Vectơ trong không gian và các bài toán Đẳng thức, bất đẳng thức hình học. Các điểm thẳng hàng, trùng nhau. Các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng. Quan hệ song song

Để có được khoá luận hoàn thiện em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp những ý k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYEN THI LIEU

VECTO TRONG KHONG GIAN

VA CAC BAI TOAN:

` s DANG THUC, BAT ĐĂNG THÚC HÌNH HOC

CAC DIEM THANG HANG, TRUNG NHAU

* CAC VECTO DONG PHANG, KHONG PONG PHANG

QUAN HE SONG SONG

VECTO TRONG KHONG GIAN

VA CAC BAI TOAN:

DANG THUC, BAT ĐĂNG THÚC HÌNH HỌC

CAC DIEM THANG HANG, TRUNG NHAU

CAC VECTO DONG PHANG, KHONG DONG PHANG

QUAN HE SONG SONG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyén nganh: Hinh hoc

Người hướng dẫn khoa học

GV BUI VAN BINH

Hà Nội - 2012

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Để có được khoá luận hoàn thiện

em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy

cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua

Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô

và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật su bé ich cho tat

cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học, các thầy cô trong khoa Toán và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố

gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận

tình của thay Bui Van Binh

Bản khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu

trùng lôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận

được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Liễu

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

IV Ba vectơ đồng phẳng 2-22 522se+EESEEEEEEE322112112112711 7111 8

V, Các bài toán cơ bảnn -ó- + kknh nHnTHnT HH T HHnH HTHnnhdnệt 9 Chương II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN . - + 111171722722 TT 13

I Chứng minh các đăng thức và bất đăng thức -¿©e+©c+eeccxe+ 13

II Chứng minh ba điểm thăng hàng, hai điểm trùng nhau 17 III Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng - 27

IV Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ 32

V Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thắng song song với mặt phẳng :- 2s +s EEx E11171117112711 211271 T1 TT TH HH nước 39

PHAN III: KẾT LUẬN 2 25c 222Sc2E<2ESEvEEEevEEEeerrkrrrkerrrkeerrvee 47

TÀI LIỆU THAM KHÁO 2-©22-©2222EE‡EEEEEEESEEESEEEEEEEerkrrrkerrkerrk 48

PHAN 1: MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Hình học là một bộ phận quan trong cấu thành toán học Hình học luôn

luôn là một môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ,

tính lôgïc và tính trừu tượng cao hơn những ngành học khác của toán học

Trong chương trình môn toán ở trung học cơ sở các em đã được làm quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thông các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó vectơ là một ví dụ Khi mở rộng đoạn thắng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các

em trong quá trình học tập ở trường trung học phố thông

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một phương pháp mới, một công cụ mới dé giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho

ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thang hàng nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã

mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ trong không gian và các bài toán”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy

được phần quan trọng của việc sử đụng vectơ trong lời giải các bài tập hình học Tạo cho học sinh coi đây là một phương pháp để giải toán hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về hình học

3 Đối tượng, phạm vì nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài tập trong hình học không gian

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do thời gian có hạn, đề tài chi đề cập đến vấn để sử dụng công cụ vectơ

để giải một số dạng bài tập cơ bản của Hình học không gian, với đối tượng là

học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đăng, THCN

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+) Hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bán của vectơ trong hình học không gian

+) Hệ thống các dạng bài tập trong hình học không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

+) Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan

+) Tổng kết kinh nghiệm

PHẢN 2: NỘI DUNG

Chương I: KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ

I Vectơ

1.1 Định nghĩa vecfơ:

Vectơ trong không gian là một đoạn thắng có hướng

Cho đoạn thắng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc)

là A và điểm cuối (điểm ngọn) là B thì ta có một vectơ B

Chú ý:

+) Cho 2 điểm A, B phân biệt thì ta có 2 vectơ AB và BA khác nhau

+) Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA,BB, được gol

là vectơ - không

1.2 Hai vecfơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ AB và CD gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thắng song song với nhau hoặc trùng nhau

Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng, nếu chiều

từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB CD

Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là ngược hướng, nếu chiều

từ A đến B ngược với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB-_ CD

Chú ý: Khi đó ta cũng có các kết quả sau:

+) Vectơ không được xem là cùng hướng với mọi vectơ

+) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì hai vectơ

đó cùng hướng với nhau

+) Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi

đã có hai vectơ đó cùng phương

1.3 Độ dài của vecto

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoáng cách giữa điểm đầu và điểm cuối

của vectơ đó

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thắng AB, được kí hiệu là:

[AB] Nhu vay: [AB|= AB= BA

Theo đó, độ dài của vectơ - không có độ dài bằng O

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vecto don vi

1.4 Hai vecto bằng nhau

và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:

+) Hiển nhiên, mọi vecto - không đều bằng nhau Kí hiệu: 0

+) Khi cho trước vectơ a và điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:

OA=a

1.5 Géc giita hai vecto

Dinh nghia:

Cho hai vecto a,b đều khác 0 Từ một điểm O nào đó, ta vẽ OA=a

và OB= b Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vecto a,b Ki hiéu: (a,b)

+) Hiễn nhién (a,b)i §°,180°4

+) (a,b)= 0 a và b cùng hướng

+) (a,b)= 180” Ù a và b ngược hướng

+) (a.b)= 90° ta nói rằng hai vectơ a va b vuông góc với nhau Kí hiệu: a^ b

Quy ưóc: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a va b 1a 0 thi ta cé thé xem goc (a,b) có giá trị tùy ý trong đoạn #!';180°Ẻ

II Các phép toán vectơ

TỊ.1 Phép cộng vecfơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b Lấy một điểm A tùy ý, sau đó xác định các điểm

B vàC sao cho: AB=a; BC=b

Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b

Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là: a + b

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vectơ - a luôn ngược hướng với a và có độ lớn bằng vectơ a , tite la:

hị = L a| Mỗi vectơ có một vectơ đối là duy nhất

b) Tính chất: Với mọi vectơ a, b và c ta có:

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ a trừ đi vectơ b )

b) Từ định nghĩa ta có quy tắc ba điểm đối với phép trừ như sau:

Với ba điểm A,B,C bắt kỳ ta có: AB- AC= CB

II.3 Pháp nhân vectơ với một số

a) Định nghĩa

Cho số thực k! 0O và vectơ a! Ô,

Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k.a , được xác định như sau:

+) Nếu k?_0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a

+) Nếu k< 0 thì vecto ka ngược hướng với vectơ a

Ika|= |kl.lal

Phép lấy tích của một vectơ với một số còn được gọi là phép nhân vectơ

với số thực

b) Các tính chất của pháp nhân vectơ với một số:

Với hai vectơ a và b bat kỳ và mọi số thực k,h ta có:

+) k(a+b}=ka+kb; k(a- b)= ka- kb

+) (h+k)a=hat+ka

+) h(ka)= (hk)a

+) la=a;( Da=- a; ka= 0 khi và chỉ khi k= 0 hoặc a= 0

HH Tích vô hướng của hai vectơ

TII.I Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a.b , được xác

định bởi công thức: a.b= l|P|eos(a.b)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

HII.2 Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c tù y ý và mọi số thực k0, ta có:

% ab= ba

* ab=0U0 a^b

% (ka)b= ahve k(a.b)

IV Ba vectơ đồng phẳng

IV.1 Định nghĩa

Trong không gian cho ba vectơ a,b,c tùy ý Nếu từ một điểm O bất kỳ

ta vẽ: OA= a;OB= b;OC= c thì có thể xảy ra hai trường hợp:

4* Nếu bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vectơ

a,b,c đồng phẳng

% Nếu bốn điểm O,A,B,C không cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói

ba vectơ a,b,c không đồng phẳng

Hay ta định nghĩa như sau:

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thắng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng

Từ định nghĩa ta có:

4 Nếu một trong ba vectơ a,b,c là Ö thì ba vectơ đó đồng phẳng

4% Nếu hai trong ba vectơ a,b,c cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng phẳng

4 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a,b,c tùy ý (trong đó a,b không cùng phương) đồng phẳng là tìm được cặp số thực duy nhất m, n sao cho:

V Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

MA+ MB+ MC+ MD= 4.MG , với mọi điểm M

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh:

Gọi L,J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Sử dụng quy tắc ba điểm ta lần lượt có:

Suy ra: MA +MB+ MC+MD=4MG +(GA +GB+GC+GD)

+) Chứng minh: Điểm G là trọng tâm của tứ điện ABCD khi và chỉ khi:

GC+ GD= 2G] @)

Từ (1), (2), (3) ta có: GA+ GB+ GC+ GD= 2(GI+ GI)= 0

s Điều kiện đủ:

Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trong

tâm của tứ dién ABCD

Thật vậy:

Do LJ lần lượt là trung điểm của AB,CD, nên với điểm G ta có:

GA + GB= 2GI và GC+ GD= 2.GJ

Mà GA+ GB+ GC+ GD= 0 b 2.(GI+ GJ)= 0b GI+ GJ= 0

Suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng II

Tương tự, ta chứng minh được Glà trung điểm chung của các đoạn thang KL va MN Vay G 1a trọng tâm của tứ diện ABCD

Suy ra: MA+ MB+ MC+ MC= 4.MG

Điều phải chứng minh

Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AD,BC và G là trọng tâm của tam giác BCD

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do dé: 2;MN = MA+ MD+ AB+ DC+ BN+ CN

Vi M là trung điểm của đoạn AD nên: MA+ MD= 0

Và N là trung điểm của đoạn BC nên: BN+ CN= 0

» ani | neẽ

Do đó: MN= 2(AB+ DC)

b)_ Tacó: AB= AG+ GB; AC= AG+ GC; AD= AG+ GD

Suyra: AB+ AC+ AD= 3.AG+ GB+ GC+ GD

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB+ GC+ GD= Ú

Do đó ta suy ra: AB+ AC+ AD= 3.AG Dpem

Chương II: ỨNG DỤNG VÉCTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Sử dụng phương pháp véctơ sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong không gian mà các phương pháp khác không đạt được tính ưu việt như phương pháp này

Nội dung của việc ứng dụng véctơ trong giải toán hình học không gian được thể hiện qua một số dạng toán sau:

I CHUNG MINH CAC DANG THUC VA BAT DANG THUC:

LI Phương pháp chung: Để chứng minh đẳng thức véctơ ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:

*) Hướng 1: Biến đổi một về thành về còn lại (VTEb VPhoặcVPb VT) Khi đó: - Nếu xuất phát từ về phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức

- Nếu xuất phát từ về đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vécto

*) Hướng 2: Biến đối đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là

Khi gặp đạng toán chứa bình phương độ dài các đoạn thắng ta chuyền hệ thức cần chứng minh về dạng bình phương vô hướng như: AB = AB

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khi gặp dạng toán chứa bình phương tích độ đài đoạn thắng ta chuyên về tích độ đài vectơ hoặc sử dụng định nghĩa tích vô hướng để giải

L2 Các ví dụ mình họa:

Ví dụ I: Trong không gian cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D bất kỳ Chứng minh: ABCD+ AC.DB+ AD.BC= 0 ( công thức Euler )

Chứng minh:

= AB(AD- AC)+ AC(AB- AD)+ AD.(AC- AB)

= AB.AD- AB.AC+ AC.AB- AC.AD+ AD.AC- AD.AB

=0

Nhận xét:

Xuất phát từ về phức tạp (về trái) ta biến đổi để xuất hiện các vectơ

AB,AC, AD Từ đó có ngay lời giải bài toán

Từ đẳng thức trên ta suy ra trong không gian nếu có bốn điểm A,B,C,D phân biệt sao cho: AB.CD= 0 và AC.DB= 0 thì: AD.BC= 0

Hay nếu bốn điểm A,B,C,D trong không gian tạo thành một tứ diện có

AB^ CD và AC^ BD thì AD^ BC

Nói cách khác: nếu tứ điện ABCD có hai cặp cạnh đối vông góc với nhau từng đôi một thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc với nhau

Ví dụ 2:

Cho tứ diện ABCD Goi I,I,, J, J,, K, K, lần lượt là trung điểm của

DA, CB, BD, AC, BA và CD Biết rằng: II, = JJ,= KK, Chứng minh rằng:

DA _ DB _ DC

cos BDC 7 cosCDA ~ cos ADB

Vậy DB.DC= DA.DB= DA.DC

Ô DB.DC.cosBDC= DA.DB.cosADB= DA.DC.cosADC

0 DA DB DC

cosBDC cosADC cosADB

Điều phải chứng minh

Nhân xét:

Thông qua biểu thức về tích vô hướng giữa các cạnh tại đỉnh D của tứ diện ABCD Vận dụng định nghĩa tích vô hướng ta có ngay kết quả của bài toán

RG ràng việc sử dụng phương pháp vectơ trong chứng minh các hệ thức

là một phương pháp hiệu quả giúp lời giải bài toán đơn giản, ngắn gọn, dễ dàng hơn và phần nhiều không phụ thuộc vào hình vẽ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bài 2: Cho tứ diện ABCD

a) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng:

PQ’ = ;(AB + BCˆ+ CD”+ AD’- AC’- BD’)

b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng:

PQ= (AC+ BD)= 5(AB+ BC)

Bài 3: Cho hình hộp ABCDA,B,C,D,

, : 2 2 1 2 2 2 2

Chứng minh rằng: AA, < 2ÍA®, + BC, + CD, + DA, )

HUONG DAN GIẢI:

Vay AA, < “(AB + BC, + CD, + DA, )

Il CHUNG MINH BA DIEM THANG HANG, HAI DIEM TRUNG

NHAU

11.1 CHUNG MINH BA DIEM THANG HÀNG

TỊ.I.I Phương pháp chung

Để chứng minh ba điểm phân biệt A,B,C thắng hàng ta chọn một trong các hướng sau:

“+ Huong 1: Ching minh hai vecto AB va AC cộng tuyến, tức chứng minh: AB= k.AC,kÏ R

* Hướng 2: Sử dụng kết quả sau:

“Cho ba điểm A,B,C phân biệt Điều kiện cần và đủ để A,B,C thang

hàng là: MC= a.MA+ (I- a).MB , với M là điểm tùy ý, a là số thực bất

kỳ”

TI.1.2 Các ví dụ mình họa

Cho hai đường thẳng (D),(D,) cat ba mat phang song song (a ),(b),(g)

lần lượt tai A,B,C va A,,B,,C, Voi O 1a điểm bất kỳ trong không gian, đặt

Ol= AA,, Oj= BB, , OK = CC, Chứng minh ba điểm: I,J,K thang hang Giai:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

dung bài toán (tức là chứng minh: H= kIK ) Bởi đó là công việc khó và

OJ= a.Ol+ bOK với a + b= I

Theo giả thiết của bài toán ta lần lượt có:

+) Với vectơ IJ, ta có biểu diễn:

Từ (3) và (4) ta suy ra: U=2JKU 13K thang hang

Nhân xét: Với việc sử dụng hướng giải xác dinh vecto H và JK thông qua một tô hợp trung gian, để thiết lập được điều kiện U= 2.JK Va cau hoi thường được học sinh đặt ra ở đây là: “Vì sao lại nghĩ được như vậy?”, đề trả lời chúng ta bắt đầu như sau:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

*) Với sự cần thiết của sáu điểm để đơn giản hóa chúng chia thành hai

bộ (mỗi bộ ba điểm) tương ứng với các đẳng thức vectơ của giả thiết

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCDA,B,C,D, Gọi G là trọng tâm của tam

giác BDA, Chứng minh rằng: A,G,C, thang hang

Dat AB= a, AD= b, AB=c

G la trong tam cua tam giac BDA,

Theo quy tắc hình hộp ta có: AG= AA,+ AB+ AD= a+ b+c (2)

Tw (1) va (2), suy ra: AG = ZAC, U_ A,G, C, thang hang (dpem)

Nhân xét: Với việc sử dụng phương pháp vectơ, lời giải bài toán trên trở nên rất đơn giản Nếu sử dụng các phương pháp khác thì việc thiết lập mối quan hệ giữa A,G,C, trong không gian sẽ rất là khó Nhờ hệ thức vectơ về tính chất trọng tâm G của tam giác BDA, nên sử dụng phương pháp vectơ là rất hợp lý

Ma DB=a- B:DA, = c- 5 Suyra: DG= 3(a+ e- 26)

Mặt khác, ta biểu diễn DA,DC, qua các vecto a,b,c:

Khi đó: DG= +(DC, + 2DA)= spc + “DAS 3 3 3Ø

Hay: DG= 3D€,+ SDA U A,G,C, thang hang (dpem)

Nhân xét: Vận dụng điều kiện cần và đủ để ba điểm thắng hàng cũng là một phương pháp chứng minh ba điểm thăng hàng

A,G,C, thang hang U DG= a.DA+ q- a ).DC,a iR

11.1.3 Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho hình hộp ABCDA,B,C,D, Gọi O là giao điểm của hai

đường chéo mặt ABB,A,, M là một điểm trên OB,, mặt phẳng (MD,C) cắt

BC, tại I và DA, tại J Chứng minh rằng: I,M,J thang hang

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Goi B,,C,,D, lần lượt là trọng tâm của các

tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G, là trọng tâm của tam giác

BCD va B,C,D, Chtmg minh: ba diém A,G,,G thang hang

Bài 3: Cho hình hộp ABCDA,B,C,D, M là điểm trên cạnh AD sao cho

AM= 3AD N là điểm trên đường thắng BD,, b CG'= 2GIb CG//GI

là điểm trên đường thắng CC, sao cho ba điểm M,N,P thăng hàng