Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô tổ giải tích, thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – PGS.TS Khuất Văn Ninh người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ em trình thực khóa luận Tuy có nhiều cố gắng, lần đầu thực đề tài nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến từ phía thầy giáo, giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Trần Phương Anh Hàm lồi ứng dụng xây dựng bất đẳng thức LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Sinh viên Trần Phương Anh MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 2 Tính chất 3 Các điều kiện tương đương 11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12 Các bất đẳng thức kinh điển 12 Các bất đẳng thức đại số 21 Các bất đẳng thức lượng giác tam giác 35 Các bất đẳng thức hình học 48 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình tốn học phổ thơng, vấn đề bất đẳng thức chuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sáng tạo từ phía em học sinh Những tốn thuộc chuyên đề vấn đề khó mang lại cho người học nhiều kiến thức hay tư cao Điều quan trọng làm để thật có bất đẳng thức hay phong phú cho người học Có nhiều phương pháp xây dựng bất đẳng thức, sử dụng tính chất hàm lồi (lõm) phương pháp cho nhiều tốn hay, mang tính độc đáo Chính tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm lồi ứng dụng xây dựng bất đẳng thức”, tìm hiểu phương pháp hàm lồi xây dựng bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp Khóa luận gồm phần: Phần I: Các kiến thức sở Trình bày kiến thức có liên quan đến việc xây dựng bất đẳng thức Trong có định nghĩa, tính chất hàm lồi điều kiện tương đương Phần II: Ứng dụng hàm lồi xây dựng bất đẳng thức: Dựa vào bất đẳng thức Jen xen tính chất thích hợp hàm lồi để chọn hàm số thích hợp, từ đưa cách xây dựng bất đẳng thức, từ bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo bất đẳng thức phong phú thuộc chủ đề CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng I (khoảng mở, đóng nửa đóng, hữu hạn vô hạn) Hàm số f gọi hàm lồi khoảng I x1, x2 I, x1 x2 ta có: f( x1 + (1 )x2) < f(x1) + (1 )f(x2),  (0; 1) 1.2 Ý nghĩa hình học Giả sử x1, x2 I; M1, M2 hai điểm đường cong y = f(x) M1(x1; f(x1)), M2(x2; f(x2)) Khi y phương trình tham số M1, M2 là: y = f(x)  x x (x1 x )   y f  x (f (x1 ) f (x )) M2 M1 Với: < < 1, là tham số Như vậy: Hàm số f(x) lồi khoảng I nên với điểm M1, M2 đường cong y = f(x), cung M1M2 đường cong nằm phía đoạn M1M2 1.3 Ví dụ a Ví dụ 1: Hàm số f(x) = x lồi ( ; + ) Thật vậy: x1, x2 ( ; + ), x1 x2 ta có: f( x1 + (1 )x2) = ( x1 + (1 )x2) = 2 2 x1 x2 x x1 + 1  x2 + (1 )x1x2  f(x1) + (1 )f(x12) = x + (1 )x2 Ta thấy: 2 x + (1 ) x – + 1  + (1 )x1x2) = 2 ( x1   x2 2 = (1 ) x + (1 ) x 2 (1 )x1x2 = ( λ 1 2 (1 ) x2) > ( )  x1  () bất đẳng thức (0; 1) x1 x2 Do đó: f( x1 + (1 )x2) < f(x1) + (1 )f(x2) Vậy f(x) = x hàm số lồi ( ; + ) b x Ví dụ 2: Hàm số f(x) = e lồi ( ; + ) Chứng minh tương tự ví dụ (1) ta có điều khẳng định 1.4 Hàm lõm a Hàm số f xác định I gọi hàm lõm –f lồi, tức x1, x2 I, x1 x2 Ta có: f( x1 + (1 )x2) > f(x1) + (1 )f(x2) b Ví dụ: Hàm số y = f(x) = x hàm lõm ( ; + ) Tính chất 2.1 Định lý Giả sử f(x) hàm lồi khoảng I 1, 2, …, n số không âm cho 1 + 2 + …+ n = x1, x2, …, xn  I thì: f( 1x1 + 2x2 + …+ nxn) 1f(x1) + 2 +…+ n f(xn) (1) Chứng minh ) Trước hết quy nạp ta rằng: Nếu x1, x2, …, xn I 1, 2, …, n số không âm cho: 1 + 2 +…+ n = 1x1 2 x  n x n I Thật vậy: Với n = khẳng định theo định nghĩa hàm lồi  f( x1 + (1 )x2) nghĩa là: x1 + (1 )x2 I Với n > 2, giả sử điều khẳng định Ta chứng minh với n + 1, tức là: Nếu x1, x2, …, xn, xn + I 1 + 2 + … + n +  n+1 = 1x1 + 2x2 +…+ nxn + n+1xn+1 I Từ giả thiết: 1 + 2 +…+ n + n+1 = i > 0, i 1, n 1  Giả sử i > với i n Khi đó: 1 + 2 +…+ n > Ta có: 1x1 + …+ nxn + n+1 xn+1 = ( 1 + 2 +…+ n ) Từ giả thiết quy nạp ta suy ra: u= x     1 2   n x I n     n n Do 1x1 +…+ nxn + n+1 xn+1 I Nếu 1 =…= n = n+1 = 1x1 +…+ nxn +  n+1xn+1 = xn+1 I ) Ta chứng minh (1) quy nạp Với n = 2, bất đẳng thức (1) theo định nghĩa hàm lồi Dấu “ = ” bất đẳng thức xảy khi1 và2 nhận giá trị hoặc x1 = x2 Giả sử (1) với n Ta chứng minh (1) với n + Tức là: Nếu 1, …, n+1 số không âm cho: 1 +…+ n+1 = thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1) 1f(x1) + …+ n+1f(xn+1) Thật vậy: Nếu 1 + 2 +…+ n > thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1)  f (  )(   n (   ) n   n   x n  x )  1   n    x  1 (vì f hàm lồi) Theo giả thiết quy nạp: n n1 1  n n   x n   1  n x n1   f (x n1 )(2) n1       p a  p b  1 4 hay      c p a p p a p b b 1 Tương tự ta có:  1 ,   p b p c a p c c  p a b Nhân vế bất đẳng thức ta được:  1  1        p b p b  p a    p c p  p  c a  abc  p a  p b2  p c 2  64 abc  64 abc   p a  p b  p c  abc  Vậy nên ta phát biểu toán sau: Cho □ABC với chu vi 2p chứng minh rằng: abc 8  p a  p b  p c  4.2 Chọn T(x) = 2 1 < x 0;  Khi ta có:  x 3  T(x)dx =  2 1 dx = x 3 Chọn c1 = 0, ta có:  T(x)d x Lại có:  1 dx = = 1 + c1 x 2 + c2 1  x Chọn c2 = 1, ta dược hàm số f(x) = x 2 1  x2 x  x hàm lõm 0;  a, b, c độ dài ba cạnh □ABC, áp dụng bất đẳng thức Jenxen x ta có: hàm lồi f(x) = x f(a) + f(b) + f(c)  3f a b c    a b    a b  c a   a b c 3 c a b c  3a b c b a b c   c   a b c (*) Với p nửa chu vi, có 2p = a +b +c = Khi ấy: a (*)   b c  1 b a c Vậy ta có tốn sau: Cho □ABC với cạnh có độ dài a, b, c chu vi Chứng b c    a1 b1 c4 a minh rằng: 4.3 Chọn T(x) = 2 1  x 3 < x 0;1 Ta có:  T(x)dx =  2 1 dx = x  Chọn c1 = 0, ta có: T(x)d  x  1 1 = + c1 1 x  dx + c2 =1  x  x Chọn c2 = 1, ta hàm số f(x) = Lại có: 1  x 2 1  x hàm lõm 0;1 a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a, b, c 0;1 Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với a, b  0;1 f(a)  + f(b) 2f ta có: a b    b +1   a b  a  a =2 b a  b a b c ( Với a + b +c = 1) Tương tự ta có: b + b c 2  c b c , + c a c a 2 a c a b Cộng vế bất đẳng thức ta được: b c  a    a 1  b 1c   a   b c  a b  c  b c c a  a b  2  c a b   a b b c  c a b  c a Ta phát biểu toán sau: Cho □ABC với cạnh có độ dài a, b, c chu vi Chứng minh rằng: 4.4 a b c   a1 b1  c  a b b c  c a c a x 2 Xét hàm số f(x) = sin  3;   Khi ta có: x  2 2 f’(x) = sin  sin x x x  2  2 2 2  cos  sin f”(x) =  cos x x x x x x3 2 2 =  sin < x 3 x x b Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với hàm lõm f(x) = 2 x 3;  x1, x2  3;  và x1 x2 ta có: x x f  x f  x  f     sin x x1  f f x  f  x  x   21   f x1 x   2  (1)   Gọi Sn diện tích đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn có n 2 bán kính Khi Sn = sin 2S2n >Sn + S4n (2) n *) Trong (1) ta lấy: x1 = n 1 , x2 = n 1 ta có: f  n f  n 1> f  n hay Sn Sn1 > Sn1 Sn (*) 1 f  n  Lặp lại ta có: Sn2 Sn1 > …> S2n S2n1 Từ (*) (**) ta suy ra: S2n  S2n1 > (**) S2n Sn n (3) *) Trong (1) lấy x1 = 2n, x2 = 2n + ta có: f  2n 2f  n > f  2n 4f  2n 2 Hay S2n2  > S  2n4 S2n S2n2 (***) Lặp lại (***) ta có: S 2n4  > S 2n6  S2n 2  S4n2 > …> S4n2 S4n S2n4 > S4n S2n (4) n S4n Từ (3) (4) ta có: Sn Sn1 > S 4n2 S4n Kết hợp (2)  hay Sn  S4n 2S2n > S4n2 Sn1 Vậy ta có tốn sau: > S4n2 Sn1 , Cho đường tròn có bán kính Gọi Sn diện tích đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn đó, giả sử n 4, biết 2S2n > Sn + S4n Chứng minh rằng: 2S2n > S4n2 Sn1 4.5   Xét hàm số f(x) = cosx 0; Ta có:    2   0; < x  f”(x) f’(x) = = cos x sin x    2   f(x) hàm số lõm 0;    2 Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm số lõm f(x) = cosx x1, x2, …,   x6 0; ta có: f x      (*)   f x  f x  x x   f x 1     6   Với M điểm nằm bên tam giác Ta gọi ma, mb, mc khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác; ha, hb, hc khoảng cách từ M đến cạnh tam giác Khi ta có:  h a hb  h b hc  h c ha = = m a m b m c cos M1 cos M cos M3 cos M cos M5 cos M6  Với Mi     Mi 0;2  2  i1  tạo thành khoảng cách, i = 1,6 ) ( Mi góc đỉnh M tương ứng Áp dụng bất đẳng thức Côsi với số cosMi ( i = 1,6 ) ta có: cos M1 cos M2 cos M3 cos M4 cos M5 cos M6  1 3  Mi cos    i1 (1)   Trong (*) ta áp dụng với Mi 0; :  2  M1 M2  f  f  M f  f M  M  M     6   1  1  2cos   cos Mi   M i   i1  i1  1    2co = (2)  3  cos Mi  s  i1   Từ (1) (2): cos M1 cos M cos M3 cos M4 cos M5 cos M6  1  h a h b  h b h c m m m a b c   h c ha  Vậy ta phát biểu toán sau: Giả sử  m a , mb , mc   h a , h b , h c  theo thứ tự khoảng cách từ M đến đỉnh cạnh tam giác Chứng minh rằng: m a m b m c   h a h b  h b h c  h c ha  KẾT LUẬN Bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng toán học Các toán bất đẳng thức phong phú đa dạng dòi hỏi vận dụng kiến thức cách linh hoạt sáng tạo Sử dụng hàm lồi phương pháp hay cho nhiều toán bất đẳng thức độc đáo Với việc sử dụng hàm lồi xây dựng bất đẳng thức , em mong muốn cung cấp cho bạn yêu toán phương pháp để xây dựng số bất đẳng thức hay phục vụ cho trình học tập, nghiên cứu Do khn khổ khóa luận lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận em chưa nêu đầy đủ hệ thống kiến thức hàm số lồi ứng dụng chúng việc xây dựng bất đẳng thức Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh giúp đỡ em hồn thành khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thượng Võ (1998), Tuyển tập 300 toán hệ thức lượng tam giác, Nhà xuất Trẻ TPHCM PGS TS Nguyễn Quý Dy – TH.S Nguyễn Văn Nho – TS Vũ Văn Thân (2002), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, Tập Nhà xuất giáo dục Đào tam (2002), Tuyển tập 200 thi vơ địch Tốn, Nhà xuất Giáo dục Đồn Thị Ngân (2004), Hàm lồi - ứng dụng hàm lồi việc giải sáng tạo toán bất đẳng thức tìm cực trị, Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Chuyền (2009), Ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức, Khóa luận tốt nghiệp đại học ... âm I sau lấy nguyên hàm hai lần ta hàm f xác định lồi I Khi dựa vào tính chất hàm lồi bất đẳng thức hàm lồi ta xây dựng bất đẳng thức CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 1.1 Bất đẳng thức Cauchy T(x) ... việc xây dựng bất đẳng thức Trong có định nghĩa, tính chất hàm lồi điều kiện tương đương Phần II: Ứng dụng hàm lồi xây dựng bất đẳng thức: Dựa vào bất đẳng thức Jen xen tính chất thích hợp hàm lồi. .. cứu: Hàm lồi ứng dụng xây dựng bất đẳng thức , tìm hiểu phương pháp hàm lồi xây dựng bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp Khóa luận gồm phần: Phần I: Các kiến thức sở Trình bày kiến thức có