Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————– NGUYỄN TRƯỜNG LƯU PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— NGUYỄN TRƯỜNG LƯU PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Khuất Văn Ninh Hà Nội, 2012 1 Lời cảm ơn Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 1, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Trường Lưu 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Trường Lưu Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . 9 1.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Định nghĩa vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến tính . 11 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . 11 1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . 12 1.3 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm . . . . . . . . 13 1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn . . 13 1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Đạo hàm Fréchet trong không gian định chuẩn . . . . . 15 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tổng quan về phương pháp tựa tuyến tính hóa 20 2.1 Phương pháp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . 20 3 4 2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đối với không gian một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đối với không gian đa chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp . . . . . . . 27 2.2.2 Một số định lý của phương pháp Newton - Kan- torovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai 38 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Xấp xỉ ma trận vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6 Tính chất lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7 Tựa tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.8 Sự tồn tại và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.9 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.10 Sự hội tụ của thuật toán Picard . . . . . . . . . . . . . 52 3.11 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 3.12 Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.13 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.14 Phép tính biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.15 Tựa tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, trong toán học cũng như trong một số ngành khoa học liên quan, đặc biệt là vật lý, ta gặp nhiều bài toán dẫn đến yêu cầu giải phương trình phi tuyến. Giải quyết vấn đề này khá khó khăn do tính chất phi tuyến của nó. Bên cạnh đó, ta cũng thấy rằng việc giải các phương trình tuyến tính là thuận lợi hơn và được nghiên cứu nhiều hơn. Vì vậy, việc đưa các bài toán phi tuyến về các bài toán tuyến tính được nhiều nhà khoa học quan tâm. Đã có những công trình nghiên cứu về vấn đề này mà kết quả của nó được ứng dụng rộng rãi trong toán học và nhiều nghành khoa học khác. Có thể kể đến một số nhà khoa học nổi tiếng trong lĩnh vực này như Newton, Raphson, Kantorovich, Richard Bellman Để thuận tiện cho việc giải quyết những bài toán mà việc xử lý trực tiếp gặp nhiều khó khăn, hạn chế, đặc biệt là các bài toán quy về việc giải phương trình phi tuyến, tôi lựa chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI". 2. Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu các bài toán phi tuyến. 7 + Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán phi tuyến. + Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào một trong các bài toán phi tuyến thường gặp: Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Giải một lớp các bài toán phi tuyến bằng cách quy về bài toán tuyến tính và cụ thể hóa qua việc giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. + Áp dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán phi tuyến. + Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán biên phi tuyến. + Sử dụng tính xấp xỉ nghiệm của bài toán tuyến tính so với bài toán phi tuyến tương ứng. 8 6. Dự kiến đóng góp mới + Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. [...]... Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng: y + p(x).y = q(x) (1.4) Ta giả thiết p(x), q(x) liên tục trên khoảng (a; b) Khi đó trong miền:   a < x < b G=  −∞ < y < +∞ Nghiệm của bài toán Cô-si đối với phương trình (1.4) tồn tại duy nhất Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.4),... p(x)dx + p(x)c(x)e− (q(x)e− p(x)dx = q(x) (1.11) Từ đó suy ra: p(x)dx )dx + c (1.12) Thay c(x) từ (1.12) vào (1.10) ta được nghiệm tổng quát dạng (1.9) của phương trình tuyến tính không thuần nhất 1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng tổng quát:   dy1    dx = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + f1 (x)    dy... pháp Newton - Raphson đối với không gian một chiều Ta bắt đầu với bài toán tìm một dãy xấp xỉ nghiệm của phương trình vô hướng: f (x) = 0 (2.1) Ta giả sử f (x) đơn điệu giảm và lồi nghiêm ngặt, nghĩa là f (x) > 0 Giả sử nghiệm phương trình là r thì nghiệm r là đơn, f (r) = 0 Lấy x0 là xấp xỉ ban đầu của nghiệm r, với x0 < r, (f (x0 ) > 0) và giả sử xấp xỉ f (x) bởi một hàm tuyến tính của x được xác định... Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P = R hoặc P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện: i) A(x + x ) = Ax + Ax , ∀x, x ∈ X ii) Aαx = αAx, ∀x ∈ X, ∀α ∈ P Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính 15 Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian định chuẩn X và. .. Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ cácphương trình tuyến tính: P (xn )(xn − x) = P (xn ), n = 0, 1, 2, 28 Trong đó xn là nghiệm của phương trình (2.29) Nếu tồn tại [P (xn )]−1 thì: xn+1 = xn − [P (xn )]−1 P (xn ), n = 0, 1, 2, (2.30) Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich Nếu dãy {xn } hội tụ đến x∗ và x0 được chọn gần x∗ thì các toán tử P (xn ) và. .. độ lệch và đạo hàm của hàm số f (x) tại x = x0 : f (x) ∼ f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 ) = 20 (2.2) 21 Xấp xỉ tiếp theo thu được bởi vi c giải phương trình tuyến tính biến x: f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 ) = 0 (2.3) Phép xấp xỉ thứ hai: x1 = x0 − f (x0 ) f (x0 ) (2.4) Quá trình này được lặp lại đối với x1 , dẫn đến giá trị x2 , v.v Công thức truy toán tổng quát là: xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) (2.5) với: x0... ··· ∂x1 ∂x2 ∂xp (2.27) Để tính điểm lặp tiếp theo ta tìm J(x1 ), và quá trình trên lại được tiến hành tương tự 27 2.2 2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich Dạng tổng quát của phương pháp Xét phương trình toán tử dạng: P (x) = 0 (2.28) trong đó toán tử phi tuyến P được xác định trong hình cầu S Các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau: Lấy một phần tử bất kì x0 ∈ S Giả sử toán tử P có đạo hàm liên... nhất Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.4), trước hết ta xét phương trình: y + p(x).y = 0 (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương trình (1.4) Ta vi t lại (1.5) dưới dạng: dy + p(x)ydx = 0 (1.6) Giả sử y = 0, chia cả hai vế của (1.6) cho y, ta được: dy + p(x)dx = 0 y (1.7) Tích phân phương trình (1.7), ta được: y = c.e− p(x)dx , (c = 0) (1.8) 12 Ta thấy y =... (2.22) Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu được chọn tốt và ma trận J(x) không suy biến, hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ bình phương Thực tế phép lặp dừng lại khi bước lặp thỏa mãn bất đẳng thức: xm+1 − xm ≤ e Để chọn bước lặp này đầu tiên ta chọn bằng đồ thị(hoặc phép thử) 2.1.2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton-Raphson 25 Cho hệ phương trình phi tuyến: ... (u0 ≤ u ≤ u ) hai lần khả vi liên tục; 3) Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Γ0 = [P (x0 )]−1 ; 4) c0 = −1 > 0; ψ(u0 ) 5) ψ0 P (x0 ) ≤ c0 ψ (u0 ); 6) ψ0 P (x0 ) ≤ c0 ψ(u) nếu x − x0 ≤ u − u0 ≤ r; 29 7) Phương trình: ψ(u) = 0 (2.32) có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u0 ; u ] Khi đó dãy xấp xỉ xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên (2.31) hội tụ đến nghiệm của phương trình (2.28) Tốc . pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán phi tuyến. + Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào một trong các bài toán phi tuyến thường gặp: Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp. cấp hai. + Áp dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ. dụng tính xấp xỉ nghiệm của bài toán tuyến tính so với bài toán phi tuyến tương ứng. 8 6. Dự kiến đóng góp mới + Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải bài toán biên đối với phương trình