Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————————————– NGUYEN TRƯèNG LƯU PHƯƠNG PHÁP TUA TUYEN TÍNH HĨA VÀ ÚNG DUNG VÀO GIÁI XAP XÍ BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I, 2012 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————– * ——————— NGUYEN TRƯèNG LƯU PHƯƠNG PHÁP TUA TUYEN TÍNH HĨA VÀ ÚNG DUNG VÀO GIÁI XAP XÍ BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP HAI Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Khuat Văn Ninh Hà N®i, 2012 Lài cám ơn Tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành sâu sac tói PGS.TS Khuat Văn Ninh, ngưòi t¾n tình hưóng dan, chí báo tơi suot q trình làm lu¾n văn Cũng qua lu¾n văn này, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn đen thay giáo to Giái tích - khoa Tốn - trưòng Đai hoc Sư pham Hà n®i 2, gia đình, ban bè ban hoc viên lóp K14 Tốn giái tích đot 1, nhung ngưòi đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Trưòng Lưu Lài cam đoan Tơi xin cam đoan lu¾n văn tơi tn làm dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh Tơi xin cam đoan so li¾u ket nghiên cúu lu¾n văn trung thnc khơng trùng l¾p vói đe tài khác Các thơng tin trích dan, tài li¾u tham kháo lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Lu¾n văn chưa đưoc cơng bo bat kì tap chớ, phng tiắn thụng tin no H Nđi, thỏng năm 2012 Tác giá Nguyen Trưòng Lưu Mnc lnc Kien thNc chuan b% 1.1 Đao hàm vi phân cna hàm m®t bien 1.1.1 Đ%nh nghĩa đao hàm 1.1.2 Đ%nh nghĩa vi phân .10 1.2 1.3 Phương trình h¾ phương trình vi phân tuyen tính 11 1.2.1 Phương trình vi phân tuyen tính cap mđt 11 1.2.2 Hắ phng trỡnh vi phân tuyen tính cap m®t 12 M®t so kien thúc bán ve giái tích hàm 13 1.3.1 Đ%nh nghĩa chuan không gian đ%nh chuan 1.3.2 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n không gian 13 đ%nh chuan 14 1.4 Đao hàm Fréchet không gian đ%nh chuan 15 1.4.1 Đ%nh nghĩa 15 1.4.2 Tính chat 16 1.4.3 M®t so ví du 18 Tong quan ve phương pháp tNa tuyen tính hóa 2.1 20 Phương pháp Newton - Raphson 20 2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đoi vói khơng gian m®t chieu 20 2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đoi vói khơng gian đa chieu 23 2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich 27 2.2.1 Dang tong quát cna phương pháp 27 2.2.2 M®t so đ%nh lý cna phương pháp Newton - Kantorovich 28 Úng dnng phương pháp tNa tuyen tính hóa vào giái xap xí tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng cap hai 38 3.1 Đ¾t van đe 38 3.2 Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap hai 39 3.3 Phương trình khơng thuan nhat 41 3.4 Xap xí ma tr¾n vectơ 43 3.5 Hàm Green 45 3.6 Tính chat loi 46 3.7 Tna tuyen tính hóa 48 3.8 Sn ton tai b% ch¾n .48 3.9 Sn h®i tu 50 3.10 Sn hđi tu cna thuắt tốn Picard 52 3.11 M®t so ví du .53 3.12 Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân phi tuyen cap hai 54 3.13 Ví du minh hoa 55 3.14 Phép tính bien phân 56 3.15 Tna tuyen tính hóa 58 Mé ĐAU Lý chon đe tài Như biet, toán hoc mđt so ngnh khoa hoc liờn quan, ắc biắt l v¾t lý, ta g¾p nhieu tốn dan đen u cau giái phương trình phi tuyen Giái quyet van đe khó khăn tính chat phi tuyen cna Bên canh đó, ta thay rang vi¾c giái phương trình tuyen tính thu¾n loi đưoc nghiên cúu nhieu Vì v¾y, vi¾c đưa tốn phi tuyen ve tốn tuyen tính đưoc nhieu nhà khoa hoc quan tâm Đã có nhung cơng trình nghiên cúu ve van đe mà ket q cna đưoc úng dung r®ng rãi tốn hoc nhieu nghành khoa hoc khác Có the ke đen m®t so nhà khoa hoc noi tieng lĩnh vnc Newton, Raphson, Kantorovich, Richard Bellman Đe thu¾n ti¾n cho vi¾c giái quyet nhung tốn mà vi¾c xú lý trnc tiep g¾p nhieu khó khăn, han che, đ¾c bi¾t tốn quy ve vi¾c giái phương trình phi tuyen, tơi lna chon đe tài "PHƯƠNG PHÁP TUA TUYEN TÍNH HĨA VÀ ÚNG DUNG VÀO VI›C GIÁI XAP XÍ BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP HAI" Mnc đích nghiên cNu + Nghiên cúu toán phi tuyen + Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa giái toán phi tuyen + Úng dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào m®t tốn phi tuyen thưòng g¾p: Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai Nhi¾m nghiên cNu + Giái m®t lóp tốn phi tuyen bang cách quy ve tốn tuyen tính cu the hóa qua vi¾c giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai + Áp dung vào giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai Đoi tưang pham vi nghiên cNu + Đoi tưong nghiên cúu: Phương pháp tna tuyen tính hóa giái xap xí tốn phi tuyen + Pham vi nghiên cúu: Bài toán biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai Phương pháp nghiên cNu + Phương pháp tna tuyen tính hóa giái tốn biên phi tuyen + Sú dung tính xap xí nghi¾m cna tốn tuyen tính so vói tốn phi tuyen tương úng DN kien đóng góp mái + Áp dung phương pháp tna tuyen tính hóa vào giái tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai cna dãy {un(x)} túi mđt hm u(x) thúa món: b u= K(x, y)f (u)dy (3.68) Tù ta ket lu¾n rang u thóa mãn phương trình ban đau Hơn nua, phương pháp chí rang: max |u − un| ≤ k2 max |u − un−1| x (3.69) x Tù suy tính nhat nghi¾m Ta tiep tuc vào chi tiet sn ton tai h®i tu cna dãy xap xí đe chí bưóc can thiet Vì v¾y, neu xú lí nhieu phương trình phiem hàm phúc tap hơn, ta se bó qua viắc chỳng minh sn ton tai v hđi tu Nhung phép chúng minh khơng có thêm ý tưóng v k thuắt múi, trự mđt so kien thỳc nhú ve ma tr¾n giái tích hàm Chú ý rang giá thiet tính loi rat quan trong đ%nh lí phép bieu dien, khơng có vai trò quan trong hđi tu bắc hai 3.10 SN hđi tn cỳa thuắt tốn Picard Xap xí thơng thưòng só h¾ thúc truy toán: r vr n+1 = f (vn), vn+1(0) = vn+1(b) = (3.70) cho m®t dãy h®i tu vói đieu ki¾n tương tn đoi vói f b Tuy nhiên, sn h®i tu se chí cap so nhân, túc là: |vn+1 − vn| ≤ k|vn − vn−1| k ≤ 1, ho¾c |vn − vn−1| ≤ kn c0 (3.71) Tat nhiên, ưu the cna h®i tu bình phương đ® nhanh cna toc đ® h®i tu Hơn the nua, tna tuyen tính hóa m®t so trưòng hop quan chí đám báo đoan [0, b] lón nhat cna phép h®i tu 3.11 M®t so ví dn Xét phương trình: uxx + uyy = eu (3.72) trưòng hop m®t chieu: urr = eu, u(0) = u(b) = vói b = 1, nghi¾m phương trình có dang:   c(x −  u(x) = ln + ln c.sec  (3.73) (3.74)  c nghi¾m cna phương trình: √2 = c.sec( c ) (3.75) nam khống (0; 2π ), xác c = 1, 3360557 Ta thu đưoc (3.75) sau, nhân hai ve cna (3.74) vói ur sau tích phân hai ve ta đưoc ur hàm cna u0, giái ur ta đưoc (3.75) Úng dung phương pháp trình bày ó trên, ta xét dãy xap xí xác đ%nh bói: n+1 ur u r e n = + eun (un+1 − un), un+1(0) = un+1(b) = (3.76) Lay xap xí ban đau u0(x) = 0, ta tính xap xí cna un(x) tói u(x), hàm u1(x) u2(x) mơ tá ó trên, sú dung phương pháp Runge- 54 Kutta 3.12 Áp dnng phương pháp tNa tuyen tính hóa vào giái xap xí tốn biên đoi vái phương trình vi phân phi tuyen cap hai Bây giò ta sú dung phương pháp tương tn đe nghiên cúu phương trình: urr = f (ur, u, x) (3.77) vói đieu ki¾n biên phi tuyen có dang : r r g1(u(0), u (0)) = 0; u (b)) = (3.78) g2(u(b), ho¾c, khái quát : r r g1(u(0), u (0), u(b), u (b)) = 0; (3.79) r g2(u(0), u (0), u(b), ur(b)) = Bây giò ta úng dung phép tna tuyen tính hóa cho cá phương trình đieu ki¾n Do v¾y trưòng hop phương trình (3.78) b% ràng bu®c bói đieu ki¾n (3.79), ta xây dnng dãy {un(x)} nhò phương trình: rr u r r r r n+1 = fur (un, un, x)(un+1 − un) + f (un, un, x)(un+1 − un) (3.80) vói đieu ki¾n biên tuyen tính : r r r r g1u(un(0), un(0))(un+1(0)−un(0))+g1ur (un(0), un(0)) (un+1(0)−un(0)) = (3.81) Ngưòi ta thiet l¾p đưoc sn ton tai nhat h®i tu bình phương b đn nhó, vói đieu ki¾n cho trưóc đai lưong fu, fur, giu, i = 1, 3.13 Ví dn minh hoa Ví dn 3.1 Xét phương trình: −u rr = + a2(ur )2, u(0) = u(b) = Sn phân tích chi tiet nghi¾m vói a2 = 0, 49 b = là:   1) cos a(x −  ln  u(x) = cosa   a2 (3.82) (3.83) Sú dung h¾ thúc truy tốn: −un+1 = 1−0, 49(un)2 +2(0, 49)unun+1, un+1(0) = un+1(b) =0 (3.84) rr r r r vói xap xí ban đau u0(x) = ta thu đưoc giá tr% chí báng dưói đây: Báng 3.1: H®i tu cna un(x) tói u(x) x u0(x) u1(x) u2(x) u(x) 0.0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.1 0.000000 0.045000 0.046570 0.046571 0.2 0.000000 0.080000 0.082302 0.082304 0.3 0.000000 0.105000 0.107571 0.107573 0.4 0.000000 0.120000 0.122632 0.122635 0.5 0.000000 0.125000 0.127636 0127639 0.6 0.000000 0.120000 0.122632 0.122635 0.7 0.000000 0.105000 0.107571 0.107573 0.8 0.000000 0.080000 0.082302 0.082304 0.9 0.000000 0.045000 0.046570 0.046571 1.0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 3.14 Phép tính bien phân M®t xuat xú tn nhiên chn yeu nhat cna phương trình vi phân phi tuyen vói hai đieu ki¾n biên phép tính bien phân Xét tốn tìm cnc đai cna phiem hàm: J (u) = ¸ b g(u, ur )dt (3.85) b% rng buđc búi ieu kiắn ban au u(0) = c Sn tri¾t tiêu bien phân thú nhat cho ta phương trình Euler: ∂g ∂u − d dt ∂g = ∂u r (3.86) vói đieu ki¾n cuoi cùng: ∂g r ∂u Neu g m®t dang tồn phương t=b đoi vói u ur c®ng thêm m®t so hang tuyen tính đoi vói u phương trình Euler tuyen tính đieu ki¾n biên có the giái m®t cách de hieu Đe minh hoa phương pháp tna tuyen tính hóa, xét tốn náy sinh tự mđt %nh luắt cna Fermat Lay (x, y) thoc mắt phang bieu dien mđt mụi trũng quang hoc khơng thuan nhat Toc đ® ánh sáng tai (x, y) kớ hiắu l v(x, y) Mđt hat sỏng ban au tai điem P0, qua điem P1 Đưòng cna gì? Theo ngun lí cnc tieu thòi gian cna Fermat, nhi¾m vu cna ta cnc tieu hóa tích phân: J (y) = ¸ ¸ x1 = ds x0 v(x, y) x1 y2 x0 , + dx v(x, y) phương trình Euler đoi vói tốn là: d , − ∂ ,1 + yr ∂ + y2 dx ∂y (3.87) =0 (3.88) v(x, y) r ∂y v(x, y) Ta lay v(x, y) = y,phương trình rút gon ve: + yr2 + yyrr = (3.89) vói đieu ki¾n biên: y(x0) = y0, (x1) = y1 (3.90) Hieu rang đưòng cong toi ưu cung tròn vói tâm nam truc x Có the sú dung ket đe kiem tra đ® xác phương pháp so cna ta Viet phương trình dưói dang: (1 + yrr = − yr2) (3.91) y coi m®t xap xí ban đau, hàm z0(x) thu đưoc bói vi¾c ve mđt ũng thang noi P0 v P1 Hắ thỳc truy toán tong quát là: z rr 1+ zr2 n+1 = n zn + − 1+ zr2 2znr n (zn+1 − zn) zn vói zn+1(x0) = y0, zn+1(x1) = y1 zn r r (zn+1 − zn) (3.92) Xét toán riêng mà y(1) = 1, y(2) = Xap xí ban đau z0(x) = x Các ket so thu đưoc theo cách đưoc chí báng (3.2) Báng 3.2 Các ket cho z3(x) xác đen sáu chu so 3.15 x z0(x) z1(x) z2(x) z3(x) 1.00 1.00 1.000000 1.000000 1.000000 1.25 1.25 1.386195 1.391934 1.391941 1.50 1.50 1.651987 1.658305 1.658312 1.75 1.75 1.848866 1.854642 1.854050 2.00 2.00 2.000000 2.000000 2.000000 TNa tuyen tính hóa Ta có the úng dung phương pháp tna tuyen tính hóa theo hai cách Phương trình Euler (3.85) m®t phương trình vi phân phi thuyen thu®c loai mà ta vùa xét úng dung cna phép tna tuyen tính hóa thơng thưòng Ta thu đưoc phương trình tuyen tính: r r gu(un, un, t) + guu(un, un, t)(un+1 − un)+ r r r r d r + guu (un, un, t)(un+1 − un) − [g r (un, un, t)+ dtr u r r r r r + gu u(un, un, t)(un+1 − un) + gu u (un, un, t)(un+1 − un)] r (3.93) vói đieu ki¾n ban đau un+1(0) = c đieu ki¾n điem cuoi tuyen tính: r r r r r gur (un, un, b)+(un+1 − un )gur u (un , un, b)+(un+1 − un )gur ur (un, un, b) =0 (3.94) Lay un m®t xap xí nghi¾m cna tốn toi ưu xét tốn cnc tieu hóa phiem hàm: Jn = ¸ b a h2(u, un)dt (3.95) h2(u, un) mó r®ng cna g(u, ur, t) xung quanh điem (u, un) bao gom hai so hang Do đó: r r r r h2(u, un) = g(u, un, t) + gu(un, un, t)(u − un) + gu − un ) + (un, un, t)(u r r r r + guu(un, un, t)(u − un) + 2guur (un, un, t)(u − − un) r un)(u + r + gurur (un, run, t) r − u )2 n (u M®t phép tính đơn gián chí rang phương trình Euler đoi vói Jn đưoc xác đ%nh (3.92) Ta thay v¾y cách tiep c¾n xap xí cna phương trình bien phân xác tương đương, trưòng hop vói cách tiep c¾n xap xí cna tốn bien phân xap xí M®t ưu the cna cách xap xí thú hai ó cho sú dung quy hoach đ®ng phép nhúng bien phân có the đưoc úng dung đe tránh toán biên hai điem vi¾c giái phương trình đai so tuyen tính KET LU¾N Rat nhieu tốn thnc te mà vi¾c giái quyet dan đen phái giái phương trình vi phân hay phương trình đao hàm riêng, tuyen tính hay phi tuyen vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình nhieu phúc tap khơng thnc sn can thiet, đ¾c bi¾t đoi vói phương trình phi tuyen, vi¾c giái g¾p nhieu khó khăn tính chat phi tuyen cna Phương pháp tna tuyen tính hóa m®t phương pháp ưu vi¾t đe tìm nghi¾m xap xí cna phương trình phi tuyen Xuat phát tù m®t xap xí ban đau tương đoi tot, phương pháp có the tìm đưoc nhung nghi¾m xap xí gan nghi¾m cna phương trỡnh, vúi toc đ hđi tu cao Luắn chn yeu nghiên cúu toán phi tuyen, phương pháp tna tuyen tính hóa úng dung vào giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai Do nhieu han che ve kien thúc thòi gian, lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Em mong nh¾n đưoc sn chí báo, góp ý cna quý thay cô ban đoc đe bán lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn ! Tài li¾u tham kháo Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (1996), Giái tích so, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen Minh Chương (Chn biên), Nguyen Văn Khái, Khuat Văn Ninh, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng (2000), Giái tích so, Nxb Giáo duc [3] Nguyen Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuat Văn Ninh (1992), Giái xap xs phương trình tốn tú, Nxb Khoa hoc v Ky thuắt H Nđi [4] Nguyen Phu Hy(2006), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc Ky thu¾t Hà N®i [5] Hồng Tuy(2005), Hàm thnc giái tích hàm (Giái tích hi¾n đai), Nxb Đai hoc Quoc gia Hà Nđi 62 63 Ti liắu tieng Anh [1] Richard E Bellman, Robert E Kalaba (1965), Quasilinearization and Nonlinear Boundary - Value Problems, American Elsevier Publishing Company, Inc [2] Khuat Văn Ninh (1990), Iterative Method for Solving Operator Equations in Metrizable Topological Vector Spaces, J of Mathematics, Viet Nam ... 1.1.2 Đ%nh nghĩa vi phân .10 1.2 1.3 Phương trình h¾ phương trình vi phân tuyen tính 11 1.2.1 Phương trình vi phân tuyen tính cap m®t 11 1.2.2 H¾ phương trình vi phân tuyen tính cap m®t... hóa vào giái xap xí tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng cap hai 38 3.1 Đ¾t van đe 38 3.2 Bài tốn biên đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap hai 39 3.3 Phương trình. .. tuyen tính cu the hóa qua vi c giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai + Áp dung vào giái xap xí tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng cap hai Đoi tưang pham vi nghiên