Phương pháp ritz và ứng dựng trong giải bài toán biên phương trình vi phân (LV01729

24 2.3 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng.. Phương pháp biến phân có thể được hiểu làphương pháp tìm nghiệm của phương trình thông qua vi

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướngdẫn tác giả hoàn thành luận văn này Trong suốt quá trình thực hiệnluận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sựchỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp tác giả có ý thứctrách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạycao học chuyên ngành Toán Giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại họcTrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầygiáo PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong quá trình nghiên cứu luận văn tôi có sử dụng sách tham khảocủa một số tác giả, các nhà nghiên cứu đã nêu trong mục tài liệu thamkhảo

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là trung thực, không sao chép từcác tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nàokhác

Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

Mục lục

MỞ ĐẦU 5

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 7 1.1 Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 7

1.1.1 Không gian định chuẩn 7

1.1.2 Không gian Banach 8

1.1.3 Toán tử tuyến tính 8

1.1.4 Ví dụ 9

1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 10

1.3 Không gian Hilbert 12

1.3.1 Tích vô hướng 12

1.3.2 Không gian Hilbert 13

1.3.3 Toán tử tuyến tính 13

1.3.4 Ví dụ 14

1.4 Bài toán biên của phương trình vi phân 15

1.4.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân 15

1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân 16

2 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 19 2.1 Phương pháp Ritz 19

2.2 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên phương trình vi phân thường 24

2.3 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng 28

2.4 Các hệ cực tiểu 31

2.5 Những hệ cực tiểu mạnh và những hệ hầu như trực giao 35 2.6 Nhận xét về quá trình Ritz 38

2.6.1 Một số phương pháp biến phân khác 45

2.6.2 Phương pháp chiếu trực giao 47

2.6.3 Phương pháp Trephsa 48

2.7 Tính chất giới hạn của dãy Ritz 49

3 THỬ NGHIỆM SỐ 60 KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán giải xấp xỉ phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn

và ý nghĩa thực tiễn cao Xét phương trình

đề mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Một trong các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình làphương pháp biến phân Phương pháp biến phân có thể được hiểu làphương pháp tìm nghiệm của phương trình thông qua việc tìm cực tiểucủa một phiếm hàm được xây dựng từ các yếu tố của bài toán giải phươngtrình toán tử Một trong những phương pháp biến phân là phương phápRitz về giải phương trình toán tử trong không gian Hilbert Với mongmuốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đềtài: “Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biênphương trình vi phân”

2 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biênphương trình vi phân

Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Ritz

3 Mục đích nghiên cứu

Luận văn sẽ nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng phươngpháp Ritz và ứng dụng phương pháp đó vào giải bài toán biên phươngtrình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trìnhtoán tử Trình bày một số ứng dụng của phương pháp biến phân vàogiải bài toán biên đối với phương trình vi phân

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình toán tử

- Ứng dụng vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lạicác vấn đề liên quan tới đề tài

7 Đóng góp của đề tài nghiên cứu

- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp Ritz

- Nêu một số ứng dụng về phương pháp Ritz vào giải xấp xỉ bài toánbiên đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính

trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không giantuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = Rhoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu làk.k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ);ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề i), ii), iii) gọi là tiên đề chuẩn

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm{xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ Xnếu lim

n→∞||xn− x|| = 0 Ký hiệu lim

n→∞xn = x hay xn → x (n → ∞).Định nghĩa 1.2.3 (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn} của không gian địnhchuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim

C > 0 sao cho:

Định nghĩa 1.1.5 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gianđịnh chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhấtthỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk

Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

kxk =

vuut

là không gian Banach

Ví dụ 2 Cho không gian vectơ C[a,b] Đối với hàm số bất kỳ

x(t) ∈ C[a,b] ta đặt

kxk = max

Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩntrên C[a,b] Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a,b] Dễ dàngthấy C[a,b] là không gian Banach.

Ví dụ 3 Cho không gian vectơ L[a,b] Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈

là không gian Banach

Ví dụ 4 Xét không gian hữu hạn chiều X = Rn và ánh xạ tuyếntính A : Rn → Rn Giả sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ A chobởi ma trận (aij)ni,j=1

Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong Rn là:

1≤i≤n |xi|

1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn

Đạo hàm và vi phân Fréchet

Cho X,Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y

Định nghĩa 1.2.1 (Đạo hàm Fréchet) Cho x0 là một điểm cố địnhtrong không gian Banach X Toán tử f : X → Y gọi là khả vi theo nghĩaFréchet tại x0 nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A(x0) : X → Yhay A(x0) ∈ L(X, Y ) sao cho:

f (x0 + h) − f (x0) = A(x0)(h) + α(x0, h)với mọi h ∈ X trong đó

f cũng liên tục tại điểm đó

Định lý 1.2.2 (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán

tử có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất

Định lý 1.2.3 Cho hai toán tử tuyến tính f : U → X và g : U → Yvới X, Y là hai không gian Banach, U là một tập con mở của không gianBanach X Giả sử f, g đều khả vi Fréchet tại một điểm x0 ∈ U Khi đó:1) (f + g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0),

2) (kf )0(x0) = kf0(x0), với mọi k ∈ R

Định lý 1.2.4 Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực Nếu

g : X → Y là khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X và f : Y → Z khả viFréchet tại y = g(x) ∈ Y thì φ = f.g cũng khả vi Fréchet tại x và

Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P

là trường số thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướngtrên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P ,

ký hiệu (., ), thỏa mãn tiên đề:

Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi làtích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i), ii), iii), iv) gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.2 Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướngtrên nó được gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.3.3 Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử

x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điềukiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2) H được trang bị bởi một tích vô hướng (., );

3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

xác định dương nếu ∃γ > 0 sao cho

xiyi là không gian Hilbert

Vì chuẩn sinh ra tích vô hướng

kxk = p(x, x) =

vuut

n

X

i=1

|xi|2

là một chuẩn đủ trên không gian Rn

Ví dụ 3 Kí hiệu L2(E, µ) là không gian vectơ các hàm số bình phươngkhả tích trên tập E theo độ đo µ Với ∀x(t) ∈ L2(E, µ), y(t) ∈ L2(E, µ)

x2(t)dt, x(t) ∈ L2(E, µ)

Do đó không gian vectơ L2(E, µ) cùng với tích vô hướng (1.3.1) là mộtkhông gian Hilbert

1.4 Bài toán biên của phương trình vi phân

1.4.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và cácđạo hàm của nó

Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phươngtrình vi phân thường

Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hay nhiều biến độc lập ta có phươngtrình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứahàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm củahàm số đó:

Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.1) nếu thay

y = ϕ(x),y0 = ϕ0(x), , y(n) = ϕ(n)(x), vào (1.4.1) thì ta thu được phươngtrình đồng nhất thức

Hàm số y = ϕ(x, c), c ∈ R có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp nđược gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.1) nếu:

i) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra

c = ϕ(x, y)

ii) Hàm y = ϕ(x, c), c ∈ R thỏa mãn (1.4.1) khi (x, y) chạy khắp D vớimọi c ∈ R

1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân

Giả sử hàm f (x), fi(x) liên tục trên [a, b] và fn 6= 0

Lập phương trình vi phân tuyến tính

Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.Trong các trường hợp khác ta gọi bài toán biên không thuần nhất Đôikhi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) 6= 0.

Ví dụ Cho hàm f (x, y) xác định và liên tục trên G ∪ Γ, G bị chặn

trong không gian R2, Γ là biên của G Xét bài toán







∆u = ∂∂x2u2 + ∂∂y2u2 = f (x, y)u|Γ = ϕ

ϕ là hàm hai biến xác định trên Γ

Bài toán nói trên gọi là bài toán biên Dirichlet đối với phương trìnhelliptic Hàm cần tìm là hàm u = u(x, y)

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm

Phương pháp Ritz được dựa trên định lý sau đây:

Định lý 2.1.1 Giả sử toán tử A dương và đối xứng Nếu phươngtrình (2.1.1) có nghiệm x∗, thì tại giá trị đó phiếm hàm

J (x) = (Ax, x) − 2(f, x)

đạt giá trị cực tiểu Ngược lại nếu tại một phần tử nào đó x∗ mà phiếmhàm trên đạt giá trị cực tiểu thì phần tử đó là nghiệm của phương trình(2.1.1).

J (x∗ + λy) = (A(x∗ + λy), x∗ + λy) − 2(f, x∗ + λy)

= (Ax∗, x∗) + 2λ(Ax∗, y) + λ2(Ay, y) − 2(f, x∗) − 2λ(f, y)

= J (x∗) + 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2(Ay, y)

J (x∗ + λy) − J (x∗) = 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2(Ay, y),

cho nên 2λ(Ax∗ − f, y) + λ2(Ay, y) ≥ 0

Từ đó suy ra

2(Ax∗ − f, y) + λ(Ay, y) ≥ 0 với λ > 0,

2(Ax∗ − f, y) + λ(Ay, y) ≤ 0 với λ < 0

Chuyển qua giới hạn khi λ → +0 trong bất đẳng thức thứ nhất và

λ → −0 trong bất đẳng thức thứ hai ta được:

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói rằng dãy {xn} , (xn ∈ A) là dãy cực tiểuhóa đối với phiếm hàm J (x) nếu

kxn− x∗k ≤ 1

γ [J (xn) − J (x

∗

)] ,

trong đó γ là một hằng số dương nào đó.

Giả sử {ϕn} là một dãy các phần tử trong HA thỏa mãn các tính chấtsau:

a) mọi tập con hữu hạn của dãy này đều tạo nên một hệ độc lập tuyếntính;

b) với mọi ε > 0 và mọi phần tử tùy ý x ∈ HA đều tìm được một số

∂J (xn)

∂αj = 0 (j = 1, n),hay là

n

X

k=1

αk(Aϕk, ϕj) = (f, ϕj), (j = 1, 2, , n)

Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, định thức của

hệ này khác không Vì vậy hệ đó có nghiệm duy nhất Ký hiệu nghiệm

của hệ đó là α1∗, α∗2, , α∗n Khi đó có thể chứng minh rằng dãy {x∗n} mà

là dãy cực tiểu hóa

2.2 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán

biên phương trình vi phân thường

Phương pháp Ritz được ứng dụng để giải bài toán biên tuyến tínhđối với phương trình vi phân thường Xét bài toán biên

x(0) = x(T ) = 0,trong đó q(t) ≥ q0 > 0, f (t), (0 ≤ t ≤ T ) là những hàm số thực liên tục.Đặt H = L2[0, T ], và

Ax ≡ −x00+ qx

Kí hiệu HA là tập hợp những hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục vàthỏa mãn điều kiện biên x(0) = x(T ) = 0

Khi đó bài toán (2.2.1) có thể viết dưới dạng toán tử Ax = −f

Ta chứng minh rằng A là toán tử đối xứng xác định dương trong HA.Giả sử x, y ∈ HA Khi đó

Bây giờ ta tính J (x)

Theo kết quả thu được ở trên thì để giải gần đúng bài toán (2.2.1)chỉ cần xây dựng dãy cực tiểu hóa của phiếm hàm J (x)

Lấy một dãy những hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t), khả vi liên tục trênđoạn [0, T ] sao cho chúng thỏa mãn các điều kiện sau đây:

a) ϕk(0) = ϕk(T ) = 0, (k = 0, 1, 2 , n, );

b) với n tùy ý hệ các hàm số {ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t), } là hệ độc lậptuyến tính;

c) với mọi hàm liên tục ϕ(t), mọi số ε > 0 có thể chọn đa thức suy rộng

Pn(t) = α1ϕ1(t) + α2ϕ2(t) + + αnϕn(t),sao cho kϕ(t) − Pn(t)k < ε với 0 ≤ t ≤ T

Ta nhận thấy rằng hàm số

ϕk(t) = tk(t − T ), (k = 1, 2 , n, ),

ϕk(t) = sin kπ t

T, (k = 1, 2 , n, ),thỏa mãn những điều kiện nêu trên

Định lý 2.2.1 Giả sử q(t) ≥ q0 > 0 và f (t) (0 ≤ t ≤ T ) là nhữnghàm số liên tục Khi đó {x∗n(t)} được xây dựng bởi công thức:

hội tụ đến nghiệm của bài toán (2.2.1)

2.3 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán

biên đối với phương trình đạo hàm riêng

Ký hiệu G là miền bị chặn của mặt phẳng và Γ là biên trơn từng khúccủa G Xét bài toán biên đối với phương trình vi phân eliptic

uAvdxdy = (u, Av)

(Au, v) = (u, Av)

Vì vậy toán tử A là toán tử đối xứng

Giả sử u ∈ HA Lại một lần nữa sử dụng công thức Green ta được

Theo định lý 2.1.1, 2.1.2, để giải gần đúng bài toán (2.3.1) chỉ cầnxây dựng dãy cực tiểu hóa của phiếm hàm này.

Xét dãy các hàm số ϕ1(x, y), , ϕn(x, y), thỏa mãn các điều kiệnsau đây:

a) ϕi(x, y) hai lần khả vi liên tục trên G ∪ Γ;

b) ϕi(x, y)|Γ = 0, i = 1, 2, , n;

c) mọi dãy con hữu hạn trên đều tạo nên một hệ độc lập tuyến tính;d) với mọi ε > 0, mọi hàm số liên tục ϕ(x, y) trên G ∪ Γ có thể tìm đượcmột đa thức suy rộng

Dãy cực tiểu hóa có dạng

tử bất kỳ của tập hợp đó thì không gian con sinh bởi hệ đó có số chiều

Một hệ bất kỳ (hữu hạn hoặc vô hạn) các phần tử của không gianHilbert gồm các phần tử khác 0 và trực giao thì tạo thành một hệ cựctiểu Ví dụ hệ các hàm sin kπx (k = 1, 2, ) là hệ cực tiểu ở trong khônggian L2(0, 1)

Cũng trong không gian này hệ:

x, sinπx, sin 2πx, , sin kπx,

là hệ không cực tiểu vì bỏ đi phần tử x thì không gian sinh bởi các phần

tử còn lại trùng với không gian L2(0, 1) và do đó nó không bị giảm đi

số chiều

Sau đây là một ví dụ quan trọng về hệ không cực tiểu Theo định lýMunxơ dãy {xpk} (k = 1, 2, ), 0 ≤ p1 < p2 < p3 là một hệ đầy đủtrong không gian L2(0, 1) , nếu các số mũ pk ≥ 0 và chuỗi

phân kỳ Nhưng khi đó dãy nêu trên không cực tiểu ở trong không gian

L2(0, 1) Bởi vì bỏ đi một số hạng bất kỳ của dãy thì dãy còn lại vẫnthỏa mãn điều kiện định lý Munxơ cho nên ta vẫn có được hệ đầy đủ ởtrong L2(0, 1) Như vậy không gian con được sinh bởi hệ đó không bị cohẹp nếu bỏ đi một phần tử bất kỳ của dãy cho nên dãy nêu trên khôngcực tiểu ở trong L2(0, 1)

Đặc biệt dãy {xn} (n = 0, 1, 2, ) là dãy cực tiểu ở trong không gian

Từ định nghĩa nêu trên ta có định lý sau đây

Định lý 2.4.1 Hệ (2.4.1) là hệ không cực tiểu khi và chỉ khi tồn tạimột chỉ số j thỏa mãn điều kiện ε > 0, tồn tại số tự nhiên N và các

Định lý 2.4.2 Hệ (2.4.1) là hệ cực tiểu khi và chỉ khi tồn tại một

hệ song trực giao với nó Hệ song trực giao với hệ (2.4.1) được xác địnhmột cách duy nhất nếu các phần tử của hệ đó thuộc vào không gian consinh bởi hệ (2.4.1)

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.4.1) là hệ cực tiểu Không gian con đượcnêu trong phát biểu của định lý được kí hiệu là H Trong hệ (2.4.1) tatách phần tử uj ra khỏi không gian con Hj sinh bởi những phần tử cònlại Đặt uj = ξ + η, trong đó η ∈ Hj và ξ trực giao với Hj; theo giả thiết

hệ (2.4.1) là hệ cực tiểu cho nên uj∈Hj do đó ξ 6= 0

Một phần tử u bất kỳ của không gian H có thể biểu diễn dưới dạng

u = λξ + ζ, ζ ∈ Hj Ta xét phiếm hàm tuyến tính lj ở trong H như sau

ta đặt lj(u) = λ Phiếm hàm này bị chặn bởi vì

|lj(u)| = |λ| ≤ kukH

kξkH.Theo định lý Ritz trong không gian H tồn tại duy nhất một phần tử

vj sao cho lj(u) = (u, vj)H Giá trị λ bằng 1 khi u bằng uj và bằng 0 khi

Điều kiện đủ: Giả sử hệ (2.4.2) song trực giao với hệ (2.4.1), giả sử

hệ đó không cực tiểu, với ∀ε đủ nhỏ ta chọn số tự nhiên N và các hằng

số α1, α2, , αj−1, αj+1, , αN sao cho thỏa mãn bất đẳng thức (2.4.2).Khi đó

k=1

|tk|2

trong đó cực tiểu được xét trên tập hợp tất cả các vectơ (t1, t2, , tn)khác 0.

Ta nhận thấy rằng điều này được suy ra trực tiếp từ nguyên lý cựctiểu, với một số m cố định và khi n tăng thì các số λ(n)m không tăng

Hệ (2.1) được gọi là hệ cực tiểu mạnh ở trong không gian Hilbert Hnếu

Định lý 2.5.1 Mọi hệ cực tiểu mạnh ở trong một không gian nào

đó thì cũng là hệ cực tiểu trong không gian đó

Sau đây ta đưa vào định nghĩa về hệ hầu như trực giao Hệ (2.5.1)được gọi là hệ hầu như trực giao trong không gian Hilbert H nếu tồntại những hằng số λ0 và Λ0 sao cho với mọi m ≤ n có bất đẳng thức

Định nghĩa 2.5.1 Giả sử H1, H2 là hai không gian Hilbert ta nóirằng không gian H1 được nhúng vào không gian H2 nếu tồn tại một toán

tử tuyến tính V “toán tử nhúng” sao cho với mỗi u thuộc H1 tương ứngvới V u thuộc H2 và toán tử này bị chặn

Kí hiệu k.kk là chuẩn trong không gian Hk

Nếu H1 được nhúng trong H2 thì ta sẽ kí hiệu là H1 ⊂ H2

Thông thường gặp trường hợp khi mà các phần tử của không gian H1nằm trong không gian H2 và V là toán tử đồng nhất Trong trường hợpnày bất đẳng thức (2.5.9) xác định một phép nhúng các không gian và

nó có dạng đơn giản hơn (2.5.9’)

Định lý 2.5.2 Giả sử không gian H1 được nhúng vào không gian H2

và giả sử tất cả các phần tử của hệ

ϕ1, ϕ2, , ϕn, (2.5.10)nằm trong không gian H1 Nếu hệ (2.5.10) là cực tiểu ở trong không gian

H2 thì nó cực tiểu trong không gian H1

2.6 Nhận xét về quá trình Ritz

Trong mục này chúng ta trình bày về phương pháp Ritz theo cáchtiếp cận từ khái niệm chuẩn năng lượng