Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất và xây dựng ứng dụng

MỤCLỤC LỜICẢMƠN...1 LỜICAMĐOAN...2 MỞĐẦU...5 Chương1CÁCKHÁINIỆMCƠBẢNVỀLÝTHUYẾTĐỒTHỊ...8 1.1.. Yêucầu Donhữngnhiệmvụđãnêutrên,luậnvănphảithựchiệnđượcnhữngyêucầusau: - Phươngphápchuyêngia:

LỜICẢMƠN

EmsẽkhônghoànthànhluậnvănnếukhôngcósựhướngdẫnvàchỉbảocủacôgiáoLưuThịBíchHương.EmxinchânthànhcảmơnsựhướngdẫncủaCô

Xinchânthànhcảmơnsựgiúpđỡ,độngviêncủacácbạnlớpK34-CNTTtrongquátrìnhthựchiệnluậnvănnày

Làsinhv i ê n lầnđầunghiêncứukhoahọcc h ắcchắnđ ề tàicủae m khôngtránhkhỏinhữngthiếusót,vìvậyemrấtmongsựđónggópýkiếnc ủacácthầycôgiáovàcácbạnđểđềtàicủaemđượchoànthiện.Mộtlầnnữaemxinchânthànhcảmơncônglaodạydỗchỉbảocủacácthầycôgiáo.Kínhchúcquýthầyc ôgiáomạnhkhoẻ,tiếptụcđạtđượcnhiềuthắnglợitrongnhgiêncứukhoahọcvàsựnghiệptrồngngười

Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội,tháng04năm2012Sin

hviênthựchiện

NgôThịQuyên

NgôThịQuyên

MỤCLỤC

LỜICẢMƠN 1

LỜICAMĐOAN 2

MỞĐẦU 5

Chương1CÁCKHÁINIỆMCƠBẢNVỀLÝTHUYẾTĐỒTHỊ 8

1.1 Địnhnghĩađồthị 8

1.2 Cácthuậtngữcơbản 12

1.3 Địnhnghĩađườngđi,chutrình,đồthịliênthông 15

1.4 Mộtsốkháiniệm 19

1.4.1 Đườngđingắnnhấtxuấtpháttừmộtđỉnh 20

1.4.2. ThuậttoánDijkstra 21

1.4.3 Đườngđitrongđồthịkhôngcóchutrình 24

1.4.4 Đườngđingắnnhấtgiữatấtcảcáccặp đỉnh 28

Chương2THUẬTTOÁNTÌM ĐƯỜNGĐINGẮNNHẤT 29

2.1 ThuậttoántìmkiếmBreathFirstSearch(BFS) 29

2.2 ThuậttoántìmkiếmDepthFirstSearch(DFS) 33

2.3 ThuậttoántìmkiếmDepthwiseSearch 34

2.4 Thuậttoántìmkiếmtốtnhấtđầutiên 35

2.5. Thuậttoántìmđườngđ i cóg i á thànhnhỏnhất T 38

2.6. Tìmkiếmcựctiểusửdụnghàmđánhgiá –ThuậttoánA* 41

2.7. Thuậttoántìmkiếmleođồi 44

2.8. Tìmkiếmvớitrithứcbổsung 47

Chương3XÂYDỰNGỨNGDỤNG 48

3.1. Phátbiểubàitoán 48

3.2. Giảiquyếtbàitoán 49 KẾTLUẬNVÀHƯỚNGPHÁTTRIỂN 54 TÀILIỆUTHAMKHẢO 55

Đồthịđượcsửdụngđểgiảiquyếtcácbàitoántrongnhiềulĩnhvựckhácnhau.Chẳnghạn,đồthịcóthểs ử dụngđ ể x á c địnhcácmạchvòngtrongvấnđềgiảitíchmạchđiện.Chúngtacóthểphânbiệtcáchợpchấthoáhọchữucơkhácnhauvớicùngcôngthứcphântửnhưngkhácnhauvềcấutrúcphânt ửnhờđồthị.Chúngt acóthểxácđịnhxemhaimáytínhtrongmạngcóthểtraođổithôngtinđượcvớinhauhaykhôngnhờmôhìnhđồthịc ủ a mạngmáytính.Đồthịcótrọngsốtrêncáccạnhcóthểsửdụngđểgiảic ác

b ài toánnhư:tìmđườngđingắnnhấtgiữahaithànhphốtrongcùngmộtmạnggiaothông.Chúngtacònsử dụngđ ồthịđểgiảicácbàitoánvề lậplịch,thờikhoábiểu,v à phânb ố tầnsốchocáctrạmphát thanhv à truyềnhình

Chínhvìvậy,emchọnđềtài“Thuậttoántìmđườngđingắnnhấtvàxâyd ựngứngdụng”nhằmtì mhiểul à cáckháiniệmcơbản,c á c bàitoánứngdụngqua

ntrọngcủalýthuyếtđồthị,cácthuậttoántìmđườngđingắnnhất vàxâydựngứngdụngcàiđặtchươngtrìnhtrênmáytính

1.2 Mụcđích

Tìmhiểulàcáckháiniệmcơbản,cácbàitoánứngdụngquantrọngcủalýthuyếtđồthị,cácthuậttoántìmđườngđingắnnhất vàxâydựngứngdụng

2 Nhiệmvụ, yêucầu

2.1 Nhiệmvụ

Phảinêuđượccáckháiniệmcơbảnvềlýthuyếtđồthị,thuậttoántìmđườngđingắnnhấtcho,nhằmmụcđíchmôphỏngquátrìnhhiểnthịđườngđ idựatrênngônngữVisualC#

2.2 Yêucầu

Donhữngnhiệmvụđãnêutrên,luậnvănphảithựchiệnđượcnhữngyêucầusau:

- Phươngphápchuyêngia:Thamkhảoýkiếncủacácchuyêng ia để

cóthểthiếtkếchươngtrìnhphùhợpvớiyêucầuthựctiễn,nộidungx ửlýnhanhđápứngyêucầungàycàngcaocủangườisửdụng

4.2 Phạmvinghiêncứu

Phạmvilu ậnvăncủaemdừnglạiởviệcnghiêncứumộtphầnứngdụngtrongviệctìmđườngđingắnnhất

5 Ýnghĩakhoahọccủađềtài

Nếuđềtài“Thuậttoántìmđườngđingắnnhấtvàxâydựngứngdụng”đ

ượcthựchiệnthìnósẽtrởthànhmộttàiliệuthamkhảochosinhviêntrongviệcnghiêncứucácthuậttoántìmđườngđingắnnhất

6 Cấutrúccủakhoáluận

Ngoàiphầnmởđầuvàkếtluận,khoáluậnbaogồm3chương:Chương1.C

áckháiniệmcơbảncủalýthuyếtđồthị

Chương2.Lýthuyếtvềthuậttoántìmđườngđingắnnhất.Chương3.Xâydựngứngdụng

thểhìnhdungđƣợctạisaolạicầnđếncácloạiđồthịkhácnhau,chúngtasẽnêuvídụsửdụngchúngđểmôtảmộtmạngmáytính.Giảsửtacómộtmạnggồmcácmáytínhvàcáckênhđiệnthoại(gọitắtlàtênthoại)nốicácmáytínhnày.Chúngtacóthểbiểudiễncácvịtríđặtmáytínhbởicácđiểmvàcáckênhthoạinốichúngbởicácđoạnnối,xemhình1

Hình2 Sơđồmạngmáytínhvớiđakênhthoại

Địnhnghĩa2.MộtđađồthịG=(V,E)gồmmộttậpkhácrỗngVmàcácphầntửc

ủanógọilàcácđỉnhvàmộthọEvàcácphầntửcủanógọilàcáccạnh,đólàcáccặpkhôngcóthứtựcủacácđỉnhphân

biệt.Haicạnhđượcgọilàcạnhbộihaysongsongnếuchúngcùngtươngứngvớimộtcặpđỉnh

Hình3 SơđồmạngmáytínhvớikênhthôngbáoRõràng,mỗiđơnđồthịđềulàđađồthị,nhưngkhôngphảiđađồthịnàocũnglàđơnđồthị,vìtrongđađồthịcóhaihaynhiềuhơncạnhnốimộtc ặ p đỉnhnàođó

Trongmạngmáytínhcóthểcónhữngkênhthoạinốimộtmáytínhnàođ ó vớichínhnó(chẳnghạnvớimụcđíchthôngbáo).Mạngn h ư vậyđượcchotronghình3.Nhưvậyđađồthịkhôngthểmôtảđượcmạngnhưvậy,bởivìcónhữngkhuyên(cạnhnốimộtđỉnhvóichínhnó).Trong trườnghợpnàychúngtacầnsửdụngđếnkháiniệmgiảđồthịvôhướng,đượcđịnhnghĩanhưsau:

Địnhnghĩa3.MộtgiảđồthịG=(V,E)gồmmộttậpkhácrỗngVmàcácphầntử

củanógọilàcácđỉnhvàmộthọEvàcácphầntửcủanógọilàcáccạnh,đólàcáccặpkh ôngcóthứtựcủacácđỉnh(khôngnhấtthiếtlàphânbiệt).

VớivV,nếu(v,v)Ethìtanóicómộtkhuyêntạiđỉnhv

Cáckênhthoạitrongmạngmáytínhcóthểchỉchophéptruyềntintheomộtc h i ề u C

hẳnghạntronghình4máychủởHàNộichỉcóthểnhậntintừcác

máyởđịaphương,cómộtsốmáychỉcóthểgửitinđi,còncáckênhthoạichophéptruyềntintheocảhaichiềuđượcthaythếbởihaicạnhcóhướngngượcchiềunhau

Hình4.MạngmáytínhvớicáckênhthoạimộtchiềuTađiđếnđịnhnghĩasau:

Địnhnghĩa4.MộtđồthịcóhướngG

=(V,E)gồmmộttậpkhácrỗngV màcácphầntửcủanógọilàcácđỉnhvàmộttập Emàcácphầntửcủanógọilàcáccung, đólàcáccặpcóthứtựcủacácphầntửthuộcV.

Nếutrongmạngcóthểcóđakênhthoạimộtchiều,tasẽphảisửdụngđếnkháini

ệmđađồthịcóhướng:

Địnhnghĩa5.MộtđađồthịcóhướngG=(V,E)gồmmộttậpkhácrỗngVmàc

ácphầntửcủanógọilàcácđỉnhvàmộthọEmàcácphầntửcủanógọilàcáccung,đól àcáccặpcóthứtựcủacácphầntửthuộcV.

Trongcácphầntiếptheo,chủyếuchúngtasẽlàmviệcvớiđơnđồthịv ô hướngvàđơnđồthịcóhướng.Vìvậy,đểchongắngọn,tasẽbỏ

quatínht ừđơnmỗikhinhắcđếnchúng

1.2 Cácthuậtngữcơbản

Trongmụcnày,chúngtasẽtrìnhbàymộtsốthuậtngữcơbảncủalýthuyếtđồthị.Trướctiên,taxétcácthuậtngữmôtảcácđỉnhvàcạnhcủađồthịvôhướng

Định nghĩa6.Haiđỉnhuvà

vtrongđồthị(vôhướng)G=(V,E)đượcgọilàliềnkềnếu(u,v)E.Nếue=(u,v)thì egọilàcạnhliênthuộcvớicácđỉnhuvàv.Cạnhecũngđược

ỉnhglàđỉnhcôlập,avàdlàcácđỉnhtreo.Bậccủađỉnhcótínhchấtsau:

Địnhlý1.GiảsửG=(V,E)làđồthịvôhướngvớimcạnh.Khiđó2m=∑ deg(v) Chứngm i n h R õ ràngtrongmỗicạnhe = ( u , v ) đượctínhmộtlầntrongd

eg(u)vàmộtlầntrongdeg(v).Từđósuyratổngtấtcảcácbậccủacácđỉnhbằnghailầnsốcạnh

haitrongvếphảiởtrênlàsốchẵn.Từđósuyratổngthứnhất(chínhlàtổngbậccủacácđỉnhbậclẻ)cũngphảilàsốchẵn,dotấtcảcácsốhạngcủanólàsốlẻ,nêntổngnàyp h

ả ig ồ m mộts ố chẵnc á c sốhạng.Vìvậy,s ố đỉnhb ậ c l ẻ phảil à sốchẵn

Taxétcácthuậtngữtươngtựchođồthịcóhướng

Địnhnghĩa8.Nếue=(u,v)làcungcủađồthịcóhướngGthìtanóihaiđỉnhuv

àvlàkềnhau,vànóicung(u,v)nốiđỉnhuvớiđỉnhvhoặccũng

nóicungnàylàđirakhỏiđỉnhuvàđivàođỉnhv.Đỉnhu(v)sẽđượcgọilàđỉnhđầu(cuối )củacung(u,v).

deg-(a)=1, deg-(b)=2,deg-(c)=2, deg-(d)=2,deg-(e)=2.deg+

(a)=3, deg+(b)=1,deg+(c)=1,deg+(d)=2, deg+(e)=2

Domỗicung(u,v)sẽđượctínhmộtlầntrongbánbậcvàocủađỉnhvvàmộtlầntrongbánbậc racủađỉnhunênta có

Địnhlý2.GiảsửG=(V,E)làđòthịcóhướng, khiđó:

∑deg+(v)=∑deg-(v)=|E|

Rấtnhiềutínhchấtcủađồthịcóhướngkhôngphụthuộcvàohướngtrêncáccungcủanó.Vì

vậy,trongnhiềutrườnghợpsẽthuậntiệnhơnnếutab ỏ quahướngtrêncáccungcủađồthị.Đồthịvôhướngthuđượcbằngcách

Đườngđinóitrêncòncóthểbiểudiễndướidạngcáccạnh:( x 0 ,x 1 )

,(x 1 ,x 2 ), ,( x n-1 ,x n ).

Đỉnhugọilàđỉnhđầu,cònđỉnhvgọilàđỉnhcuốicủađườngđi.Đườngđi

cóđỉnhđầutrùngvớiđỉnhcuối(tứclàu=v)đượcgọilàchutrình.Đườngđi haychutr ìnhđượcgọilàđơnnếunhưkhôngcócạnhnàobịlặplại.

Vídụ4.Trênđồthịvôhướngchotronghình1:a,d,c,f,elàđườngđiđơnđộdà

i4.Cònd,e,c,akhônglàđườngđi,do(e,c)khôngphảilàcạnhcủađồthị.Dãyb,c,f,e,blàchutrìnhđộdài4.Đường đia,b,e,d,a,bcóđộdàilà5khôngphảilàđườngđiđơn,docạnh(a,b)cómặttrongnóhailần

Hình7.ĐườngđitrênđồthịKháiniệmđườngđivàchutrìnhtrênđồthịcóhướngđượcđịnhnghĩahoàntoàntươngtựnhưtrườnghợpđồthịvôhướng,chỉkháclàtachúýđếnhướngtrêncáccung

Địnhnghĩa11.Đườngđi độ dàintừđỉnhuđến đỉnv,trongđónlàsốnguyêndương,trênđồthịcóhướngG=(V,A)làdãyx o ,x 1 , ,

x n-1 ,x n trongđóu=x 0 ,v=x n ,(x i ,x i+1 )A,i=0,1,2, ,n-1

Đườngđinóitrêncòncóthểbiểudiễndướidạngcáccung:( x 0 ,x 1 )

,( x 1 ,x 2 ), ,( x n-1 ,x n ).

Đỉnhugọilàđỉnhđầu,cònđỉnhvgọilàđỉnhcuốicủađườngđi.Đườngđi

cóđỉnhđầutrùngvớiđỉnhcuối(tứclàu=v)đượcgọilàchutrình.Đườngđ i haychutr ìnhđượcgọilàđơnnếunhưkhôngcócungnàobịlặplại.

Vídụ5.Trênđồthịcóhướngchotronghình7:a,d,c,f,elàđườngđiđơnđộd

ài4.Cònd,e,c,akhônglàđườngđido(e,c)khôngphảilàcungcủađồthị.Dãyb,c,f,e,blàchutrìnhđộdài4.Đườngđia,b,e,d,a,bcóđộdàilà5khôngphảilàđườngđiđơn,docung(a,b)cómặttrongnóhailần

Xétmộtmạngmáyt í n h Mộtcâuhỏiđặtr a l à haimáytínhb ấ t k ỳ trongmạngnàycóthểtraođổiđượcthôngtinvớinhauhoặctrựctiếpquakênhnốichúnghoặcthôngquamộthoặcvàimáyt í n h trunggiantrongmạng?

Nếusử dụngđồ thịđể biểudiễnmạngmáytínhn ày (trongđócácđỉnhcủađồthịtươngứngvớicácmáytính,còncáccạnhtươngứngvớicáckênhnối)câuhỏiđóđượcphátbiểutrongngônngữđồthịnhưsau:Tồntạih a y chăngđườngđigiữamọicặpđỉnhcủađồthị?

Địnhnghĩa12.ĐồthịvôhướngG=(V,E)đượcgọilàliênthôngnếuluôntìm

đượcđườngđigiữahaiđỉnhbấtkỳcủanó.

Nhưvậyhaimáytínhbấtkỳtrongmạngcóthểtraođổithôngtinđượcvớinhaukhivàchỉkhiđồ thịtươngứngvớimạngnàylàđồthịliênthông

thông

Vídụ6.Tronghình8:ĐồthịGlàliênthông,đồthịHlàkhôngliên

Hình8.ĐồthịliênthôngGvàđồthịHgồm3thànhphầnliênthôngH1,H2, H3.

Địnhnghĩa13.TagọiđồthịconcủađồthịG=(V,E)làđồthịH=(W,F),tr

ongđóWVvà FE

Trongtrườnghợpđồthịlàkhôngliênthông,nósẽrãrathànhmộtsốđ ồ thịconliênthôngđôimộtkhôngcóđỉnhchung.Nhữngđồthịconliênthôngnhưvậytasẽgọilà

Địnhnghĩa14.Đỉnhvđượcgọilàđỉnhrẽnhánhnếuviệcloạibỏvcùngvới

cáccạnhliênthuộcvớinókhỏiđồthịlàmtăngsốthànhphầnliênthôngcủađồthị.Cạn

heđượcgọilàcầunếuviệcloạibỏnókhỏiđồthịlàmtăngsốthànhphầnliênthôngcủa

đồthị.

Vídụ8.TrongđồthịG ởhình8,đỉnhdvàelàđỉnhrẽnhánh,còncáccạnh(d,g)và(e,f) làcầu.

Đốivớiđồthịcóhướng,cóhaikháiniệmliênthôngphụthuộcvàoviệctacóxétđếnhướngtrêncáccunghaykhông

Địnhnghĩa1 5 ĐồthịcóhướngG=(V,A)đ ư ợ c gọilàliênthôngmạnhnếul

uôntìmđượcđườngđigiữahaiđỉnhbấtkỳcủanó.

Địnhnghĩa16.ĐồthịcóhướngG=(V,A)đượcgọilàliênthôngyếunếuđồthị

vôhướngtươngứngvớinólàđồthịvôhướngliênthông.

Rõràngnếuđồthịlàliênthôngmạnhthìnócũnglàliênthôngyếu,nhưngđiềungượclạilàkhôngluônđúng,nhưchỉratrongvídụdướiđây

Vídụ9.Tronghình9đồthịG làliênthôngmạnh,cònHlàliênthôngyếunhưngkhônglàliênthôngmạnh

Hình9.ĐồthịliênthôngmạnhG,ĐồthịliênthôngyếuH

Mộtcâuhỏiđặtralàkhinàocóthểđịnhhướngcáccạnhcủamộtđồthịvôhướngliênthôngđểcóthểthuđượcmộtđồthịcóhướngliênthôngmạnh?

Tasẽgọiđồthịnhưvậylàđồthịđịnhhướngđược.Địnhlýdướiđâychotatiêuchuẩnnhậnbiếtmộtđồthịcólàđịnhhướngđượchaykhông

Địnhlý3.Đồthịvôhướngliênthônglàđịnhhướngđượckhivàchỉk h i mỗicạ

nhcủanónằmtrênítnhấtmộtchutrình.

Chứngminh.Điềukiệncần.Giảsử(u,v)làmộtcạnhcủađồthị,từsựtồntại

đườngđicóhướngtừuđếnvvàngượclạisuyra(u,v)phảinằmtrênítnhấtmộtchutrình

Điềukiệnđủ.Thủtụcsauđâychophépđịnhhướngcáccạnhcủađồthịđểthuđ

ượcđồthịcóhướngliênthôngmạnh.GiảsửClàmộtchutrìnhnàođótrong

đồthị.Địnhhướngcáccạnhtrênchutrìnhnàytheomộthướngđivòngtheonó.Nếutấtcáccạnhcủađồthịlàđãđượcđịnhhướngthìkếtthúcthủtục Ngượclại,Clàmộtcạnhchưađịnhhướngcóchungđỉnhvớiítnhấtmộttrongsốcác

chutrìnhC chứacạnhe.ĐịnhhướngcáccạnhchưađượcđịnhhướngcủaC’theomộthướngdọctheochutrìnhnày(không định hướnglạicáccạnhđãcóhướng).Thủtụctrênsẽđượclặplạichođếnkhitấtcảcáccạnhcủađồthịđượcđịnhhướng.Khiđótathuđượcđồthịcóhướngliênthôngmạnh

1.4 Mộtsốkháiniệm

TrongphầnnàychúngtachỉxétđồthịcóhướngG=(V,E)và|V|=n,

|E|

=mvớicáccungđượcgántrọngsố,nghĩalà,mỗicung(u,v)Ecủan ó đượcđặttươngứngvớimộtsốthựca(u,v)gọilàtrọngsốcủanó.Chúngtasẽđặta(u,v)=

,nếu(u,v)E.Nếudãyv0,v1, ,vplàmộtđườngđitrên

Bàitoántìmđườngđingắnnhấttrênđồthịdướidạngtổngquátcóthểđượcphátbiểudướidạngtổngquátnhưsau:Tìmđườngđicóđộdàinhỏnhấttừmộtđỉnhxuấtp

hấttừsđếntcònđộdàicủanó,sẽkíhiệulàd(s,

t)vàcòngọilàkhoảngcáchtừsđếnt(khoảngcáchđịnhnghĩanhưvậycót h ể

l à sốâm).Nếunhưkhôngtồntạiđườngđitừsđếntthìtađặtd(s,t)=từđótathấychutrìnhtrongđồthịcóđộdàidương,thìtrongđườngđin g ắ nnhấtkhôngcóđỉnhnà

olặplại(đườngđinhưthếgọilàđườngđicơbản).

Mặtkhác,nếutrongđồthịcóchutrìnhvớiđộdàiâm(gọilàchutrìnhâm)thìkh

oảngcáchgiữa

1sốcặpđỉnhnàođócủađồthịcóthểlàkhôngxácđịnh.Bởivì,bằngcáchđivòngtheochutrìnhnàymộtsốđủlớnlần,tacóthểchỉrađườngđigiữacácđỉnhnàycóđộdàinhỏhơnbấtkìsốthựcchotrướcnào.Trongtruờnghợpnhưvậy,cóthểđặtvấnđềt ì m đườngđicơbảnngắnnhất,tuynhiênbàitoánđặtrasẽtrởnênphứctạphơnrấtnhiều,bởivìnóchứabàitoánxétsựtồntạiđườngđiHamintơntrongđồthịnhưlàmộttrườnghợpriêng

Trướchết,cầnchúýrằngnếubiếtkhoảngcáchtừsđếnt,thìđườngđingắnnhấttừsđếnt,trongtrườnghợptrọngsốkhôngâm,cóthểtìmmộtcách dễdàng.Đểtìmđườngđi,chỉcầnchúýlàđốivớicặpđỉnhs,tVt u ỳ ý(st)luôntìmđượcđỉnhvsaocho:

d(s,t) =d(s,v)+a(v,t)Thựcvậy,đỉnhvnhưvậychínhlàđỉnhđitrướcđỉnhttrongđườngđingắnnhất

t ừ s đếnt Tiếptheo,t a cóthểt ìm đượcu s a o chod ( s, v)=d(s,u)

+a(u,v), Từgiảthiếtvềtínhkhôngâmcủacáctrọngsốdễdàngsuyrarằngdãyt,v,u, khôngchứađỉnhlặplạivàkếtthúcởđỉnhs.Rõràngdãythuđượcxácđịnhđườngđingắnnhấttừsđếnt

1.4.1 Đườngđingắnnhấtxuấtpháttừmộtđỉnh

PhầnlớncácthuậttoántìmkhoảngcáchgiữahaiđỉnhsvàtđượcxâydựngnhờThuậttoántính toán,màtacóthểmôtảđạithểnhưsau:từmatrận

ngắnnhấttừsđếnnó.Cácnhãnnàysẽđượcbiếnđổitheothủtụclặp,màởmỗimộtbướ

cl ặ p cómộtnhãntạmthờitrởthànhnhãncốđịnh.Nếunhãncủamộtđỉnhnàođót r ở thànhc ố địnhthìn ó sẽ chot a khôngphảil à cậntrênmàl à độdàiđườngđingắnnhấttừđỉnhsđếnnó.Thuậttoánđượcmôtảnhưsau:

KíhiệuS1làtậpcácđỉnhcónhãncốđịnh,S2làtậpcácđỉnhcónhãntạmthờiởbướclặpđangxét.Kếtthúcmỗibướclặpnhãntạmthờid(v)chot a độdàicủađườngđingắnnhấttừsđếnvchỉquanhữngđỉnhnằmhoàntoàntrongtậpS1.Giảsửrằng,đườngđingắnnhấttừuđếnu*khôngnằmtrọntrongtậpS1,tứclànóđiquaítnhấtmộtđỉnhcủatậpS2.GọizS2l à đỉnhđầutiênnhưvậytrênđườngđinày.Dotrọngsốtrêncáccunglàkhôngâm,nênđoạnđường từsđến u*cóđộdàiL>0vàd(z)<d(u*)-

L <d(u*)

Bấtđẳngthứcnàylàmâuthuẫnvớicáchxácđịnhđỉnhu*làđỉnhcónhãntạmthờinhỏnhất.Vậyđườngđinngắnnhấttừsđếnu*phảinằmtrọntrongtậpS1,vàvìthếd[u*]làđộdàicủanó.DoởlầnlặpđầutiênS1={s}vàsaumỗilầnlặptachỉthêmvàoS1mộtđỉnhu*nêngiảthiếtlàd(v)chođộdàiđườngđingắnnhấttừsđếnvvớimọiv

 S1làđúngvớibướcl ặ p đầutiên.Theoquinạplàsuyrathuậttoánchotađườngđingắnnhấttừsđếnmọiđỉnhcủađồthị

Vídụ10.Tìmđườngđingắnnhấttừđỉnh1đếncácđỉnhcònlạicủađồthịởhìn

hsau:

đỉnhđượcchọnđểcốđịnhnhãnởbướclặpđangxét,nhãncủanókhôngbiếnđổiởcácbướctiếptheo,vìthếtađánhdấu

Nếuchỉcầntìmđườngđingắnnhấttừsđếnmộtđỉnhtnàođóthìtacóthểkếtthúcthuậttoánkhitrởthànhcónhãncốđịnh

1.4.3 Đườngđitrongđồthịkhôngcóchutrình

Bâygiờtaxéttrườnghợpriêngthứhaicủabàitoántìmđườngđingắnnhất,màđ

ể giảinóc ó t h ể x â y dựngthuậttoánvớiđộphứct ạ p tínhtoánO ( n2),đólàđồthịkhôngcóchutrình(còntrọngsốtrêncáccungcóthểlàc á c sốthựctuỳý).Trướchếttachứng minhđịnhlýsau:

Địnhlý5.GiảsửGlàđồthịkhôngcóchutrình.Khiđócácđỉnhcủan ó cóthểđ

ánhsốsaochomỗicungcủađồthịchỉhướngtừđỉnhcóchỉsốnhỏhơnđếnđỉnhcóchỉs ốlớnhơn,nghĩalàmỗicungcủanócóthểbiểudiễndướidạng(v[i],

v[j]),trongđói<j.

Vídụ11.Đồthịtronghìnhsaucócácđỉnhđượcđánhsốthỏamãnđiềukiệnn

êutrongđịnhlý

Hình10.ĐồthịkhôngcóchutrìnhĐểchứngminhđịnhlýtamôtảthuậttoánsau,chophéptìmracáchđánhsốthỏamãnđiềukiệnđịnhlý.

gc ó chutrình,vàthủtụcđượclặp lạivớiđồthịmớinày Quá trìnhđósẽđượctiếptụcchođếnkhitấtcảcácđinỉhcủađồthịđượcđánhsố.

Tathấy:

1) Rõràngtrongbướckhởitạotaphảiduyệtquatấtcảcáccungcủađồth

tatốncỡO(m)phéptoán,trongđómlàsốcungcủađồthị.Tiếptheomỗilầnđánhsốmộtđỉnh,

đểthựchiệnviệcloạibỏđỉnhđãđượcđánhsốcùngvớicáccungđirakhỏin ó ,chúngtasẽphảiduyệtquatấtcảcáccungnày.Suyrađểđánhsốtấtcảc á c đỉnhcủađồthịchúngtasẽphảduyệttấtcảcáccungcủađồthịmộtlầnnữa.

VậyđộphứctạpthuậttoánlàO(m)

2) Thuậttoáncóthểđểkiểmtraxemđồthịcóchứachutrìnhhaykhông?Thựcvậy,nếukếtthúcthuậttoánvẫncòncóđỉnhchưađượcđánhsố(num<n)thìđiềuđócónghĩalàđồthịchứachutrình

Docóthuậttoánđánhsốtrên,nênkhixétđồthịkhôngcóchutrìnhtac ó thểgiảthiếtlàcácđỉnhcủanóđượcđánhsốsaochomỗicungchỉđitừđỉnhcóchỉsốnhỏđếnđỉnhcóchỉsốlớnhơn.Thuậttoántìm đườngđingắnnhấttrênđồthịkhôngcóchutrìnhđượcmôtảtrongsơđồsauđây:

ProcedureCritical_Path;

(*Tìmđườngđingắnnhấttừđỉnhnguồnđếntấtcảcácđỉnhcònlạitrênđồthịkhôngcóchutrình*)