Về một số tính chất của không gian tôpô mờ trực giác

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Không gian tôpô mờ trực giác 1.1 Một số khái niệm 1.2 Tập mờ trực giác 1.3 Không gian tôpô mờ trực giác 16 Chương Một số tính chất không gian tôpô mờ trực giác 23 2.1 Tính compact mờ trực giác 23 2.2 Nửa θ-compact không gian tôpô mờ trực giác 26 2.3 Tính Hausdorff không gian tôpô mờ trực giác 29 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tập mờ giới thiệu L A Zadeh vào năm 1965 Sau nghiên cứu L A Zadeh tập mờ có kết thú vị thu lý thuyết cổ điển Khái niệm tôpô mờ có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý lượng tử, nhiều tính chất toán học giới thiệu tổng quát khái niệm tập mờ Ý niệm tập mờ trực giác lần công bố K Atanassov vào năm 1978, tiếp đến khái niệm mở rộng thành tập L-mờ trực giác K Anatassov S Stoeva Sau C Chang sử dụng tập mờ để giới thiệu khái niệm tôpô mờ, sau khái niệm D Coker xây dựng lý thuyết không gian tôpô mờ trực giác, với nhà khoa học khác ông nghiên cứu tôpô tập mờ trực giác, tính liên thông, tính compact, liên tục, paracompact, hội tụ, tách không gian tôpô mờ trực giác Một hướng nghiên cứu khác tôpô mờ xây dựng số khái niệm tính Hausdorff không gian tôpô mờ trực giác Trên sở báo D Coker F G Lupianez hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày có hệ thống khái niệm tính chất không gian tôpô mờ trực giác Với mục đích vậy, luận văn trình bày thành chương Chương Không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tính chất không gian tôpô mờ trực giác 1.1 Một số khái niệm Trình bày số kiến thức tính chất không gian tôpô, tập mờ, không gian tôpô mờ 1.2 Tập mờ trực giác Trình bày khái niệm, tính chất tập mờ trực giác, liệt kê số tính chất ảnh tạo ảnh tập mờ trực giác 1.3 Không gian tôpô mờ trực giác Phần mở rộng khái niệm không gian tôpô mờ trực giác theo nghĩa Lowen, định nghĩa toán tử bao đóng, phần IF T S, đưa khái niệm ánh xạ liên tục mờ Đồng thời chứng minh số tính chất, ví dụ liên quan Chương Một số tính chất không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, trình bày khái niệm số tính chất không gian tôpô mờ trực giác 2.1 Tính compact mờ trực giác Trình bày khái niệm phủ mở mờ, tính compact mờ không gian tôpô mờ trực giác Nghiên cứu tính chất đặc trưng liên quan, tương tự tính chất tập compact biết tôpô đại cương Hệ 2.1.6 Hệ 2.1.10 2.2 Nửa θ-compact không gian tôpô mờ trực giác Nêu lên cấu trúc nửa θ-compact không gian tôpô mờ trực giác Định nghĩa 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6; so sánh chúng với số loại khác không gian tôpô mờ trực giác Chỉ số đặc trưng tính chất sở cho khái niệm Định lý 2.2.7 Định lý 2.2.8 2.3 Tính Hausdorff không gian tôpô mờ trực giác Trong mục giới thiệu khái niệm tính Hausdorff không gian tôpô mờ trực giác, Định nghĩa 2.3.14 q-T2 , Định nghĩa 2.3.16 q-mờ Hausdorff Mối liên hệ T2 IF T S với q-T2 Mệnh đề 2.3.17 Các kết trình bày luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo [3], [5], [7] Ở đây, việc trình bày lại khái niệm, tính chất có chứng minh chi tiết kết tài liệu tham khảo chứng minh cụ thể số Hệ mà tài liệu chưa chứng minh Hệ 1.2.10, Hệ 1.2.12 Ví dụ 1.3.2, Ví dụ 1.3.9; Mệnh đề 1.3.11 Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học, thầy giáo, cô giáo khoa giúp đỡ em suốt trình công tác học tập trường Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Vinh giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn học viên Cao học 13 - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập Dù cố gắng nhiều, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thoả mãn (T1 ) ∅, X ∈ τ ; (T2 ) Nếu Gα ∈ τ, α ∈ Λ Gα ∈ τ ; α∈Λ (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với tôpô τ xác định gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay X Các phần tử thuộc X gọi điểm, phần tử thuộc τ gọi tập mở 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, E ⊂ X, bao đóng E ký hiệu E (hay clE) giao tất tập đóng chứa E, nghĩa E = ∩{F ∈ X : F đóng , E ⊂ F } 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, A ⊂ X Tập U ⊂ X gọi lân cận A tồn tập mở V ⊂ X cho A ⊂ V ⊂ U 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, E ⊂ X Điểm x ∈ X gọi điểm E E lân cận x Tập hợp tất điểm E gọi phần E ký ◦ hiệu E hay intE 1.1.5 Định nghĩa Giả sử (D, ≥) tập có hướng Ta gọi hàm S : D −→ X lưới X ký hiệu {Sα , α ∈ D, ≥} hay {Sα }α∈D 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, {Sn }n∈D lưới X Lưới {Sn }n∈D gọi hội tụ điểm x ∈ X với lân cận U x X, lưới {Sn }n∈D nằm U từ lúc 1.1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T2 -không gian không gian Hausdorff với x, y ∈ X mà x = y tồn lân cận U x, lân cận V y cho U ∩ V = ∅ 1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi không gian compact phủ mở X chứa phủ hữu hạn 1.1.9 Định lý Giả sử X không gian compact Nếu F tập đóng X F compact Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian compact P phủ mở F Ký hiệu P = {X \ F } ∪ P Khi P phủ mở X Vì X compact nên tồn phủ hữu hạn P1 P Bây ta giả sử P1 = {P1 , , Pn , X|F } Vì X \ F F suy {P1 , , Pn } ⊃ F Khi {P1 , , Pn } phủ F nên F tập compact 1.1.10 Định lý Giả sử f : X −→ Y ánh xạ liên tục từ không gian compact X lên không gian tôpô Y Khi Y không gian compact Chứng minh Giả sử U phủ mở không gian tôpô Y Nhờ tính liên tục f họ f −1 (U ) : U ∈ U phủ mở X Vì X compact nên k tồn họ hữu hạn −1 −1 −1 f(U , f(U , , f(U 1) 2) k) f −1 (Ui ) cho X ⊂ i=1 k Suy Y ⊂ Ui i=1 Vậy Y không gian compact 1.1.11 Định nghĩa Họ L tập X gọi lọc X thỏa mãn điều kiện (1) Nếu A ∈ L A = ∅; (2) Nếu A, B ∈ L A ∩ B ∈ L; (3) Nếu A ∈ L, A ⊂ B B ∈ L Nhận xét Nếu X không gian tôpô, x ∈ X U(x) họ tất lân cận X, U(x) lọc X 1.1.12 Định nghĩa Lọc L không gian tôpô X gọi hội tụ điểm x ∈ X, U(x) ⊂ L 1.2 TẬP MỜ TRỰC GIÁC 1.2.1 Định nghĩa Cho tập X, tập mờ X hiểu hàm µ : X −→ [0, 1] Nhận xét Một tập A tập X đồng với hàm đặc trưng χA nó, hàm χA tập mờ X 1.2.2 Định nghĩa Cho X tập cố định khác rỗng Một tập mờ trực giác A (viết tắt IF S A) tập có dạng A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} , hàm µA : X −→ I γA : X −→ I hàm mức độ có mặt mức độ mặt phần tử x ∈ X tập A ≤ µA (x) + γA (x) ≤ Ở ta ký hiệu I = [0, 1] 1.2.3 Nhận xét Để đơn giản, ký hiệu A = x, µA , γA thay cho A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} 1.2.4 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng A, B IF S có dạng A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, B = { x, µB (x), γB (x) : x ∈ X} Khi (a)A ⊆ B µA (x) ≤ µB (x) γA (x) ≥ γB (x), với x ∈ X; (b) A = B A ⊆ B B ⊆ A; (c) A = { x, γA (x), µA (x) : x ∈ X}; (d) A ∩ B = { x, µA (x) ∧ µB (x), γA (x) ∨ γB (x) : x ∈ X}; (e) A ∪ B = { x, µA (x) ∨ µB (x), γA (x) ∧ γB (x) : x ∈ X}; (f) [ ]A = { x, µA (x), − µA (x) : x ∈ X}; (g) A = { x, − γA (x), γA (x) : x ∈ X}; (h) (A × B)(x, y) = (x, y), min(µA (x), µB (y)), max(γA (x), γB (y) Chú ý phép toán ∧ ∨ hiểu sau µA (x) ∧ µB (x) = min{µA (x), µB (x)}, γA (x) ∨ γB (x) = max{γA (x), γB (x)} A gọi phần bù A 1.2.5 Định nghĩa Cho {Ai : i ∈ J} họ tuỳ ý IF S X Khi Ai = (a) x, i∈J i∈J Ai = (b) µA1 (x), i∈J x, γAi (x) :x∈X ; γAi (x) :x∈X , i∈J µA1 (x), i∈J i∈J µAi (x) = inf {µAi (x) : i ∈ J}, i∈J µAi (x) = sup{µAi (x) : i ∈ J} i∈J 1.2.6 Chú ý Ta ký hiệu 0∼ = { x, 0, : x ∈ X}, 1∼ = { x, 1, : x ∈ X} 1.2.7 Các phép toán tập mờ Cho µ, ϑ tập mờ X Khi (a) µ ≤ ϑ có nghĩa µ(x) ≤ ϑ(x), với x ∈ X; (b) µ = ϑ có nghĩa µ(x) = ϑ(x), x ∈ X; (c) (µ ∨ ϑ)(x) = sup{µ(x), ϑ(x)}; (d) (µ ∧ ϑ)(x) = inf{µ(x), ϑ(x)}; (e) (1 − µ)(x) = − µ(x) 1.2.8 Định nghĩa Một họ τ tập mờ X gọi tôpô mờ thoả mãn (i) 0∼ ∈ τ 1∼ ∈ τ ; (ii) Nếu µ, ϑ ∈ τ µ ∧ ϑ ∈ τ ; (iii) Nếu µi ∈ τ µi ∈ τ i∈J 1.2.9 Hệ Giả sử A, B, C, D IF S X Khi (a) Nếu A ⊆ B C ⊆ D A ∪ C ⊆ B ∪ D A ∩ C ⊂ B ∩ D; (b) Nếu A ⊆ B A ⊆ C A ⊆ B ∩ C; (c) Nếu A ⊆ C B ⊆ C A ∪ B ⊆ C; (d) Nếu A ⊆ B B ⊆ C A ⊆ C; (e) A ∪ B = A ∩ B; (f) A ∩ B = A ∪ B; (g) Nếu A ⊆ B B ⊆ A; (h) A = A; (i) 1∼ = 0∼ ; (j) 0∼ = 1∼ Chứng minh (a) Đặt A = x, µA , γA , B = x, µB , γB ; C = x, µC , γC , D = x, µD , γD Ta có A ∪ C = { x, µA (x) ∨ µC (x), γA (x) ∧ γC (x) : x ∈ X}; B ∪ D = { x, µB (x) ∨ µD (x), γB (x) ∧ γD (x) : x ∈ X} Giả thiết A ⊆ B, C ⊆ D suy µA ≤ µB , γA ≥ γB µC ≤ µD , γC ≥ γD suy µA ∨ µC ≤ µB ∨ µD , γA ∧ γC ≥ γB ∧ γD Suy A ∪ C ⊆ B ∪ D Tương tự ta có µA ∧ µC ≤ µB ∧ µD , γA ∨ γC ≥ γB ∨ γD suy A ∩ C ⊆ B ∩ D (b), (c), (d) tương tự (a) 10 1.3.10 Mệnh đề Với IF S A IF T S(X, τ ) ta có (a) cl(A) = int(A); (b) int(A) = cl(A) Chứng minh (a) Xét A = x, µA , γA Giả sử họ IF OS bị chứa A đánh số họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} Khi intA = x, ∨µGi , ∧γGi int(A) = x, ∧γGi , ∨µGi Từ A = x, γA , µA µGi ≤ µA , γGi ≥ γA , với i ∈ J ta thu { x, γGi , µGi : i ∈ J} họ IF CS chứa A, nghĩa cl(A) = x, ∧γGi , ∨µGi Do cl(A) = int(A) (b) Chứng minh tương tự (a) 1.3.11 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) IF T S A, B IF S X Khi ta có tính chất sau (a) int(A) ⊆ A; (b) A ⊆ cl(A); (c) Nếu A ⊆ B int(A) ⊆ int(B); (d) Nếu A ⊆ B cl(A) ⊆ cl(B); (e) int(int(A)) = int(A); (f) cl(clA) = cl(A); (g) int(A ∩ B) = int(A) ∩ (B); (h) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B); (i) int(1∼ ) = 1∼ ; (j) cl(0∼ ) = 0∼ Chứng minh (a) Ta có int(A) = ∪ {G : G IF OS X G ⊆ A} suy int(A) ⊆ A (b) Ta có A ⊆ ∩{K : A ⊆ K, K IF CS} = clA suy A ⊆ clA (c) Từ giả thiết A ⊆ B suy intA ⊆ B Do intA ⊆ intB (d) Từ A ⊆ B suy A ⊆ clB Vậy clA ⊆ clB 20 (e) Vì intA IF OS nên int(intA) = intA (f) Chứng minh tương tự (e) (g) Từ int(A ∩ B) ⊆ intA int(A ∩ B) ⊆ intB, ta có int(A ∩ B) ⊆ int(A) ∩ int(B) Mặt khác, từ int(A) ⊆ A, int(B) ⊆ B suy int(A) ∩ int(B) ⊆ A ∩ B int(A) ∩ int(B) ∈ τ Ta thấy int(A) ∩ int(B) ⊆ int(A ∩ B), từ suy int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B) (h) Ta có từ A ⊆ A ∪ B suy clA ⊆ cl(A ∪ B) Tương tự từ B ⊆ A ∪ B suy clB ⊆ cl(A ∪ B) Do clA ∪ clB ⊆ cl(A ∪ B) Mặt khác, từ A ⊆ clA B ⊆ clB suy A∪B ⊆ clA ⊆ clB Mà clA∪clB IF CS nên ta có cl(A ∪ B) ⊆ clA ∪ clB (i) Do 1∼ IF OS suy int1∼ = 1∼ (j) Do 0∼ IF CS nên ta có int0∼ = 0∼ 1.3.12 Định nghĩa Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) hai IF T S f : X−→Y ánh xạ từ X vào Y Khi f gọi liên tục mờ tạo ảnh IF S Φ IF S τ 1.3.13 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) (Y, Φ) hai IF T S f : X−→Y ánh xạ từ X vào Y Khi f gọi ánh xạ mở mờ ảnh IF OS τ IF OS Φ 1.3.14 Ví dụ Giả sử (X, τ ) IF T S theo nghĩa Lowen, (Y, Φ) IF T S c0 ∈ Y Khi ánh xạ c : X−→Y, c(x) = c0 với x ∈ Y liên tục mờ 1.3.15 Mệnh đề Ánh xạ f : (X, τ )−→(Y, Φ) liên tục mờ tạo ảnh IF CS Φ IF CS τ 21 Chứng minh Suy từ Hệ 1.2.11 1.3.16 Định nghĩa (a) Cho X tập không rỗng c ∈ X phần tử cố định X Nếu α ∈ [0, 1], β ∈ [0, 1] hai số thực không đổi thoả mãn α + β < 1, IF S c(α, β) = x, cα , − c1−β gọi điểm mờ trực giác, ký hiệu IF P X, cα , c1−β điểm mờ X, xác định cα (x) = c1−β (x) = α x = c x = c 1−β x = c x = c c gọi giá c(α, β) α, β gọi giá trị phi giá trị c(α, β) (b) Nếu β ∈ [0, 1] số thực không đổi IF S c(β) = x, 0, 1−c1−β gọi điểm mờ trực giác triệt tiêu X, ký hiệu V IF P 22 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.1 TÍNH COMPACT MỜ TRỰC GIÁC 2.1.1 Định nghĩa Cho (X, τ ) IF T S (a) Họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} IF OS X gọi phủ mở mờ X ∪ { x, µGi , γGi : i ∈ J} = 1∼ Một họ hữu hạn phủ mờ mở { x, µGi , γGi : i ∈ J} X đồng thời phủ mờ mở X gọi phủ hữu hạn { x, µGi , γGi : i ∈ J} (b) Họ { x, µKi , γKi : i ∈ J} IF CS X gọi có tính chất giao hữu hạn (viết tắt F IP ), họ hữu hạn { x, µKi , γKi : i = 1, 2, , n}, n { x, µKi , γKi } = 0∼ thỏa mãn điều kiện i=1 2.1.2 Định nghĩa Một IF T S (X, τ ) gọi compact mờ phủ mở mờ X có phủ hữu hạn 1.3 Ví dụ Cho tập X = {1, 2} IF S Gn , n ∈ N + sau Gn = x, n n+1 , n+1 n+2 , 1 n+2 , n+3 τ = {0∼ , 1∼ } ∪ {Gn : n ∈ N + } Khi (X, τ ) không compact mờ Bởi phủ mở mờ {Gn : n ∈ N + } phủ hữu hạn 23 2.1.4 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) IF T S Khi (X, τ ) compact mờ IF T S (X, τ0,1 ) compact mờ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) compact mờ xét phủ mở mờ {[ ]Gj : j ∈ K} X (X, τ0,1 ), ∪([ ]Gj ) = 1∼ Suy ∨µG1 = γGj ≤ − µGj Vì ta thu ∧γGj ≤ − ∨µGj = − = Điều kéo theo ∧γGj = Do ta thu ∨Gj = 1∼ Từ giả thiết n Gi = 1∼ , từ (X, τ ) compact mờ nên tồn G1 , G2 , , Gn thỏa mãn n µGi = thu i=1 n j=1 (1 − µGi ) = Vậy (X, τ0,1 ) compact mờ i=1 Điều kiện đủ Giả sử (X, τ0,1 ) compact mờ xét phủ mở mờ {Gj : j ∈ K} X (X, τ ) suy ∪Gj = 1∼ ta thu ∨µGj = ∧(1 − µGj ) = n Từ giả thiết (X, τ0,1 ) compact mờ nên tồn G1 , G2 , , Gn thỏa mãn n ([ ]Gi ) = 1∼ suy i=1 n i=1 n n µGi ≤ 1− suy = i=1 (1 − µGi ) = Do µGi ≤ − γGi , µGi = i=1 n γGi Từ ta i=1 n γGi = Do i=1 Gi = 1∼ i=1 Vậy (X, τ ) compact mờ 2.1.5 Hệ Một IF T S (X, τ ) compact mờ họ { x, µki , γki : i ∈ J} IF CS X thỏa mãn F IP ∩{ x, µki , γki : i ∈ J} = 0∼ 2.1.6 Hệ Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) IF T S f : X−→Y ánh xạ liên tục mờ từ X lên Y Khi đó, (X, τ ) compact mờ (Y, Φ) compact mờ 2.1.7 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) IF T S A IF S 24 X (a) Họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} IF OS X gọi phủ mở mờ A A ⊆ { x, µGi , γGi : i ∈ J} (b) Một họ hữu hạn phủ mở mờ { x, µGi , γGi : i ∈ J} A mà phủ mở mờ A gọi phủ hữu hạn { x, µGi , γGi : i ∈ J} (c) Một IF S A = x, µA , γA IF T S (X, τ ) gọi compact mờ phủ mở mờ A có phủ hữu hạn 2.1.8 Hệ Một IF S A = x, µA , γA IF T S (X, τ ) compact mờ với họ G = {Gi : i ∈ J} Gi = { x, µGi , γGi : (i ∈ J)}, IF OS X thỏa mãn µA ≤ µGi , − γA ≤ i∈J (1 − γGi ) tồn i∈J họ hữu hạn {Gi : i = 1, 2, , n} G cho n n µA ≤ µGi , − γA ≤ i=1 (1 − γGi ) i=1 2.1.9 Hệ Giả sử (X, τ ), (Y, Φ) IF T S f : X−→Y ánh xạ liên tục mờ Nếu A compact mờ (X, τ ) f (A) compact mờ (Y, Φ) Chứng minh Giả sử B = {Gi : i ∈ J} Gi = x, µGi , γGi i ∈ J phủ mở mờ f (A) Khi theo Định nghĩa 3.16 Hệ 2.9 ta có A = {f −1 (Gi ) : i ∈ J} phủ mở mờ A Từ giả thiết A compact mờ nên tồn phủ hữu hạn A Gi , i = 1, 2, , n n f −1 (Gi ) Do thỏa mãn A ⊆ i=1 n f (A) ⊆ f n f −1 (Gi ) = i=1 f (f i=1 25 n −1 (G1 )) ⊆ Gi i=1 2.2 NỬA θ-COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.2.1 Định nghĩa Một tập mờ trực giác U (IF SU ) IF T S X gọi ε-lân cận IF P c(a, b), tồn IF OS U X cho c(a, b) ∈ u ≤ U Họ tất ε-lân cận IF P c(a, b) biểu thị Nε (Nεθ )(c(a, b)) 2.2.2 Định nghĩa Điểm mờ trực giác c(a, b) gọi điểm θ-cluster mờ trực giác (ký hiệu điểm IF θ-cluster) IF S U A ∈ Nεθ (c(a, b)), cl(A)qU Tập tất điểm IF θ-cluster gọi θ bao đóng mờ trực giác U Ký hiệu clθ (U ), IF SU gọi bao đóng θ mờ trực giác (ký hiệu IF θCS) Nếu U = clθ (U ) phần tử bao đóng θ mờ trực giác gọi θ mở mờ trực giác (ký hiệu IF θOS) 2.2.3 Định nghĩa Một IF S U IF T S X gọi tập nửa mở mờ trực giác (tương ứng tập mở mờ trực giác) viết tắt IF OS (tương ứng IF SOS) U ≤ cl(int(U )) (tương ứng U ≤ int(cl(U ))) 2.2.4 Định nghĩa (a) Một họ { x, µUi , γUi : in ∈ J} IF SOS (IF θOS) X thỏa mãn ∨{ x, µU (x), γU (x) : x ∈ X} = 1, gọi phủ nửa θ mở mờ trực giác (b) Một họ hữu hạn { x, µUi , γUi : i = 1, 2, , n} phủ nửa θ n mở mờ trực giác, phủ nửa θ mở mờ nghĩa { x, µUi , γUi } = i=1 gọi phủ hữu hạn { x, µUi , γUi : i ∈ J} 2.2.5 Định nghĩa Một họ { x, µUi , γUi : i ∈ J} tập mờ trực giác có tính giao θ-hữu hạn (ký hiệu θ-FIP) họ hữu hạn { x, µUi , γUi : 26 i = 1, 2, , n} họ { x, µUi , γUi : i ∈ J} có n { x, µUi , γUi : i ∈ J} = i=1 2.2.6 Định nghĩa Một IF T S (X, ϕ) gọi nửa θ compact mờ (viết tắt IF Sθ-compact) phủ nửa mở mờ trực giác X phủ hữu hạn IF θOS 2.2.7 Định lý (X, ψ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác họ U = {Ui : i ∈ J} tập nửa đóng mờ trực giác X có tính chất θ − F IP có Ui = i∈J Chứng minh Điều kiện cần Xét U = {Ui : i ∈ J} họ IF SCS X có tính chất θ − F IP Giả sử Ui = Từ Ui = i∈J i∈J tập θ-compact mờ trực giác {Ui : i ∈ J} IF SOS ta có họ hữu hạn {Ui : i = 1, 2, , n} IF θOS thỏa mãn n Ui = Khi n Ui = mâu thuẫn với θ − F IP Do Ui = i=1 i=1 Ui = i∈J Điều kiện đủ Xét U = {Ui : i ∈ J} phủ nửa mở mờ trực giác X Do {Ui : i ∈ J} họ IF SCS có tính chất θ − F IP Ui = suy Theo giả thiết ta có i∈J Ui = điều mâu thuẫn với i∈J {Ui : i ∈ J} phủ nửa mở mờ trực giác X Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.8 Định lý Một IF T S (X, ψ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác (X, ψ0,1 ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác Chứng minh Điều kiện cần Xét {[ ]Ui : i ∈ J} phủ nửa mở mờ trực giác X (X, ψ0,1 ) Khi ∨([ ]Ui ) = kéo theo ∨µUi = 1, ∧γUi = − ∨µUi = Từ giả thiết (X, ψ) không gian nửa θ-compact 27 mờ trực giác suy có họ hữu hạn {Ui : i = 1, 2, , n}, IF θOS thỏa n n Ui = Ta có mãn i=1 n (1 − µUi ) = − µUi = i=1 n µUi = Do i=1 i=1 {[ ]Ui : i ∈ J} có phủ IF θOS (X, ψ0,1 ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác Điều kiện đủ Giả sử (X, ψ0,1 ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác Xét {Ui : i ∈ J} phủ nửa mở mờ trực giác X (X, ψ) Từ ∨Ui = ta có ∨µUi = 1, ∧γUi = − ∨µUi = Theo giả thiết (X, ψ0,1 ) không gian nửa θ-compact mờ trực giác suy có họ {Ui : i = n 1, 2, , n} IF θOS thoả mãn n ([ ]Ui ) = tức i=1 = 1− γUi suy i=1 µUi = i=1 n n (1 − i=1 (1 − γui ) kéo theo i=1 Ui = tức {Ui : i ∈ J} có γUi = ta i=1 µUi = i=1 n n µUi ) = Do µUi = − γUi Suy n n i=1 phủ hữu hạn IF θOS Do (X, ψ) θ-compact mờ trực giác 28 2.3 TÍNH HAUSDORFF TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.3.1 Định nghĩa Một IF T S (X, τ ) gọi Hausdorff với x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 tồn G1 = x, µG1 γG1 , G2 = x, µG2 γG2 ∈ τ với µG1 (x1 ) = 1, γG1 (x1 ) = 0; µG2 (x2 ) = 1, γG2 (x2 ) = 0; G1 ∩ G2 = 0∼ 2.3.2 Định nghĩa (a) Cho c(α, β) IF P X thỏa mãn điều kiện α, β ∈ (0, 1) A = x, µA , γA IF S X, c(α, β) gọi chứa thực A (gọi tắt c(α, β) ∈ A) α < µA (c) β > γA (c) (b) Cho c(β) V IF P X thỏa mãn β ∈ (0, 1) A = x, µA , γA IF S X, c(β) gọi chứa thực A (gọi tắt C(β) ∈ A) µA (c) = β > γA (c) 2.3.3 Định nghĩa Cho (X, τ ) IF T S X N IF S X N gọi ε-lân cận IF P C(α, β) X tồn IF OS G X thỏa mãn C(α, β) ∈ G ⊆ N N gọi ε-lân cận V IF P c(β) X µN (c) = tồn IF OS G X thỏa mãn c(β) ∈ G ⊆ N 2.3.4 Định nghĩa Cho X tập không rỗng, P tập tất IF P V IF P X, D tập thẳng Một lưới mờ trực giác ánh xạ S :D−→P; S = (Sd )d∈D d −→ S(d) = Sd 2.3.5 Định nghĩa Cho (X, τ ) IF T S S lưới mờ trực giác X, S hội tụ đến IF P (hoặc V IF P ) P (X, τ ) 29 ε-lân cận N P tồn d0 ∈ D thỏa mãn Sd ∈ N , với d ≥ d0 2.3.6 Định nghĩa Cho X tập không rỗng F họ khác rỗng IF S = 0∼ F gọi lọc trực giác X (a) Với F1 , F2 ∈ F F1 ∩ F2 ∈ F; (b) Với F ∈ F với IF S F thỏa mãn F ⊆ F F ∈ F 2.3.7 Định nghĩa Cho (X, τ ) IF T S F lọc trực giác X, F hội tụ đến IF P p (X, τ ) ε-lân cận p thuộc F 2.3.8 Chú ý Nếu p = c(α, β) IF P IF T S (X, τ ) M IF OS X thỏa mãn µM (c) = 1, γM (c) = 0, không kéo theo M ε-lân cận p 2.3.9 Định nghĩa Một IF T S (X, τ ) gọi T2 -không gian với p, q IF P V IF P X thỏa mãn p = q tồn ε-lân cận M N tương ứng p q cho M N = 0∼ 2.3.10 Mệnh đề Cho (X, τ ) IF T S Khi đó, (X, τ ) T2 -không gian lưới mờ trực giác hội tụ (X, τ ) có giới hạn Chứng minh Nếu (Sd )d∈D hội tụ đến p q hai IF P V IF P thỏa mãn p = q, với ε-lân cận M N tương ứng p q có dµ dN cho Sd ∈ M với d ≥ dM Sd ∈ N với d ≥ dN Do đó, ta chọn d0 ≥ dM , dN , Sd ∈ M ∩ N với d ≥ d0 M ∩ N = 0∼ Ngược lại, (X, τ ) không T2 -không gian tồn hai IF P V IF P p q thỏa mãn p = q với ε-lân cận M, N tương ứng p q ta có M ∩ N = 0∼ Khi đó, IF P V IF P mà S(M,N ) ∈ M ∩ N Xét D = {(M, N )|M ε-lân cận p, N ε-lân cận q} Đưa vào quan hệ D quan hệ hàm ⊆ Khi lưới mờ trực giác S(M,N ) 30 (M,N ) ∈p hội tụ tới p q 2.3.11 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ (X, τ ) gọi Hausdorff mờ cho hai điểm mờ xr , ys với giá phân biệt, tồn µ, ϑ ∈ τ rời xr ∈ µ, ys ∈ ϑ 2.3.12 Mệnh đề Cho (X, τ ) IF T S Nếu (X, τ ) T2 -không gian, (X, τ1 ) Hausdorff mờ (trong τ1 = {µG |G ∈ τ }) Chứng minh Giả sử xr , ys hai điểm mờ với giá phân biệt < r, s < Ta có p = x(r, − r), q = y(s, − s) hai IF P phân biệt Vì (X, τ ) T2 -không gian tồn ε-lân cận M N tương ứng p q thỏa mãn M ∩ N = 0∼ Điều kéo theo r < µM (x), s < µN (y) xr ∈ µM , ys ∈ µN lân cận mờ với µM ∧ µN = ∅ 2.3.13 Mệnh đề Cho (X, τ ) IF T S Nếu (X, τ ) T2 -không gian, lưới trực giác hội tụ (X, τ ) có giới hạn Chứng minh Nếu F hội tụ đến p q hai IF P phân biệt, lưới mờ trực giác liên kết với F SF hội tụ đến p q (X, τ ) không T2 -không gian 2.3.14 Định nghĩa Một IF T S (X, τ ) gọi q − T2 IF P V IF P p q phân biệt X, tồn ε-lân cận M N tương ứng p q thỏa mãn µM ≤ µN γM ≥ γN 2.3.15 Mệnh đề Mọi T2 IF T S q-T2 Chứng minh Giả sử p, q hai IF P phân biệt không V IF P tồn ε-lân cận M, N tương ứng p q thỏa mãn M ∩ N = 0∼ , ta có µM ∧ µN = ∅, γM ∨ γN = Điều kéo theo µM ≤ µN γM ≥ γN 2.3.16 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ (X, τ ) gọi q mờ 31 Hausdorff với hai điểm mờ xr , ys với giá phân biệt, tồn µ, ϑ ∈ τ với xr ∈ µ, ys ∈ ϑ µ ≤ − ϑ 2.3.17 Mệnh đề Cho (X, τ ) IF T S Nếu (X, τ ) q-T2 (X, τ1 ) q-mờ Hausdorff Chứng minh Giả sử xr , ys hai điểm với giá phân biệt, < r, s < ta có p = x(r, − r), q = y(s, − s) hai IF P phân biệt Khi tồn ε-lân cận M N tương ứng p q thỏa mãn µM ≤ µN γM ≥ γN Điều suy xr ∈ µM , ys ∈ µN hai lân cận mờ với µM ≤ − µN 32 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập, nghiên cứu tài liệu làm việc nghiêm túc, hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, luận văn đạt kết sau Hệ thống số khái niệm tính chất không gian tôpô mờ trực giác, tính compact, tính Hausdorff, nửa θ-compact mờ trực giác, đề cập tài liệu tham khảo [3], [5] [9] Chứng minh kết mà tài liệu chưa chứng minh chưa chứng minh cụ thể, Hệ 1.2.9, Hệ 1.2.11 Ví dụ 1.3.2, Ví dụ 1.3.9, Mệnh đề 1.3.11 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Atanassov (1986), Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Stystems, 20, 87 - 96 [2] K Atanassov and S.toeva (1983), Intuitionistic fuzzy sets, In Polish Symp on Interval and Fuzzy Mathematies, 23 - 26 [3] D Coker (1997), An introduction to intuitionistic fuzzy topological spaces, Fuzzy Sets and Systems, 88, 81 - 99 [4] D Coker and M Demiric (1995), On intuitionistic fuzzy point, Notes IFS, - 2, 79 - 84 [5] C Chang, (1968) Fuzzy Topological Spaces, J Math Anal Appl., 24, 182 - 190 [6] T E Gantner, R C Strinlage and R H Warren (1978), Compactness in fuzzy topological spaces, J Math Anal Appl., 62, 621 - 633 [7] T E Gantner, R C Strinlage and R H Warren (1978), Compactness in fuzzy topological spaces, J Math Anal Appl., 62, 547 - 562 [8] I M Hanafy, A M ABD El Aziz and T M Salman (2006) Semi θ-compactness in intuitionistic fuzzy topological spaces, Proyecciones Journal of Mathematics., Vol 25, 31 - 45 [9] H Gurcay, D.Coker and A H Es (1997), On fuzzy continuity in intuitionistic fuzzy topological spaces, J Fuzzy Math., 5, 365 - 378 [10] R Lowen (1976), Fuzzy topological spaces and fuzzy compactness, J Math Anal Appl., 56, 621 - 633 [11] F G Lupianez (2003), Hausdorffness in intuitionistic fuzzy topological spaces, Mathware and Soft Computing, 10, 17 - 22 [12] L A Zadeh (1965), Fuzzy sets, Inform and Control., 8, 338 - 353 34 [...]... 1.3 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.3.1 Định nghĩa Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IF T ) trên tập X khác rỗng là một họ τ gồm các IF S trong X thỏa mãn 3 tiên đề sau (T1 ) 0∼ , 1∼ ∈ τ ; (T2 ) G1 ∩ G2 ∈ τ với mọi G1 , G2 ∈ τ ; (T3 ) ∪ Gi ∈ τ, với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt là IF T S) và mỗi IF S trong τ được gọi là một tập mở mờ. .. điểm mờ trong X, xác định bởi cα (x) = c1−β (x) = α 0 nếu x = c nếu x = c 1−β 0 nếu x = c nếu x = c c được gọi là giá của c(α, β) α, β lần lượt được gọi là giá trị và phi giá trị của c(α, β) (b) Nếu β ∈ [0, 1] là số thực không đổi thì IF S c(β) = x, 0, 1−c1−β được gọi là một điểm mờ trực giác triệt tiêu trong X, ký hiệu là V IF P 22 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.1 TÍNH... một phủ mở mờ của A nếu A ⊆ { x, µGi , γGi : i ∈ J} (b) Một họ con hữu hạn của phủ mở mờ { x, µGi , γGi : i ∈ J} của A mà cũng là một phủ mở mờ của A được gọi là một phủ con hữu hạn của { x, µGi , γGi : i ∈ J} (c) Một IF S A = x, µA , γA trong IF T S (X, τ ) được gọi là compact mờ nếu mỗi phủ mở mờ của A có một phủ con hữu hạn 2.1.8 Hệ quả Một IF S A = x, µA , γA của một IF T S (X, τ ) là compact mờ. .. có tính chất θ − F IP Ui = 0 suy ra Theo giả thiết ta có i∈J Ui = 1 do điều này mâu thuẫn với i∈J {Ui : i ∈ J} là phủ nửa mở mờ trực giác của X Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.8 Định lý Một IF T S (X, ψ) là không gian nửa θ-compact mờ trực giác khi và chỉ khi (X, ψ0,1 ) là không gian nửa θ-compact mờ trực giác Chứng minh Điều kiện cần Xét {[ ]Ui : i ∈ J} là một phủ nửa mở mờ trực giác của X trong... cũng là một phủ mở mờ của A Từ giả thiết A là compact mờ nên tồn tại một phủ con hữu hạn của A là Gi , i = 1, 2, , n n f −1 (Gi ) Do đó thỏa mãn A ⊆ i=1 n f (A) ⊆ f n f −1 (Gi ) = i=1 f (f i=1 25 n −1 (G1 )) ⊆ Gi i=1 2.2 NỬA θ-COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.2.1 Định nghĩa Một tập mờ trực giác U (IF SU ) của một IF T S X được gọi là ε-lân cận của IF P c(a, b), nếu tồn tại một IF OS... 1, 2, , n} của họ { x, µUi , γUi : i ∈ J} có n { x, µUi , γUi : i ∈ J} = 0 i=1 2.2.6 Định nghĩa Một IF T S (X, ϕ) được gọi là nửa θ compact mờ (viết tắt là IF Sθ-compact) nếu mọi phủ nửa mở mờ trực giác của X là một phủ con hữu hạn của IF θOS 2.2.7 Định lý (X, ψ) là không gian nửa θ-compact mờ trực giác khi và chỉ khi họ U = {Ui : i ∈ J} các tập nửa đóng mờ trực giác trong X có tính chất θ − F IP... (X, ψ) là một không gian nửa θ-compact 27 mờ trực giác suy ra có họ hữu hạn {Ui : i = 1, 2, , n}, các IF θOS thỏa n n Ui = 1 Ta có mãn i=1 n (1 − µUi ) = 1 − µUi = 1 và i=1 n µUi = 0 Do đó i=1 i=1 {[ ]Ui : i ∈ J} có một phủ con của IF θOS và khi đó (X, ψ0,1 ) là không gian nửa θ-compact mờ trực giác Điều kiện đủ Giả sử (X, ψ0,1 ) là không gian nửa θ-compact mờ trực giác Xét {Ui : i ∈ J} là một phủ... COMPACT MỜ TRỰC GIÁC 2.1.1 Định nghĩa Cho (X, τ ) là một IF T S (a) Họ { x, µGi , γGi : i ∈ J} các IF OS trong X được gọi là một phủ mở mờ của X nếu ∪ { x, µGi , γGi : i ∈ J} = 1∼ Một họ con hữu hạn của phủ mờ mở { x, µGi , γGi : i ∈ J} của X đồng thời là một phủ mờ mở của X được gọi là một phủ con hữu hạn của { x, µGi , γGi : i ∈ J} (b) Họ { x, µKi , γKi : i ∈ J} các IF CS trong X được gọi là có tính chất. .. θCS) Nếu U = clθ (U ) thì mỗi phần tử của bao đóng θ mờ trực giác được gọi là θ mở mờ trực giác (ký hiệu IF θOS) 2.2.3 Định nghĩa Một IF S U của một IF T S X được gọi là tập nửa mở mờ trực giác (tương ứng tập mở mờ trực giác) viết tắt là IF OS (tương ứng IF SOS) nếu U ≤ cl(int(U )) (tương ứng U ≤ int(cl(U ))) 2.2.4 Định nghĩa (a) Một họ { x, µUi , γUi : in ∈ J} của IF SOS (IF θOS) trong X thỏa mãn ∨{... x, µU (x), γU (x) : x ∈ X} = 1, được gọi là một phủ nửa θ mở mờ trực giác (b) Một họ con hữu hạn { x, µUi , γUi : i = 1, 2, , n} của một phủ nửa θ n mở mờ trực giác, cũng là một phủ nửa θ mở mờ nghĩa là { x, µUi , γUi } = 1 i=1 được gọi là phủ con hữu hạn của { x, µUi , γUi : i ∈ J} 2.2.5 Định nghĩa Một họ { x, µUi , γUi : i ∈ J} các tập mờ trực giác có tính giao θ-hữu hạn (ký hiệu θ-FIP) nếu mọi ... tôpô mờ trực giác 1.1 Một số khái niệm Trình bày số kiến thức tính chất không gian tôpô, tập mờ, không gian tôpô mờ 1.2 Tập mờ trực giác Trình bày khái niệm, tính chất tập mờ trực giác, liệt kê số. .. tục mờ Đồng thời chứng minh số tính chất, ví dụ liên quan Chương Một số tính chất không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, trình bày khái niệm số tính chất không gian tôpô mờ trực giác. .. niệm tính chất không gian tôpô mờ trực giác Với mục đích vậy, luận văn trình bày thành chương Chương Không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tính chất không gian tôpô