Một số vài ứng dụng của các tập mờ trực giác g đóng trong không gian tôpô mờ trực giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g -ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH-2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g -ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS TRẦN VĂN ÂN VINH-2007 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương Tập mờ trực giác không gian tôpô mờ trực giác 1.1 Tập mờ trực giác 1.2 Không gian tôpô mờ trực giác Chương Một vài ứng dụng IFS g-đóng không gian tôpô mờ trực giác 13 2.1 Các không gian tách 13 2.2 Không gian IFg-Chính qui 20 2.3 Không gian IFg-chuẩn tắc 25 2.4 Một vài định lí bảo tồn 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1965 L A Zadeh đưa khái niệm tập mờ (fuzzy set), đến năm 1968 C L Chang xây dựng khái niệm không gian tôpô mờ Sau có nhiều học giả nghiên cứu mở rộng khái niệm Năm 1983 khái niệm tập mờ trực giác (intuitionistic fuzzy set) K Atanassov công bố mở rộng khái niệm tập mờ Từ nhiều khái niệm toán học mờ khác định nghĩa nghiên cứu dựa tập mờ trực giác Vào năm 1997 D Coker [2] giới thiệu khái niệm không gian tôpô mờ trực giác Việc nghiên cứu tính chất tôpô loại không gian nhà toán học giới quan tâm nhiều năm gần Nhiều kết đạt tổng quát kết tôpô đại cương Năm 1970, khái niệm tập đóng suy rộng không gian tôpô (generalized closed sets in topology) N Levine giới thiệu nhằm mở rộng khái niệm tập đóng tôpô Trong báo Some applications of generalized closed sets in fuzzy topological spaces, M E El-Shafei [3] ứng dụng khái niêm tập đóng suy rộng trường hợp không gian tôpô mờ để xây dựng nên khái niệm không gian F T - mở rộng tương tự khái quát cho không gian T đề xuất W Dunham Trong báo tác giả xây dựng có hệ thống không gian tách F T1 , F T2 , F T3 , mối quan hệ chúng Với suy nghĩ mở rộng kết M E El-Shafei trường hợp không gian tôpô mờ trực giác, chọn đề tài Mục đích luận văn hệ thống lại khái niệm tập mờ trực giác, không gian tôpô mờ trực giác tính chất chúng; nghiên cứu ứng dụng tập mờ trực giác đóng suy rộng việc xây dựng không gian tôpô mờ trực giác "tách" liên hệ chúng Với mục đích luận văn chia làm hai chương Chương Tập mờ trực giác không gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác tính chất chúng giới thiệu [2] Chương Một vài ứng dụng tập IFS g-đóng không gian tô pô mờ trực giác Trong chương định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng Đây khái niệm để xây dựng nên khái niệm không gian tôpô mờ trực giác "tách" IF T1 , IF T2 , IF T3 , IF T4 Chúng đưa khái niệm tập mờ trực giác đóng suy rộng, mở suy rộng Từ xây dựng không gian tôpô mờ trực giác IF T , không gian IF G-chính qui, IF G-chuẩn tắc Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt trình công tác học tập trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Toán, trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt Cao học 13 Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả CHƯƠNG TẬP MỜ TRỰC GIÁC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.1 TẬP MỜ TRỰC GIÁC Lí thuyết tập mờ (fuzzy set) mở rộng lí thuyết tập hợp cổ điển Theo lí thuyết tập hợp Cantor mối quan hệ thành viên phần tử tập hợp đánh giá theo điều kiện rõ ràng-một phần tử thuộc không thuộc tập hợp Mối quan hệ mô tả hàm đặc trưng χA χA (x) = x ∈ A x ∈ / A Ngược lại, lí thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ quan hệ thành viên phần tử tập hợp Quan hệ đặc trưng hàm liên thuộc (membership function) µ nhận giá trị đoạn [0; 1] Một tập mờ A tập cổ điển X đồng với hàm liên thuộc µA : X → [0; 1], x → µA (x) Từ lí thuyết tập mờ K Atanassov phát triển lên lí thuyết tập mờ trực giác Trong lí thuyết tập mờ trực giác, mối quan hệ thành viên phần tử tập hợp đặc trưng hai hàm số nhận giá trị đoạn [0; 1] - hàm liên thuộc µ lượng giá mức độ có mặt phần tử tập hợp hàm không liên thuộc (nonmembership function) γ lượng giá mức độ mặt phần tử tập hợp 1.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho X tập cố định khác rỗng Một tập mờ trực giác A (viết tắt IFS A) tập hình thức: A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, (1.1) hàm µA : X −→ I = [0, 1] γA : X −→ I = [0, 1] hàm mức độ có mặt mức độ mặt phần tử x ∈ X tập A ≤ µA (x) + γA (x) ≤ 1.1.2 Nhận xét ([2]) Một tập mờ trực giác A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} X đồng với cặp thứ tự (µA , γA ) I X × I X hay phần tử (I × I)X Để đơn giản, dùng kí hiệu A = x, µA , γA thay cho IFS A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} 1.1.3 Ví dụ ([2]) Mỗi tập mờ µA tập X khác rỗng rõ ràng IFS có dạng A = { x, µA (x), − µA (x) : x ∈ X} Sau số định nghĩa quan hệ phép toán IFS: 1.1.4 Định nghĩa ([2]) Cho X tập khác rỗng A, B IFS có dạng A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X}, B = { x, µB (x), γB (x) : x ∈ X} Khi đó: a) A ⊆ B µA (x) ≤ µB (x) γA (x) ≥ γB (x), ∀x ∈ X b) A = B A ⊆ B B ⊆ A c) Ac = { x, γA (x), µA (x) : x ∈ X} d) A ∩ B = { x, µA (x) ∧ µB (x), γA (x) ∨ γB (x) : x ∈ X} e) A ∪ B = { x, µA (x) ∨ µB (x), γA (x) ∧ γB (x) : x ∈ X} f) 0∼ = { x, 0, : x ∈ X} ; 1∼ = { x, 1, : x ∈ X} g) [ ]A = { x, µA (x), − µA (x) : x ∈ X} h) A = { x, − γA (x), γA (x) : x ∈ X} Chú ý phép toán ∧ ∨ hiểu sau: µA (x)∧µB (x) = min{µA (x), µB (x)} , γA (x)∨γB (x) = max{γA (x), γB (x)}, Ac gọi phần bù A Chúng ta mở rộng phép toán giao hợp Định nghĩa 1.1.4 họ tuỳ ý IFS sau: 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Cho {Ai : i ∈ J} họ tuỳ ý IFS X Khi đó: Ai = { x, a) i∈J Ai = { x, b) i∈J γAi (x) : x ∈ X}; µAi (x), i∈J i∈J γAi (x) : x ∈ X}, µAi (x), i∈J i∈J µAi (x) = inf{µAi (x) : i ∈ J} i∈J µAi (x) = sup{µAi (x) : i ∈ J} i∈J Dưới số tính chất bao hàm thức phần bù: 1.1.6 Hệ ([2]) Cho A, B, C IFS X Khi đó: a) Nếu A ⊆ B C ⊆ D A ∪ C ⊆ B ∪ D A ∩ C ⊆ B ∩ D; b) Nếu A ⊆ B A ⊆ C A ⊆ B ∩ C; c) Nếu A ⊆ C B ⊆ C A ∪ B ⊆ C; d) Nếu A ⊆ B B ⊆ C A ⊆ C; e) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ; f) Nếu A ⊆ B B c ⊆ Ac ; g) (Ac )c = A; h) 1c∼ = 0∼ , 0c∼ = 1∼ 1.1.7 Định nghĩa ([4]) Giả sử X tập khác rỗng c ∈ X phần tử cố định X Nếu α, β ∈ [0, 1] hai số thực cố định cho α + β ≤ 1, IFS c(α, β) = x, cα , − c1−β (1.2) gọi điểm mờ trực giác (IFP) X, cα c1−β điểm mờ X, xác định bởi: α x = c − β x = c ; c1−β (x) = x = c x = c c gọi giá c(α,β) , α, β gọi giá trị phi giá cα (x) = trị c(α,β) 1.1.8 Định nghĩa ([4]) Một điểm mờ cα gọi thuộc vào tập mờ µ kí hiệu cα ∈ µ, α ≤ µ(c) 1.1.9 Định nghĩa ([4]) Một IFP c(α,β) gọi thuộc vào IFS A = x, µA , γA X kí hiệu c(α,β) ∈ A, α ≤ µA (c) β ≥ γA (c) 1.1.10 Định lý ([4]) Giả sử A = x, µA , γA IFS X Khi c(α,β) ∈ A cα ∈ µA c1−β ∈ − γA 1.1.11 Định lý ([4]) Giả sử A = x, µA , γA B = x, µB , γB IFS X Khi A ⊆ B c(α,β) ∈ A kéo theo c(α,β) ∈ B với IFP c(α,β) X 1.1.12 Định lý ([4]) Giả sử A = x, µA , γA IFS X Khi A= {c(α,β) c(α,β) ∈ A} (1.3) 1.1.13 Định nghĩa ([2]) Cho X Y hai tập khác rỗng f : X → Y ánh xạ A = { x, µA (x), γA (x) : x ∈ X} IFS X B = { y, µB (y), γB (y) : y ∈ Y } IFS Y a) Tạo ảnh f −1 (B) B ánh xạ f IFS X xác định bởi: f −1 (B) = { x, µf −1 (B) (x), γf −1 (B) (x) : x ∈ X}, (1.4) µf −1 (B) (x) = µB (f (x)) γf −1 (B) (x) = γB (f (x)) b) Ảnh f (A) A qua ánh xạ f IFS Y xác định f (A) = { y, µf (A) (y), γf (A) (y) : y ∈ Y }, (1.5) đó: µf (A) (y) = sup µA (x), f −1 (y) = ∅ x∈f −1 (y) 0, ngược lại, (1.6) inf γf (A) (y) = x∈f −1 (y) γA (x), f −1 (y) = ∅ 1, (1.7) ngược lại 1.1.14 Định lý ([2]) Giả sử A Ai (i ∈ J) IFS X, B Bi (i ∈ J) IFS Y , f : X → Y ánh xạ Khi đó: a) Nếu A1 ⊆ A2 f (A1 ) ⊆ f (A2 ), b) Nếu B1 ⊆ B2 f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ), c) A ⊆ f −1 (f (A)), (nếu f đơn ánh A = f −1 (f (A))), d) f (f −1 (B) ⊆ B, (nếu f ánh xạ lên f (f −1 (B)) = B), e) f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ), f) f ( Ai ) = f (Ai ), g) f ( Ai ) ⊆ f (Ai ), f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ), (nếu f đơn ánh f ( Ai ) = h) f −1 (1∼ ) = 1∼ , f −1 (0∼ ) = 0∼ , i) f (0∼ ) = 0∼ , j) Nếu f ánh xạ lên f (1∼ ) = 1∼ , k) f −1 (B)c = f −1 (B c ), l) Nếu f ánh xạ lên f (A)c ⊆ f (Ac ), m) Nếu f đơn ánh f (Ac ) ⊆ f (A)c f (Ai )), 18 Điều kiện đủ Giả sử với hai IFP x(α,β) y(r,s) X mà x(α,β) q y(r,s) tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V x(α,β) q V , y(r,s) q U Ta cần chứng minh X IF T1 -không gian Thật vậy, xét x(α,β) IFP X Ta chứng minh x(α,β) IFCS hay (x(α,β) )c IFOS Lấy IFP y(r,s) ∈ (x(α,β) )c Suy y(r,s) q x(α,β) Theo giả thiết điều kiện đủ tồn IFOS Uyrs Vxαβ cho y(r,s) ∈ Uyrs , x(α,β) ∈ Vxαβ y(r,s) q Vxαβ , x(α,β) q Uyrs Từ x(α,β) q Uyrs suy Uyrs ⊆ (x(α,β) )c Ta có (x(α,β) )c ⊆ Do (x(α,β) )c = = {y(r,s) y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } {Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } ⊆ (x(α,β) )c {Uyrs y(r,s) ∈ (x(α,β) )c } IFOS Vậy X IF T1 - không gian Từ định nghĩa IF T2 -không gian định lí 2.1.12 ta suy hệ sau: 2.1.13 Hệ Nếu X IF T2 -không gian X IF T1 -không gian 2.1.14 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF R2 -không gian với IFP x(α,β) X với IFOS U chứa x(α,β) tồn IFOS V chứa x(α,β) cho cl(V ) ⊆ U Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) IF R2 -không gian, x(α,β) IFP X U IFOS X thoả mãn x(α,β) ∈ U Ta cần chứng minh tồn IFOS V cho x(α,β) ∈ V cl(V ) ⊆ U Thật vậy, x(α,β) ∈ U suy x(α,β) q U c Vì X IF R2 U c IFCS nên tồn IFOS V W cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W V q W Từ V q W theo bổ đề 2.1.4 suy cl(V ) q W Suy cl(V ) ⊆ W c Mà từ U c ⊆ W suy W c ⊆ U Do cl(V ) ⊆ U Điều kiên đủ Giả sử với IFP x(α,β) X với IFOS U chứa x(α,β) tồn IFOS V chứa x(α,β) cho cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh X IF R2 Giả sử IFP x(α,β) IFCS F X cho x(α,β) q F 19 Đặt U = F c U IFOS Từ x(α,β) q F suy x(α,β) ∈ F c = U Theo giả thiết điều kiện đủ tồn IFOS V cho x(α,β) ∈ V cl(V ) ⊆ U Đặt W = cl(V )c W IFOS Từ cl(V ) ⊆ U suy U c ⊆ cl(V )c hay F ⊆ W Từ W = cl(V )c suy W q cl(V ) kéo theo W q V Như với IFP x(α,β) IFCS F X cho x(α,β) q F tồn IFOS V W X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W W q V Do X IF R2 2.1.15 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF R3 -không gian với IFCS F IFOS U thoả mãn F ⊆ U tồn IFOS V cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) IF R3 -không gian, F IFCS U IFOS X cho F ⊆ U Khi F q U c IFCS Vì X IF GR3 nên tồn IFOS V W cho F ⊆ V , U c ⊆ W V q W Từ U c ⊆ W suy W c ⊆ U Từ V q W suy cl(V ) q W kéo theo cl(V ) ⊆ W c Từ suy F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U Điều kiện đủ Giả sử với IFCS F IFOS U thoả mãn F ⊆ U tồn IFOS V cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh X IF GR3 -không gian Giả sử F1 F2 hai IFCS thoả mãn F1 q F2 Suy F1 ⊆ F2c với F2c IFOS Theo giả thiết điều kiện đủ tồn IFOS V cho F1 ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ F2c Đặt U = cl(V )c U IFOS Từ cl(V ) ⊆ F2c suy F2 ⊆ cl(V )c = U Từ V ⊆ cl(V ) suy V q cl(V )c hay V q U Như tồn IFOS U V thoả mãn F1 ⊆ V , F2 ⊆ U V q U Vậy X IF R3 -không gian 20 2.2 KHÔNG GIAN IFG-CHÍNH QUI 2.2.1 Định nghĩa IFTS (X, τ ) gọi IF g-chính qui (hay IF GR2 ) với IFS g-đóng F IFP x(α,β) mà x(α,β) q F , tồn IFOS U V cho F ⊆ U, x(α,β) ∈ V U q V Rõ ràng, IF GR2 IF R2 Ví dụ sau điều ngược lại nói chung không 2.2.2 Ví dụ Xét tập X = {a; b} τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B}, A= x, a b b a , , , 0, 0, 0, 0, , B= x, b b a a , , , 0, 0, 0, 0, Dễ dàng nhận thấy A ∩ B = A, A ∪ B = B A = B c Do (X, τ ) IFTS tập tất IFCS (X, τ ) τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B} Ta chứng minh (X, τ ) IF R2 Thật vậy, giả sử x(α,β) IFP X F IFCS X thoả mãn x(α,β) q F Đặt U = F c V = F U , V IFOS thoả mãn x(α,β) ∈ U , F ⊆ V , U q V Vậy (X, τ ) IF R2 -không gian Tuy nhiên (X, τ ) không IF GR2 -không gian Thật vậy, xét IFP a b a b a(0,6;0,4) IFS F = x, , , , = x, µF , γF Khi 0, 0, 0, 0, 1∼ IFOS thoả mãn F ⊆ 1∼ nên cl(F ) ⊆ 1∼ Suy F IFS g-đóng Vì 0, ≤ γF (a) 0, ≥ µF (a) nên a(0,6;0,4) ∈ F c hay a(0,6;0,4) q F Xét tất IFOS U , V ∈ τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B} thoả mãn a(0,6;0,4) ∈ U ,F ⊆ V V = 1∼ Do tất trường hợp ta có U q V Vì (X, τ ) không IF GR2 -không gian 2.2.3 Định lý Một FTS (X, τ ) IF GR2 IF R2 IF T Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) IF GR2 Ta cần chứng minh (X, τ ) IF R2 IF T Thật vậy: giả sử IFP x(α,β) IFCS F X thoả mãn x(α,β) q F Vì F IFCS nên F g-đóng Do X IF GR2 nên tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V U q V Suy (X, τ ) IF R2 21 Để chứng minh (X, τ ) IF T , ta chứng minh IFS g-đóng X IFCS Giả sử A = x, µA , γA IFS g-đóng X Ta cần chứng minh A IFCS tương đương với chứng minh Ac ⊆ cl(A)c Xét IFP x(α,β) ∈ Ac Khi x(α,β) q A Do X IF GR2 nên tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U , A ⊆ V U q V Theo bổ đề 2.1.4 suy U q cl(V ) kéo theo x(α,β) q cl(V ) Suy x(α,β) ∈ cl(V )c ⊆ cl(A)c Do Ac ⊆ cl(A)c Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) IF R2 IF T Ta cần chứng minh (X, τ ) IF GR2 Thật vậy, giả sử x(α,β) IFP X F IFS g-đóng X thoả mãn x(α,β) q F Vì X IF T suy F IFCS Lại X IF R2 nên tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V U q V Do (X, τ ) IF GR2 2.2.4 Định lý Giả sử (X, τ ) IFTS Khi khẳng định sau tương đương i) (X, τ ) IF GR2 -không gian; ii) Với IFP x(α,β) X với IFS g-mở U chứa x(α,β) tồn IFOS V chứa x(α,β) cho cl(V ) ⊆ U Chứng minh i)⇒ ii) Giả sử (X, τ ) IF GR2 -không gian, x(α,β) IFP X U IFS g-mở X thoả mãn x(α,β) ∈ U Ta cần chứng minh tồn IFOS V cho x(α,β) ∈ V cl(V ) ⊆ U Thật vậy, x(α,β) ∈ U suy x(α,β) q U c Vì X IF GR2 U c IFS g-đóng nên tồn IFOS V W cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W V q W Từ V q W theo bổ đề 2.1.4 suy cl(V ) q W Suy cl(V ) ⊆ W c Từ U c ⊆ W suy W c ⊆ U Do cl(V ) ⊆ U ii)⇒ i) Giả sử có ii), ta cần chứng minh X IF GR2 Xét IFP x(α,β) IFS g-đóng F X cho x(α,β) q F Đặt U = F c U IFS g-mở Từ x(α,β) q F kéo theo x(α,β) ∈ F c = U Theo giả thiết ii) tồn IFOS V cho x(α,β) ∈ V cl(V ) ⊆ U Đặt W = cl(V )c W IFOS Từ cl(V ) ⊆ U suy U c ⊆ cl(V )c hay F ⊆ W Từ W = cl(V )c suy W q cl(V ) kéo theo W q V 22 Như với IFP x(α,β) IFS g-đóng F X cho x(α,β) q F tồn IFOS V W X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W W q V Do X IF GR2 2.2.5 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF GR2 với IFS g-đóng F X với IFP x(α,β) với x(α,β) q F , tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V cl(U ) q cl(V ) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử F IFS g-đóng X x(α,β) q F Vì X IF GR2 nên tồn IFOS W V X cho x(α,β) ∈ W, F ⊆ V W q V Theo bổ đề 2.1.4 ta có W q cl(V ) kéo theo x(α,β) q cl(V ) Mặt khác, từ X IF GR2 x(α,β) q cl(V ) suy tồn IFOS G H X cho x(α,β) ∈ G, cl(V ) ⊆ H G q H Từ đặt U = W ∩ G U V IFOS X thỏa mãn x(α,β) ∈ U, F ⊆ V cl(U ) q cl(V ) Điều kiện đủ Hiển nhiên 2.2.6 Định nghĩa Một IFTS (X, τ ) gọi IF -đối xứng (IF symmetric) từ x(α,β) q cl(y(r,s) ) kéo theo y(r,s) q cl(x(α,β) ) với IFP x(α,β) , y(r,s) X 2.2.7 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF -đối xứng từ x(α,β) q F kéo theo cl(x(α,β) ) q F với IFCS F X Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) IF -đối xứng, x(α,β) IFP F IFCS X thoả mãn x(α,β) q F Ta cần chứng minh cl(x(α,β) ) q F Thật vậy, xét IFP y(r,s) ∈ F Vì F IFCS nên cl(y(r,s) ) ⊆ F Điều kéo theo x(α,β) q cl(y(r,s) ) Vì X IF -đối xứng nên y(r,s) q cl(x(α,β) ) Suy y(r,s) ∈ cl(x(α,β) )c IFOS Vì y(r,s) lấy nên F ⊆ cl(x(α,β) )c Do cl(x(α,β) ) q F Điều kiện đủ Giả sử với IFP x(α,β) IFCS F X mà x(α,β) q F ta có cl(x(α,β) ) q F Xét hai IFP x(α,β) y(r,s) X thoả mãn x(α,β) q cl(y(r,s) ) Đặt F = cl(y(r,s) ) Khi F IFCS Theo giả thiết 23 điều kiện đủ suy cl(x(α,β) ) q F Mà y(r,s) ∈ F nên cl(x(α,β) ) q y(r,s) Do X IF -đối xứng 2.2.8 Hệ Một IFTS (X, τ ) IF -đối xứng x(α,β) g-đóng với IFP x(α,β) X Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X IF -đối xứng, x(α,β) IFP X Ta cần chứng minh x(α,β) IFS g-đóng Xét V IFOS X cho x(α,β) ∈ V , suy x(α,β) q V c V c IFCS Theo định lí 2.2.7 ta có cl(x(α,β) ) q V c Kéo theo cl(x(α,β) ) ⊆ V Do x(α,β) IFS g-đóng Điều kiện đủ Giả sử với IFP x(α,β) X x(α,β) IFS g-đóng Ta cần chứng minh X IF -đối xứng Thật vậy, xét x(α,β) y(r,s) hai IFP X thoả mãn x(α,β) q cl(y(r,s) ) Suy x(α,β) ∈ cl(y(r,s) )c cl(y(r,s) )c IFOS Vì x(α,β) IFS g-đóng nên cl(x(α,β) ) ⊆ cl(y(r,s) )c Suy cl(x(α,β) ) q cl(y(r,s) ) Từ ta có cl(x(α,β) ) q y(r,s) Do X IF -đối xứng 2.2.9 Nhận xét Hiển nhiên IF T1 -không gian không gian IF -đối xứng Ví dụ sau điều ngược lại nói chung không Ví dụ Xét X = {a} τ = {0∼ ; 1∼ ; a(0,5;0,5) } Khi (X, τ ) IFTS tập tất IFCS τ Ta chứng minh (X, τ ) IF -đối xứng Thật vậy, giả sử a(α;β) IFP X U IFOS X thoả mãn a(α;β) ∈ U Vì U IFCS a(α;β) ∈ U nên cl(a(α;β) ) ⊆ U Do a(α;β) IFS g-đóng Nhờ Hệ 2.2.8 suy (X, τ ) IF -đối xứng Tuy nhiên (X, τ ) không IF T1 Thật vậy, xét IFP a(0,4;0,6) a(0,4;0,6) không IFCS Do (X, τ ) không IF T1 -không gian 2.2.10 Định nghĩa Một IF GR2 IF -đối xứng gọi IF G3 không gian 2.2.11 Định lý Nếu IFTS (X, τ ) IF G3 -không gian, IF T2 -không gian 24 Chứng minh Xét hai IFP x(α,β) y(r,s) X mà x(α,β) q y(r,s) Do X IF -đối xứng nên theo hệ 2.2.8 x(α,β) IFS g-đóng Mặt khác X IF GR2 nên theo định lí 2.2.5, tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V cl(U ) q cl(V ) Do X IF T2 -không gian Vì không gian IF T2 không gian IF T2 , nên từ Định lí 2.2.11 ta có hệ sau 2.2.12 Hệ Nếu IFTS (X, τ ) IF G3 -không gian, IF T2 không gian 2.2.13 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF G3 IF T3 Chứng minh Giả sử X IF G3 -không gian Khi X IF GR2 không gian IF -đối xứng Mỗi IF GR2 -không gian IF R2 IF G3 -không gian IF T2 IF T1 Do X IF R2 IF T1 Suy X F T3 Ngược lại, giả sử X IF T3 -không gian Suy X IF R2 IF T1 Do IF T IF -đối xứng Từ X IF R2 IF T kéo theo X 2 IF GR2 Kết hợp với X IF -đối xứng suy X IF G3 25 2.3 KHÔNG GIAN IFG-CHUẨN TẮC 2.3.1 Định nghĩa Một IFTS (X, τ ) gọi IF g-chuẩn tắc (hay IF GR3 ) với IFS g-đóng F1 F2 mà F1 q F2 , tồn IFOS U V cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V U q V 2.3.2 Nhận xét Mỗi IF GR3 -không gian IF R3 2.3.3 Định lý Nếu IFTS (X, τ ) IF R3 IF T IF GR3 không gian Chứng minh Giả sử F1 F2 IFS g-đóng X thoả mãn F1 q F2 Vì X IF T suy F1 F2 IFCS Lại X IF R2 nên tồn IFOS U V cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V U q V Do (X, τ ) IF GR3 2.3.4 Định lý Giả sử (X, τ ) IFTS Khi khẳng định sau tương đương: i) (X, τ ) IF GR3 -không gian; ii) Với IFS g-đóng F IFS g-mở U chứa F , tồn IFOS V cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử (X, τ ) IF GR3 -không gian, F IFS g-đóng U IFS g-mở X cho F ⊆ U Khi F q U c U c IFS g-đóng Vì X IF GR3 nên tồn IFOS V W cho F ⊆ V , U c ⊆ W V q W Từ U c ⊆ W suy W c ⊆ U Từ V q W W IFOS suy cl(V ) q W kéo theo cl(V ) ⊆ W c Từ suy F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U ii) ⇒ i) Giả sử có ii) ta cần chứng minh X IF GR3 -không gian Xét hai IFS g-đóng F1 F2 thoả mãn F1 q F2 Suy F1 ⊆ F2c F2c IFS g-mở Theo giả thiết ii) tồn IFOS V cho F1 ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ F2c Đặt U = cl(V )c U IFOS Từ cl(V ) ⊆ F2c suy F2 ⊆ cl(V )c = U Vì V ⊆ cl(V ) suy V q cl(V )c hay V q U Như tồn IFOS U V thoả mãn F1 ⊆ V , F2 ⊆ U V q U Vậy X IF GR3 -không gian 26 2.3.5 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF GR3 với cặp IFS g-đóng F1 F2 mà F1 q F2 , tồn IFOS U V cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V cl(U ) q cl(V ) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) IF GR3 -không gian F1 F2 IFS g-đóng X với F1 q F2 Khi tồn IFOS W V X cho F1 ⊆ W, F2 ⊆ V W q V Từ W q V suy W q cl(V ), kéo theo F1 q cl(V ) Từ X IF GR3 nên tồn IFOS G H X cho F1 ⊆ G, cl(V ) ⊆ H G q H Suy cl(G) q H Đặt U = W ∩ G, U IFOS, F1 ⊆ U Từ G q H suy cl(G) q H, mà cl(V ) ⊆ H suy cl(G) q cl(V ) Do U ⊆ G suy cl(U ) ⊆ cl(G) Từ ta có cl(U ) q cl(V ) Điều kiện đủ Là hiển nhiên từ cl(U ) q cl(V ) suy U q V 2.3.6 Định nghĩa Một IF GR3 -không gian IF -đối xứng gọi IF G4 -không gian 2.3.7 Định lý Mỗi IF G4 -không gian IF G3 -không gian Chứng minh Giả sử (X, τ ) IF G4 -không gian Khi X IF GR3 IF -đối xứng Xét IFS g-đóng F IFP x(α,β) thoả mãn x(α,β) q F Vì X IF -đối xứng nên x(α,β) IFS g-đóng Từ X IF GR3 nên tồn IFOS U V cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V U q V Suy X IF GR2 Kết hợp với X IF -đối xứng ta có X IF G3 -không gian 2.3.8 Định lý Một IFTS (X, τ ) IF G4 IF T4 Chứng minh Giả sử (X, τ ) IF G4 -không gian Khi X IF GR3 IF -đối xứng Từ X IF GR3 suy X IF R3 Vì X IF G4 , theo định lí 2.3.7 X IF G3 Từ theo hệ 2.2.12 X IF T2 X IF T1 Do X IF R3 X IF T1 suy X IF T4 Ngược lại, giả sử X IF T4 -không gian Khi X IF R3 IF T1 Từ X IF T1 suy X IF -đối xứng IF T -không gian Do X IF T3 IF T kéo theo X IF GR3 Vì X IF GR3 IF -đối xứng suy X IF G4 27 2.4 MỘT VÀI ĐỊNH LÍ BẢO TỒN Sau đây, đưa vài định lí bảo tồn không gian IF GR2 IF GR3 Đầu tiên cần định nghĩa 2.4.1 Định nghĩa Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) ánh xạ từ IFTS (X, τ ) vào IFTS (Y, ∆) Khi 1) f gọi IF g-liên tục nghịch ảnh IFCS Y IFS g-đóng X 2) f gọi IF gc-không giải (irresolute) nghịch ảnh IFS g-đóng Y IFS g-đóng X 3) f gọi IF g-đóng f (F ) IFS g-đóng Y với F IFCS X 4) f gọi IF -hầu mở (IF -almost open) f (U ) IFOS Y với U IFS mở qui 5) f gọi IF -hầu đóng (IF -almost closed) f (F ) IFCS Y với F IFS đóng qui Rõ ràng ánh xạ IF -mở (IF -đóng) ánh xạ IF -hầu mở (IF hầu đóng) 2.4.2 Bổ đề Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) song ánh IF -mở IF gliên tục, f IF gc-không giải Chứng minh Giả sử F IFS g-đóng (Y, ∆) Ta chứng minh f −1 (F ) IFS g-đóng (X, τ ) Thật vậy, giả sử U IFOS X f −1 (F ) ⊆ U Khi f (f −1 (F )) ⊆ f (U ) Do f ánh xạ lên nên F = f (f −1 (F )) Suy F ⊆ f (U ) Vì f IF -mở nên f (U ) IFOS Y Vì F IFS g-đóng nên cl(F ) ⊆ f (U ) Vì f song ánh suy f −1 (cl(F )) ⊆ f −1 (f (U )) = U Do f IF g-liên tục nên f −1 (cl(F )) IFS g-đóng X Suy cl(f −1 (cl(F ))) ⊆ U 28 Mặt khác F ⊆ cl(F ) nên f −1 (F ) ⊆ f −1 (cl(F )) Suy cl(f −1 (F )) ⊆ cl(f −1 (cl(F ))) Điều kéo theo cl(f −1 (F )) ⊆ U Như với IFOS U mà f −1 (F ) ⊆ U cl(f −1 (F )) ⊆ U Suy f −1 (F ) IFS g-đóng Y Vậy f IF gc-không giải 2.4.3 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) song ánh IF -mở, IF gliên tục X IF GR2 , Y IF GR2 Chứng minh Xét IFP y(r,s) IFS g-đóng F Y thoả mãn y(r,s) q F Vì f song ánh nên tồn x ∈ X cho f (x) = y Ta có IFP x(r,s) X f (x(r,s) ) = y(r,s) Từ y(r,s) q F suy y(r,s) ∈ F c Kéo theo f (x(r,s) ) ∈ F c Từ x(r,s) = f −1 (f (x(r,s) )) ⊆ f −1 (F c ) = (f −1 (F ))c hay x(r,s) q f −1 (F ) Theo bổ đề 2.4.2 f IF gc-không giải nên f −1 (F ) IFS g-đóng X Vì X IF GR2 nên tồn IFOS U V X cho x(r,s) ∈ U , f −1 (F ) ⊆ V U q V Do f IF -mở song ánh suy f (U ) f (V ) IFOS Y y(r,s) = f (x(r,s) ) ∈ f (U ), F = f (f −1 (F )) ⊆ f (V ) Từ U q V kéo theo U ⊆ V c Vì f song ánh suy f (U ) ⊆ f (V c ) = (f (V ))c Do f (U ) q f (V ) Vậy Y IF GR2 -không gian 2.4.4 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) đơn ánh IF -liên tục, IF g-đóng Y IF GR2 , X IF GR2 Chứng minh Xét x(α,β) F IFP IFS g-đóng X thoả mãn x(α,β) q F Trước hết ta chứng minh f (F ) IFS g-đóng Y Thật vậy, giả sử f (F ) ⊆ G với G IFOS Y Vì f IF -liên tục nên f −1 (G) IFOS X Vì F ⊆ f −1 (f (F )) ⊆ f −1 (G) F IFS g-đóng X nên cl(F ) ⊆ f −1 (G) Suy f (cl(F )) ⊆ f (f −1 (G)) ⊆ G Từ f IF g-đóng suy f (cl(F )) IFS g-đóng Y Suy cl(f (cl(F ))) ⊆ G Từ ta có cl(f (F )) ⊆ cl(f (cl(F ))) ⊆ G Do f (F ) IFS g-đóng Y Vì x(α,β) q F , nên x(α,β) ⊆ F c , suy f (x(α,β) ) ⊆ f (F c ) Lại f đơn ánh nên f (F c ) ⊆ f (F )c Do f (x(α,β) ) ⊆ f (F )c , suy f (x(α,β) ) q f (F ) Vì Y IF GR2 nên tồn IFOS U V Y cho f (x(α,β) ) ∈ U , 29 f (F ) ⊆ V U q V Từ ta thu x(α,β) ∈ f −1 (U ), F ⊆ f −1 (V ) f −1 (U ) q f −1 (V ) Vì f IF -liên tục nên f −1 (U ), f −1 (V ) IFOS X Vậy X IF GR2 -không gian 2.4.5 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) ánh xạ lên IF -hầu mở, IF gc-không giải được, IF -hầu đóng X IF GR2 -không gian, Y IF GR2 Chứng minh Xét y(r,s) IFP Y V IFS g-mở Y cho y(r,s) ∈ V Vì f ánh xạ lên nên tồn IFP x(α,β) X cho x(α,β) ∈ f −1 (y(r,s) ) Suy x(α,β) ∈ f −1 (V ) Vì f IF gc-không giải nên f −1 (V ) IFS g-mở X Vì X IF GR2 nên theo định lí 2.2.4 tồn IFOS U X cho x(α,β) ∈ U ⊆ cl(V ) ⊆ f −1 (V ) Khi đó, y(r,s) ∈ f (U ) Do U IFOS nên U = int(U ) ⊆ int(cl(U )) Suy y(r,s) ∈ f (U ) ⊆ f (int(cl(U ))) ⊆ f (cl(U )) ⊆ f (f −1 (V )) ⊆ V Đặt G = f (int(cl(U ))) Vì f IF -hầu mở, int(cl(U )) IFS mở qui nên G IFOS trông Y Vì f IF -đóng nên f (cl(U )) IFCS Y Như ta thu y(r,s) ∈ G ⊆ cl(G) ⊆ f (cl(U )) ⊆ V Vậy theo định lí 2.2.4 Y IF GR2 -không gian 2.4.6 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) song ánh, IF -mở, IF gliên tục X IF GR3 , Y IF GR3 Chứng minh Giả sử F1 F2 IFS g-đóng Y cho F1 q F2 Theo bổ đề 2.4.2 f IF gc-không giải được, suy f −1 (F1 ) f −1 (F2 ) IFS g-đóng X Và từ F1 q F2 suy f −1 (F1 ) q f −1 (F2 ) Vì X IF GR3 nên tồn IFOS U V X cho f −1 (F1 ) ⊆ U, f −1 (F2 ) ⊆ V U q V Vì f IF -mở nên f (U ) f (V ) IFOS Y Từ U q V suy U ⊆ V c Vì f song ánh nên f (U ) ⊆ f (V c ) = (f (V ))c hay f (U ) q f (V ) Rõ ràng F1 ⊆ f (U ), F2 ⊆ f (V ) Vậy Y IF GR3 -không gian 2.4.7 Định lý Nếu f : (X, τ ) → (Y, ∆) đơn ánh, IF -liên tục, IF g-đóng Y IF GR3 , X IF GR3 30 Chứng minh Giả sử F1 F2 IFS g-đóng X thoả mãn F1 q F2 Trước hết ta chứng minh f (F1 ) f (F2 ) IFS g-đóng Y Thật vậy, giả sử f (F1 ) ⊆ G với G IFOS Y Vì f IF liên tục nên f −1 (G) IFOS X Vì F1 ⊆ f −1 (f (F1 )) ⊆ f −1 (G) F1 IFS g-đóng X nên cl(F1 ) ⊆ f −1 (G), suy f (cl(F1 )) ⊆ f (f −1 (G)) ⊆ G Vì f IF g-đóng nên f (cl(F1 )) IFS g-đóng Y Suy cl(f (cl(F1 ))) ⊆ G Từ ta có cl(f (F1 )) ⊆ cl(f (cl(F1 ))) ⊆ G Do f (F1 ) IFS g-đóng Y , tương tự ta có f (F2 ) IFS g-đóng Vì F1 q F2 , nên F1 ⊆ F2c Suy f (F1 ) ⊆ f (F2c ) Do f đơn ánh nên f (F2c ) ⊆ (f (F2 ))c , suy f (F1 ) ⊆ (f (F2 ))c hay f (F1 ) q f (F2 ) Vì Y IF GR3 nên tồn IFOS U V cho f (F1 ) ⊆ U , f (F2 ) ⊆ V U q V Ta thu F1 ⊆ f −1 (U ), F2 ⊆ f −1 (V ) với f −1 (U ) f −1 (V ) IFOS X thoả mãn f −1 (U ) q f −1 (V ) Vậy X IF GR3 -không gian KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, đạt kết sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất tập mờ trực giác, không gian tôpô mờ trực giác đề cập tài liệu tham khảo [2], [4] Đưa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng, định nghĩa không gian IF T , IF T1 , IF T2 , IF T2 , IF R2 , IF R3 , IF T3 , IF T4 Đưa 2 mối quan hệ không gian này: từ không gian IF T1 suy không gian IF T (Định lí 2.1.11); không gian IF T2 suy không gian IF T1 (Hệ 2.1.13) Ngoài đưa đặc trưng không gian IF T1 (Định lí 2.1.12), không gian IF R2 (Định lí 2.1.14), không gian IF R3 (Định lí 2.1.15) Đưa khái niệm không gian IF GR2 (Định nghĩa 2.2.1), đưa đặc trưng không gian IF GR2 (các Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5) Chúng đưa định nghĩa không gian IF -đối xứng (Định nghĩa 2.2.6), đặc trưng không gian IF -đối xứng (Định lí 2.2.7, hệ 2.2.8), định nghĩa không gian IF G3 (Định nghĩa 2.2.10), mối quan hệ không gian IF G3 không gian IF T2 , IF T3 (Định lí 2.2.11, hệ 2.2.12, Định lí 2.2.13) Đưa khái niệm không gian IF GR3 (Định nghĩa 2.3.1), đặc trưng không gian IF GR3 (các Định lí 2.3.3, Định lí 2.3.4, Định lí 2.3.5) định nghĩa không gian IF G4 (Định nghĩa 2.3.6), mối quan hệ không gian IF G4 không gian IF G3 , IF T4 (Định lí 2.3.7, Định lí 2.3.8) Trong luận văn đưa số định lí bảo tồn không gian IF GR2 IF GR3 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J L Kelly, Tôpô đại cương, Nxb ĐH THCN, Hà Nội 1973 [2] D Coker (1997), An introduction to intuitionistic fuzzy topological spaces, Fuzzy set and system, 88 , 81-89 [3] M E El-Shafei (2005), Some applications of generalized closed sets in fuzzy topologicla spaces, KYUNGPOOK Math J , 45, 13-19 [4] S J Lee and E P Lee (2000), The category of intuitionistic fuzzy topological spaces, Bull, Korean Math Soc, 37, (1), pp 63-76 [5] J H Park, J K Park (2004), Hausdorrffness on generalized intuitionistic fuzzy filters, Information Sciences, 168, 95-110 32 [...]... định nghĩa không gian IF G3 (Định nghĩa 2.2.10), mối quan hệ giữa không gian IF G3 và các không gian IF T2 , IF T3 (Định lí 2.2.11, hệ quả 2.2.12, Định lí 2.2.13) 4 Đưa ra khái niệm không gian IF GR3 (Định nghĩa 2.3.1), các đặc trưng của không gian IF GR3 (các Định lí 2.3.3, Định lí 2.3.4, Định lí 2.3.5) định nghĩa không gian IF G4 (Định nghĩa 2.3.6), mối quan hệ giữa không gian IF G4 và các không gian. .. ra được các đặc trưng của không gian IF T1 (Định lí 2.1.12), không gian IF R2 (Định lí 2.1.14), không gian IF R3 (Định lí 2.1.15) 3 Đưa ra khái niệm không gian IF GR2 (Định nghĩa 2.2.1), đưa ra các đặc trưng của một không gian IF GR2 (các Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5) Chúng tôi đưa ra định nghĩa không gian IF -đối xứng (Định nghĩa 2.2.6), các đặc trưng của không gian IF -đối xứng (Định... KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.2.1 Định nghĩa ([2]) Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFT) trên tập X khác rỗng là một họ τ g m các IFS trong X thoả mãn 3 tiên đề sau (T1): 0∼ , 1∼ ∈ τ ; (T2): G1 ∩ G2 ∈ τ, ∀ G1 , G2 ∈ τ ; (T3): Gi ∈ τ với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ Khi đó cặp (X, τ ) được g i là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFTS) và mỗi IFS trong τ được g i là một tập mở mờ trực giác. .. (cl(B)) với mỗi IFS B của Y 4) f −1 (int(B)) ⊆ int(f −1 (B)) với mỗi IFS B của Y CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G- ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.1 CÁC KHÔNG GIAN TÁCH Trong bài báo [3] M E El-Shafei có nêu lên khái niệm hai tập mờ tựa trùng Đây một khái niệm để nói lên sự "giao nhau của hai tập mờ" Xét hai tập mờ µ và λ trên tập cố định X Tập mờ µ được g i là tựa trùng (quasi-coincident)... gian tôpô mờ trực giác đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo [2], [4] 2 Đưa ra khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng, định nghĩa các không gian IF T 1 , IF T1 , IF T2 , IF T2 1 , IF R2 , IF R3 , IF T3 , IF T4 Đưa 2 2 ra mối quan hệ giữa các không gian này: từ không gian IF T1 suy ra không gian IF T 1 (Định lí 2.1.11); không gian IF T2 suy ra không gian 2 IF T1 (Hệ quả 2.1.13) Ngoài ra chúng... tục nếu nghịch ảnh của mỗi IFCS trong Y là IFS g- đóng trong X 2) f được g i là IF gc -không giải được (irresolute) nếu nghịch ảnh của mỗi IFS g- đóng trong Y là IFS g- đóng trong X 3) f được g i là IF g- đóng nếu f (F ) là IFS g- đóng trong Y với mọi F là IFCS trong X 4) f được g i là IF -hầu mở (IF -almost open) nếu f (U ) là IFOS trong Y với mọi U là IFS mở chính qui 5) f được g i là IF -hầu đóng (IF -almost... IFS đóng chính qui 2.1.7 Định nghĩa Giả sử A = x, µA , γA là một IFS trong IFTS (X, τ ) Khi đó: 1) A được g i là đóng mở rộng (hay g- đóng) nếu cl(A) ⊆ U với U là IFOS và A ⊆ U ; 2) A được g i là mở mở rộng (hay g- mở) nếu Ac là g- đóng 16 2.1.8 Nhận xét Trong không gian X với tôpô thông thường thì hoặc tập {x} là tập đóng hoặc X \ {x} là tập g- đóng, với mọi x ∈ X Tuy nhiên điều này không đúng trong không. .. không gian tôpô mờ trực giác Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng tồn tại những điểm mờ trực giác không là IFCS và phần bù của nó cũng không là IFS g- đóng trong một không gian tôpô mờ trực giác Ví dụ Giả sử X = {a; b} và τ = {0∼ ; 1∼ ; A; B; C}, trong đó A= x, a b a b , , , 1 0, 5 0 0, 5 , B= x, a b a b , , , 0, 5 1 0, 5 0 , C= x, b a b a , , , 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 Khi đó (X, τ ) là một IFTS và tập tất cả các. .. G4 -không gian cũng là IF G3 -không gian Chứng minh Giả sử (X, τ ) là IF G4 -không gian Khi đó X là IF GR3 và IF -đối xứng Xét IFS g- đóng F và IFP x(α,β) thoả mãn x(α,β) q F Vì X là IF -đối xứng nên x(α,β) là IFS g- đóng Từ đó do X là IF GR3 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và U q V Suy ra X là IF GR2 Kết hợp với X là IF -đối xứng ta có X là IF G3 -không gian 2.3.8 Định lý Một. .. T2 không gian 2.2.13 Định lý Một IFTS (X, τ ) là IF G3 khi và chỉ khi nó là IF T3 Chứng minh Giả sử X là IF G3 -không gian Khi đó X là IF GR2 không gian và IF -đối xứng Mỗi IF GR2 -không gian là IF R2 và mỗi IF G3 -không gian là IF T2 và cũng là IF T1 Do đó X là IF R2 và IF T1 Suy ra X là F T3 Ngược lại, giả sử X là IF T3 -không gian Suy ra X là IF R2 và IF T1 Do đó nó là IF T 1 và IF -đối xứng ... gian tôpô mờ trực giác Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác tính chất chúng giới thiệu [2] Chương Một vài ứng dụng tập IFS g- đóng không gian. .. 1.2 Không gian tôpô mờ trực giác Chương Một vài ứng dụng IFS g- đóng không gian tôpô mờ trực giác 13 2.1 Các không gian tách 13 2.2 Không gian IFg-Chính qui... chúng; nghiên cứu ứng dụng tập mờ trực giác đóng suy rộng việc xây dựng không gian tôpô mờ trực giác "tách" liên hệ chúng Với mục đích luận văn chia làm hai chương Chương Tập mờ trực giác không gian