Một số tính chất của không gian banach

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== lăng thị trang một số tính chất của không gian một số tính chất của không gian banach banach Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 MụC lục Trang Mở đầu .2 Chơng 1- Biểu diễn hữu hạn của các không gian banach 1.1 Kiến thức chuẩn bị .5 1.2 Biểu diễn hữu hạn của các không gian Banach .10 Chơng2- Đạo hàm Frechet của hàm lồi và các dãy cơ sở trong không gian Banach 2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi .22 2.2 Các dãy cơ sở trong không gian Banach .46 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo .46 lời Mở đầu 2 Không gian Banach là một trong những đối tợng nghiên cứu cơ bản của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và nhiều lĩnh vực khác của toán học. Việc nghiên cứu các tính chất của không gian Banach tạo điều kiện để tiếp cận và nghiên cứu các vấn đề của giải tích hàm. Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số tính chất của không gian Banach. Với mục đích đó, dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn nghiên cứu sự biểu diễn hữu hạn của không gian Banach, đạo hàm Frechet của hàm xác định trên không gian Banach và tính chất của dãy cơ sở trong không gian Banach. Từ đó nghiên cứu tính chất của không gian 0 C , ]1;0[ C , ]1;0[ p L , p l , điều kiện để một dãy là dãy cơ sở, một dãy cơ sở là dãy hội tụ yếu. Với mục đích đó luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng1. Biểu diễn hữu hạn các không gian Banach. 1.1 Các kiến thức chuẩn bị. Trong mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn nh không gian định chuẩn, các không gian ]1;0[ C , ]1;0[ p L , p l , 0 C , các hàm khả tích, Định lý Hahn-Banach và Hệ quả . 1.2 Biểu diễn hữu hạn các không gian Banach. Trong mục này, đầu tiên trình bày khái niệm khoảng cách Banach- Mazur giữa hai không gian Banach và tính chất của nó. Từ đó, trình bày khái niệm biểu diễn hữu hạn không gian Banach và chứng minh một số không gian Banach đợc biểu diễn hữu hạn trong các không gian Banach đặc biệt, chẳng hạn nh không gian ]1;0[ C biểu diễn hữu hạn trong không gian 0 C và ngợc lại, không gian ]1;0[ p L biểu diễn hữu hạn trong không gian p l và ngợc lại, và mỗi không gian Banach bất kì biểu diễn hữu hạn trong không gian I m , . Chơng 2. Đạo hàm Frechet của hàm lồi và các dãy cơ sở trong không gian Banach 2.1 Đạo hàm Frechet của hàm lồi. Trong mục này, đầu tiên, trình bày đạo hàm Frechet của các hàm xác định trên không gian Banach và chứng minh các tính chất tơng tự nh đạo hàm của hàm xác định trên R vẫn đúng cho đạo hàm Frechet của các hàm lồi. Cuối cùng, dựa vào đạo 3 hàm Frechet để đánh giá khoảng cách Banach - Mazur giữa hai không gian con Banach hữu hạn chiều trong 2 l đợc xác định bởi hai chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính. 2.2 Các dãy cơ sở trong không gian Banach. Mục này trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy cơ sở trong không gian Banach. Từ đó trình bày khái niệm dãy cơ sở các không gian con của không gian Banach và điều kiện để một không gian Banach có dãy cơ sở thông qua khoảng cách Banach - Mazur. Các kết quả trong luận văn, chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo, chúng tôi chứng minh chi tiết nhiều kết quả mà trong tài liệu chúng chỉ đợc chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra và chứng minh một số kết quả mới nh Bổ đề 1.2.8, Định lý 1.2.11, Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 2.2.3. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và tất cả các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trờng. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TS. Trần Văn Ân, PGS. TS. Tạ Quang Hải, PGS. TS. Tạ Khắc C .đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Luận văn. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu Trờng THPT Nghi Lộc I đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên cao học khoá 14 - Giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc góp ý để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 11 năm 2008 Tác giả 4 Ch¬ng I BiÓu diÔn h÷u h¹n cña c¸c kh«ng gian Banach 5 Trong mục này, trình bày một số khái niệm, kết quả và một số kí hiệu cần dùng trong luận văn. 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa. Chuẩn trên không gian tuyến tính E là ánh xạ . : E R thỏa mãn i) ;00,0: == xxxEx ii) ;,, KExxx = iii) .,, Eyxyxyx ++ Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn xác định trên nó gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. 1.1.2 Định nghĩa. Giả sử FE, là hai không gian định chuẩn, f là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ E vào F . Đặt { } .,.)(:inf Exxkxfkf = Ta chứng minh đợc công thức này xác định chuẩn trên không gian tuyến tính ),( FEL các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Từ Định nghĩa 1.1.2 ta có bất đẳng thức sau ).,(,,.)( FELfExxfxf 1.1.3 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach thì ),( FEL là không gian Banach. 1.1.4 Định nghĩa. Giả sử FE, là hai không gian định chuẩn và FEf : . ánh xạ f đợc gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh, tuyến tính và liên tục hai chiều ( f và 1 f liên tục). ánh xạ f đợc gọi là đẳng cự nếu ),( FELf và ( ) xxf = với mọi Ex . Hai không gian định chuẩn đợc gọi là đẳng cấu (đẳng cự) với nhau nếu giữa chúng tồn tại một ánh xạ đẳng cấu (đẳng cự). 1.15 Một số không gian Banach đặc biệt a) 0 C là không gian các dãy số hội tụ tới 0 với chuẩn 6 { } 0 ,sup Cxxxx nn n == . b) l là không gian các dãy số bị chặn với chuẩn { } .,sup == lxxxx nn n c) p l là không gian các dãy số { } n x thoả mãn < = 1n p n x với chuẩn p p n n xx 1 1 = = , { } 1; = plxx pn . d) ],[ baL p , 1 p là không gian các hàm )(tx xác định và đo đợc (theo nghĩa Lơbegơ) trên đoạn ],[ ba thỏa mãn ( ) ; b p a x t dt < p b a p dttxx 1 )( = , ],[)( baltxx p = . e) Giả sử X là không gian tôpô compact. ( ) XC là không gian các hàm số liên tục trên X với chuẩn { } ( ) XCfXxxff = ,:)(sup . 1.1.6 Định nghĩa. Giả sử ( ) XCH . a) H đợc gọi là bị chặn điểm nếu với mọi Xx tồn tại hằng số x C sao cho ( ) x Cxf với mọi Hf . b) H đợc gọi là đồng liên tục tại Xx nếu với mọi 0 > tồn tại lân cận U của x sao cho ( ) ( ) < xfyf với mọi Uy , mọi Hf . c) H đợc gọi là đồng liên tục trên X nếu H đồng liên tục tại mọi điểm của X . 1.1.7 Định lý(Arzela-Ascoli). Giả sử X là không gian tôpô compact và ( ) XCH . Khi đó H là tập compact tơng đối trong ( ) XC khi và chỉ khi 1) H bị chặn điểm; 2) H đồng liên tục trên X . 1.1.8 Định lý (Hahn-Banach). Giả sử E là một không gian vectơ phức, p là một nửa chuẩn xác định trên E . Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thỏa mãn )()( xpxf với mọi Fx thì tồn tại 7 phiếm hàm tuyến tính f ~ xác định trên E sao cho f F f = ~ và )()( ~ xpxf với mọi Ex . 1.1.9 Hệ quả (của Định lý Hahn-Banach). Với mỗi vectơ v trong không gian định chuẩn E , 0 v . Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho 1 = f và vvf = )( . 1.1.10 Định nghĩa. Giả sử E là không gian định chuẩn và * EH . Ta gọi tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng mọi Hf đều liên tục là tôpô yếu trên E xác định bởi họ H và kí hiệu là ),( HE . Với mỗi Ex ta xác định ánh xạ KE x * : với ( ) ( ) * , Efxff x = . Khi đó ( ) * *** EEx = . Đặt { } .: ExG x = Ta gọi tôpô yếu ),( * GE trên * E xác định bởi họ G là tôpô yếu *. 1.1.11 Định lý (Banach-Alaoglu). Giả sử E là không gian định chuẩn. Hình cầu đơn vị đóng trong không gian * E là compact và 2 T đối với tôpô yếu*. 1.1.12 Định nghĩa. Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K và CEE ì : . Hàm đợc gọi là một tích vô hớng trên E nếu 1) 0, xx với mọi Ex và 0, = xx khi và chỉ khi 0 = x ; 2) yxyxyxx ,,, 2121 +=+ ; 3) yxyx ,, = ; 4) KEyxxxxyyx = ,,,,,,, 21 . Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hớng trên nó đợc gọi là không gian tiền Hilbert. Nếu E là không gian tiền Hilbert thì công thức Exxxx = ,, là một chuẩn trên E và nó đợc gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hớng. 8 Không gian tiên Hilbert đầy đủ (đối với chuẩn sinh bởi tích vô hớng) thì đợc gọi không gian Hilbert. 1.1.13 Đẳng thức bình hành. Nếu E là không gian tiền Hilbert thì 2 2 2 2 2( ), ,x y x y x y x y E+ + = + . 1.1.14 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Ta kí hiệu ( ) XB là đại số nhỏ nhất trong tất cả các đại số chứa các tập mở trong X . Ta gọi mỗi phần tử của ( ) XB là một tập Borel. Một độ đo à trên X đợc gọi là độ đo Borel trên mọi tập Borel là độ đo theo à . Độ đo à trên X đợc gọi là độ đo xác suất nếu 1)( = X à . 1.1.15 Định nghĩa. Giả sử [ ] Rbaf ,: . Hàm f đợc gọi là liên tục tuyệt đối trên [ ] ba, nếu với mọi 0 > tồn tại 0 > sao cho ( ) ( ) < = n i ii afbf 1 với mọi họ các khoảng rời nhau ( ) ( ) nn baba ,, .,, 11 trong ( ) ba, thoả mãn ( ) < = n i ii ab 1 . 1.2 Biểu diễn hữu hạn của các không gian Banach 1.2.1 nh ngha ([3]). Cho YX , l cỏc khụng gian Banach. Ta gi giỏ tr TTTYXd ,.inf{),( 1 = l ng cu gia X v Y } l khoảng cách Banach - Mazur giữa X v Y . Nu X v Y khụng ng cu thỡ ta xem += ),( YXd . 1.2.2 Mnh ([3]). Cho ZYX ,, là các không gian Banach. Khi đó 1) ( , ) 1d X Y vi mi không gian Banach YX , . Nu X và Y đẳng cấu, đẳng cự thì ( , ) 1;d X Y = 2) ( , ) ( , );d X Y d Y X= 3) ( , ). ( , ) ( , ).d X Y d Y Z d X Z Chng minh. 1) Nu X v Y khụng ng cu thỡ += ),( YXd >1. 9 Bây giờ, giả sử X và Y đẳng cấu với nhau. Khi đó tồn tại ánh xạ đẳng cấu T: X → Y. Kí hiệu x e là ánh xạ đồng nhất trên X . Ta có TTe x . 1 − = . Do đó 1= x e = TTTT 11 −− ≤ . Từ đó suy ra 1),( ≥ YXd . Giả sử X , Y ®¼ng cÊu, ®¼ng cù víi nhau. Khi đó tồn tại ánh xạ ®ẳng cấu, đẳng cự T: X → Y. Vì T ®ẳng cự nên 1 1 == − TT . Do đó 1. 1 = − TT và ta có 1),( ≤ YXd . Kết hợp với điều vừa chứng minh 1),( ≥ YXd ta có 1),( = YXd . 2)Từ T: X → Y là đẳng cấu ⇔ 1 − T :Y → X là đẳng cấu suy ra ),(),( XYdYXd = . 3) Giả sử YXT → : và ZYH → : là hai đẳng cấu. Khi đó ZXTHK →= :. là ánh xạ đẳng cấu và 111 . −−− = HTK . Ta cã ),( 11111 −−−−− =≤≤ TTHHHTTHKKZXd Vì H và T là các đẳng cấu bất kỳ giữa YX , và giữa ZY, tương ứng nên từ bất đẳng thức trên suy ra ),(),().,( ZXdZYdYXd ≥ . 1.2.3 Định nghĩa ([3]). Cho YX , là không gian Banach. Ta nói X biểu diễn hữu hạn trong không gian Y và viết là YX f  → nếu mọi 0 > ε và Z là không gian con hữu hạn chiều bất kỳ của X thì tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Z 1 của Y sao cho ε +< 1),( 1 zzd . 1.2.4 Mệnh đề ([3]). Nếu tồn tại ( ) YXTXT ⊂→ : là ánh xạ tuyến tính liên tục hai chiều bảo tồn chuẩn thì YX f  → . Chứng minh. Vì ánh xạ ( ) XTXT → : liên tục hai chiều nên nếu Z không gian con hữu hạn chiều của X thì ( ) XT là không gian con hữu hạn chiều của ( ) XT thỏa mãn ( ) YZT ⊂ . Mặt khác, do T bảo tồn chuẩn nên 1 1 == − TT , trong đó T 1 − : T(Z) → Z . Do đó vơí mọi 0 > ε ta có d(z,T(z))=1<1+ ε . Vậy X biểu diễn hữu hạn trong Y . 10 . đại học Vinh ===== ===== lăng thị trang một số tính chất của không gian một số tính chất của không gian banach banach Luận văn thạc sĩ toán học Vinh -. của hàm xác định trên không gian Banach và tính chất của dãy cơ sở trong không gian Banach. Từ đó nghiên cứu tính chất của không gian 0 C , ]1;0[ C , ]1;0[