không gian cặp (X, X 0 ) gồm không gian X và tập con X 0 của nó. 4 1.2.5. Định nghĩa. ánh xạ cặp : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ) hiểu là ánh xạ : X Y thoả mãn điều kiện (X 0 ) Y 0 . 1.2.6. Định nghĩa. Không gian Y X gồm tất cả các ánh xạ Y X thoả mãn (X 0 ) Y 0 , đợc ký hiệu là 0 (X,X ) 0 (Y, Y ) . 1.2.7. Định nghĩa. Các ánh xạ f 0 , f 1 0 (X,X ) 0 (Y, Y ) đợc gọi là đồng luân nếu với mỗi t [0, 1], tồn tại ánh xạ f t 0 (X,X ) 0 (Y, Y ) liên tục phụ thuộc t và thoả mãn 0 1 t 0 t 1 f f ,f f = = = = . Khi đó ta cũng nói họ {f t } là họ đồng luân nối f 0 với f 1 . 1.2.8. Định nghĩa. Ta nói hai ánh xạ f 0 , f 1 đồng luân mạnh nếu tồn tại ánh xạ : (X ì[0, 1], X 0 ì [0, 1]) (Y, Y 0 ) thoả mãn các điều kiện a) (x,t) Y 0 , với mọi x X 0 , t [0, 1], b) (x, 0) = f 0 (x), (x, 1) = f 1 (x), x X. 1.2.9. Định lý. Hai ánh xạ đồng luân mạnh thì đồng luân. Trong tr- ờng hợp không gian X thoả mãn tiền đề đếm đợc thứ nhất thì hai ánh xạ đồng luân sẽ đồng luân mạnh. 1.2.10. Định nghĩa. Tập con A của T 2 - không gian X đợc gọi là co rút đợc trong X vào tập B X nếu ánh xạ nhúng i: A X đồng luân với ánh xạ f: A X sao cho f(A) B. Nếu i: X X đồng luân với f: X X mà f(x) = a, với mọi x X, a là một điểm nào đó của X thì ta nói X là co rút điểm. 1.2.11. Định lý. Nếu X là co rút điểm thì r - ảnh của nó cũng co rút điểm. 1.2.12. Định nghĩa. Một không gian điểm (X, x 0 ) là một không gian X với một điểm x 0 X đã đợc chọn, x 0 là điểm cơ sở. Bao hàm (X, x 0 ) (Y, y 0 ) đợc 5 hiểu là X Y và x 0 = y 0 . Một tập con (U, u 0 ) gọi là lân cận của (X, x 0 ) trong một không gian M nếu U là một lân cận của X và u 0 = x 0 . 1.2.13. Định nghĩa. Ta viết f: (X, x 0 ) (Y, y 0 ) nếu f là một ánh xạ từ X vào Y sao cho f(x 0 ) = y 0 . Ta sẽ ký hiệu i X , 0 (X,x ) i tơng ứng là các ánh xạ đồng nhất của X, (X, x 0 ). 1.2.14. Định nghĩa. Tập con A X đợc gọi là co rút biến dạng của X nếu có một họ đồng luân {f t } nối ánh xạ g = id x với ánh xạ h: X A sao cho ánh xạ r: X A đợc xác định bởi công thức r(x) = h(x), x X là một phép co rút của X lên A. Nói rõ hơn, tập con A X đợc gọi là co rút biến dạng của X nếu tồn tại một ánh xạ f t : I x Y A sao cho f 0 = id và f 1 = h, đồng thời h: X A là một phép co rút của X lên A. 1.2.15. Định lý (Định lý Dugundji ). Giả sử A là một tập con đóng của không gian mêtric X và Y là không gian lồi địa phơng. Với mỗi ánh xạ f: A Y, tồn tại một thác triển liên tục f * : X Y của f. 1.2.16. Định lý (Định lý Kuratowski). Đối với mỗi không gian mêtric X, tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi h: X h(X) Z sao cho h(X) đóng trong bao lồi C(h(X)). 1.3. Dãy cơ bản, tơng đơng cơ bản. Khái niệm Shape 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian mêtric compact và X M, Y N trong đó M, N là các AR - không gian. Khi đó dãy các ánh xạ liên tục f k : M N, k = 1, 2, . đợc gọi là dãy cơ bản từ X vào Y nếu đối với mỗi lân cận V của Y trong N tồn tại lân cận U của X trong M sao cho 6 k k 1 U U f f + ; trong V với hầu hết k. Điều đó nghĩa là tồn tại đồng luân k : U ì [0, 1] V sao cho k (x, 0) = f k (x) , k (x, 1) = f k+1 (x), x U. Dãy cơ bản này đợc ký hiệu là f = {f k , X, Y} hoặc đơn giản là f . Ta nói dãy cơ bản f = {f k , X, Y} đợc sinh bởi ánh xạ f: X Y nếu f k (x) = f(x), x X, k = 1, 2, Đặc biệt dãy cơ bản i = {i k , X, Y} trong đó i k là các ánh xạ đồng nhất trên X, với mọi k = 1, 2, . đợc gọi là dãy đồng nhất cơ bản của X. 1.3.2. Định nghĩa. Hai dãy cơ bản f = {f k , X, Y}, g = {g k , X, Y} đợc gọi là đồng luân với nhau nếu đối với mỗi lân cận V của Y trong N, tồn tại lân cận U của X trong M sao cho k k U U f g; trong V với hầu hết k. Khi đó ta viết f ; g . 1.3.3. Định lý. Giả sử X, Y là hai không gian mêtric compact nằm trong các AR - không gian M, N. Khi đó hai dãy cơ bản f = {f k , X, Y}, g = {g k , X, Y} đồng luân với nhau khi và chỉ khi tồn tại dãy cơ bản h = {h k , Xì[0, 1], Y} sao cho h k (x, 0) = f k (x) , h k (x, 1) = g k (x), x X, k = 1, 2, . 1.3.4. Định nghĩa. Hai không gian mêtric compact X, Y đợc gọi là t- ơng đơng đồng luân nếu tồn tại hai ánh xạ f: X Y, g: Y X sao cho gf ; i X , fg ; i Y . Khi đó ta viết X h ; Y, và nói X, Y cùng dạng đồng luân. Nếu tồn tại hai ánh xạ f, g thoả mãn fg ; i Y thì ta nói X trội đồng luân trên Y và viết X h Y. 1.3.5. Nhận xét. Nếu Y là cái co rút của X thì X là trội đồng luân của Y. 1.3.6. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các tập đóng trong các AR - không gian M, N. Ta nói X, Y là tơng đơng cơ bản đối với M, N nếu tồn tại các dãy cơ bản f = {f k , X, Y)}, g = {g k , X, Y} sao cho g f ; i X , f g ; i Y . 7 Khi đó ta viết X F ; Y Rel M, N. 1.3.7. Định nghĩa. Giả sử X, Y lần lợt là các tập con đóng của các AR - không gian M, N. Ta nói X làm trội cơ bản của Y đối với M, N nếu tồn tại các dãy cơ bản f = {f k , X, Y} và g = {g k , Y, X} sao cho fg ; i Y . Khi đó ta viết X F Y Rel M, N. 1.3.8. Nhận xét. a) Nếu X tơng đơng đồng luân với Y thì X tơng đơng cơ bản với Y. b)Nếu X là trội đồng luân của Y thì X là trội cơ bản của Y. 1.3.9. Nhận xét. Quan hệ tơng đơng cơ bản là một quan hệ tơng đơng. 1.3.10. Định lý. Giả sử X, Y là các tập con đóng lần lợt nằm trong các AR - không gian M, N. Khi đó nếu X đồng phôi với Y thì X tơng đơng cơ bản với Y. 1.3.11. Định nghĩa. Giả sử X là không gian compact. Shape của X, ký hiệu sh(X) là lớp gồm tất cả các không gian Y sao cho X tơng đơng cơ bản với Y. Nếu X chỉ gồm một điểm {a} thì sh(X) đợc gọi là shape tầm thờng. Ký hiệu sh(1). Nếu X trội cơ bản trên Y thì viết sh(X) sh(Y). 1.3.12. Nhận xét. Giả sử X, Y là các không gian mêtric, ta có a) Nếu X F ; Y Rel M, N thì sh(X) = sh(Y), b) Nếu X F Y Rel M, N thì sh(X) sh(Y), c) Nếu X h ; Y thì sh(X) = sh(Y), d) Nếu X h Y thì sh(X) sh(Y), e) Nếu X đồng phôi với Y thì sh(X) = sh(Y), f) Nếu Y là cái co rút của X thì sh(X) sh(Y). 8 Nh vËy sh(X) ≥ sh(1) víi mäi X kh¸c rçng. 9 Chơng 2. Một số tính chất của không gian mêtric compact trong Q hoặc E n 2.1.1. Ký hiệu. Q là hình hộp Hilbert với các điểm (x 1 , x 2 , .) trong đó 0 x n 1 n , n = 1, 2, . 0 Q là phần trong của Q, nghĩa là tập con của Q bao gồm các điểm (x 1 , x 2 , .) trong đó 0 < x n < 1 n , n = 1, 2, . Q 1 là tập gồm các điểm (x 1 , x 2 , .) Q với x 1 = 1. 2.1.2. Định nghĩa. Tập con A của không gian X đợc gọi là Z - tập trong X nếu nó đóng trong X và nếu với mỗi tập con mở U trong X co rút điểm thì U \ A , U \ A co rút điểm. 2.1.3. Nhận xét. Q đồng phôi với Q 1 . Chứng minh. Xét ánh xạ f: Q Q 1 (x 1 , x 2 , x 3 , ) a (1, 1 2 x 1 , 2 3 x 2 , ) Khi đó ta có f đồng phôi. Thật vậy ta có f đơn ánh Giả sử x = (x 1 , x 2 , x 3 , ) Q, x' = (x' 1 , x' 2 , x' 3 , ) Q. Khi đó f(x) = f(x') khi và chỉ khi (1, 1 2 x 1 , 2 3 x 2 , ) = (1, 1 2 x' 1 , 2 3 x' 2 , ) Do đó = = 1 1 2 2 x x' x x' . 10 . chuẩn bị cần thiết . Chơng 2. " ;Một số tính chất của không gian mêtric compact trong Q hoặc E n " là nội dung cơ bản của luận văn, đợc chia làm 5. " ;Một số tính chất của không gian mêtric compact trong Q hoặc E n " luận văn đợc trình bày thành 2 chơng: Chơng 1. Tác giả đa vào một số kiến thức