VÀI ỨNG DỤNG của lý THUYẾT hàm CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG đại số BANACH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy cho lớp Toán giải tích khóa K21 Xin cảm ơn quý thầy Hội đồng khoa học đọc cho ý kiến xác đáng Cám ơn phòng Sau đại học giúp đỡ nhiều suốt trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy hết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện mặt giúp hoàn thành luận văn Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề thầy hành trang vốn quý cho chúng tôi, người theo nghề giáo MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.2 Một số kiến thức tôpô – giải tích hàm Chương ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ 11 2.1 Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand 11 2.2 Đại số Banach hữu hạn sinh phổ nối hữu hạn phần tử 27 Chương HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 35 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động không gian phép biến đổi Gelfand 35 3.2 Định lý hàm ẩn đại số Banach 40 3.3 Vài kết biên Shilov 46 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một đối tượng lý thuyết đại số Banach giao hoán việc nghiên cứu xem biểu diễn đại số đại số hàm liên tục không gian compact Sự biểu diễn tạo điều kiện cho việc ứng dụng kết lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số Banach Việc nghiên cứu ứng dụng giải tích phức vào lý thuyết đại số Banach quan tâm nhiều nhà toán học giới Weiner, Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu giải tích phức số ứng dụng đại số Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức xem xét số ứng dụng đại số Banach Cụ thể luận văn trình bày lại kết sau + Mô tả biểu diễn đại số giao hoán qua hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand + Chứng minh hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên không gian biến đổi Gelfand Đồng thời áp dụng kết để chứng minh định lý hàm ẩn đại số Banach + Chứng minh biên Shilov xác định điều kiện địa phương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các đại số Banach, phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm hàm chỉnh hình nhiều biến ứng dụng đại số Banach Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand Chương Hàm chỉnh hình đại số Banach số ứng dụng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương ta trình bày lại số kiến thức liên quan đến giải tích phức nhiều biến, tôpô, giải tích hàm sử dụng cho chương sau 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.1.1 Hàm nhiều biến phức tập D ⊂  n ánh xạ f từ D vào mặt phẳng phức  , giá trị hàm f điểm z ∈ D kí hiệu f ( z ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm l :  n →  gọi  − tuyến tính (tương ứng  − tuyến tính) i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), ∀z, z ' ∈ n ii) l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n (tương ứng ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ) Hàm  − tuyến tính l :  n →   − tuyến tính l (iz ) = il ( z ), ∀z ∈ n Trong trường hợp l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ta nói l  − phản tuyến tính Chẳng hạn hàm z → z j  − tuyến tính, hàm z → z j  − phản tuyến tính Mọi hàm  − tuyến tính l :  n →  viết dạng l= ( z ) l '( z ) + l ''( z ) với l '( z ) = l ( z ) − il (iz ) l ( z ) + il (iz ) , l '  − tuyến tính, l ''  − phản , l ''( z ) = 2 tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Hàm f : Ω →  , với Ω tập mở  n , gọi  2n − khả vi (tương ứng  n − khả vi) z ∈Ω tồn ánh xạ  − tuyến tính l :  n →  (tương ứng  − tuyến tính) cho f ( z + h)= f ( z ) + l (h) + ϕ (h) với ϕ ( h) h → h → Hàm l tồn gọi  2n − đạo hàm (tương ứng n − đạo hàm) f z ký hiệu f '( z ) Nếu f  2n − khả vi a ánh xạ l thỏa điều kiện định nghĩa kí hiệu d a f gọi vi phân f a Đặc biệt, f  2n − khả vi a da f = ∂ a f + ∂ a f ∂ a f ánh xạ  − tuyến tính ∂ a f ánh xạ  − phản tuyến tính Ta lại có = da f Bằng cách viết ∂f n ∂f ∑ ( ∂x (a)dx + ∂y i i =1 i (a )dyi ) i zj = x j + iy j , z j = x j − iy j , j = 1, , n dz j = dx j + idy j , d z j = dx j − idy j , j = 1, , n Suy dz j + d z j dz j − d z j , dy j = 2i dx j = = da f Khi n  ∂f j =1  ∑  ∂x j  dz + d z j (a)  j    ∂f  dz − d z j (a)  j +   2i  ∂y j         ∂f ∂f  ∂f n  ∂f − + + ( a ) i ( a ) dz ( a ) i ( a )    d z j ∑ ∂x ∑ j ∂y j ∂y j j  ∂x j =j =   j  = = n n j =1 với ∂f ∑ ∂z (a )dz j + j ∂f (a)d z j ∂z j ∂f ∂f ∂f  ∂f , (a )dz j = −i  ∂z j  ∂x j ∂y j j =1 ∂z j n ∂a f = ∑    ∂f ∂f  ∂f ∂f , (a)d z j = +i  ∂y j ∂ z j  ∂x j j =1 ∂ z j n ∂a f = ∑    Do tính phân tích ánh xạ d a f = ∂ a f + ∂ a f nên ∂ a f , ∂ a f suy Tổng quát f  2n − khả vi Ω df = ∂f + ∂ f với n ∂f ∂f dz j ∂ a f = dzj ∑ j =1 ∂z j j =1 ∂ z j n ∂a f = ∑ Vậy hàm f  n − khả vi z ∈  n f  2n − khả vi z thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ∂f ( z ) = 0, ∀j = 1, , n , nghĩa ∂z j df ( z ) = ∂f ( z ) Định nghĩa 1.1.14 i) Hàm f : Ω →  , Ω mở  n gọi chỉnh hình z f  n − khả vi lân cận z ii) Ánh xạ f : Ω →  m , Ω mở  n gọi chỉnh hình z f j chỉnh hình z , ∀j =1, , n , f = ( f1 , , f m ) iii) Nếu f chỉnh hình z ta nói ∂f đạo hàm riêng f theo biến ∂z j zj Định lý 1.1.5 Cho Ω tập mở  n Một ánh xạ  2n − khả vi f : Ω →  chỉnh hình Ω thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ∂f = 0, ∀j = 1, , n ∂z j Ký hiệu H (Ω) tập hợp tất cà hàm chỉnh hình Ω Định nghĩa 1.1.6 Cho Ω tập mở  n với n ≥ Một hàm f : Ω →  gọi chỉnh hình theo biến chỉnh hình với biến biến lại cố định Điều có nghĩa với z1ο , z2ο , , zοj −1 , zοj +1 , znο hàm g : V →  hàm zj chỉnh hình, với V = {z j ∈  : ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο ) ∈ Ω} g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο )  g( z j ) Định lý 1.1.7 Hàm f liên tục đa đĩa đóng P(a, r ) chỉnh hình biến P(a, r ) biểu diễn tích phân bội Cauchy   f ( z) =    2π i  n ∫ (ζ Γ f (ζ )d ζ 1d ζ d ζ n , ∀z ∈ P(a, r ) − z1 )( ζ − z ) ( ζ n − z n ) Định lý 1.1.8 Giả sử hàm f liên tục đa đĩa đóng P(a, r ) chỉnh hình biến P(a, r ) z ∈ P(a, r ) tồn khai triển lũy thừa dạng ∞ f(z )= ∑ cα ( z − a ) α α =0   với cα =    2π i  n f (ζ )d ζ ∫ (ζ − a )α +1 hội tụ chuỗi hội tụ chuẩn tắc Γ Giả sử Ω ⊂  n Ω ' ⊂  m hai miền (mở liên thông) Các biến Ω viết z = ( z1 , , zn ) , biến Ω ' viết w = ( w1 , , wn ) Một ánh xạ G : Ω → Ω ' mô tả m hàm = w1 g= g m ( z1 , , zn ) ( z1 , , z n ), , wm Ánh xạ G gọi ánh xạ chỉnh hình m hàm g1 , , g m hàm chỉnh hình Ω Nếu f ( w) = f ( w1 , , wm ) hàm xác định Ω ' hợp thành f ( G ( z ) ) hàm Ω Định lý 1.1.9 Nếu f ( w) hàm chỉnh hình theo biến Ω ' G : Ω → Ω ' ánh xạ chỉnh hình hợp thành f ( G ( z ) ) hàm chỉnh hình Định lý 1.1.10 (nguyên lý đồng nhất) Nếu f,g hàm chỉnh hình miền f ( z ) − g ( z ) = 0, ∀z ∈ U , U mở khác rỗng, U ⊂ D , f (= z ) g ( z ), ∀z ∈ D D ⊂ n 41 Chứng minh thực sau hai bước, bước xác định w cho (3.2.2) thỏa, chứng minh w thỏa (3.2.1) Để làm điều ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.2.2 Với h liên tục M B thỏa mãn n ∧ ∑a k =0 k k h = 0, n ∧ ∑k a k k =1 h k −1 ≠ điểm thuộc M B Khi đó, tồn hữu hạn phần tử an +1 , , av ∈ B cho với cặp ∧ ∧ điểm (m1 , m2 ) ∈ M B × M B mà= 0, , v h(m1 ) = h(m2 ) a j (m1 ) a= j ( m2 ), j Chứng minh Với điểm ∧ (m10 , m20 ) ∈ M B × M B ∧ ∧ mà m10 ≠ m20 ∧ có a∈B cho ∧ a (m10 ) ≠ a (m20 ) Do tính liên tục a nên a (m1 ) ≠ a (m2 ) lân cận (m10 , m20 ) Mặt khác xét phần tử đường chéo (m0 , m0 ) , chọn δ > đủ nhỏ cho đa thức n ∧ ∑ a (m ) z k =0 có không điểm đơn z = h(m0 ) đĩa k k { } D =z ∈  : z − h(m0 ) ≤ δ Gọi V lân cận m0 cho h(m) − h(m0 ) ≤ δ phương trình n ∧ ∑ a ( m) z k =0 k k = có nghiệm thỏa z − h(m0 ) ≤ δ m ∈V Khi đó, m ∈ V dẫn đến h(m) không điểm n k =0 ∧ ∧ ∑ a ( m) z k k ∧ z − h(m0 ) ≤ δ Do đó, (m1 , m2 ) ∈ V × V và= 0, , n dẫn ak (m1 ) a= k ( m2 ), k đến h(m1 ) = h(m2 ) Ta lại có M B × M B compact, theo bổ đề Borel – Lebesgue ta tìm hữu hạn phần tử an +1 , , av thỏa mãn tính chất bổ đề.■ Bổ đề 3.2.3 Giả sử an +1 , , av phần tử xác định bổ đề 3.2.2 Khi đó, tồn ∧ ∧ hàm H chỉnh hình lân cận tập σ B (a0 , , av ) ⊂ v +1 thỏa h = H (a0 , , av ) 42 Chứng minh ∧ ∧ Với λ ∈ σ B (a0 , , av ) , có m ∈ M B :  a0 (m), , av (m)  = λ , đặt h(m) = H (λ ) ,   Ta chứng minh quy tắc đặt ánh xạ từ σ B (a0 , , av ) →  Thật vậy, λ1 , λ2 ∈ σ B (a0 , , av ) tồn m1 , m2 ∈ M B cho ∧ ∧ ∧   ∧  = a ( m ), , a ( m ) λ ( ), , a m a   v  v ( m2 )  = λ2     ∧ ∧ 0, , v Theo bổ đề 3.2.2, ta có h(m1 ) = h(m2 ) hay a j (m1 ) a= Nếu λ1 = λ2 thì= j ( m2 ), j ∧ ∧ H (λ1 ) = H (λ2 ) Vậy hàm H xác định σ B (a0 , , av ) thỏa h = H (a0 , , av ) Ta chứng minh H liên tục, tức với mi ∈ M B , i = 1, ∧ ∧ ak (mi ) → ak (m0 ), k = 0, , v h(mi ) → h(m0 ) Giả sử ngược lại, h(mi ) hội tụ đến h ' , ta cần chứng minh h ' = h(m0 ) Ta có (mi )i ⊂ M B , M B compact nên dãy (suy rộng) (mi )i có dãy hội tụ, giả sử nó, gọi m giới hạn Với ∧ ∧ ∧ 0, , v Mặt khác k = 0, , v , tính liên tục ak nên ak (mi ) → ak (m), k = ∧ ∧ ak (mi ) → ak (m0 ), với k = 0, , v , giới hạn dãy  nên ∧ ∧ = ak (m) a= 0, , v Áp dụng bổ đề 3.2.2 ta có h(m) = h(m0 ) Mà h(mi ) → h ' k ( m ), k h liên tục nên h(mi ) → h(m) Vậy h ' = h(m0 ) Tiếp theo ta chứng minh tính chỉnh hình hàm H Do cách xác định hàm H σ B (a0 , , av ) nên thỏa điều kiện lý hàm ẩn 1.1.13 ta có phương trình n ∑z H k =0 n ∑z H k =0 k k k k = n ∑ kz H k =1 k k −1 ≠ Theo định = xác định lân cận cầu mở điểm σ B (a0 , , av ) hàm chỉnh hình, hàm trùng với hàm H giao σ B (a0 , , av ) cầu mở Tập cầu phủ mở tập compact σ B (a0 , , av ) nên có phủ hữu hạn Gọi 2δ cận dương bán kính cầu hữu hạn Khi , ta có 43 hàm chỉnh hình H thỏa điều kiện n ∑z H k k =0 k = tập điểm mà khoảng cách đến σ B (a0 , , av ) nhỏ δ hàm trùng với hàm H cho trước Thật vậy, hai cầu với bán kính δ phủ lên tâm hai cầu phải nằm cầu có tâm cầu lại với bán kính 2δ ■ Trước đưa chứng minh định lý 3.2.1 ta cần khái niệm Radical đại số Banach giao hoán có đơn vị Radical B giao tất iđêan cực đại Ký hiệu RadB Vậy, ta có ∧ b ∈ RadB ⇔ b ∈  {M := M ∈ M B }  {m −1 ( ) : m ∈= M B} ⇔ b Chứng minh định lý 3.2.1 Với H hàm chỉnh hình lân cận σ B (a0 , , av ) , theo định lý 3.1.2 có ∧ ∧ ∧ phần tử w0 ∈ B thỏa mãn w0 = H (a0 , , av ) Theo bổ đề 3.2.3 ta lại có ∧ ∧ h = H (a0 , , av ) ∧ ∧ n ∧ Vậy w0 = h = b ∑ = ak h Dẫn đến b j k j n Suy ∧ ∑a k =0 k ∧ k w0 = n hay ∑a w k k =0 k =b với → j → +∞ , nên b ∈ RadB Mặt khác theo giả k =0 thiết lại n ∧ k =1 n ∑ ka w k =1 k (m) ≠ 0, ∀m ∈ M B Điều có nghĩa phần tử khả nghịch Để giải phương trình (3.2.1) ta đặt w = w0 + u Muốn có k ∧ ∧ k −1 ∑ k ak (m) w0 ∧ w= h= w0 phải có u ∈ RadB Phương trình theo ẩn u trở thành n b + u ∑ kak w0k −1 + = dấu ba chấm số hạng bậc cao u Vậy ta k =1 cần chứng minh u ∈ RadB xong Điều thực nhờ bổ đề sau 44 Bổ đề 3.2.4 Trong phương trình n ∑b u j =0 j j = với hệ số b j ∈ B , giả sử b0 ∈ RadB b1 khả nghịch Khi đó, phương trình có nghiệm u ∈ RadB Chứng minh Ta nhân hai vế phương trình n ∑b u j =0 j j = cho b1−1 nên ta giả sử b1 = e Ta xét phương trình z0 + w + z2 w2 + + zn wn = , z0 , z2 , , zn biến số phức Áp dụng định lý hàm ẩn 1.1.13 có hàm w chỉnh hình lân cận  n , thỏa mãn w = z0= z2= = zn= , ta viết w( z ) = ∑ cα zα , α ≠0 α = (α , α , , α n ) đa số α cα r ∑ α < +∞ với r > Ta chứng ≠0 minh cα = ngoại trừ L(α ) = α − α − 2α − − (n − 1)α n > Giả sử điều với số hạng có bậc ≤ k (rõ ràng k = w = − z0 + số hạng bậc cao hơn) Nếu α , , α j đa số với L(α i ) > 0, i = 1, , j , điều kéo theo L(α + + α j ) ≥ j Do đó, số hạng có bậc ≤ k + z2 w2 + + zn wn có dạng z β với L( β ) ≥ j − ( j − 1) =1 > tất số hạng có bậc k + khai triển w thỏa mãn điều kiện Ta chứng minh chuỗi w(b) có cách thay z j b j hội tụ theo chuẩn dẫn đến w(b) ∈ RadB tất số hạng chuỗi thuộc RadB Ta chọn R > cho b j < R j −1 , ≤ j ≤ n Khi ta có bα ≤ b0α0 b2α bnα n ≤ b0α0 Rα0 L(α ) > Ta lại có b0 ∈ RadB nên với α đủ lớn ta có b0α Rα < r α Ta giả sử α r < r ≥ r 2α0 b0α0 α0 α →+∞ → Vì chuỗi w(b) = ∑ cα bα hội tụ tuyệt đối, mà B không gian Banach nên w(b) hội tụ Rõ ràng w(b) thỏa 45 mãn phương trình b0 + w(b) + b2 w(b) + xếp lại chuỗi lũy thừa b , với tất hệ số 0.■ Ta nhắc lại phần tử lũy đẳng đại số Banach B giao hoán có đơn vị Phần tử b ∈ B gọi phần tử lũy đẳng không tầm thường b ≠ 0, b ≠ e b2 = b Định lý 3.2.5 (định lý lũy đẳng Shilov) Giả sử M B không liên thông ta viết M= M ∪ M , B M , M hai tập đóng rời Khi đó, có hai phần tử e0 , e1 ∈ B thỏa e0 + e1 = e, ∧ ∧ e0 e1 = , e0 = M e1 = M Chứng minh Hàm h = M , h = M liên tục thỏa mãn phương trình h(1 − h) = , phương trình có không điểm đơn − 2h(m) ≠ 0, ∀m ∈ M B ∧ ∧ Áp dụng định lý 3.2.1 có phần tử e1 ∈ B cho e1 = h , nghĩa e1 (e − e1 ) = , e1 = ∧ M e1 = M Nếu ta đặt e0 = e − e1 , e0 , e1 ∈ B hai phần tử thỏa điều kiện định lý.■ Kết định lý nói lên e0 e1 phần tử lũy đẳng với e0 e1 = , e0 + e1 = e Vì iđêan Be0 Be1 đại số Banach B với phần tử đơn vị e0 e1 Ta lại có, Be0 ∩ Be1 = Be0 + Be1 = B nên B tổng trực tiếp Be0 Be1 Ngược lại, rõ ràng đại số Banach phân tích thành tổng trực tiếp không gian iđêan cực đại tương ứng phân tích vậy, đó, không liên thông Định lý 3.2.6 Cho a ∈ B phần tử khả nghịch, giả sử có hàm h xác định liên ∧ tục M B thỏa h n = a Khi có phần tử w ∈ B thỏa wn = a 46 Chứng minh ∧ Theo giả thiết a khả nghịch nên dẫn đến a(m) ≠ 0, ∀m ∈ M B , h ∧ ∧ không điểm đơn h n − a Theo định lý 3.2.1 có phần tử w ∈ B cho w = h , tức ∧n ∧ w = a Vậy wn = a ■ Kết định lý điều kiện để phần tử đại số Banach B có bậc n 3.3 Vài kết biên Shilov Định nghĩa 3.3.1 Một tập đóng M M B gọi biên M B ∧ ∧ = sup f sup f , ∀f ∈ B M0 MB Định lý 3.3.2 Giao tất biên M B biên Định nghĩa 3.3.3 Giao tất biên M B kí hiệu S ( B) , gọi biên Shilov MB Để chứng minh định lý 3.3.2 ta cần bổ đề Bổ đề 3.3.4  ∧  Cho f1 , , f n ∈ B tập U = m ∈ M B : fi (m) < 1, i = 1, , n    Khi đó, U giao với biên M B , M \ U biên M B với biên M Chứng minh Với M biên M B , giả sử M \ U không biên M B Ta chọn ∧ ∧ f ∈ B cho sup f (m) = sup f (m) < m∈M B M \U 47 Bằng cách thay f f k với k đủ lớn, ta giả sử ∧ f (m) < ε , ∀m ∈ M \ U , ε > chọn cho ∧ 1, , n ε sup fi (m) < 1, i = m∈M B Khi ∧ ∧ f m f ( ) i ( m) < 1, ∀m ∈ U  ∧ ∧  f (m) f (m) < 1, ∀m ∈ M \ U i  (3.3.4.1) (3.3.4.2) ∧ (3.3.4.1) có định nghĩa tập U f (m) ≤ 1, ∀m ∈ M B ∧ (3.3.4.2) có cách chọn ε f (m) ≤ 1, ∀m ∈ M B ∧ ∧ Dẫn đến f (m) fi (m) < 1, ∀m ∈ M , i = 1, , n , mặt khác ta lại có M biên nên ∧ ∧ f (m) fi (m) < 1, ∀m ∈ M B , i = 1, , n (3.3.4.3) ∧ Với m ∈ M B mà f (m) = , tức m ∈ M m ∈ U theo (3.3.4.3) ta có ∧ fi (m) < 1, i = 1, , n Vậy M ∩ U ≠ ∅ với M biên M B ■ Chứng minh định lý 3.3.2 Gọi J họ tất biên M B , M B biên nên J ≠ ∅ Đặt S ( B) :=  E Ta chứng minh S ( B) ≠ ∅ S ( B) biên M B E∈J Thật vậy, với m ∉ S ( B) , ta chứng minh tồn lân cận mở U m m cho M B \ U m biên M B Do m ∉ S ( B) nên có biên Sm cho m ∉ Sm Với l ∈ Sm ta chọn phần tử fl ∈ B ∧ ∧ cho = fl (m) 0,= fl (l ) Ta có 48 ∧   Vl = m ∈ M : fl (m) > 1 lân cận mở l Mà S m tập compact nên tìm    k ∧     ∧  hữu hạn l1 , , lk ∈ M cho Sm ⊂ Vl Đặt U =  fl < 1 ∩ ∩  fl < 1 Ta m i =1  i k  có U m ∩ Sm = ∅ nên theo bổ đề 3.3.4 ta có M B \ U m biên M B Lấy W lân cận mở tùy ý S ( B) Với m ∈ M B \ W m ∉ S ( B) , ta chọn lân cận U m bước Mặt khác, M B \ W compact nên ta tìm hữu hạn U m cho M B \ W ⊂ U m ∪ ∪ U m Theo cách chọn ta có r ( M B \ U m1 biên M B , tiếp tục ta có = S0 : M B \ U m1 ∪ ∪ U mr ∧ ) biên ∧ M B Hiển nhiên S0 ⊂ W Với f ∈ B , cố định, ta có sup f ≤ sup f (do S0 ⊂ W ) MB W ∧ ∧ Theo cách lấy W lân cận tùy ý S ( B) nên sup f ≤ sup f Vậy S ( B) biên MB S (B) M B ■ Ví dụ Cho ∆= { z ∈  : z ≤ 1} đĩa đóng đơn vị mặt phẳng phức, B= P (∆ ) đại số hàm xấp xỉ đa thức ∆ , ta có M B = ∆ Khi đó, ta có S ( B) = ∂∆ Nói cách khác biên Shilov trùng với biên tôpô Thật vậy, từ nguyên lý môđun cực đại suy ∂∆ biên M B Vì S ( P(∆)) ⊂ ∂∆ Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại S ( P(∆)) ⊃ ∂∆ Lấy λ ∈ ∂∆= { z ∈  : z= 1} , hàm p ( z ) = + λ z đạt môđun cực đại điểm z = λ Suy ∂∆ chứa biên M B Tức ta có S ( P(∆)) ⊃ ∂∆ Vậy S ( B) = ∂∆ Tuy nhiên, lúc biên Shilov biên tôpô, xét = ∆2 {( z , z ) ∈  2 : z1 ≤ 1, z2 ≤ 1} B= P (∆ ) Ta có ∂∆ 2= Trong trường hợp {( z , z ) ∈ ∆ 2 : z1 = 1} ∪ {( z1 , z2 ) ∈ ∆ : z2 = 1} S ( P (∆ )) = Γ := {( z1 , z2 ) ∈ ∆ : z1 = 1, z2 = 1} 49 Thật vậy, giả sử f ∈ P(∆ ) đạt môđun cực đại (a1 , a2 ) ∈ ∆ Khi hàm f ( z1 , a2 ) đat cực đại a1 Theo nguyên lý môđun cực đại ta có a1 = Tương tự a2 = Suy (a1 , a2 ) ∈ Γ Vì Γ biên M B Do S ( P(∆ )) ⊂ Γ Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại, với (a1 , a2 ) ∈ Γ , xét hàm p ( z1 , z2 ) = (1 + a1 z1 )(1 + a2 z2 ), ( z1 , z2 ) ∈  Ta có p ∈ P(∆ ) Ta kiểm tra p đạt môđun cực đại ∆ điểm (a1 , a2 ) Từ suy Γ chứa biên M B , Γ ⊂ S ( P(∆ )) Hệ 3.3.5 Giả sử B đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian iđêan cực đại B M B , biên Shilov S ( B) Khi đó, S ( B) liên thông M B liên thông Chứng minh Giả sử M= M ∪ M , M M tập thực sự, đóng B giao rỗng Do S ( B) liên thông nên S ( B) ⊂ M S ( B) ⊂ M Giả ∧ sử S ( B) ⊂ M Khi theo định lý 3.2.5 tồn phần tử e1 ∈ B cho e1 = ∧ M e1 = M Điều trái với định nghĩa biên Shilov.■ Hệ 3.3.6 Cho B đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian iđêan cực đại B M B Khi đó, M B hoàn toàn không liên thông (tức thành phần liên ∧ thông M B gồm có điểm) đại số B trù mật C ( M B ) Chứng minh ∧ ∧ Lấy f ∈ C ( M B ) \ B , ta chứng minh f nằm bao đóng B Nghĩa ∧ ∧ ∧ n có a ∈ B cho f − a ≤ , n ∈ * Thật vậy, lấy m ∈ M B chọn số tự nhiên 1  n ∈ * , cho tập ϕ ∈ M B : f (m) − f (ϕ ) <  lân cận mở m Do M B n  50 hoàn toàn không liên thông nên tồn tập vừa mở vừa đóng U m chứa m   1 n cho U m ⊂ ϕ ∈ M B : f (m) − f (ϕ ) <  Ta có họ {U m }m∈M họ tập vừa mở, B vừa đóng phủ M B Do tính compact M B nên có phủ hữu hạn giả sử U m1 , , U mk Ta giả sử tập U mi rời đôi Khi với i = 1, , k M= U m ∪ U m xem phân hoạch M B Áp dụng B i k ≠i k ∧ ∧ định lý 3.2.5 có phần tử bi ∈ B, i = 1, , k cho bi = U m bi = i U k ≠i ∧ mk ∧ Đặt bi = f (m)bi bi ∈ B bi = f (m) U m bi = i U k ≠i mk Đặt a = b1 + + bk , đó, với m ∈ M B tồn số i, ≤ i ≤ k cho m ∈ U mi Vì ∧ f (m) − a (m= ) ∧ n ∧ ∧ f (m) − b1 (m) − − bk (m= ) f (m) − f (ϕ ) < n ∧ Suy f − a ≤ , ta thấy f thuộc bao đóng B ■ Hệ 3.3.7 Cho B đại số Banach giao hoán có đơn vị, không gian iđêan cực đại B M B Khi đó, M B liên thông và e hai phần tử lũy đẳng B Chứng minh Giả sử M B không liên thông, theo định lý 3.2.5 tồn phần tử lũy đẳng không tầm thường ∧2 ∧ Ngược lại, b ∈ B phần tử lũy đẳng không tầm thường b = b , b = b ∧ ∧ ∧ nên b phần tử lũy đẳng không tầm thường đại số B Vì b nhận giá trị M B 51 { } ∧ { } ∧ Đặt M = m ∈ M B : b( m) = M = m ∈ M B : b( m) = Khi đó, ta có M M hai tập đóng, rời nhau, khác rỗng, M B M ∪ M = M B Vậy M B không liên thông.■ Định lý sau biên Shilov mô tả điều kiện địa phương Định lý 3.3.8 Cho m0 ∈ M B giả sử có lân cận mở V0 m0 cho lân ∧ ∧ cận V m0 có phần tử f ∈ B mà sup f < sup f Khi đó, m0 thuộc vào V0 \V V biên Shilov M B Việc chứng minh định lý cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.9 { ∧ } Cho f ∈ B m ∈ M B : f (m) = = K '∪ K '' , K ' K '' hai tập compact rời Khi đó, tồn phần tử f1 , , f v ∈ B hàm ϕ chỉnh hình lân cận σ B ( f1 , , f v ) thỏa mãn ϕ ( z) z0 − chỉnh hình lân cận ∧ ∧  ∧    ∧   f (m), , f v (m)  : m ∈ K ' ϕ  f (m), , f v (m)  = m ∈ K ''      Chứng minh ∧ Do định nghĩa tôpô M B tính chất tách điểm đại số B ta chọn f1 , , f n ∈ B cho ánh xạ φ : M B → σ B ( f1 , , f n ) xác định ∅ Đặt K 'f = φ ( K ') , K ''f = φ ( K '') φ (m) :=  f (m), , f n (m)  thỏa mãn φ ( K ') ∩ φ ( K '') = ∧  ∧  Gọi χ ∈ C0∞ ( n +1 ) hàm lân cận K 'f , lân cận K ''f Chúng ta muốn có ϕ ( z ) = χ ( z ) + ( z0 − 1)v( z ) chỉnh hình, hàm v phải 52 chọn cho (1 − z0 ) ∂v =∂χ Trong lân cận Ω M f ( M f = φ ( M B ) ), ta có ∞ (1 − z0 ) −1 ∂χ ∈ C(0,1) (Ω) dạng dạng ∂ –đóng Theo bổ đề 3.1.3 ta chọn f n +1 , , f v ∈ B cho B ' đại số sinh f , , f v σ B ' ( f , , f v ) ⊂ v +1 tập lồi đa thức π (σ B ' ( f , , f v )) ⊂ Ω với π : ( z0 , , zv )  ( z0 , , zn ) phép chiếu Lại theo định lý 2.2.6 tồn đa diện đa thức ∏ thỏa mãn σ B ' ( f , , f v ) ⊂ ∏ ⊂ π −1Ω Áp dụng định lý 3.1.6 có hàm v ∈ C ∞ xác định lân cận σ B ' ( f , , f v ) cho ϕ= χ  π + ( z0 − 1)v hàm chỉnh hình σ B ' ( f , , f v ) ■ Chứng minh định lý 3.3.8 Ta lấy lân cận V m0 , mở, compact tương đối V0 Theo ∧ ∧ giả thiết có f ∈ B cho sup f < 1,sup f = , ta trực chuẩn hóa f để V0 \V V ∧ f (m) = với m thuộc V Ta đặt: { { } } ∧ K'= m : m ∉ V0 , f (m) = ∧ K '' = m : m ∈ V0 , f (m) = Ta có K ', K '' compact rời Áp dụng bổ đề 3.3.9 có phần tử f1 , , f v ∈ B hàm ϕ chỉnh hình lân cận σ B ( f , , f v ) cho ϕ ( z) z0 − chỉnh hình ∧ ∧ ∧  ∧  lân cận  f (m), , f v (m)  : m ∈ K ' ϕ  f (m), , f v (m)  = m ∈ K ''      Với ε > đủ nhỏ, ta đặt ϕε = ( z ) εϕ ( z0 − 1, z1 , , zv )( z0 − − ε ) −1 , ta có ϕε chỉnh hình lân cận σ B ( f , , f v ) Áp dụng định lý 3.1.2 có phần tử gε ∈ B cho ∧ ∧ ∧ g ε = ϕε ( f , , f v ) Trên phần bù V M B \ V , ta có: 53 ∧ ∧ ε ∧ = g ε (m) ϕε ( f (m), , f= v ( m)) ∧ ∧ f ( m) − − ε ∧ ∧ ϕ ( f (m) − ε , , f= O(ε ) ε → v ( m)) ∧ ∧ ε ϕ ( f (m) − ε , , f v (m)) =−1 + O(ε ) Vì ε → −ε Khi m ∈ K '' , g ε (m) = ∧ ∧ ϕ ( f (m) − ε , , f v (m)) → Suy phần bù V M B \ V biên với V Điều chứng tỏ m0 nằm biên Shilov.■ 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau + Giới thiệu đại số Banach, tập biến đổi Gelfand đại số Banach mô tả biểu diễn đại số Banach giao hoán qua hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand + Giới thiệu đại số Banach hữu hạn sinh phổ nối hữu hạn phần tử thuộc đại số Banach Mô tả mối liên hệ phổ nối biến đổi Gelfand hữu hạn phần tử thuộc đại số Banach Chỉ đồng phôi không gian iđêan cực đại đại số Banach hữu hạn sinh với phổ nối phần tử sinh + Chỉ tác động hàm chỉnh hình nhiều biến lên không gian biến đổi Gelfand ; áp dụng kết để chứng minh định lý hàm ẩn đại số Banach chứng minh định lý lũy đẳng Shilov + Giới thiệu biên Shilov, hệ định lý lũy đẳng Shilov Đặc biệt biên Shilov xác định điều kiện địa phương Do thời gian hạn hẹp, luận văn chưa thể tiếp cận đến ứng dụng độc đáo khác hàm chỉnh hình nhiều biến đại số Banach chẳng hạn nguyên lý cực đại địa phương đại số Banach Rossi, đại số Banach lý thuyết vị phẳng… Trên tinh thần làm việc nghiêm túc khả nghiên cứu hạn chế, sai sót điều khó tránh khỏi, mong quý thầy bạn góp ý để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2005 [2] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2009 [3] Nguyễn Quang Diệu, Nhập môn Đại số đều, NXB Đại học Sư Phạm, 2010 [4] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [5] Trần Minh Tạo, Vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2011 [6] Eberhard Kaniuth, A course in commutative Banach Algebras, Springer Science+Business Media, LLC, 2009 [7] George L Cain, Introduction to general topology, Addison – Wesley Publishing Company, 1994 [8] Herbert Alexander – John Wermer, Several complex variables and Banach algebra, Springer-Verlag New York [9] J A Erdos, C*-Algebras, Department of Mathematics King’s College London WC2R 2LS ENGLAND [10] Joan Mae Negrepotis, Applications of theory of several complex variables to Banach algebras, Mathematics Department McGrill University Montreal, 1967 [11] Lars Hormander, An introduction to complex analysis in several variables, D Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N.J, 1966 [12] Robert C Gunning – Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J, 1965 [...]... giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach Định lý 2.2.3 mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và các biến đổi Gelfand của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach Phần cuối của mục này chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian các iđêan cực đại của một đại số Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử sinh 2.1 Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand... thiệu về đại số Banach và tập hợp các dạng tuyến tính nhân trên nó (định lý 2.1.5) Phần tiếp theo của mục này trình bày về tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và mô tả mối liên hệ tập các biến đổi Gelfand với đại số đó (định lý 2.1.7) Các định lý 2.1.16, 2.1.17 mô tả mối liên hệ giữa các iđêan cực đại của một đại số Banach và tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên đại số Banach tương ứng Mục 2.2... (nguyên lý môđun cực đại) Nếu f chỉnh hình theo từng biến trên miền D ⊂  n và nếu có một điểm a ∈ D sao cho f ( z ) ≤ f (a) với mọi z trong một lân cận mở nào đó của a thì f= ( z ) f (a ), ∀z ∈ D Định lí 1.1.12 (định lý Liouville) Nếu f chỉnh hình và bị chặn trên  n thì f = const Định lý 1.1.13 (định lý hàm ẩn) Cho f j ( w, z ), j = 1, , m là các hàm chỉnh hình trong lân cận của ( w0 , z 0 ) trong. .. điểm của X ii) f ∈ A thì f ∈ A Khi đó, A trù mật trong C ( X ) Các kiến thức phần này xem chứng minh chi tiết trong [1], [2], [7] 11 Chương 2 ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ Trong chương này ta đưa ra và chỉ xét các vấn đề cơ bản nhất của đại số Banach giao hoán có đơn vị (gọi gọn là đại số Banach) và phép biến đổi Gelfand trên nó Mở đầu Chương 2 là mục 2.1 giới thiệu về đại. .. là đại số Banach con của B ii) Một không gian vectơ con I của B gọi là một iđêan của B nếu BI ⊂ B , nghĩa là gf ∈ B, ∀g ∈ B, ∀f ∈ I iii) Iđêan I của B gọi là iđêan thực sự nếu I ≠ B Một iđêan thực sự J của đại số Banach B được gọi là iđêan cực đại nếu với mội iđêan I chứa J thì I =B 13 Một trong những mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu xem trong phạm vi nào có thể biểu diễn một đại số Banach. .. định duy nhất một hàm chỉnh hình w( z ) trong lân cận của điểm z 0 thỏa mãn w( z 0 ) = w0 Ta nhắc lại tập các a − điểm của một hàm chỉnh hình một biến phức trên một miền Định lý 1.1.14 Cho G là một miền trong  , f : G →  là một hàm chỉnh hình khác hằng a} mà ta gọi là các a − điểm trên G Khi đó, ∀a ∈  tập hợp f −1 (a) := {z ∈ G : f ( z) = của f , là tập rời rạc, đóng tương đối trong G Đặc biêt,... tính liên tục của Tf với mỗi f ∈ B ∧ kéo theo sự liên tục của ϕ Vì Tf = f  ϕ trên K1 , nên ta có sự mô tả đầy đủ mọi biểu diễn của B bởi các hàm liên tục theo các biểu diễn Gelfand ∧ Đặt B = { } ∧ ∧ f : f ∈ B , khi đó B là đại số con của đại số Banach C ( M B ) , C ( M B ) là đại số các hàm nhận giá trị phức liên tục trên M B Định lý 2.1.7 ∧ Đại số B chứa các hằng và tách các điểm của M B Biểu... được Định lý 1.1.15 Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con rời rạc và đóng (tương đối) trong G Các kiến thức trong phần này xem chứng minh chi tiết trong [4], [11] 8 1.2 Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm Định nghĩa 1.2.1 Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng, rời nhau Do phần bù của tập mở... ( x)) ∈ E × F : x ∈ E} là tập đóng trong và chỉ nếu đồ thị của nó E×F Định lý 1.2.13 (định lý Stone – Weierstrass) Cho X là một không gian compact Khi đó nếu đại số con A ⊂ C ( X ) chứa các hằng và phân biệt các điểm của X thì A trù mật trong C ( X ) Định lý 1.2.14 (định lý Stone – Weierstrass dạng phức) Cho X là một không gian compact và A là một đại số con của C ( X ) thỏa mãn các tính chất... lý 1.2.10 Nếu là E không gian Banach và F là không gian con đóng của E thì E F là không gian Banach Định lý 1.2.11 (định lý ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f đi từ không gian Banach E vào không gian Banach F là ánh xạ mở, nghĩa là với mọi tập mở U ⊂ E , f (U ) là tập mở trong F 10 Định lý 1.2.12 (định lý đồ thị đóng) Cho f là ánh xạ tuyến tính đi từ không gian Banach E vào không gian Banach ... số ứng dụng đại số Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức xem xét số ứng dụng đại số Banach Cụ thể luận văn trình bày lại kết sau + Mô tả biểu diễn đại số. .. 11 2.2 Đại số Banach hữu hạn sinh phổ nối hữu hạn phần tử 27 Chương HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 35 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động không gian phép biến đổi... thêm hàm chỉnh hình nhiều biến ứng dụng đại số Banach Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand Chương Hàm chỉnh hình đại