Ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Vĩnh Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BẢNG KÍ HIỆU p : Trường số p-adic p : Bao đóng đại số p : Trường đầy đủ hóa p p p : Giá trị tuyệt đối p-adic ord p  z  : Chỉ số mũ z  : Bán kính hội tụ B  : Quả cầu mở tâm bán kính  B r  : Quả cầu đóng tâm bán kính    r, f  : Số hạng cực đại   r, f  : Chỉ số tâm  1 n  r,   f  : Số không điểm f (kể bội) với trị tuyệt đối  r  1 N  r,   f  : Hàm trị f  1 n  r,   f  : Số không điểm f (không kể bội) với trị tuyệt đối  r  1 N  r,   f   1 : Hàm trị f tương ứng với n  r ,   f  m  r, f  : Hàm bù f T  r, f  : Hàm đặc trưng f p z : Trường hàm hữu tỉ p O 1 : Đại lượng bị chặn O f  : Đại lượng bị chặn so với f o f  : Đại lượng vô bé f MỞ ÐẦU Gần đây, lý thuyết Nevanlinna trở thành lĩnh vực toán học động Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] chứng minh tương tự padic hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết lý thuyết Nevanlinna cổ điển Khoái [4] nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, chứng minh mối liên hệ số khuyết siêu phẳng vị trí tổng quát Cherry-Yang [13] mô tả số tập xác định với số phần tử hữu hạn hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm lý thuyết Nevanlinna Những kết đóng góp quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna Trong giải tích phức, ứng dụng bật lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna sử dụng việc nghiên cứu tính chất nghiệm hàm nguyên hay hàm phân hình phương trình vi phân Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s ví dụ điển hình số kết định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P  X  Q  X  phần tử nguyên tố vành đa thức biến với hệ số trường hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức phương trình vi phân f   P f  có Q f  nghiệm phân hình siêu việt f, Q đa thức bậc không theo biến X P có bậc tối đa 2” Kết tảng để xây dựng định lí kiểu Malmquist tổng quát sau giải tích phức Về sau, kết giải tích phức thường xây dựng tương tự giải tích p-adic; vậy, ý tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân đại số, đặc biệt kết kiểu Malmquist tương tự p-adic điều tất yếu Trong luận văn này, trình bày phương trình vi phân đại số p-adic dạng:   z , w, w, , w n   R  z, w , Trọng tâm phần tập trung vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta số phương trình vi phân đại số nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận Hơn nữa, kết mở rộng trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) nghiên cứu nghiệm chấp nhận số phương trình vi phân cụ thể Các kết nội dung trọng tâm chương Trong chương 3, trình bày tương tự p-adic định lí Baker giải tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động hàm nguyên siêu việt, là: “Nếu f hàm nguyên siêu việt p cấp n, trừ nhiều giá trị n” , f sở hữu vô hạn điểm bất động Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Trong chương này, trình bày kết quan trọng cần thiết lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic, kiến thức bổ trợ cho phần trọng tâm luận văn chương 1.1 Lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic: Cho p số nguyên tố, gọi adic bao đóng đại số p trường số p-adic, p p p Giá trị tuyệt đối p đầy đủ hóa pp chuẩn hóa cho p p  p 1 Ta dùng kí hiệu ord p  z    log p z p Nhắc lại rằng, không gian mêtric đầy đủ có nhờ chuẩn phi Archimedean, tổng vô hạn hội tụ số hạng tổng quát tiến dần không Khi biểu diễn dạng:  a f  z    an z n n n 0  p  xác định tốt an z n  p Định nghĩa “ bán kính hội tụ  ”   lim sup an n  p n Khi chuỗi hội tụ z p   phân kì z p   Cũng hàm f  z  gọi hàm giải tích p-adic B    ,  B   z  p  zp Nếu    , hàm f  z  gọi hàm nguyên p-adic P Cho f hàm giải tích p-adic khác B          Ta định nghĩa số hạng cực đại:   r , f   max an p r n 0  r    n0 số tâm:     r , f   max n an p r n    r , f  n0 Định nghĩa   0, f   lim  r , f  r 0 Bổ đề 1.1.1: Nếu f h hai hàm giải tích p-adic B    , đó:   r , fh     r , f    r , h  Bổ đề 1.1.2: Chỉ số tâm   r , f  tăng r   , thỏa mãn công thức: r   t , f     0, f  t log   r , f   log a  0, f    p dt    0, f  log r 0  r    Hệ 1.1.3:   r , f  hàm số liên tục  0,   Bổ đề 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tồn đa thức P bậc   r , f  hàm giải tích p-adic g B  r  cho f  gP ,  B r   z  p zp r  Hơn nữa, g không điểm B  r  , P có   r , f  không điểm, kể bội B  r   1 Gọi n  r ,  số không điểm ( tính bội ) hàm f với trị tuyệt đối  r  f  định nghĩa hàm trị f bởi:  1  1 n  t ,   n  0,  r f   1  f  dt  n  0,  log r N  r,       t  f   f  0  r    Bổ đề 1.1.3  1 n  r,     r, f   f  Khi bổ đề 1.1.2 cho ta công thức Jensen:  1 N  r ,   log   r , f   log a   n 0,   f   f  p  1 Ta kí hiệu số không điểm phân biệt f B  r  n  r ,  định  f  nghĩa  1  1 n  t ,   n  0,  r f   1  f dt  n  0,  log r N  r,       t  f   f  0  r    Với n ta vẽ đồ thị  n  t   ord p  an z n   ord  an   nt hàm t  ord p  z  Khi  n  t  đường thẳng với hệ số góc n Gọi   t , f  bờ giao tất nửa mặt phẳng nằm đường  n  t  Đường thẳng gọi đa giác Newton hàm f  z  Điểm t đỉnh   t , f  gọi đỉnh tới hạn f  z  Một đoạn hữu hạn  ,   chứa số hữu hạn điểm tới hạn Rõ ràng t điểm tới hạn, hàm f  z  có hai số hạng cực đại Hiển nhiên, ta có:   r , f   p   t , f  r  p  t Tính chất 1.1.5: Nếu t  ord p  z  không điểm tới hạn, f  z p  p  t , f     r, f  Định nghĩa 1.1.6: Hàm biểu diễn dạng thương f  g hai hàm giải tích h p-adic g h cho g h nhân tử chung vành hàm giải tích p-adic B    gọi hàm phân hình f B    Ta mở rộng  cho hàm phân hình f    r, f   g cách định nghĩa h   r, g    r, h Ta đặt  t, f    t, g    t, h  Rõ ràng, t  ord p  z  không điểm tới hạn f  z  , hay t không điểm tới hạn g  z  h  z  , f  z p  p  t , f     r, f  Định nghĩa p Khi  p w w   Nếu a : [0, )  p và b : p p    z p z p  [0, ) trù mật hàm giá trị thực, ar  br nghĩa với số dương hữu hạn  R   , có tập hữu hạn E p   0, R  cho a r   br , r zp p   0, R   E Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có   r, f   f  z  p hàm phân hình p-adic f B    Định nghĩa hàm đếm n  r , f  hàm trị N  r , f  f cực điểm  1 n  r, f   n  r,  ,  h  1 N  r, f   N  r,   h Áp dụng công thức Jensen cho g f , ta thu công thức Jensen cho hàm phân hình:  1 N  r ,   N  r , f   log   r , f   C f  f  C f số phụ thuộc vào f Định nghĩa m  r , f   log    r , f   max 0,log   r , f  Cuối cùng, ta định nghĩa hàm đặc trưng: T  r, f   m  r, f   N  r, f  Tính chất 1.1.7: Cho f i  M   k N  r,   i 1 Tính chất 1.1.9:   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có:  k f i    N  r , fi ,  i 1 Tính chất 1.1.8: Cho f i  M   k m  r,   i 1 p p  k N  r,   i 1  k fi    N  r , f i   i 1   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có  k  fi   max m  r , f i  , m  r ,   1i k  i 1 Cho f i  M   k T  r,   i 1 p  k f i    m  r , fi   i 1   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có  k  k fi    T  r , f i , T  r ,   i 1  i 1  k fi    T  r , f i   i 1 Tính chất 1.1.10: Cho w  M      N r , w m r , w p  Khi với  số nguyên dương tùy ý, ta có   N  r, w   N  r, w    1 N  r, w   w    m  r, w  m  r,   m  r , w   O 1  w   từ suy  w    1 N  r,    N  r , w   N  r ,   w   w  Sau số kết quan trọng lý thuyết Nevanlinna sử dụng phần sau Định lí 1.1.11: ( Định lí thứ ) Cho f hàm phân hình khác B    Khi với a  p ta có:     m  r,   N  r,   T  r , f   O 1  f a  f a  r    Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit ) Cho f hàm phân hình khác B    Với số nguyên dương n bất kì, ta có  f  n  m  r,   O 1  f    r    Định lí 1.1.13: ( Định lí thứ hai ) Cho f hàm phân hình khác B    gọi a1 , a2 , , aq số đôi khác q  j 1   q  1 T  r , f   N  r , f    N  r , f  aj p Khi    N1  r , f   log r  O 1  q    N  r, f    N  r,  log r  O 1  f  a  j 1 j    1 N1  r , f   N  r , f   N  r , f    N  r ,   f Tính chất 1.1.14: Nếu f hàm nguyên khác p Khi đó:  1 N  r ,   T  r , f   O 1 ,  f  nữa, với a  p ta có:   N  r,   T  r , f   O 1  f a 1.2 Cấp tăng hàm phân hình p-adic: Gọi M  p  không gian hàm phân hình p-adic p Định nghĩa k A  r , w   a j  z  w j , j 0 a j  M  p  với a k Định nghĩa 1.2.1: Cho a   p   , gọi  af  z0  bội số f giá trị a z0 , tức  af  z0   m  a   z  z0  m h  z  : a    f z   h z : a  m  z  z0   với h  z0   0,  Bổ đề 1.2.2: Với z0  p , w  z0    , ta có:   k  A  z0   k   z0    a  z0   A  z0   k   z0    a0  z0  Bổ đề 1.2.3: Nếu w  M   w j 0 k  w p j j 0 j  ,  k   N  r , A   kN  r , w   O    N  r , a j   N  r ,  a  j 0  j    Bổ đề 1.2.4: Nếu w  M  p          ,  k   m  r , A   km  r , w   O    m  r , a j   m  r ,  a  j 0  j            Từ bổ đề 1.2.1 1.2.2 ta có kết sau: Định lí 1.2.5: Nếu w  M  p  ,  k  T  r , A   kT  r , w   O   T  r , a j    j 0  Lấy b0 , b1 , , bq   M  p  với b q  định nghĩa q B  z, w   b j  z  w j j 0 Giả sử A  z , w  B  z , w  đa thức nguyên tố w Định nghĩa R  z, w  A  z, w B  z, w Bổ đề 1.2.6: Cho z0  p , Nếu  B  z0    R  z0    A  z0    B  z0  Trong trường hợp  B  z0   ta có  R  z0    A  z0    B  z0  Định lí 1.2.7: Nếu w  M  p  , đó: q  k  T  r , R   max k , q T  r , w   O   T  r , a j    T  r , b j   j 0  j 0  Định lí 1.2.8: Nếu w hàm nguyên p-adic khác f M  p    z  , đó: p T  r , f w    r  T  r , w  lim Hệ 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f hàm hữu tỉ bậc d p nếu, với hàm nguyên p-adic khác w p , ta có T  r , f w  d r  T  r , w  lim Hệ 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f p hàm hữu tỉ bậc d T  r, f  d r  log r lim Hàm phân hình p-adic M  p nhiên, hàm phân hình p-adic    z  gọi hàm siêu việt Hiển p p siêu việt T  r, f    r  log r lim Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC Trong chương này, trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquisttype phương trình vi phân 2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic phương trình có dạng   n  z , w, w, , w   R  z , w  (1)   z , w, w, , w (2) n   c w i iI i0  w i1   w n in i   i0 , i1 , , in  số nguyên không âm, I tập hữu hạn, ci  M  R  z , w  hàm phân hình p-adic p p Ta định nghĩa  n   n   n  deg     max  i  ,      max    1 i  ,      max   i  iI iI iI  0   0    1   Bổ đề 2.1.2: Với toán tử  z , w, w, , w n      ci wi0  w  w i iI n in ta có:   z0        w  z0    c  z0  iI i Chứng minh:   Đặt Ai   ci wi0  w  w i iI n in Khi đó, n  A  z0   c  z0      1 i  w  z0  (do  w   z0    w  z0   k ) i i k  0 ,  n  Theo định nghĩa      max    1 i  , suy ra: iI  0    z0        w  z0    c  z0  iI Tính chất 2.1.3: Với w  M  p i  , ta viết   z  dạng:    z    z , w  z  , w  z  , , w n  z  Khi ta có: (3) N  r ,    deg    N  r , w       N  r , w    N  r , ci  iI N  r ,        N  r , w    N  r , ci  iI (4) n   w    m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci    i m  r ,   iI w    1    deg    m  r , w    m  r , ci   O 1 iI (5) T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1 iI T  r ,        T  r , w    T  r , ci   O 1 iI Chứng minh: Theo tính chất 1.1.10 ta có:  N r , w   Suy N  r , ci wi0  w  w  i n in    N  r , w   N  r, w n n    i  N r, w    i  N r, w  N r, c        i          0    1  N  r ,    deg    N  r , w       N  r , w    N  r , ci       N  r , w    N  r , ci  iI Theo tính chất 1.1.8 1.1.10 ta có: iI   i n m  r , ci wi0  w  w   in   n n    i  m r, w  m r, c  i m  r, w    i           w     0   1  Cũng theo tính chất 1.1.8 ta suy ra: n   w    m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci    i m  r ,    iI w  1      w   Theo định lí 1.1.12 ta có: m  r ,   O 1 nên:  w   m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci   O 1 iI  deg    m  r , w    m  r , ci   O 1 iI Từ kết (1) (2) ta thu được: T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1 iI  deg    T  r , w       T  r , w    T  r , ci   O 1 iI      T  r , w    T  r , ci   O 1 iI Định nghĩa (6) R  z, w  A  z, w , A  z , w  B  z , w  đa thức nguyên tố B  z, w k q w A  r , w    a j  z  w , B  z , w    b j  z  w j , j j 0 với a0 , , ak , b0 , , bq   M  Bổ đề 2.1.4: Cho w  M  p p , a k j 0  0, bq  Ta có kết sau:  nghiệm (1), Nếu q  k ,   1 q    m  r ,     m  r , ci    m  r , a j   O  m  r ,    m  r , b j   iI j 0   bq  j 0  k 8 k  q  N  r ,     N  r , ci    N  r , a j   O   N  r ,  j 0  b j iI j 0         k  T  r ,     T  r , ci    T  r , a j   O T  r , b j  9 iI j 0 Chứng minh: Lấy z  p với w  z   0, ; ci  z   0,  a j  z   0,  0  j  k ;  i  I  ; b j  z   0,    j  q  , định nghĩa   q j   b z   j  p     z   max 1,  0 j  q   bq  z  p     Nếu w  z  p    z  , ta thấy b j  z  w  z  p  bq  z    z  j p q j p w  z  p  bq  z  w  z  p j q p Khi   z , w  z    bq  z  w  z  p (do tính chất chuẩn phi-archimedean) q p p Khi  z p  A  z, w  z   B  z, w  z   p   max a j  z  w  z  0 j  k j bq  z  w  z  p q p p   max  a  z  0 j  k p j w z  p k p bq  z  w  z  p q p (do w  z  p    z   )   max a j  z  w  z  p 0 j  k q p bq  z  w  z  p q p  max a j  z  p bq  z  0 j k p (do q  k )  Nếu w  z  p    z  , đó:  z p   c w  w iI   z i i0 deg    i1    n w max ci  z  p iI i in  p  c  z  w z  iI i i1 n w  z  w   z  w z  p w z  i0  i1   in  w  z    w n   z         w z    w z   in in p Kết hợp hai trường hợp ta được:  z p in i1 n  aj  z w  z  w   z   deg     p  max  , z max ci  z  p  iI 0 j  k ,iI w z  p w z    bq  z  p p   in i1 n   a j  z  p  w z w z   b j  z  p  max  , max ci  z  p max 1, iI 0 j  k ,iI 0 j  q w z w z b z       q    bq  z  p p p p       deg    q j       Suy deg        i i1 n n  q j     b    r, a j   w w     j   r ,    max  ,   r , ci    r ,    r , max 1,  , , r       0 j  q  b  0 j  k ,iI  r , b w w     q      q     (do   r , f   f  z  hàm phân hình p-adic f ) p Bất đẳng thức trường hợp z p  r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban đầu, tính chất liên tục hàm  nên bất đẳng thức cho r  Suy i1    1  w  log   r , a j   log   r ,  ,log   r , ci   log   r ,    b w    q   log   r ,    max   i n 0 j  k ,iI    deg      w n     log1,log   r , b j   log   r ,     log   r , w   max  0 j  q    bq   q  j    Suy i1    1  w  m  r , a j   m  r ,  , m  r , ci   m  r ,     w    bq  m  r ,    max   in 0 j  k ,iI    deg       w n     m  r , b j   m  r ,    m  r , w  max  0 j  q   bq   q  j     k   1 q    m  r , ci    m  r , a j    m  r ,    m  r , b j   O 1   bq  j 0  iI j 0     k     m  r , ci    m  r , a j   O  m  r ,   bq iI j 0     q  m r b ,    j     j 0   w   (do m  r ,   O 1 ,    n )  w   Lấy điểm z0  p , w  z0    Theo bổ đề 1.2.2 ta có: k  A  z0   k  w  z0     a  z0 , j j 0 q  B  z0   q w  z0    b0  z0  j j 0 Nếu q  w q  z0    b0  z0   , j j 0 q  B  z0   q w  z0    b0  z0   j 0 j Theo bổ đề 1.2.6 ta có:  R  z0    A  z0    B  z0  Mặt khác:  k  j 0   q   j 0   A  z0    B  z0    k  w  z0    a  z0     q w  z0    b0  z0    k  q   w k q j k j  q  z0      z0      z0      z0    b0  z0  j 0  aj j 0 bj j 0  aj j 0 j (do q  k ) Suy q k   z0    R  z0    A  z0    B  z0    a  z0    b0  z0  j 0 q j j j 0 q Nếu q  z0      z0      z0    b j  z0  q j 0 j 0  w  w bj Theo bổ đề 2.1.2, ta có:   z0        w  z0    c  z0   iI i   q b j  z0    ci  z0   q j 0 iI Kết hợp hai trường hợp ta được:     q    b j  z0    ci  z0  q  j 0 iI  k   z0    a  z0   max 1, j 0 j Trong trường hợp w  z0    ta quay trường hợp hai q q j 0 j 0 q w  z0    b0j  z0    b0j  z0   Từ ta suy     q    z0      z0   max 1,   b j  z0    ci  z0  q  j 0 j 0 iI    k  aj Do k     q    b j   ci q  j 0 iI     a  max 1, j 0 j Từ suy  q  N  r ,     N  r , ci    N  r , a j   O   N  r ,  j 0  b j iI j 0   k      Lấy (7) (8) cộng theo vế ta được: k   T  r ,     T  r , ci    T  r , a j   O T  r , b j  iI j 0 [...]... Hàm phân hình p-adic trong M  p nhiên, một hàm phân hình p-adic trên    z  được gọi là hàm siêu vi t Hiển p p là siêu vi t nếu và chỉ nếu T  r, f    r  log r lim Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquisttype trong phương trình vi phân 2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi. .. 1.2.8: Nếu w là một hàm nguyên p-adic khác hằng và nếu f M  p    z  , khi đó: p T  r , f w    r  T  r , w  lim Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên là một hàm hữu tỉ bậc d nếu p và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên p , ta có T  r , f w  d r  T  r , w  lim Hệ quả 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f trên p là một hàm hữu tỉ bậc d nếu và chỉ nếu T  r,... Tính chất 1.1.14: Nếu f là hàm nguyên khác hằng trên p Khi đó:  1 N  r ,   T  r , f   O 1 ,  f  hơn nữa, với mọi a  p ta có:  1  N  r,   T  r , f   O 1  f a 1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic: Gọi M  p  là không gian các hàm phân hình p-adic trên p Định nghĩa k A  r , w   a j  z  w j , j 0 trong đó a j  M  p  với a k Định nghĩa 1.2.1: Cho a   0 p   , gọi... trình vi phân đại số p-adic: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic là phương trình có dạng   n  z , w, w, , w   R  z , w  (1) trong đó   z , w, w, , w (2) n   c w i iI i0  w i1   w n in và i   i0 , i1 , , in  là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn, ci  M  và R  z , w  là một hàm phân hình p-adic trên 2 p p Ta định nghĩa  n   n   n  deg... j  q  b  0 j  k ,iI  r , b w w     q      q     (do   r , f   f  z  đối với mọi hàm phân hình p-adic f ) p Bất đẳng thức này đúng trong trường hợp z p  r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm  nên bất đẳng thức trên cũng đúng cho mọi r  0 Suy ra i1    1  w  log   r , a j   log   r ,  ,log   r , ci   log   r... Từ bổ đề 1.2.1 và 1.2.2 ta có kết quả sau: Định lí 1.2.5: Nếu w  M  p  , khi đó  k  T  r , A   kT  r , w   O   T  r , a j    j 0  Lấy b0 , b1 , , bq   M  p  với b q  0 và định nghĩa q B  z, w   b j  z  w j j 0 Giả sử rằng A  z , w  và B  z , w  là các đa thức nguyên tố cùng nhau đối với w Định nghĩa R  z, w  A  z, w B  z, w Bổ đề 1.2.6: Cho z0  p , Nếu... iI Từ kết quả (1) và (2) ta thu được: T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1 iI  deg    T  r , w       T  r , w    T  r , ci   O 1 iI      T  r , w    T  r , ci   O 1 iI Định nghĩa (6) R  z, w  A  z, w , trong đó A  z , w  và B  z , w  là các đa thức nguyên tố B  z, w k q cùng nhau đối với w và A  r , w  ... z0    c  z0  iI i Chứng minh:   Đặt Ai   ci wi0  w  1 w i iI n in Khi đó, n  A  z0   c  z0      1 i  w  z0  (do  w   z0    w  z0   k ) i i k  0 ,  n  Theo định nghĩa của      max    1 i  , suy ra: iI  0    z0        w  z0    c  z0  iI Tính chất 2.1.3: Với w  M  p i  , ta vi t   z  dưới dạng:   ...  O 1 iI Chứng minh: Theo tính chất 1.1.10 ta có:  N r , w   Suy ra N  r , ci wi0  w  1 w  i n in    N  r , w   N  r, w n n    i  N r, w    i  N r, w  N r, c        i          0    1  và N  r ,    deg    N  r , w       N  r , w    N  r , ci       N  r , w    N  r , ci  iI Theo tính chất 1.1.8 và 1.1.10 ta có:... nguyên tố B  z, w k q cùng nhau đối với w và A  r , w    a j  z  w , B  z , w    b j  z  w j , j j 0 với a0 , , ak , b0 , , bq   M  Bổ đề 2.1.4: Cho w  M  p p , a k j 0  0, bq  0 Ta có kết quả sau:  là một nghiệm của (1), trong đó Nếu q  k , khi đó   1 q   7  m  r ,     m  r , ci    m  r , a j   O  m  r ,    m  r , b j   iI j 0   bq  j 0