BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DINH THI HAI
MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU, GIA TRI YEU TRONG THONG TIN
LUONG TU
LUAN VAN THAC Si KHOA HQC VAT CHAT
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DINH THI HAI
MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU, GIA TRI YEU TRONG THONG TIN
LUONG TU
Chuyén nganh: VAT LY LY THUYET VA VAT LY TOAN Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHÁT
Người hướng dẫn khoa học: TS TRÀN THÁI HOA
Trang 3LOI CAM ON
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa,
người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tơi những kiến thức nền tảng, trực tiếp
để tơi hồn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tơi ngày càng
tiếp cận và cĩ niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới các thầy, các cơ ở phịng Sau Đại Học,
trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tơi những kiến thức quí báu về chuyên mơn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua
Cuối cùng, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luơn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tơi
trong suốt quá trình học tập và hồn thiện luận văn này
Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Học viên
Trang 4Tên tơi là: Đinh Thị Hải, học viên cao học khĩa 2011 - 2013, chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Tơi xin cam đoan đề tài: “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thơng tin lượng tử”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tơi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, khơng trùng với các tác giả khác
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Học viên
Trang 5MUC LUC
MO DAU occ ccssessssssssssssssssssecsssscsssscsssscsssecssscsssscsssscsssscsssscsssecssicessicessecssseceseess 1 NỘI DUNG 222222222212221112271127111277112211112.01110.01.11 2c 3
CHUONG 1: TONG QUAN VE PHEP DO YEU, GIA TRI YEU 3
LoD GiGi thie eeccccecccceescssseesssseesssseesssssesssusesssseecsssecessseessssseessseesesseessssseesesees 3 lý © 0 ï0 2c 8n 4 IĐN 1a 87 ẽẽ 1+ 4 1.2.2 Giá trị YẾU ©22 22c 22222 127112711171.221271171.211211111111211011 011 eee § 1.2.3 Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu T1 IS) 9.0022 15
CHƯƠNG 2: NHỮNG NÉT KHÁI QUÁT VE VAT LY LUONG TU,
THƠNG TIN LƯỢNG TỨ 17
2.1 Vật lí lượng tử „ L7
2.1.1 Những nét khái quát về vật lý lượng tử -c-cccscecccee 17 2.1.2 Giá trị thành phần spin của hạt cĩ spin -5 HH TH TT TH HH Thư 19
2.1.3 Ý nghĩa của vật lý lượng tử 22
VY! i0 nh 23
2.2.1 Giới thiệu 22<2222EC2EEE22E122112711211E 21 23 ' No nh" -4A4d1AäÄAH.,HH.HH 26
2.2.3 Rối lượng tử ©-2-+2+k22E122211227112711171122711.2711 2111.11.11 32 2.2.4 Qubit đưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp 34 CHUONG 3: MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU, GIA TRI
YEU TRONG THONG TIN LUQNG TU 30
Trang 6k0 pc 54
Trang 7MO DAU 1 Lý do chọn đề tài
Hiện nay tại Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết
đang gặp nhiều khĩ khăn về nhân lực và vật lực Mặt khác trong hơn hai
thập kỉ qua, khoa học thơng tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh
vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học Nĩ được
xem là một lĩnh vực mới cĩ khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật cĩ liên quan đến sự tính tốn, thơng tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản Mặc dù đã cĩ những thành cơng khơng thể nào phủ nhận được song thơng tin cơ điển vẫn cịn tồn tại rất nhiều hạn chế do nĩ chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng phép đo yếu, giá trị yếu vào việc xử lý thơng tin luơn thơi thúc các nhà khoa học, và gần đây, nĩ đã mang lại nhiều thành cơng đáng kinh ngạc Đề tài nghiên cứu của tơi về “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thơng tin lượng tử” (weakmeasurement,
weak values in quantum Information) là một vấn đề rất mới hứa hẹn nhiều
đĩng gĩp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những lý thuyết mới làm nền tảng cho vật lý thực nghiệm
Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng phép đo yếu trong các bài tốn thực tiễn về việc đo đạc
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của chúng trong thơng tin lượng tử 3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Trang 8Thơng tin lượng tử & các vấn đề đo đạc trong thơng tin lượng tử 5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý
Trang 9NOI DUNG CHUONG 1
TONG QUAN VE PHEP DO YEU, GIA TRI YEU
1.1 Giới thiệu
Trong cơ học lượng tử, cái thường được xem là khơng thê là việc biết
mọi thứ về một hệ cùng một lúc Chẳng hạn, nếu đo vị trí của một hạt thật
chính xác, thì động lượng của hạt sẽ đột ngột trở nên rất kém rõ ràng Các nhà
vật lí gọi những cặp biến như vị trí và động lượng là “liên hợp” chúng vốn đĩ
liên hệ với nhau, nên phép đo tiến hành trên một hạt về cơ bản làm hỏng mat théng tin vé hat kia
Nhìn bên ngồi, hiện tượng này được hậu thuẫn trong nguyên lí bất định nỗi tiếng của Heisenberg làm hạn chế thơng tin mà các nhà vật lí cĩ thể thu được từ việc nghiên cứu các hệ lượng tử Nhưng trong 20 năm qua, những
kĩ thuật mới đã và đang được phát triển để xử lí tốt hơn về độ bắt định và giới
hạn chính xác mà nĩ biểu hiện Gọi là những phép đo yếu, chúng bao gồm việc thực hiện những cái “nhìn lén” tính vi vào hệ lượng tử, nên thơng tin cĩ thé thu được từng chút một, mà khơng làm ảnh hưởng gì lớn lên hệ lượng tử
Li thuyết “đo yếu” được đề xuất lần đầu tiên hồi năm 1998 và được phát triển bởi nhà vật lí Yakir Aharonov cùng nhĩm của ơng tại trường Đại học Tel Aviv, Israel, đã thu hút ít nhiều hứng thú trong những năm gần đây
Lí thuyết trên phát biểu rằng người ta cĩ thể đo “yếu” một hệ va từ đĩ thu
được một số thơng tin về một tính chất mà khơng gây nhiễu đáng kẻ đối với tính chất bỗ sung và do đĩ khơng gây nhiễu đối với sự phát triển tương lai của
tồn bộ hệ Mặc dù thơng tin thu được đối với mỗi phép đo là tối thiểu, nhưng
nếu lấy trung bình nhiều phép đo sẽ mang lại một ước tính chính xác của số
Trang 10Vào năm 2011, các nhà vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia (NRC) ở Ottawa, Canada, khăng định họ đã cĩ thế sử dụng phép đo yếu để tái
hiện trực tiếp hàm sĩng của một hệ lượng tử, cái mơ tả một hệ lượng tử diễn
tiến như thế nào theo thời gian Trước phép đo yếu, các hàm sĩng chỉ được đo
gián tiếp trong một kĩ thuật gọi là xạ lượng tử Kĩ thuật này bao gồm việc thực
hiện nhiều phép đo bình thường khác nhau lên các hệ lượng tử tương đương các photon đơn lẻ lĩ ra từ cùng một nguồn Thơng tin này sau đĩ được xử lí
dé tạo ra một bản đồ của trạng thái lượng tử đĩ
Cũng trong 2011 một đội gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập được bản đồ quỹ đạo hồn chỉnh của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm hai khe Young nổi tiếng Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng đến việc đo các thơng số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay được xem là khơng thẻ, theo hệ quả của nguyên lí bất định Heisenberg
Trong thí nghiệm hai khe, một chùm ánh sáng chiếu lên một màn ảnh
qua hai khe hẹp, mang lại một hệ vân giao thoa trên màn ảnh Nghịch lí là người ta khơng thể cho biết các photon đơn lẻ đã đi qua khe nào, vì việc đo thơng số này sẽ làm nhiễu hệ vân giao thoa trên màn ảnh ngay “Trong đa số các ngành khoa học, người ta cĩ thê nhìn vào một hệ hiện đang làm gì và từ
đĩ xác định quá khứ hoặc tương lai của nĩ Nhưng trong cơ học lượng tử,
việc xem xét quá khứ rốt cuộc là cái khơng thể nào hiểu nổi”, phát biểu của nhà vật lí Aephraim Steinberg thuộc Trung tâm Thơng tin Lượng tử và Điều khiển Lượng tử tại trường Đại học Toronto, Canada, người đã lãnh đạo nghiên cứu mới này
Trang 11của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm giao thoa hai khe Cơng trình nay cĩ cảm hứng từ một trong những người đồng nghiệp của Steinberg, Howard
Wiseman 6 truong Dai hoc Griffith, Australia, nguoi hồi năm 2007 đã đề xuất
rằng người ta cĩ thể sử dụng những phép đo yếu để xác định xung lượng và vị
trí trong thí nghiệm hai khe Steinberg đã lập tức bị mê hoặc và bắt đầu khảo
sát xem đề xuất này cĩ giá trị thực nghiệm như thế nào
Trong thí nghiệm của họ, các nhà nghiên cứu gửi một tập hợp photon đơn lẻ qua một giao thoa kế hai khe và tiến hành một phép đo yếu đề đo khơng chính xác xung lượng của từng photon Thao tác này được thực hiện qua việc sử dụng một miếng thạch anh calcite đĩng vai trị như một kính phân cực Tùy thuộc vào hướng truyền, từng photon bị phân cực khác nhau và
hướng truyền được đo là một hàm của vị trí Sau đĩ, các nhà nghiên cứu tiến
hành một phép đo cực kì chính xác vị trí cuối cùng của nơi mỗi photon chạm tới “màn ảnh”, trong trường hợp của họ thì đĩ là một camera Bằng cách kết hợp những vị trí đo được khơng chính xác ở nhiều điểm và xung lượng được
đo chính xác tại đích của mỗi photon, họ cĩ thể xây dựng chính xác tồn bộ
hệ dịng chảy cho các photon
Phép đo xung lượng yếu như thế này khơng gây nhiễu đáng kê đối với
hệ, và người ta vẫn quan sát thấy sự giao thoa Cả hai phép đo phải được lặp lại trên một tập hợp lớn hat dé thu đủ thơng tin cho tồn hệ, nhưng chúng ta khơng làm nhiễu kết cục sau cùng, Steinberg giải thích “Những quỹ đạo chúng tơi đo được, như Wiseman từng dự đốn, phủ hợp với cách hiểu tương đối tính nhưng trái với thơng lệ của cơ học lượng tử của những nhà tư tưởng lỗi lạc như David Bohm và Louis de Broglie”
Trang 12Đề tìm hiểu sâu sắc hơn về phép đo yếu và những ứng dụng của nĩ tiếp theo ta đi tìm hiểu về sự đối xứng theo nghịch đảo của thời gian trong lí thuyết lượng tử, giả sử ta mơ tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép do là đối xứng theo nghịch đảo thời gian Trước hết, chúng ta hãy thỏa luận về tính đối xứng thời gian của phương pháp chuẩn Trong lí thuyết lượng tử
của các định luật động lực đối xứng thời gian được coi như là một bản sao cổ
điển, cụ thể là trong các phương trình chuyên động Hamilton Sự bắt đối xứng được xét thơng qua lý thuyết của các phép đo Sự “chập lại” của một hàm sĩng là một phần của quá trình đo (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) nhưng
khơng phải là đối xứng thời gian vì hàm sĩng tồn tại trước khi phép đo “chập
lại” Nĩi chung, ta sẽ cĩ một hàm sĩng mới phù hợp với kết quả của phép đo Trong cách tiếp cận chuẩn, nĩ khơng rõ ràng làm thế nào để chúng ta khơi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì khơng cĩ trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian Ví dụ sau sẽ làm rõ sự khác biệt giữa hai hướng thời gian
Giả sử ta cĩ tập hợp hạt cĩ spin = mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong trạng thái ø„=1 Ta cĩ thể đự đốn rằng xác suất tìm thay Øy=l ngay sau đĩ là
1 A : > Z AK ` AK fr
2 Tuy nhién, ta khong thé gia dinh rang xdc suat tim thay Øy=l ngay trước
Nà oA ~ x 1 ⁄ ⁄ A 2 re 4k 2 z A
thoi diém t cting la 2" Nĩ cĩ thê xảy ra với tât cả các hạt trong tập hợp được chuẩn bị trong trạng thái Gy=-l, trong trường hợp khơng cĩ hạt sẽ được tìm
thấy với Øy=l hoặc nĩ cĩ thể là tất cả các hạt đã được chuẩn bị với oy=1va
Trang 13thời điểm t Chúng ta giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu chúng ta khơng hiểu nĩ là gì, thì chúng ta khơng thể tìm thấy xác suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo
Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này khơng phát sinh vì chúng ta khơng giả định cĩ trạng thái (thậm chí khơng biết) sự tiếp diễn sau đĩ Vì vậy,
sự khác biệt giữa trước và sau khơng phải là một đặc tính trở kháng của sĩng
trong lý thuyết lượng tử, nhưng nĩ là đặc trưng về mũi tên thời gian trong phương pháp của chúng ta Hiện tại chúng ta xem quá khứ như tổn tại và tương lai như khơng tồn tại (chưa) Tuy nhiên, nếu nhiệm vụ của chúng ta là
mơ tả hệ lượng tử giữa 2 phép đo liên tiếp, thì chúng ta biết các điều kiện biên
trong tương lai cũng như trong quá khứ (giả định rằng cả hai phép đo được hồn thành) Do đĩ đối với khoảng thời gian khơng gian, chúng ta cĩ một sự
đối xứng hồn tồn dưới sự nghịch đảo thời gian Sự mơ tả hệ lượng tử từ kết
quả của phép đo đầu là hàm sĩng thơng thường phát triển từ quá khứ tới
tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối, vì tính đối xứng đưới nghịch đảo
thời gian Sự tác động của phép đo cuối tương tự như hàm sĩng phát triển ngược trở lại trong thời gian từ phép đo cuối đến phép đo đầu Đây là đề nghị của chúng ta: mơ tả một hệ lượng tử giữa hai phép đo bởi hai hàm sĩng phát triển theo hướng ngược lại thời gian
Chúng ta xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B tại thời điểm t¡ một quan sát A được đo và giá trị riêng a khơng suy biến đã được tìm thấy, tại thời điểm tạ B được đo và b khơng suy biến đã được tìm thấy Tại
thời điểm t trung gian hệ được mơ tả bởi hai hàm sĩng sau: một bra |\F,) (hàm
sĩng phát triển hướng tới tương lai) và một ket (¥,| (hàm sĩng phát triển hướng tới quá khứ)
t
lự,)=exp —i [Hứr ||A =a) (1.2.1)
Trang 14
Hai hàm sĩng này („| và |, )rất hữu ích cho việc tính tốn xác suất
các phép đo tại thời điểm t Chúng được sử dụng trong mục đích này bởi Ahanorov, Bergman, Lebonitz vào năm 1964 Tiếp theo chúng ta cho thấy làm thế nào mơ tả hai hàm sĩng dẫn đến một ý tưởng về phép đo yếu mà mang lại 1 loại mới của giá trị: các giá trị yếu
1.2.2 Giá trị yếu
Trong cơ học lượng tử, Phép đo lượng tử yếu là một trường hợp đặc biệt của mơ hình chuẩn von Neumann cho phép đo lượng tử, trong đĩ hệ lượng tử cần đo tương tác hoặc liên kết yếu với máy đo Một hệ quả quan trọng của quá trình này là "giá trị yếu" thể hiện trên máy đo Trái ngược với các phép đo chuẩn của cơ học lượng tử, giá trị yếu cĩ thể nằm ngồi vùng trị
riêng khả dĩ của biến lượng tử mơ tả cho phép đo và thậm chí nĩ cĩ thể là một
số phức Đặc điểm này của giá trị yếu hồn tồn khơng đối nghịch với các
khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử và là một ví dụ của nguyên lý bất định
Heisenberg
Khái niệm phép đo lượng tử yếu và giá trị yếu được đề xuất lần đầu bởi Y Aharonov, D Z Albert và L Vaidman trong bài nghiên cứu với tiêu đề hấp dẫn "Làm thế nào đề phép đo thành phần spin của một hạt spin 5 đạt
giá trị 100" Các thí nghiệm cho phép đo lượng tử yếu được hiện thực hĩa lần
đầu vào năm 1990 và năm 1992 Mới đây, phép đo yếu đã được sử dụng để nghiên cứu nghịch lý Hardy
Giá trị yếu của một biến lượng tử, nĩ là một đặc tính vật lý của một hệ
lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một hệ lượng tử thuộc một tập
Trang 15thơng qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu” Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu giá trị yếu của một biến cĩ thê khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một tốn tử liên quan Vì vậy đặc tính này của phép đo yếu cĩ thể dùng như một chương trình mở rộng mới
Sau đây chúng ta tìm hiểu để cĩ cái nhìn sơ khai về giá trị yếu Xét một
hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái |), và ta muốn đo biến lượng tử Â trên hệ
hạt này Một phép đo chỉ diễn ra khi cĩ sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo Theo mơ hình Von Neumamn cho phép đo lượng tử, sự tương tác này được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tương tác:
H= g(t)AP (1.2.3)
Trong đĩ ÊÊ là tốn tử động lượng của kim chỉ trên máy đo Tốn tử liên hiệp với nĩ là tốn tử tọa độ của kim chi @: là hàm phụ thuộc thời gian, biểu trưng cho sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo Thơng thường, phép đo chỉ diễn ra trong một khoảng thời gian rất ngắn Do đĩ, ta cĩ thể giả định g() = gồ(t— tạ), trong đĩ g là một hằng số Bởi vì phép đo cũng là một
hệ lượng tử, do đĩ nĩ phải cĩ trạng thái lượng tử, giả sử |Ị) Ban đầu, trạng thái của tồn hệ là |W,) @ |b) Khi máy đo tương tác với hệ cần đo, trạng thái của tồn hệ sẽ là eet? I,)|¿) Sau đĩ, sự lựa chọn sau (,| được áp đặt lên
hệ cần do, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy đo (chưa được chuẩn hĩa)
biến đổi thành:
(al=(¥ Je |,)6) (1.24)
Trang 16trị trơng đợi của tốn ti A Néu ta giới hạn hệ số tương tác g ở mức rất nhỏ, ta cĩ thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ thuộc bậc nhất theo g trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên máy đo:
)~(#,|,)e ** l8) (1.2.5)
Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sĩng của kim chỉ
(œ|~#,|Ï—¡igÄÊ|#,)|ð)= (,|#,)đ—¡gA„P)
sẽ là ‡(Q—gA,) Ở đây, A, được định nghĩa là giá trị yếu của tốn
tử Â với |.) và |W,) là các trạng thái lựa chọn trước và sau:
A, = (lA) (1.2.6)
mm
Trong các phép đo thơng thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của tốn tử và nĩ phải là số thực Quan sát cơng thức này, ta thấy rằng A,„ nĩi chung là một số phức và cĩ thể nằm ngồi khoảng trị riêng khả dĩ của ## Điểm đặc trưng này của phép đo yếu khơng hồn tồn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử Thay vào đĩ, nĩ cĩ thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg Nghĩa là, vì ta đã suy giảm hệ số tương tác của phép đo, ta khơng thể thu được thơng tin chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trơng
dgi (A)
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái chọn lọc trước cĩ thể là trạng thái hỗn hợp : 6 va su chon loc sau được thay thế bởi bộ phép đo các tốn tử dương : in (tiéng Anh: Positive-operator valued measure - POVM) thi biéu
thức tổng quát cho giá trị yếu được cho bởi: tr IT'A6
Trang 1711
Hiện nay cĩ 2 cách trình bày đề dẫn đến giá trị yếu Cách lập luận theo hệ số tương tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R.Jozsa và được coi
là cách thuận tiện nhất đề giới thiệu giá trị yếu va dé dàng cho ngành thơng tin lượng tử Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban đầu của kim chỉ
được trình bày trong bài báo của L.Vaidman Cách dẫn giải này phù hợp với trường hợp liên tục (tọa độ, động lượng ) và dễ nêu lên mối liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg nhưng quá trình tính tốn lại khá phức tạp
1.2.3 Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu
Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu Chúng ta xem xét ngắn gọn quá
trình đo chuẩn Von Neumann Hamilton mơ tả tương tác với một thiết bị đo là:
H=-g(t)qgA (1.2.8) Trong d6 g(t) là hàm chuẩn hĩa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo
lường và q là một biến chuẩn (chính tắc) của thiết bị đo với momen liên hợp
P Sau sự tương tác (1.2.8) trên, chúng tơi cĩ thể xác định giá trị của A từ giá
trị cuối của p:
A=p,—P, =6p (1.2.9) Phép do bat kì chính xác của A làm nhiễu loạn cần thiết trong một cách khơng thé kiểm sốt các giá trị quan sát khơng thê giao hốn với A Đây là do thực tế phép đo chính xác của A yêu cầu giá trị của p cố định xác định trong khoảng thời gian của phép đo Do đĩ, sự bất định trong q trong suốt tương tác phép đo mơ tả trong phương trình (1.2.8) (và do đĩ độ mạnh của tương tác đĩ
là cĩ thể) lớn tùy ý (điều này giải thích làm thế nào phép đo C trong ví đụ
Trang 18hé, ma were preselected (duoc chon dau tién) trong trạng thái |,) và were postselected (được chọn sau) trong trạng thái |") sé mang lai két qua ma chúng ta gọi là giá trị yếu của A _ Aw;|AlwW,) as (w,|lw,) Đề kết thúc điều này xét một tập hợp hệ trong đĩ cĩ cả sự chọn trước (1.2.10)
và chọn sau Tất ca các phần tử của tập hợp được mơ tả bởi cùng một cặp hàm sĩng IM,) và |M;) Chúng tơi biểu diễn cùng phép đo trong mỗi một hệ thống với một thiết bị đo riêng biệt Tương tác Hamilton là :
Hy=-g(tqiAi (1.2.11)
Trong đĩ chỉ số ¡ đề cập cho hệ thứ ¡ trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ ¡ Để thuận tiện, chúng tơi đưa trạng thái đầu của từng thiết bị đo tới hệ
Gausian:
| G2” 4p Gat) 1.2.12
Chúng tơi đo p; với mỗi thiết bị đo sau tương tác Sau đĩ chúng tơi biểu diễn lần cuối, sự chọn sau với phép đo trong hệ tập hợp của chúng tơi Sau đĩ
chúng tơi thu thập các kết quả p; chỉ của hệ đĩ mà trạng thái cuối trở thành là|*,)
Để đơn giản hĩa các điều kiện sau, chúng tơi lưu ý rằng sự thay đổi trật tự thời gian giữa các phép do p; và phép đo postselected (chọn sau) sẽ khơng ảnh hưởng đến kết quả của chúng Thật vậy, sau tương tác phép đo trên, khơng cĩ tương tác hơn nữa giữa các hệ của tập hợp và thiết bị đo tương ứng, và do đĩ, bất kì tác dụng trên hệ khơng ảnh hưởng kết quả của các phép đo
Trang 1913
Chuỗi các sự kiện này, trong đĩ chúng tơi đo p¡ chỉ sau khi postselection (được chọn sau), là đơn giản hơn đề phân tích Nĩ cũng phù hợp với một phương pháp thực tế dé thực hiện các phép đo loại này
Trạng thái đã được chọn sau của mỗi thiết bị đo được đưa ra, đến yếu tố chuân hĩa, bởi hàm sĩng sau: ¬ L q (W;|exp ai [mat] IMi)exp — Wa | = =(w;|epl4A)lw)exp = ANG | Va)’ s04) (y |A" y )exp|— q° = nt `” 4(Vq)° _ (iq)" —_ Q = (Waly, » a bere, mg n=0 (12.13)
Trong đĩ (như ở phương trình (1.2.11) A" = ,|A" #,)/@P,|) Các biểu thức cuối cĩ thể được viết lại như hảm sĩng đầu của thiết bị đo
nhânvới e*^* cộng với giới hạn hiệu chỉnh là khơng đáng kế với Áq nhỏ: ” | 2 - = (W;|\, Jes i @, ) wl ay (ig)" 5 en 4 + (vali) LA" Jy — (Ag) lên xử] (1.2.14)
Trang 20
T 0
2Wq 72 tan, -(A,)"|= 1 n- : (1.2.15)
Chúng ta cĩ thể bỏ qua sự đĩng gĩp của các điều chỉnh trong biến đối Fourier (1.2.14) và do đĩ hàm sĩng cuối của thiết bị đo trong các biểu diễn p là khá gần đúng: 2 (w;|AlW,) (1.2.16) (Wo |W) exp -(Wq)” p~ Phân bố xác suất của p là hệ Gaussian với khoảng rộng Ap=(2Aq) tâm tại p=Re(Au)
Giá trị yếu của A, A„ như định nghĩa ở (1.2.11) cĩ thể cĩ, cũng cĩ thé
do một phần tưởng tượng Phần này ảnh hưởng đến sự phân bố của các biến q
cơ điển (chính tắc) Thật vậy, trong các biểu diễn q trạng thái của thiết bị đo sẽ đưa ra là: [7 2 ? Ị + 2(W)“ Im(A exp iqRe(A,) exp] ae (Wa) oS Tmt 2] | ˆ 4w} (1.2.17)
Do đĩ, phân bố xác suất của q 1a hé Gaussian voi khoang réng Aq tim
tại q=-2(Aq)” Im (A„) Sự bất định ở p và q sẽ khơng cho phép chúng ta kết
luận Re(A,„) hoặc Im(A„) từ một phép đo duy nhất Tuy nhiên, thực hiện phép
đo trên một tập hợp N hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố
LAN Vì vậy, bằng cách lấy N đủ lớn | 2qVN | = Re(A,,),Im(A, ),
Trang 2115
thái riêng của A thì (1.2.15) là thỏa mãn Điều này được như vậy bởi vì giá trị
yếu là ¡ trong trường hợp đặc biệt này, cũng là giá trị “mạnh” của A
Người ta cĩ thể lập luận rằng một giá tri yếu thu được sau một vài thao
tác tốn học trên tập hợp và khơng cĩ ý nghĩa vật lý Để nhắn mạnh “thực tế” của một giá trị yếu, chúng tơi lưu ý rằng sau tương tác (1.2.12) của một tập
hợp vật lý của hệ giống hệt nhau với một tập hợp các thiết bị đo (nhưng trước khi quan sát các thiết bị đo) cĩ một biến vật lý của các thiết bị đo mà bác bỏ
giá trị yếu của các biến đo Thực tế quan sát yp, /N co 1 giá trị trung bình bang Aj, trong khi sự bất định 2VqVN “số thể bỏ qua khi số lượng các phần tử trong tập hợp lớn
Các đặc tính của giá trị yếu (1.2.11) hàm ý rằng nếu C=A+B thì
Cọ= Aø+ Bạ Chúng ta xét phép do yếu của C=A+B giữa các phép đo A và B Từ |y,)=|A=a), y,)=(B=b|ching tơi c6 Ag=a; Bo=b, va do đĩ, giá trị
yéu C thuc su bang a+b Các đặc tính cơ bán của phép đo yếu, cụ thể là sự nhiễu loạn gây ra bởi chúng cĩ thể được bỏ qua trong ví dụ này Từ Hamilton tương tác của phép đo yếu là đủ nhỏ, phép đo yếu của B gây ra một sự thay đổi khơng đáng kể trong A và ngược lại Vì vậy, kết quả của các phép đo yếu của A và B vẫn khơng thay đối, ngay cả nếu chúng ta thực hiện chúng cùng một lúc sự ảnh hưởng của phép đo yếu C
1.2.4 Sự chọn lọc trước và sau
Các khái niệm chọc lọc trước và sau được đề xuất cũng chính bởi AAV
trong bài báo đầu tiên về phép đo yếu, trong đĩ sự chọn lọc sau đĩng vai trị rất quan trọng trong khái niệm phép đo yếu Sự chọn lọc trước, trong ngơn ngữ thơng thường của cơ học lượng tử, cĩ thể được coi là giai đoạn chuẩn bị trạng thái lượng tử Từ biểu thức của giá trị yếu, ta cĩ thé thay rằng nếu sự
Trang 22phép đo của Â, hồn tồn phù hợp với lý thuyết phép đo chuẩn của von Neumanmn Ngược lại, rắc rỗi chỉ xảy ra khi các trạng thái chọn lọc trước và sau trực giao với nhau, M, |;)= 0 Việc xây dựng giá trị yếu trong trường hợp này địi hỏi nhiều sự chỉnh sửa trong cách tính tốn dẫn đến giá trị yếu và những lập luận mang tính tổng quát hơn
Mục đích chính của AAV khi phát triển lý thuyết phép đo yếu là để nghiên cứu sự biến đổi của trạng thái lượng tử trong quá trình tương tác Nhận thấy vai trị quan trọng của sự chọn lọc trước và sau trong giá trị yếu,
Aharonov đã mở rộng các khái niệm này để xây dựng mơ hình lý thuyết dựa
trên vector của 2 trạng thái (tiếng Anh: two-state vector formalism) và nhắn
Trang 2317
CHUONG 2
NHUNG NET KHAI QUAT VE VAT LY LUONG TU,
THONG TIN LUQNG TU
2.1 Vat li lwong tir
2.1.1 Những nét khái quát về vật lý lượng tử
Ngày 14 tháng 12 năm 1900, ngày khai sinh ra thuyết lượng tử, Max Planck dua ra ý tưởng là năng lượng phát xạ bị lượng tử hĩa dé giải thích về
sự phụ thuộc của năng lượng phát xạ vào tần số của một vật đen Planck cho
rằng năng lượng cũng giống như vật chất, được cấu tạo từ những thành phần
nhỏ nhất khơng thể phân chia
Năm 1905, Einstein giải thích hiệu ứng quang điện dựa trên ý tưởng lượng tử của Planck nhưng cho rằng năng lượng khơng chỉ phát xạ mà cịn hấp thụ theo những lượng tử gọi là quang tử
Năm 1913, Bohr giải thích quang phổ vạch nguyên tử của hydrogen bằng giả thuyết lượng tử Năm 1924, Louis de Broglie đưa ra lí thuyết về sĩng vật chất
Các lý thuyết trên, mặc dù thành cơng trong giải thích một số thí
nghiệm nhưng vẫn bị giới hạn ở tính hiện tượng luận Chúng khơng được
chứng minh một cách chặt chẽ về tính lượng tử Tất ca các lí thuyết đĩ được
gọi là lí thuyết lượng tử cố điền
Thuật ngữ “vật lí lượng tử” do Johnston đưa ra lần đầu tiên trong bài
“Vũ trụ của Planck dưới ánh sáng của vật lí hiện đại”
Trang 24Schrodinger Sau d6 Schrodinger ching minh rang hai cach tiếp cận trên là tuong duong
Heisenberg đưa ra nguyên lí bất định vào năm 1927 và giải thích Copenhagen cũng hình thành vào cùng thời gian đĩ Bắt đầu vào năm 1927,
Paul Dirac thống nhất lí thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử Cũng vào
khoang thoi gian nay, John von Neumann da đưa ra cơ sở tốn học chặt chẽ cho cơ học lượng tử như là một lí thuyết về tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert được trình bày trong cuốn sách của ơng xuất bán năm 1932 Các lí thuyết này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kì hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và ngày càng được sử dụng rộng rãi
Đầu năm 1927, các cố gắng nhằm áp dụng cơ học lượng tử vào các lĩnh
vực khác nhau như là các hạt đơn lẻ dẫn đến sự ra đời của lí thuyết điện động
lực học lượng tử và lý thuyết trường lượng tử Những người đi đầu trong lĩnh vực lý thuyết trường lượng tử là Paul Dirac, Wolfgang Pauli
Vật lý lượng tử đã mang lại những điều kì lạ thú vị và thách đồ các trực
giác của con người về sự hoạt động của thế giới vật chất Một số vấn đề cơ
bán của lý thuyết này vẫn được tiếp tục đi sâu nghiên cứu
Các nhà nghiên cứu hiện đang tìm kiếm các phương pháp để can thiệp
vào trạng thái lượng tử Những hiểu biết hiện đại về vật lý lượng tử đã định
Trang 2519
Trước tính kì lạ lượng tử, Richard Feynman nĩi rằng: “Chẳng ai hiểu
nổi cơ học lượng tử” Tuy nhiên, vật lý lượng tử đã đạt được những thành
cơng vang dội trong việc giải thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới Tắt cả
các tính chất riêng biệt của hạt vi mơ tạo nên tất cả các dạng vật chất chỉ cĩ
thể mơ tả bằng cơ học lượng tử
Các nhà nghiên cứu hiện đang tìm các phương pháp đề can thiệp vào
các trạng thái lượng tử Nhiều thí nghiệm cho thấy, cơ học lượng tử mang lại
những mức độ tương quan mà trên đĩ khơng biết các điều kiện cịn đúng khơng điều đĩ dẫn đến câu hỏi “Cĩ phải các tính chất của các hạt lượng tử là khơng cĩ thật, mà chỉ tồn tại như là một hệ quả của tri giác chúng ta” đĩ là câu hỏi mà ai trong chúng ta cũng muốn cĩ câu trả lời
Giải Nobel năm 2012 đã được trao cho hai nhà khoa học Serge Haroche
và David Wineland Hướng nghiên cứu của hai ơng đã mở ra một kỉ nguyên mới trong việc nghiên cứu và quan sát trực tiếp các hạt lượng tử riêng lẻ mà khơng phá hủy chúng
Từ những thành tựu đáng kế đĩ cho ta thấy vật lý lượng tử đã tạo ra những thay đối trong nhận thức trên con đường tìm kiếm bản chất của tự nhiên con day bi an
Liên quan đến nhiều vấn đề ở trên, một trong những hướng nghiên cứu đang được phát triển mạnh trong lĩnh vực vật lý lượng tử chính là thơng tin lượng tử Bằng cách vận dụng những trạng thái “đan chẳng nhau” ta cĩ thể truyền tức khắc và an tồn các thơng tin được mật mã dưới dạng các trạng thái lượng tử
2.1.2 Giá trị thành phần spin của hạt cĩ sin=2
Trang 26Giá trị yếu A cĩ thể khác nhau rất nhiều từ giá trị riêng bấy kỳ của A
đặc biệt, phần thực Re(A„) cĩ thể lớn hơn (nhỏ hơn) so với giá trị riêng cực
đại (cực tiểu) của A Dé minh họa cách đo yếu cĩ thể mang lại giá trị cam chúng ta xét ví dụ sau đây Cho A=ơ,, B=ø: là các tốn tử tương ứng với các
An ca co 1 ¬
thành phân của hạt cĩ spin ~ 5 dec theo vecto đơn vị Ä và É, và œ là một gĩc giữa  và é bất kì (xem hình 2.1) cho Hamilton tự do của hệ là 0 Tốn tử
C=A+B tỉ lệ thuận với øọ trong đĩ Ơ là véctơ đơn vị chia đơi gĩc œ
C=0, +0, =2cos(a/2)o, (2.1.1)
Nếu một hạt ban đầu ở trạng thdi|o, = 1)va được tìm thấy cuối cùng với
o, =1, thi giá tri yếu của G, và G, tại các thời điểm trung bình sẽ cũng là 1 Kết hợp các kết quả trên với phương trình (2.2.1) thu được thấy kết quả đáng ngạc nhiên rằng giá trị yếu của ơạ là:
(0, Yo = (G,), + (G,), = te (2 1 2)
2cos(a/2) cos(œ/2)
Trang 27
21
Kích thước của nĩ là I/cos(@/2) va nĩ chi theo hướngƠ Giá trị yếu của một
thành phẩn spin trong hướng tùy ý bằng pháp chiếu của vecto yếu Ø„ trên hướng (GØn)a=cosff8)/cos(/2)
Bức tranh hình học đơn giản sau đây minh họa làm thế nào người ta cĩ thé tìm thấy giá trị yếu của spin trong hướng bất kì đưa ra các điều kiện biên trén 6,=1,0:=1 (xem hình 2.1), chúng ta vẽ trong mặt phẳng xy một vecto kích thước /⁄cos(2⁄2) chỉ theo hướngƠ Hình chiếu của nĩ trên trục bất kỳ trong mặt phẳng xy mang lại giá trị yếu của thành phần này Kết quả này cĩ thể được cho phép đễ đàng từ đặc tính “tuyến tính” của giá trị yếu (tức là, C=A+B nghĩa là C„= A„+ B„) Thành phan spin trong hướng 7) bat kì trong mặt phẳng xy cĩ thể được phân tách theo hướng trực giao 6 vad trong đĩ: 62 StX ga x (2.1.3) 2Cos(œ /2) 2Cos(œ /2) Phân tích là: G, =6, cos() + ø, sin(B) (2.1.4) Trong trường hợp thảo luận hiện nay G, =Íl, Ø, =Ï tuy nhiên: Ø),—(G (6), = (n= Ca - 2cos(a / 2) (2.1.5) Va do d6 (G,)„ = (Gp), cos(B) (2.1.6) Giá trị riêng của thành phan spin theo hướng z đưa tới sự tưởng tượng: (ø,=llø,|lơ =U_
(G,),„=—7———T——v =i tan(a / 2) Cơ = Ilo, = 1) (2.1.7)
Trang 281
= ——, 0, i t /2 2.1.8
7» _cos(œ /2) ¡ tan(@ | ( ) Vector yếu, ngoại trừ giá trị phức, hoạt động như một vector cỗ điển Đây là kết quả của đặc tính tuyến tính các giá trị yếu
2.1.3 Ý nghĩa của vật lý lượng tử
Ngay từ đầu, nhiều kết quả của cơ học lượng tử ngược với cảm nhận
thơng thường đã gây ra rất nhiều các cuộc tranh luận triết học và nhiều cách giải thích khác nhau về vật lý lượng tử Ngay cả các vấn đề cơ bản như các quy tắc Max Bơm liên quan đến biên độ xác suất và phân bố xác suất cũng
phải mắt đến hàng thập ki mới thừa nhận được
Theo cách giải thích của trường phái Copenhagen do Niels Bohr đưa ra
thì bản chất xác suất của các tiên đốn của cơ học lượng tử khơng thể được
giải thích dựa trên một số lý thuyết tất định, và khơng chỉ đơn giản phản ánh
kiến thức hữu hạn của chúng ta Cơ học lượng tử cho các kết quá cĩ tính xác suất vì vũ trụ mà chúng ta đang thấy mang tính xác suất chứ khơng phải là mang tinh tất định
Albert Einstein khơng thích tính bắt định trong phép do vật lý Ơng bảo vệ ý tưởng rằng cĩ một lý thuyết biến số ấn cục bộ nằm đằng sau cơ học
lượng tử và hệ quả là lý thuyết hiện tại chưa phái là hồn thiện Ơng đưa ra
nhiều phán đối lý thuyết lượng tử, trong số đĩ thì nghịch lý EPR (Albert
Einstein, Boris Podolsky, va Nathan Rosen) là nổi tiếng nhất John Bell cho
rằng nghịch lý EPR dẫn đến các sai khác cĩ thể kiểm chứng bằng thực nghiệm giữa cơ học lương tử và lý thuyết biến số ẩn cục bộ Thí nghiệm đã được tiến hành và khẳng định cơ học lượng tử là đúng
Trang 2923
các tính chat bất định cho bởi xác suất vì chúng ta chi quan sát được thế giới mà chúng ta đang tồn tại Trong khi đĩ, giải thích do David Bohm đưa ra thừa nhận sự tồn tại của các hàm sĩng và phi cục bộ Hàm sĩng này cho phép các hạt ở xa cĩ thể tương tác tức thời với nhau Dựa trên cách giải thích này Bohm lý luận rằng bản chất sâu xa của thực tại vật lý khơng phải là tập hợp các vật thê rời rạc như chúng ta thấy mà là một thực thể thống nhất năng động
khơng thê phân chia và bắt diệt
Vật lý lượng tử đã và đang mang lại những điều kì lạ thú vị và thách đố
các trực giác của con người về sự hoạt động của thế giới vật chất Một số vấn
đề cơ bản của lý thuyết này vẫn được đi sâu nghiên cứu và một trong số đĩ là bít lượng tử - khả năng mang thơng tin vơ hạn được giới thiệu trong thơng tin lượng tử mà ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây
2.2 Thơng tỉn lượng tử 2.2.1 Giới thiệu
Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thơng tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà
khoa học Nĩ được xem là một lĩnh vực mới cĩ khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật cĩ liên quan đến sự tính tốn,
thơng tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản Lĩnh vực này xuất hiện kế từ lúc một số nhà khoa học tién phong nhu Charles Bennett, Paul Benioff, Richard Feynman và những người khác bắt đầu nghĩ đến việc áp dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính tốn và xử lý thơng tin
Lý thuyết thơng tin cơ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp
nhất của ngành tốn học Hiện nay, nĩ thật sự là một lý thuyết khơng thể thiếu
Trang 30thơng tin cỗ điển vẫn cịn tồn tại rất nhiều hạn chế do nĩ chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cơ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thơng tin luơn thơi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nĩ đã mang lại nhiều thành cơng đáng kinh ngạc Kế từ năm 1990,
khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát
ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm
về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sự xuất hiện của
vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành vật lý học
vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành
cơng nghệ cao như cơng nghệ điện tử và vi điện tử, cơng nghệ viễn thơng, cơng nghệ quang tử, cơng nghệ tự động hố, cơng nghệ thơng tin Cĩ thé nĩi rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành cơng nhất của thé ky 20 Theo co hoc lượng tử, những hệ vi mơ cĩ các tính chất khác hắn so với các hệ vĩ mơ Ví dụ, các đối tượng lượng tử cĩ thể ở nhiều trạng thái cùng một lúc Hai đối tượng tách biệt nhau hồn tồn vẫn cĩ thể bị rối với nhau, cĩ nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm riêng biệt dù chúng cĩ
ở xa nhau thế nào đi nữa Ngồi ra, cơ học lượng tử cũng đã được xác minh
bằng thực nghiệm: những tiên đốn của nĩ chưa bao giờ sai dù nĩ cĩ kỳ lạ như thế nào đi chăng nữa Thật ra, trong thời kỳ đầu đã cĩ rất nhiều nhà tiên phong của cơ học lượng tử cho rằng nĩ là một lý thuyết khơng đầy đủ Đại
diện cho số đĩ chính là Albert Einstein, người đã khơng đồng ý về tính xác
suất trong cơ học lượng với câu nĩi: “Chúa khơng chơi xúc xắc” Đặc biệt,
năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch ly EPR [8], cho rang cơ học lượng tử là khơng đầy đủ Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964, Bell mới đưa ra được một bất đăng thức (sau này gọi là bất đẳng thức Bell) cho
Trang 3125
Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã và đang hướng đến một lĩnh vực mới - khoa học thơng tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử và cơng nghệ thơng tin cĩ thể làm thay đổi hẳn cách chúng ta giao tiếp và xử lý thơng tin Diéu mau chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thơng tin cơ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nĩ Thơng tin cố điển cĩ thé bi doc va sao
chép lại y nguyên mà khơng hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao
chép đĩ Trong khi đĩ, thơng tin lượng tử khơng thể nào sao chép được
nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều cĩ thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà cĩ thể được tận dụng để trao đổi thơng tin một cách hồn tồn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử cịn cĩ
thé tao ra một mức độ song song trong tính tốn cao hơn hắn một máy tính cĩ kích thước bằng cả vũ trụ Đĩ là các tính tốn được thực hiện một cách hồn
tồn mới, gọi là tính tốn lượng tử
Trong lý thuyết thơng tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thơng tin là bit, cịn trong thơng tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nĩ là bít lượng tử, cịn được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995 Nĩi chung, thơng tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hố hay sự mở rộng của thơng tin cổ điển Bắt kỳ một hệ lượng tử nào cũng cĩ thể được xem như là một qubit nếu nĩ được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính với nhau Các photon phân cực, các hạt cĩ spin 1/2, các nguyên tử hai mức, các cầu trúc chấm lượng tử kép, đều cĩ thê sử dụng như các qubit Ngồi ra cịn cĩ thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau của một hạt như là các qubit
Trang 32điển được mã hố theo các bit thi máy tính lượng tử lại xử lý thơng tin lượng tử theo các qubit Máy tính lượng tử cĩ thé duoc str dung dé thực thi những
nhiệm vụ rất khĩ thực hiện đối với máy tính số thơng thường Ví dụ, các siêu
máy tính số ngày nay phải mắt một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để cĩ thê tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn cĩ khoảng vài trăm chữ số, trong khí đĩ các máy tính lượng tử cĩ thé thực hiện nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây
Những phát triển gần đây của lý thuyết thơng tin lượng tử đã đem lại
rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng
rộng rãi vào cơng nghệ tương lai Những hứa hẹn về các ngành cơng nghệ
mới như: Tính tốn lượng tử [9,32,10], Viễn chuyên lượng tử [6], Mật mã lượng tử, hội thoại lượng tử, Kiểm tra lượng tử [2], Viễn tác các tốn tử
{3] đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học Những nhà phat minh ra cơ học lượng tử chắc khơng thể ngờ rằng các trạng thái rối lượng tử lại cĩ thể cĩ những cơng dụng to lớn đến như thế Vậy mục đích quan trọng
trong lý thuyết thơng tin lượng tử là làm thế nào để tạo ra, định lượng và sử dụng rối lượng tử, đĩ khơng chỉ là bản chất của cơ học lượng tử mà cịn là
nguồn tài nguyên khơng thê thay thế được cho việc xử lý thơng tin lượng tử 2.2.2 Bit lượng tử
Don vi cơ bản của thơng tin cổ điển là bịt Một bit cĩ thể nhận hai giá
trị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thơng tin nhỏ nhất Một bit cĩ thể được hiện thực hố trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt
hoặc “mở” Quá trình sử lý thơng tin cơ điển liên quan đến việc làm thế nào để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thơng tin cơ điển mà trong đĩ
nĩ được mơ tả bởi các bit theo những cách cĩ hiệu quả Shannon, trong cơng
Trang 3327
các bit cĩ thé đọc trộm mà khơng ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũng được mà khơng hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản
Cơ học lượng tử sử đụng hai cơng cụ chủ yếu để mơ tả tự nhiên: các đại lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứng
với một tốn tử Hermitic Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào
việc nĩ được đo trong véctơ trạng thái nào Khác với vật lý cơ điển, vật lý lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính ( hay tổ hợp tuyến tính) của nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả
sử rằng |x,) biéu dién trạng thái của hạt ở xung quanh vi tri xị, x;,) biểu diễn
trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí xạ Ví dụ, chúng ta cĩ thể giả sử hai
giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 2.2 Trong đĩ, các trạng thái Ix¡) và |x„) cĩ thể được xem là các bĩ sĩng Gauss
Trong khi một hạt cổ điển chỉ cĩ thể ở trong giếng thế này hoặc giếng
thế kia thì một hạt lượng tử cĩ thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng thái cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nĩ Một trong
các trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A cĩ thé ở đĩ là
1
—=(|x,)+e*|x,), (mF x) (2.2.1)
trong do 1/ V2 là thừa số chuẩn hố và ÿ là thừa số pha Mỗi lần chúng ta do
toạ độ của hạt A thì xem thật sự nĩ ở đâu thì trạng thái (2.2.1) sẽ xẹp xuống và hạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x¡ hoặc x; với xác suất bằng nhau và
Trang 34
Hình 2.2: Sơ đồ về sự chơng chập tuyến tính của hai bĩ sĩng Gauss trong một giếng thế kép Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào
một thời điểm nào đĩ nhưng một hạt lượng tử thì cĩ thể ở trong mot sự chéng
chập cua hai trang thái khác nhau giống như (c)
Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (2.2.1) là
sự giao thoa giữa các trạng thái |x,) và |x,) cĩ thể ảnh hưởng đến sự phân bố
xác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (2.2.1) Mức độ giao thoa thay đối tuỳ theo giá trị của $ Biểu thức (2.2.1) khơng cĩ nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung quanh x¡ hoặc là ở xung quanh x; và xác suất của chúng là bằng nhau như một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một
trạng thái trộn của |x,) và |x;)với các xác suất băng nhau được mơ tả bởi
Trang 3529
đĩ giữa xị và x; Cũng thật nguy hiểm khi nĩi rằng hạt A đồng thời ở cả xung quanh xi và x¿ tại cùng một thời điểm Nĩ thật rộng bởi vì chẳng ai cĩ thể xác
minh được nĩ nếu khơng tiễn hành một phép đo trực tiếp Đã cĩ một số ví dụ
nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này Nghịch lý con mèo của
Schrưdinger cho thấy sự mơ tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế
nào khi nĩ được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mơ Thí nghiệm hai khe hẹp giải thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng
chập Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo
ra một kết quả vơ nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật chất Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng
tử của hai trạng thái |A) và |B) cĩ thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ
ba do sự giao thoa lượng tử mà khơng bao giờ thu được từ |A), B) giống như từ hỗn hợp cơ điển của |A) và |B) Những hiệu ứng này (ví dụ như vân giao
thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mắt khi bất kỳ một phép đo nào được
thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử Vẫn cịn rất
nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực thực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này
Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái niệm mới về đơn vị của thơng tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum bit” hay viết tắt là qubiÐ Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập
của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1 Nĩ khơng phải
là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng khơng phải là một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này Qubit được định nghĩa trong một khơng gian Hilbert hai chiều H cĩ véctơ cơ sở trực chuẩn:
Trang 36I)=al0)+b|l) (2.2.3) là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái co bản với các số phức a va b bất kỳ Bit Bit lượng tử lo) alo) +b) A I
Hình 2.3: Sơ đỗ về các bit và bit lượng tử Trong khi một bit chỉ chiếm
một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc Ï thì một bit lượng tử lại cĩ thể ở bắt
kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloech vì nĩ cĩ thể ở trong trạng thái chỗng
chập khác nhau Nĩi chung, một bit lượng t†ử cĩ thể được đặt bắt cứ một điểm
nào ở bên trong quả cầu nếu như nĩ ở trong một trạng thái hỗn hợp
a[ ` +|b|=1, trong đĩ|a| (|b|[) tươn
Thoả mãn điều kiện chuẩn hố,
ứng với xác suất mà qubit đo được cĩ giá trị “0” (“1”) Chú ý rằng các trạng thái cơ sở cĩ thể được chọn một cách tuỳ ý Ví dụ như |0)+ |) /A2và I0)~ |1) / V2 cing cĩ thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác
Dạng tổng quát của một ma trận mật độ của một qubit là
1_ ru
Trang 3731
trong dé r 1a vecto thuc, 6=(6,,0,,6,) 1a cdc tốn tử Pauli là ma trận đơn
vị Điều kiện dương của tốn tử mật độ (p auvi 2 Odan dén bat đẳng thức r< I
M6t qubit co thé dugc biéu diễn bởi r trong một quả cầu tưởng tượng với bán kính đơn vị (xem hình 2.3), gọi là quả cầu Bloch Nếu một qubit ở trong một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nĩ luơn luơn nằm trên mặt cầu
Người ta cĩ thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều
thơng tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vi một qubit cĩ thể tồn tại như
là một số vơ hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau Nhưng thật ra, khơng cĩ nhiều thơng tin hơn cĩ thê thu được từ một qubit bởi vì kết qua doc
ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử Nĩi chung, cơ học
lượng tử khơng cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà khơng phá
huỷ nĩ Vì vậy, nĩi chung, một qubit khơng thể bị đọc mà khơng biến mất
trong khi một bit thì lại cĩ thể Một quá trình đọc ra của một qubit |) sẽ làm cho trạng thái qubit xẹp xuống là |0) hoặc |I) tuỳ thuộc vào kết qua đo Cùng
lý đo đĩ mà một qubit bất kỳ khơng thể được nhân bản một cách hồn hảo, đĩ
là nội dung của định lý “khơng nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là một
định lý đĩng vai trị quan trọng trong xử lý thơng tin lượng tử
Đã cĩ một số đề xuất hiện thực hố các qubit đối với quá trình xử lý
Trang 38cho truyén tin và qubit vật thật (cĩ khối lượng) rất tốt cho tính tốn lượng tử Việc chuyên hố thơng tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ càng trong và xem các tài liệu tham khảo trong đĩ
2.2.3 Rối lượng tử
Rối lượng tử là một trong những điều thú vị nhất của cơ học lượng tử Cái tên rối lần đầu tiên được đưa ra bởi Shrưdinger bằng tiếng Đức là “verschrankung” (tiếng Anh là “entanglement”) Khi hai hệ tương tác với nhau và sau khoảng thời gian ảnh hưởng lẫn nhau các hệ tách riêng ra trở lại thì lúc đĩ chúng khơng cịn được mơ tả theo cách như trước đây nữa Đây là nét đặc trưng của cơ học lượng tử Do đã tương tác với nhau mà hai hệ trở
nên rối với nhau, dù sau đĩ chúng cĩ ở cách xa nhau bao nhiêu cũng được
Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuất hiện và đĩng gĩp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trên nguyên lý bất định Heisenberg Như đã được giải thích bởi Shrưdinger, các trạng thái rối cĩ thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung
lượng phải được bảo tồn Tuy nhiên, một trạng thái rối cĩ thể mất rối do
tương tác với mơi trường Rối đĩng vai trị khơng thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các quá tình xử lý thơng tin lượng tử bao gồm viễn chuyển
lượng tử, mật mã lượng tử và tính tốn lượng tử Giả sử một trạng thái hai hệ 1 và 2 được định nghĩa trong một khơng gian Hilbert H;® H; như sau:
2 2
Wo =(al0),|1), +1), 0),, fal +b) =1 225)
Cĩ thể thấy rằng trạng thái này khơng thể được biểu diễn như là một
tích hợp trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ |), ®j), Khi đĩ (2.2.5) được
Trang 3933
rối cực đại ứng với trường hợp |a|=|b| Bốn trạng thái rối cực đại trong khơng
gian H,®H¿ tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là
®)= 1 (0)0/*|0)I), 2.2.6)
w,)= 5 COIN) IO) (2.2.7)
được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR Một cách tổng quát, chúng ta
nĩi rằng trạng thái |), là rối trong H,®H; khi nĩ khơng thể được biểu diễn
như là một tích trực tiếp của hai trạng thái bat ky
IM),,# lu), ®|), (2.2.8)
với |\U), ly’), là vectơ trạng thái của hệ 1 (2)
Sự rối khơng phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng cĩ thể xảy ra giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau Khi đĩ ta cĩ rối đa hệ Rối đa hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý thơng tin lượng tử Ví dụ, trong viễn chuyên nếu một kênh lượng tử sử dụng khơng phải là rối cực đại thì xác suất thành cơng sẽ luơn bé hơn xác suất thành cơng
của việc sử dụng rỗi cực đại Để tạo được một trạng thái lượng tử rỗi cực đại
là một việc làm khơng dễ Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát triển dé chat
lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng thải rối
Trang 40®
()
(a)
Hinh 2.4 (a) hai hé vat ly tach riéng A va B khéng rồi với nhau; (b) A
và B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rồi; (đ) A và B tương tác với mơi trường C và giảm độ rồi hoặc mất rối hồn tồn
2.2.4 Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp
Xem hai trạng thai két hop 1a) va |-c) Hai trạng thái này khơng trực
giao với nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng l{œ I—ơ) Ê= e *°” lại giảm
rất nhanh theo lœI Ví dụ Iœ =2 thì tích phân xen phủ của chúng đã nhỏ tới
cỡ I0” Chúng ta đồng nhất hai trạng thái kết hợp này như là hai trạng thái cơ
sở của một qubit logic:
la) >10,>, |-a) 11.) (2.2.9) Lúc này trạng thái một qubit được biểu diễn như sau:
Icsq) =H10,>+V11,) =pH1a) + v1—a) (2.2.10)