Đẳng thức, bất đẳng thức hình học. Các điểm thẳng hàng, trùng nhau. Các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng. Quan hệ song song

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ CÁC BÀI TỐN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – 2012 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH Hà Nội – 2012 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em khơng khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để có khố luận hồn thiện em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Tốn thầy trường ĐHSPHN2 đặc biệt tân tình bảo đóng góp ý kiến quý báu thầy Bùi Văn Bình thời gian qua Do điều kiện thời gian với vốn kiến thức chắn không tránh khỏi sai sót Em mong nhận bảo, đóng góp thầy bạn sinh viên để tìm ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa luận hồn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê mơn Tốn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Hình học, thầy khoa Tốn đặc biệt thầy Bùi Văn Bình hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình Bản khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Rất mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Sinh viên Nguyễn Thị Liễu MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I Vectơ .3 II Các phép toán vectơ III Tích vơ hướng IV Ba vectơ đồng phẳng V Các toán .9 Chƣơng II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 13 I Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 13 II Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng 17 III Chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 27 IV Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng ba vectơ 32 V Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng 39 PHẦN III: KẾT LUẬN .47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học phận quan trọng cấu thành tốn học Hình học ln ln mơn học khó học sinh mơn học có tính chặt chẽ, tính lơgic tính trừu tượng cao ngành học khác tốn học Trong chương trình mơn tốn trung học sở em làm quen với khái niệm đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thơng khái niệm tiếp tục mở rộng, có khái niệm mới, vectơ ví dụ Khi mở rộng đoạn thẳng vơ hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ theo suốt em trình học tập trường trung học phổ thông Thông thường mở rộng khái niệm đồng thời ta có phương pháp mới, cơng cụ để giải tốn Khái niệm vectơ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ có phương pháp này, tốn chứng minh tính song song, vng góc, thẳng hàng… nói chung giải cách dễ dàng ngắn gọn Với mong muốn trên, giúp đỡ thầy Bùi Văn Bình, em mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ khơng gian tốn” Mục đích nhiệm vụ nghên cứu Qua dạng toán, ví dụ tham khảo mẫu… cho học sinh thấy phần quan trọng việc sử dụng vectơ lời giải tập hình học Tạo cho học sinh coi phương pháp để giải toán hiệu quả, cách suy nghĩ mẻ hình học Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu vectơ vấn đề áp dụng vào giải tập hình học khơng gian Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Toán Do thời gian có hạn, đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải số dạng tập Hình học khơng gian, với đối tượng học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN Nhiệm vụ nghiên cứu +) Hệ thống khái niệm tính chất vectơ hình học khơng gian +) Hệ thống dạng tập hình học khơng gian Phƣơng pháp nghiên cứu +) Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan +) Tổng kết kinh nghiệm PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I Vectơ I.1 Định nghĩa vectơ: Vectơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Cho đoạn thẳng AB không gian Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc) A điểm cuối (điểm ngọn) B ta có vectơ  Kí hiệu là: AB A B Chú ý:   +) Cho điểm A, B phân biệt ta có vectơ AB BA khác   +) Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA, BB, gọi vectơ - không I.2 Hai vectơ phƣơng, hƣớng   Hai vectơ AB CD gọi phương chúng nằm hai đường thẳng song song với trùng   Hai vectơ phương AB CD gọi hướng, chiều   từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB CD   Hai vectơ phương AB CD gọi ngược hướng, chiều   từ A đến B ngược với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB ¯ CD Chú ý: Khi ta có kết sau: +) Vectơ khơng xem hướng với vectơ +) Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ khơng hai vectơ hướng với +) Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương I.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ  độ dài đoạn thẳng AB, kí hiệu là: Độ dài vectơ AB   AB Như vậy: AB = AB = BA Theo đó, độ dài vectơ - khơng có độ dài O Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị I.4 Hai vectơ Định nghĩa:   Hai vectơ AB CD gọi chúng hướng độ dài   Kí hiệu là: AB = CD Chú ý từ định nghĩa: +) Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như:  +) Hiển nhiên, vectơ - khơng Kí hiệu:  +) Khi cho trước vectơ a điểm O có điểm A cho:   OA = a I.5 Góc hai vectơ Định nghĩa:     Cho hai vectơ a, khác Từ điểm O đó, ta vẽ OA = a b   OB = b Khi số đo AOB gọi số đo góc hai  góc  (a, b) vectơ a, b Kí hiệu: A a a O  B b Nhận xét: b     BA, BB1, theo a, b,c Biểu thị BC Giải: Do P,Q chia đoạn CA, DC1 theo tỷ số:   CA, DQ nên có: CP = = A Do đó: PQ = BQ - BP = BD1 Vậy PQ  Q c  A D1 C1 B1   a + 2.c c+ a = )   a+ c       b- + 2a a =   ( )   BD1 2a + b + 3c a + 2.c a+ b+ c - = = C b (  P B  DC   a Áp dụng quy tắc hình hộp ta có:        BD1 BA BB1 BC a + b + + = c = +       1 BP BC + CP BC CA = c = = + + 3       D BQ BD DQ BA BC C = = + = + + +  D   b + 3c 3 trùng cắt mặt phẳng (ABCD) P B phân biệt Vậy PQ / /BD1   Nhận xét: Thông qua việc sử dụng vectơ biểu diễn PQ theo BD1 thông    qua vectơ a, b,c ta dễ dàng chứng minh PQ // BD1 Khi sử dụng vectơ lời giải trở nên đơn giản V.1.3 Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng vẽ qua đỉnh A song song với BC cắt BD M , đường thẳng vẽ qua đỉnh B song song với AD , cắt AC N Chứng minh: MN / /DC Bài 2: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Tìm M AC Ỵ cho: MN / /BD1 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 NỴ C1D  Đặt B1A1 =      a, B1B b, B1C1 c Gọi M điểm chia đoạn thẳng AC1 = = theo tỷ số m , N điểm chia đoạn C1D theo tỷ số n , tức là:   NC MA m, = n  =     MC1 ND a) Hãy biểu thị vectơ B1M, B1N theo a, b,c m, n b) Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B1D HƢỚNG DẪN GIẢI : Bài 1: Trong trường hợp ABCD khơng hình bình hành M ¹ D , nên M Ï CD Do để chứng minh MN / /DC ta chứng tỏ:   DC = a MN , vi a ẻ  Sử dụng giả thiết song song đầu ta biểu diễn vectơ       DC , theo OA , OB Từ tìm mối liên hệ MN MN DC Do M Ï CD nên suy MN / /DC       Bài 2: Đặt BA a, BB1 = b, BC = c        MỴ MC = nAC ; N ẻ C 1D ị C1N = mC1D AC Þ  nên MN kBD1 = ka kb + = + kc      nAC CC1 C1N b + mC1D + + =     n )a + m)b + nc b =   (1(m Từ (1) (2) ta suy ra: k = n , m MC AC = = = Vậy , Theo giả thiết MN BD1   Mặt khác: MN MC = +     = n c a + b+ m a ( ) ( ) (1) (2)  CN =  2C D  3   Bài 3: a) Từ MA = m Þ MA mMC =  MC1      Ta lại có: MA MB1 B1A MC1 MB1 = + = + ;     Suy MB1 B1A m MB1 B1C1 ra: + = + ( )  B1C1     Þ MB1 + B1A mMB1 + mB1C1 = Þ    m)= B1A mB1C1 Þ    Mặt khác: B1A B1A1 A1A = + Vì Þ B1M(1  A1A =   B1B = b Þ  B1A =   a+ b Vậy   MB1 (1 m )=   B1A + mB1C1    B1A mB1C1 - B1M = 1- m ,(m ¹ 1) ABCDA1B1C1 hình hộp nên: D1     a + b - mc ,(m 1) B1M 1- m ¹ =   Giải tương tự ta có:  B1N = - na + b - (1 n)c ,(n 1) 1- ¹ n         - na + b- (1 n)c a + b- mc b) Ta có: MN B1N B1M 1n 1- m æ n = = 1 = - - ỗỗ1+ m ữa + ỗỗ ữb + (1) ữc çè n 1- m ø èç n 1- m ø ç è ÷ ÷ 11  Để MN / /B1D hai vectơ B1D MN   có: MN kB1D (2) =     Ta lại có: B1D B1C1 + C1D1 D1D = + Vì       b Do đó: C1D1 B1A1 a , D1D B1B = = = = Từ (1), (2), (3) ta suy ra, để  1- m ø÷ phải phương, nghĩa ta phải ABCDA1B1C1 hình hộp nên: D1     B1D a + b + (3) c = íï - n ï = k ïíï ïm= - ï ï 1- n 1- m ï ïï ï ï MN / /B1D ì n - = k Þ m - ï ï ïï ï = k ï ïïỵ 1- m ìn= ï ï ï ï k = ï ïỵ V.2 CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG V.2.1 Phƣơng pháp chung Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nằm mặt phẳng (P) ta làm sau:   không cộng tuyến  Lấy (P) hai vectơ a b     Sau chứng minh ba vectơ a,b,AB đồng phẳng Đặc biệt, A Ï mp(P) suy AB / /mp(P) Thực chất việc chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chứng minh ba vectơ đồng phẳng V.2.2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 Gọi M, N     điểm thuộc AD1 DB cho: MA kMD1, ND kNB,(k 0,k 1) = ¹ ¹ = Chứng minh rằng: MN song song với mặt phẳng (A1BC) Giải:  Cách 1: Đặt: a =   AA1, b =   AB,c =  AD Sử dụng tích vơ hướng có:     íï a.b = b.c c.a = ï =  2 ì 2 ïï a b = c ïỵ = Từ giả thiết:    MA kMD1 = k MA = +    = k MA AD AA1 + +    k Û AM a+c = k1 ( ( ) ( ) C D N B A M  AD1 ) C1 D1 B1 A1  : AN = - k  b -  c Chứng minh tương tự ta có  Suy ra: MN =  AN -  k AM = -  b k-  c k k-   (a + c) k- k- k-     k k k  k 1+ c a b MN BC BA 1+ = = Þ + + 1- k 1- k 1- k 1- k    đồng phẳng Û MN, BC, BA1 ( ) Ngồi ra: M AD Ỵ NỴ BD nên MN (A1BC) Ï Vậy ta MN song song với mặt phẳng (A1BC)     Cách 2: Từ giả thiết: MA kMD1, ND kNB,(k 0,k ¹ 1) ¹ = AM DN = Suy ra: = theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song MD1 Û AD, MN, NB D1B song Þ MN / / (A1BCD1 ) Suy ra: MN / / (A1BC) Đpcm V.2.3 Các tập đề nghị: Bài 1: Cho hình hộp số , điểm N chia đoạn ABCDA1B1C1D1 Điểm M chia đoạn AD theo tỷ A C theo tỷ số Chứng minh: MN / / (BC D) 1 Bài 2: Hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh: đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) Bài 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1 D1 trung điểm C1D / / (MNP) AD,BB1,C1D1 Chứng minh:  HƢỚNG DẪN GIẢI :    Bài 1: Biểu thị BC, BA, BB1 có điểm M, N,P    a, b,c Để chứng minh MN / / (BC1D), ta phải chứng minh ba vectơ đồng phẳng Theo quy tắc hình bình hành ta có:  MN, BC1, BD     C a B BC1 BC + CC1 a + c ; = =      BD BC + CD a + b ; = =     MN MA AA1 A1N = + + Theo giả thiết ta có: M D A C1 D1 b c B1 N A1  MA =  AN =  AD = 2 2A C =  1a ;  AA +   AB + BC )  5  ( = (a b - c) -5       Do đó: MN = a + c a b ( c) = + 5é    ùb = a+ c = a + 1  (a  BC -   2b + 3c)  BD )úû 5 ê ( ) ( ë    Vậy ba vectơ MN, BC1, đồng phẳng Suy ra: MN / / (BC1D)  BD    Bài 2: Biểu thị a, b,c AB,AD,AF      Ta có: CE = CB + BE = b + c ; F        CF CB + BA AF = - b- a - c ; = +     MN MA AB BN = + + N Theo giả thiết ta suy ra: A B     1 MA = AC = (a b); + 3 M     BN BF a + c ) D = ( = -3 E C  Suy ra: MN = -  Þ MN = 1    (a b)+ a + +     ( -3   a + c)    (a b + c) b + c)= CF CE + + ( 3 3    đồng phẳng Hiển nhiên M (CEF) Suy ba vectơ CE,CF, Ï MN Suy ra: MN / / (BC1D) Bài 3: Hiển nhiên C1 (MNP) Đặt Ï       AB = a, AD b, AA1 = c =    đồng phẳng Dựa vào M, P Ta cần phải chứng minh ba vectơ C1D, MN, MP trung điểm cặp cạnh đối AD CC1 tứ diện ADC1D ta biểu   diễn vectơ MP,MN  qua a, b,c Suy ra: Theo quy tắc hình bình hành, ta có:      a+ c = CD= a+ c = ( ) × ( )   MP + MN =   (a + c) 2  MP  MN Suy đpcm 3 PHẦN 3: KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh số kiến thức mới, cách nhìn Tốn học Nó giúp phát triển tư toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước tốn hình thành cho hướng tư đắn, phù hợp để giải toán Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh cách nhìn hình học nói chung vectơ nói riêng Khóa luận đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa dạng toán, bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng vectơ giải tập hình học, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu Do đề tài “Vectơ khơng gian tốn” hồn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội Phan Huy Khải – Hàn Liên Hải (1997), Tốn bồi dưỡng Hình học 10, NXB Hà Nội Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mân (1996), Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập 3, NXB Giáo dục Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ - NXB Giáo dục Trần Phương (2001), Hình học giải tích, NXB Hà Nội Nguyễn Gia Cốc (1996), Ôn luyện giải tốn Hình học vectơ, NXB Đà Nẵng Các sách giáo khoa Hình học 10, 12 ... NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ CÁC BÀI TỐN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN... GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 13 I Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 13 II Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng 17 III Chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng.. . không đồng phẳng 27 IV Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng ba vectơ 32 V Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng 39 PHẦN III: