TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2 KHOA TOAN
NGO THI HONG THOA
VECTO TRONG KHONG GIAN VA CAC BAI TOAN
‹
# QUAN HỆ VUƠNG GĨC
# DIEM CO DINH CUA DUONG THANG VA MAT PHANG * QUY TICH DIEM
* BAT DANG THUC
* CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN
* 5 * 5 oe * 5
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HQC Chuyén nganh: Hinh hoc
Trang 2LOI CAM ON
Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em khơng khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khĩ khăn Đề cĩ được khố luận hồn thiện em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cơ trong khoa Tốn cùng các thầy cơ trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đĩng gĩp những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua
Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những sai sĩt Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đĩng gĩp của thầy cơ và các bạn sinh viên dé tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung cho
khĩa luận được hồn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bố ích
cho tất cả những độc giả cĩ niềm đam mê mơn Tốn
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cơ trong tổ Hình học, các thầy cơ trong khoa và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hồn thành khĩa luận này
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Trang 3LOI CAM DOAN
Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hồn thành khĩa luận tơi xin cam đoan khĩa luận này khơng trùng với kết quả của tác giả nào
khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm
Rất mong nhận được sự đĩng gĩp ý kiến của bạn đọc để khĩa luận được
hồn thiện hơn
Sinh viên
Trang 4MUC LUC
MUC LUC
LOI MO DAU
NOI DUNG
CHUONG I: NHỮNG KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 2¿¿©csc2c5zccz+ 4 220190017 - - Ắ 4
II CÁC PHÉP TỐN VECTƠ ¿ 55: 22S2212211221221122122112711211211211 211211 xe 6 II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 2: 5: ©2222+t2S2tEx22xzEvzrrrsrrerre 10 CHUONG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TỐN ¿+ ccccczxsrerxee 14 I CHỨNG MINH TÍNH VUƠNG GĨC -¿ 2:52: 22+22+2EE2Ex22E2EEEsrrrrkr 14 Il CHUNG MINH DUONG THANG VA MAT PHANG DI QUA DIEM CO ĐỊNH
22H T1 2T T1 ng HH HH HH HH HH HH HH HH HH gu ge 25
TIT TIM QUY TÍCH ĐIỄM - 5:52 2+22122122112112111211211211111221211211 12 te 28
IV CHỨNG MINH BẤT ĐĂNG THỨC . :-¿©2+22++22S++22+zvExxrsrxrrsrrrsrk 33
V CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN . 2: ©5c252t222212512212212211221211 21222 36
z0) ` HH 44
Trang 5LOI MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Trong nhà trường phổ thơng, hình học luơn là mơn học khĩ đối với học
sinh Vì hình học là mơn học địi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng cao hơn mơn học khác của tốn học
Trong chương trình tốn học phổ thơng, để giải một bài tốn hình học ta cĩ rất nhiều phương pháp, trong đĩ phương pháp vectơ là phương pháp rất hiệu quả Nĩ cho chúng ta lời giải một cách chính xác, tránh được yếu tơ trực
quan, các suy điễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là cơng cụ hiệu quả
để giải các bài tốn hình học Khơng những thế phương pháp vectơ cĩn là một
cơng cụ rất mạnh để giải các bài tốn đại SỐ
Do đĩ việc nắm vững phương pháp sẽ cung cấp cho học sinh một phương pháp giải tốn hữu hiệu Đồng thời cịn để cho học sinh suy nghĩ về bài tốn theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc mà học sinh đã biết từ trước tới nay
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn của bản thân cĩ
một hệ thống cụ thể về phương pháp vectơ trong tốn học sơ cấp và sự động
viên khích lệ của thầy Bùi Văn Bình mà em đã chọn đề tài:” Vectơ trong
khơng gian và các bài tốn: Quan hệ vuơng gĩc, điểm cố định của đường thẳng và mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, các bài tốn tính tốn”
2 Mục đích nghiên cứu
Trang 6giải ngắn gọn và giúp học sinh cĩ thêm một phương pháp đề giải các bài tốn hình học trong khơng gian
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài tốn trong khơng gian đề giảm bớt quá trình tính tốn
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm cách chuyển ngơn ngữ của bài tốn sang ngơn ngữ vectơ Sau đĩ
sử dụng các kiến thức tổng hợp về vectơ để giải tốn Sau khi giải xong ta lại chuyên ngược lại từ ngơn ngữ vectơ sang ngơn ngữ bài tốn cần giải
5 Phạm vi nghiên cứu
Do khuơn khổ thời gian cĩ hạn nên đề tài này chỉ đề cập đến vấn dé sử dụng cơng cụ vectơ đề giải các bài tốn hình học trong khơng gian
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài đã cho ta thấy được những ưu điểm nổi bật của phương pháp vecfơ so với các phương pháp khác và những ứng dụng rộng rãi trong tốn
học của vectơ
Đề tài cịn cung cấp cho chúng ta một phương pháp giải các bài tốn
hình học trong khơng gian một cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu
7 Phương pháp nghiên cứu
e_ Phân tích tài liệu
e_ Tổng kết lại thành từng dạng tốn 8 Cấu trúc khố luận
Nội dung khố luận gồm 2 phần cơ bản: Chương I: Những kiến thức liên quan
Phần này trình bày tĩm tắt về một số kiến thức cơ bản về vectơ
Trang 7Phần này đưa ra các ứng dụng cụ thể của phương pháp vectơ để giải
Trang 8NOI DUNG
CHUONG I: NHUNG KIEN THUC CO BAN VE VECTO
I VECTO
I.1 Định nghĩa vectơ
Cho đoạn thẳng AB Nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gĩc) và điểm B là điểm cuối (điểm ngọn) thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã được định
hướng hay gọi là vectơ AB
B
Kihiéu: AB A”
Chú ý:
- Cho hai điểm A, B phân biệt thì ta cĩ hai vecto AB va BA là khác nhau
- Vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau: 4= Ư như AA, BB gọi vectơ- khơng
1.2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng
* Hai vectơ 4B và CD được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thắng song song hoặc trùng nhau
Khi đĩ:
+ Vectơ-khơng được xem là cùng phương với moi vecto
+ Hai vecto a va b cùng phương với một vectơ khác vectơ-khơng thì hai vectơ đĩ cùng phương với nhau
* Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi là cùng hướng nếu chiều từ A
đến B trùng với chiều từ C và D Ki hiéu: AB TT CD
* Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi là ngược hướng nếu chiều từ A đến B ngược với chiều từ C đến D
Trang 9Chú ý:
+ Vecto- khong duoc xem là cùng hướng hoặc ngược hướng với mọi
vecto
+ Hai vecto cùng hướng với một vectơ khác vecto-khơng thì hai vectơ đĩ cùng hướng với nhau
+ Ta chỉ cĩ thê nĩi hai vectơ nào đĩ cùng hướng hay ngược hướng khi đã cĩ hai vectơ đĩ cùng phương
1.3 Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thắng AB Kí hiệu là: |4] Khi đĩ: |4B|= 4B = B4
Từ đĩ ta cĩ: độ dài của vecto- khơng bằng 0
1.4 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:
Hai vecto AB va CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Kí hiệu: 48=CD
Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau của các vectơ là quan hệ tương đương Mỗi vectơ đại
diện được kí hiệu là đ,b,x, y,
+ Nếu đã cho vectơ a và một điểm O thì cĩ một điểm A duy nhất sao cho:
OA=a
Trang 101.5 Gĩc giữa hai vectơ Định nghĩa :
Cho hai vecto ø và b khác 0
Từ một điểm O nào đĩ ta vẽ các vectơ OA =a,OB=b Khi đĩ số đo gĩc
AOB được gọi là số đo của gĩc giữa hai vectơ a va b
Ki hiéu : (a,b)
Nhận xét:
+(a,b)e[ 0,180° ]
+(ø,B}E0°© a và b cùng hướng +(a,b)=180°= a va ư ngược hướng
+( a ,b)=90° ta nĩi hai vectơ ø và 5 vuơng gĩc với nhau
Ki hiéu: a Lb
Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ ä và b bằng 0 thì ta cĩ thể xem
(4,5) cĩ giá trị tùy ý trong đoạn [ 0,180 ] II CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
HI.1 Phép cộng vectơ HI.1.1 Định nghĩa
Tổng của hai vectơ a va b Lấy một điểm A nào đĩ rồi xác định các điểm
B và C sao cho : 48= a,BC =b Khi đĩ vectơ 4C được gọi là tong cua hai
Trang 11Ki hiéu: AC=atb
HN A
ae
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ
Chú ý :
+ Nếu cĩ øa+b=0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ đ và kí hiệu
la: -a
+ Vectơ -z luơn ngược hướng với vectơ -a va |-a| =a Mỗi vectơ cĩ một vectơ đối duy nhất
Từ định nghĩa ta cĩ các quy tắc sau : e Quy tắc ba điểm :
A
Xs
Với ba điểm A, B, C bắt kì ta luơn cĩ đẳng thức : 48+ 8C = AC
e Quy tắc hình bình hành :
A D
Trang 12e Quy tắc hình hộp :
Néu ABCDA,B,C,D, 1a hinh hộp thì ta luơn cĩ :
AB+AD+AA.=AC D C ! A | B SSL > TT Ị TS D, OTP SL C, „r ————————- E——>= ⁄ ⁄ ⁄ Ai J⁄ Bị
Tổng quát : Cho n điểm A¡, As , A„ ta luơn cĩ:
AA,+4,A,+ +A,A,=AA 11.1.2 Tinh chat
Với mọi vectơ a, b vac taco:
1 Tính chất của vectơ-khơng : a+0=0+a=a; 2 Tính chất giao hốn : a+b=b+a
3 Tính chất kết hợp : (a+5)+c=a+(b+e)
11.2 Phép trir vectơ Dinh nghia :
Hiéu cua hai vecto a va bla tổng của vectơ ậ và vectơ đối của vectơ b
Trang 13Khi đĩ ta cĩ : a-b=a+(-6)
Phép tìm hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ hai vectơ * Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta cĩ: 48— 4C =CB
I.3 Phép nhân vectơ với một số
11.3.1 Dinh nghia
Tich ctia vecto a véi mét số thuc k 1a mét vecto, ki hiéu 1a k.a duoc xác định như sau:
1 Néu k>0 thi vecto ka cùng hướng với vectơ a
Nếu k<0 thì vectơ kz ngược hướng với vecto a
2 Độ dài vectơ kz bằng |k| 4|
Phép lấy tích của một vectơ với một số được gọi là phép nhân vectơ với một
số thực
II.3.2 Các tính chất của phép nhân vectơ với một số Với hai vecto a, b bất kì và mọi số thực k, l ta cĩ: 1 k(z)=(Œ.]) a;
(k+l) a=katla; k(a+b)=katkb; YON la=a;
Trang 14Ill TICH VO HUONG CUA HAI VECTƠ
IHI.1 Định nghĩa
Tích vơ hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a.b được xác
định bởi cơng thức:
aư=a||B|eos(a.5)
Lưu ý:
ab
ele
+ Biểu thức tích vơ hướng của hai vectơ cịn được viết dudi dạng sau:
+ Cơng thức tính gĩc giữa hai vectơ: cos(a,b) = >
- Dang d6 dais a= > (la +B) —|al - 3);
hay ab="(\a 4 +5) -|a—3 J
- Dạng tọa độ:
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai vectơ a(x, › w›Z,) và
b(x,,¥,,2,) Khi đĩ: đ= xx, + yJ,+Z/Z,;
- Dạng hình chiếu: ab=đ.Ð' trong đĩ Ð' là hình chiếu của b trên đường
thẳng chứa vectơ a
III.2 Các tính chất cơ bản của tích vơ hướng
Với mọi vectơ a,b,c bất kì và mọi số thực k ta cĩ:
Trang 15-10-IH.3 Ba vectơ đồng phẳng Định nghĩa:
Cho ba vecto a,b,c Tir điểm O trong khơng gian dựng vectơ khác 0:
OA =a,OB =b,OC =c
Néu 4 diém O, A, B, C cung nằm trên một mặt phẳng thì ta nĩi 3 vectơ
a,b,c đồng phẳng
Nếu 4 điểm O, A, B, C khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì ta nĩi 3 vecto a,b,c khơng đồng phẳng
Từ định nghĩa ta cĩ:
- Nếu một trong 3 vectơ a,b,c 1a 0 thì 3 vectơ đĩ đồng phẳng
- Nếu hai trong ba vectơ a,b,c cùng phương với nhau thì ba vectơ đĩ đồng phẳng
- a,b,c đồng phẳng (trong đĩ b,c khơng cùng phương) ©3 duy nhất k,! c :a=kb+le
- a,b,c khơng đồng phẳng ©|kã+IB + mée=Ũœ k=l=m=0]
- Cho a,b,c khơng đồng phẳng khi đĩ với moi đ luơn tồn tại duy nhất ba số thực x, y, z sao cho : d=xa+ yb+zc
IV MỘT SĨ BÀI TỐN CƠ BẢN Bài tốn 1:
1 Ila trung điểm của AB © !I4+1B=0
2 1là trung điểm của đoạn AB © M⁄4+ MB =2Mĩ với M là điểm tùy ý
Chứng minh:
1.Điêu kiện cân:
Trang 16-ll-1 la trung điiểm của đoạn AB nén ta co: AI=IB, Al va IB cùng hướng Do đĩ ta cĩ: 4=IB = IA+ 1B = IẠ+ AI = H =0
Điều kiện đủ:
Do 14+ J8 =0 © 4= —IB = IA=IB và I, A, B thẳng hàng
Tức I là trung điểm của AB
2 Do A+ IB =0 & MI + 14+ MI + IB =2MI ( Voi moi diém M) © MA+ MB =2MI ( Với mọi điểm M) (đpem)
Bài tốn 2: Trong khơng gian chứng minh rằng:
1 Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA+GB+GC+GD=0 (*) 2 ĐiểmG là trọng tâm của tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta luơn cĩ:
OA+OB+OC+OD=40G
Chứng minh:
1 GọiI,J,K,L,M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, BD, AC
Trang 17-12-e Điều kiện cần:
Giả sử G là trọng tâm của tứ điện ABCD =G là trung điểm của LI
=GI +GJ =0 (1)
Do I, J lan Iwot la trung diém cia AB, CD > GA + GB =2GI (2) GC+GD=2GJ (3)
Từ (1), (2), (3) ta cĩ: GA+GB+GC +GD =2(GI+GJ)=0 ø Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*) ta sẽ chứng minh G là trọng tâm
của tứ diện ABCD
Thật vậy: Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD nên với điểm G ta cĩ:
GA+GB=2GI va GC+GD=2GJ
Ma GA+GB+GC+GD=0 => 2(Gi+GJ)=0= 1+GJ=0 =G là trung điểm của đoạn thang IJ
Chứng minh tương tự ta được G là trung điểm của các đoạn thăng KL và
MN
Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD
2 Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD = G4+ GB + G€+@GD =0(*)
Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:
GØ+OA+ GO+OB+ GO+OC+GØ+OD=0 <> OA+0B+OC+OD=40G
Trang 18-13-CHUONG II: UNG DUNG VECTO VAO GIAI TOAN I CHUNG MINH TINH VUONG GOC
L1 CHUNG MINH HAI DUONG THANG VUƠNG GOC
1.1.1 Phuong phap
Đề chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau ta thường dựa vào tính chất của tích vơ hướng:
Hai vecto a, b (khác vecto 0) vuơng gĩc với nhau © ab=0 Từ đĩ nếu z, ð lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thắng a và b thì
alboab=0
1.1.2 Vidu
Vi du 1: Hình tứ diện ABCD cĩ AB=BC, AD=DC Chứng minh rang
ACLBD Giải:
Dat BA=a, BC=b, BD =c voi a = | (theo gia thiét) va \cD| = I4 > lc =5) = la -<| (theo gia thiét)
Trang 19-14-Ta sẽ chứng minh BD-CA=0
BD-CA=c(a-b)=c-a-c-b (1)
Tit e-8|=|a—c] > c° +b? -2-b-c=a' 40° -2-a-¢
Ma |b|=|a| => b-c=a-e (2)
Từ (1) và 2) = 8D-C4=0= BD L CA
Nhận xét: Như vậy với việc sử dụng phương pháp vectơ ta chỉ cần chứng minh tích vơ hướng BD-C4=0 Khi đĩ giải bài tốn trở lên đơn giản!
Vi du 2: Cho hinh lap phương ABCDA;B;C,D; cạnh a, trên các đường chéo
cua mat bén la BD va AD, lay lần lượt 2 điểm M, N sao cho BM =2MD ;
AN =1ND 2
Chứng minh: MN là đường vuơng gĩc chung của hai đường thắng BD và
Trang 20-15-Dat AB =a, AD =b,AA, =c
Do ABCDA,B,C,D, là hình lập phuong >a L5Le va a =P| =|c|=a >
Theo gia thiét taco: BM =2MD, A = 5 ND, nên :
BD= BM + MD=3MD =Š BM 2 AD.= AĐ + ND =ŠND,=34Đ
Đề chứng minh MN là đường vuơng gĩc chung của BD và AD; ta sẽ chứng
minh MN | BD va MN L 4D,
tức là ta đi chimg minh MN - BD =0;MN - AD, =0
pat MN =a:BD =b;AD =c
Cĩ MN =MB+ BA + AN == DB+ Bix
= [2(DB+BA)+ 3 4D, + B4|=1(2D4+ 4D, + BA) 3
yoo Ie
=~(D4+DD, + BA)=—(c-a-b)
3 3
Theo quy tac hình bình hành ta cĩ: BD = BA+ AD=b-a
AD=AD+DD,=b+e
sa om lr = eye ry Vm? 32)
Vay MN -BD=_(¢—a-b)(b-a)= (a —b )=0
MN-AD, = +(6-a-5)(6+¢)=*(¢' 3 3 -6')=0
Hay MN | BD,MN L 4D, tức MN là đường vuơng gĩc chung cua BD va
AD)
Trang 21-16-Nhận xét: Biểu diễn MN,BD,AD, theo a,b,c sau đĩ sử dụng tích vơ hướng
ta cĩ ngay lời giải bài tốn
Vi du 3 : Cho tứ diện ABCD cĩ các cặp cạnh đối diện bằng nhau : AB=CD=
c, BC=DA=a, CA=BD=b Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ đề các đường
trọng tuyến AA; và CC; vuơng gĩc với nhau là :
a”+c =3b”
Giải :
Ta cĩ : AA, =2 (48+ 4+ 4D) 3
CC, "= = AC - AC= AC - AC =1(0+ AB + AD) ~ AC = CC, = +(4B + AD) - AC 3 3
= 9AA,.CC, =(4B + AC + AD)( AB + AD-34C)
© 9AA,.CC = AB +2AB.AD-24B.AC —2AC.AD-3AC + AD
=ể +2 (€ +a -b)=25(c +? =a')~22(8 +a =e)~3b` +a
=2(a" +0 - 3b’)
Trang 22-17-Do đĩ điều kiện can va di dé AA, 1 CC, la a’+c?=3b"
(vì AA, L CC © AA CŒ =0 a’ +c* = 3b’)
1.1.3 Bai tap:
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi AH là đường cao của tứ
diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH Chứng minh: OB, OC,
OD vuơng gĩc với nhau từng đơi một Hướng dẫn :
Đặt 4B =5, AC=e,A4D =d với [5|=|e|=|a|=a
va bc=cd =bd =a.a.cos60° = >
Sau đĩ biểu diễn các vectơ OB,OC,OD theo các vectơ Đ,c,đ rồi xét các tích
OB.OC,OC.OD,OB.OD
Bài tập 2: Cho 4 điểm A., B, C, D Chứng minh rằng nếu 48 L CD và
AD L BC thì AC L BD
Hướng dẫn :
Đặt BA= a,BC = c,BD =c Sau đĩ biểu diễn AC,BD theo a,b,c ta cĩ
ngay kết quả cần chứng minh
Bài tập 3: Cho tử diện ABCD, AC=a, BD=b Trên đường thẳng AB lấy 2
điểm P, P¡; trên đường thắng CD lấy 2 điểm Q, Q¿ sao cho: AP = ce =" va
PB QD 6b
> ơ ^
45 _ CƠ =-S Chứng minh rằng PQ L PO, biết a z b
Hướng dẫn :
Từ để bài ta dé dàng suy ra được 4 điểm A, B, P, P; lập thành hàng điểm
điều hịa Tương tự 4 điểm C, D, Q, Q, lập thành hàng điểm điều hịa
Trang 23-18-Goi O là 1 điểm trong khơng gian Do A, B, P thang hàng và =-¢ nén
op = 2OA+ 408 Tương tự ta được: od-=?9C+«0Ð
a+b a+b
Sau đĩ biểu diễn 2 vectơ PO,PO, theo a, b ta sé suy ra điều phải chứng minh
Bài tập 4: Cho hình lập phuong ABCD.A’B’C’D’ Goi M, N lần lượt là
trung điểm của AD va BB’ Chimg minh: MN L 4'C
Hướng dẫn :
Đặt 4B =a,AD=b,AA'=e
Sau đĩ biểu diễn MN,AC" theo a,b,c roi xét tich MN.AC' sé Suy ra điều
phải chứng minh
L2 CHUNG MINH DUONG THANG VUƠNG GĨC VỚI MẶT
PHẲNG
1.2.1 Phương pháp
Đề chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng thực chất quy về chứng minh hai đường thắng vuơng gĩc
Goi a(a #0) la vecto chi phương của đường thing a b,c(B.c # 0) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)
Khi đĩ ø L(P)©a-b=a-e=0
1.2.2 Ví dụ:
Cho hình chĩp SABC cĩ SA=SB=SC, đáy là tam giác cân ABC (tại A) Gọi O là chân đường cao của hình chĩp, D là trung điểm của AB, E là trọng
tam cia AADC Ching minh CD | (SOE)
Trang 24-19-Giải
SO L(ABC)
=>SO1LCD
cnet
Để chứng minh CD L (SOE) ta đi chứng minh: CD L ØE CD-OE =0
Do SO L (48C) va SA=SB=SC => 0 1a tam đường trịn ngoại tiếp AABC
Mà AABC cân ở A nên O nằm trên đường trung trực AM của cạnh BC
=> OAL CB <> OA-CB=0 (*)
—> l— — — E la trong tam cua AADC nén: OE = 3(04 +0B+0C) (1)
D là trung điểm của AB > OD = 2(0i + OB) (2)
Thay (2) vào (1) ta cĩ: OE = 5 (304 +OB+ 20C)
Theo giá thiết ta cĩ:
CB =; (CA+CB)= 5 (04-06 + 0B-0C) = (04 +08 -20C)
Trang 25-20-Vay:
OE.CB = 5 (304 +08 + 20C)(04 + 08 -20€)
<> 120E.CD =30A +304.0B — 604.0C + O4.0B + OB —20B.0C
+204.0C + 20B.0C -40C
120E.CD =304 +OB -40C +404.0B - 404.0C (**)
Theo chứng minh trên O là tâm đường trịn ngoại tiếp AABC
= Ộ =OB =OC”
Khi đĩ (**) © 120E.CD=4OA(OB~OC) ©3OE.CD=OACB_ (***)
Từ (®) và (***) ta được OE.CD =0 © OE L CD Vay CD L SO va CD LOE = CD 1L (SOE).(đpcm)
Từ một điểm S nằm bên trong mặt cầu cho trước 3 đường thắng vuơng gĩc
với nhau từng đơi một tại S Đường thắng a cắt mặt cầu tại A, Ai; đường thẳng b cắt mặt cầu tại B, Bị; đường thắng c cắt mặt cầu tại C, C¡ Gọi G là
trọng tâm của AABC Chứng minh: SƠ 1 (4,B,Œ,)
Giải:
Trang 26-21-G là trọng tâm của AABC nên ta cĩ:
GÄ+ GB + GC =Ũvà Sở=; (Sỉ+ S8 + 5C)
Để chứng minh SG L (4,8,C,) ta đi chứng minh SG L 4,8, và SG L AC ——— l— — —›— —
SG.AB, = 3(S4+ SB + SC)(SB -S4)
= 5 (SAS ~ S454 + SB.SB ~ SB.S4 + SC S8 ~ SC.54) (1)
Tw gid thiét ta co: SA.SB = SB.SA =SC.SB =SC.SA=0 (2)
Dễ dàng chứng minh được 4 điểm A, B, A;,B, thuộc một đường trịn nên phương tích của điểm S đối với đường trịn đĩ là:
SA.SA, = SB.SB, (3)
Từ (1), (2) và (3) > SG.AB =0SGLAB (*)
Tương tự ta chứng minh được: SG.AC =0SSGLAC, (**)
Vay tir (*) va (**) > SG _L(ABC,) (dpom)
Nhận xét: Đây là một bài tốn khá phức tạp Nếu sử dụng các phương pháp thong thường thì việc chứng minh sẽ gặp rất nhiều khĩ khăn
Ví dụ 3: Cho hinh lap phuong ABCDA,B,C,Dj
Chứng minh 4C, L (48D)
Giải:
Trang 27
pit 4B=a,4D-b,AA =<
Ta cĩ: AC = AB+ BC+CC =a+b+c;
BD-BC+CD-h—a; BA -BA+AA =c-a
Dé ching minh: AC, | (4,BD) ta sé di ching minh: AC BD = AC,.BA =0
Theo gia thiét ABCDA,B,C,D, 1a hinh lap phuong nén: | _
Do đĩ: 4C.BD=(a+b+e)(b~a)=ab~a +b`=ba+eB—eca=0
= AC, | BD
AC.BA = (4+5+0)(é-a)=ae-a +h2-ba+e -2a=0
Vay AC, 1 (ABD) (dpem)
Trang 28-23-1.2.3 Bai tap:
Bài tập 1: Cho hình thang ABCD cĩ 4= 8=90° S là điểm trên tia Ax
vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Biết rằng AD=2a, AB=BC=a
Chứng minh rang: SBC = SCD = 90’ Hướng dẫn:
Đặt 48 =a, 4D =b,BC =c
Biểu dién SB,SC,SD theo a,b,c rdi xét cdc tích vơ hướng SB.SC, SC.SD Bai tap 2: Cho hình lập phương ABCD.A”B”C?D' cĩ các cạnh bằng 1 Trên các cạnh BB', CD, A'D' lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: BˆM=CN=D'P=a (0<a<1) Chứng minh:
1 MN =-aAB+ AD+(a-1)AA' 2 AC” vuơng gĩc với mặt phăng (MNP) Hướng dẫn:
1 Đặt 48=e,AD=e,,AA'=e, Sau đĩ ta biểu diễn MN theo a,e,¢,,¢,
2 Ta chứng minh AC' 1 MN, AC'L MP Tương tự l ta biểu diễn MP theo a,6,6,, e, rồi xét tich: AC'MN,AC'MP ta suy ra điều phải chứng minh
Bài tập 3: Cho hinh chop S.ABC canh SA 1 (ABC),SA= a3, AC=2a,
AB=2a,ABC=90° Gọi M và N lần lượt là hai điểm sao cho:
3MB + MS =0,4NS +3NC =0 Chứng minh rằng: SC 1 (.4MN)
Hướng dẫn:
Đặt AB =a, AC =b, AS =c Biéu dién S AM, AN theo a,b,c
Trang 29-24-II CHUNG MINH DUONG THANG VA MAT PHANG DI QUA DIEM CO DINH
IL1 Phuong phap:
Một điểm hồn tồn cĩ định khi biết tỷ số mà điểm đĩ chia đoạn cố định
cho trước
Do vậy đề chứng minh đường thắng và mặt phẳng đi qua một điểm cố định ta sẽ chỉ ra rằng đường thẳng và mặt phẳng đĩ chứa một điểm chia đoạn thăng
cĩ định nào đĩ theo một tỷ số xác định đã biết
IIL2 Ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi P là điểm cơ định trên mặt cầu tâm O bán kính R cho trước
Tam diện vuơng Pxyz quay xung quanh P cĩ các tia Px, Py, Pz cắt mặt cầu
lần lượt tại A, B, C Chứng minh (ABC) luơn đi qua một điểm cố định Giải:
B
Gọi I là trung điểm của BC Trên PI lấy điểm K sao cho PK =2PI
Khi đĩ AAPK vuơng tại P, mặt cầu qua 4 điểm P, A, B, C nhận AK làm
đường kính Và trung điểm O của AK làm tâm
Trang 30-25-Gọi G là trọng tâm của AABC nên
Ta cĩ: PƠ=› (P4+ PB+ PC) =2 (PÄ+2PÏ)= (PÄ+ PK)=^ PO 3 3 3 3
Do P và O cố định nên G cố định Vậy mp(ABC) luơn đi qua điểm G cố
định xác định bởi hệ thức Pđ = 370
Nhận xét: Ta nhận thấy chỉ cĩ P và O cố định do đĩ ta tìm điểm trên
mp(ABC) chia đoạn PO theo tỷ số xác định, đĩ là điểm cố định thuộc
mp(ABC) cần tìm
Ta cĩ biểu diễn Pđ=“PO do đĩ ta cĩ ngay được G là điểm cố định của
Wildy
mp(ABC) can tim
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABCA;B¡C; cĩ độ dài cạnh bên bằng a Trên
các cạnh bên AA;, BB¡, CC; lấy các điểm M,N, P sao cho: AM+BN+CP=a
Chứng minh: mp(MNP) luơn luơn đi qua một điểm cố định
Giải:
Gọi G, G¡ lần lượt là trọng tâm của AABC và AMNP = G4+ GB + GC =0
va GM+GN+GP=0
Trang 31-26-Mặt khác ta cĩ: GG, = GA+ AM +MG
GG =GB+BN+NG GG, =GC+CP+PG,
= 3GG, =(GA+GB+GC)+(4M + BN +CP)+
+(MG + NG, + PG,)= AM + BN +CP=AA,
Hay GG = —= mà G cố định, AA, là vectơ hằng nên G¡ là điểm cố định
Vậy mp(MNP) luơn đi qua điểm G; cố định
Nhận xét: Hệ thức vectơ về trọng tâm của tam giác giúp cho những bài tốn sử dụng vectơ trở nên đơn giản
Việc sử dụng vectơ để tìm điểm cố định sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so với
các phương pháp khác
11.3 Bai tap:
Bài tập 1: Cho tứ diện SABC, các diém I, J di động trên các cạnh AB, AC
AB A : s
sao cho: ata? Chứng minh rắng mp(SIJ) luơn di qua một đường thẳng cơ định
Hướng dẫn:
Gọi G là giao điểm của Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác
ABC >(SI) đi qua đường thẳng cố định SG
Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A°B°C'D' cĩ cạnh bằng a Trên các
đường chéo BD và AD' của các mặt bên lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và N sao cho DM=AN=x (0 <x< av2) Chứng minh rằng khi đĩ đường thắng
MN luơn song song với mặt phẳng cĩ định
Trang 32-27-Hướng dẫn: Đặt AD=a,AB= b,AA' =ẻ
Ta nhận thấy rằng: AN = MD_ x ae =k
AD' BD av2
Sau đĩ biểu diễn M qua 2 vectơ 4D, BA' (MN = (2k - 1) AD + kBA')
Do dé 3 vecto MN, AD, BA' đồng phẳng tức là đường thẳng MN luơn song song với mặt phẳng (BCD”A") của hình lập phương
Chi y : Néu M’N’//A’D’, MM’//BC ta dtroe mp(MNN’M’)//(BCD’ A’)
Ill TIM QUY TICH DIEM
HII.1 Phương pháp:
Để cĩ thể sử dụng vectơ vào các bài tốn tìm quỹ tích điểm, chúng ta cần luư ý kỹ năng chuyên từ ngơn ngữ vectơ sang ngơn ngữ hình học và ngược
lại
Đặc biệt cần nhớ rằng:
1) Đường thắng đi qua A cĩ vectơ chỉ phương ala # 0) là quỹ tích điểm
M sao cho 4M =ø với  là tham số thực
2) Đoạn thắng AB là quỹ tích những điểm M sao cho OM =x.0A+ y.OB với x>0,y>0,x+y=l
3) Mặt phẳng qua điểm A cĩ cặp vectơ chỉ phương a,B(a # 0,8 # 0) là quỹ tích điểm M sao cho: AM =Âư+ up với 4,/¿ là các tham số thực
4) Đường trịn tâm O bán kính R là quỹ tích những điểm M thỏa mãn
[oM|=R
Trang 33-5) Qũy tích những điểm M sao cho AM.AB=0 là đường vuơng gĩc với
AB tại A
6) Nếu I4 = lve v6i A, B cho trước thì quỹ tích điểm M là mặt phẳng
trung trực của đoạn AB
7) Nếu cĩ MA=kBC véike *: A,B,C cho trước:
+ Nếu A, B, C thang hang thi quỹ tích điểm M là đường thăng BC
+ Nếu A, B, C khơng thắng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thắng qua
A và song song với BC
HI.2 Ví dụ:
Ví dụ I: Trong khơng gian cho hai đường thắng (a) và (b) chéo nhau, M và
N là 2 điểm lần lượt đi động trên (a) va (b) Tìm tập hợp các điểm I sao cho IM =KIN với k là hằng số cho trước, k #0,k #1
Giải: (8)
M
Lấy điểm A bắt kì trên (a) và gọi a( az 0) là vectơ chỉ phương của (a)
Trang 34-B la diém bat ki trén (b) và goi b(b #0) 1a vectơ chỉ phương của (b)
Gọi lọ là điểm chia đọan AB theo tỷ số k hay IA = KI,B
Vi M €(a),N €(b) nên cĩ 2 số thực m, n để: 4A =ma,BN =nb
Với mọi điểm I trong khơng gian ta cĩ:
IM =1I,+1,A+AM =-I,1 +kI,B+ma
IN =I, + 1,B-+ BM =-1,i+1,B+nb
Ta co: IM =kIN
© I] +kI,B+ma=—k1,I+kI,B + knb
m- kn =
© (1-k)I, =ma-knb © 1,1 =-—a+——b
1-k k-1
© 1 €mp(a), voi mp(a) 1a mặt phẳng qua lạ và nhận a,b làm cặp vecto
chi phuong hay (a) là mặt phẳng song song với (a) va (b)
Nhận xét: việc dự đốn quỹ tích rất khĩ khăn
Ở bài này quỹ tích là một mặt phẳng do đĩ sử dụng các phương pháp thơng thường để tìm quỹ tích sẽ gặp khĩ khăn
Trong khơng gian cho 3 đường thẳng (p) (q) và (r) đơi một chéo nhau và cùng song song với mặt phẳng (z)nào đĩ A, B, C lần lượt là 3 điểm di động trên (p), (q), (r) Tìm quỹ tích trọng tâm cua AABC
Giải:
Chon Ag, Bọ, Cạ là 3 điểm cố định nào đĩ lần lượt trên (p), (q), (r) và
P.ar(p 40,q40,r# 0) tương ứng là các vectơ chỉ phương của (p), (q), (r)
Do (p), (q), (r) đơi một chéo nhau và cùng song song với (z) nên Øø,g,”
đồng phẳng nhưng từng đơi một khơng cùng phương Do đĩ cĩ 2 số thực m, n sao cho r=mp+nq
Trang 35-30-Vì Ae(p), 8e(4),C e(z) nên luơn tìm được cặp sé a, b, c sao cho: A,A=ap,B,B =bq,C,C =cr =cmp +cnq
Goi Gp 1a trong tam cua AABC nén ta c6: G,A, + G,B, + G,C, =0
mặt khác: G.A=G,4,.+ 4A=G,A +ap G,B=G,B,+B,B=G,B,+bạ 090 0o
GC=G,C,+CC=G,C+cmp+cng ovo
Khi d6 voi moi diém G trong khéng gian ta cd Gp 1a trong tâm của AABC
oGG eee
(G4 A, + B,+G,C,)+,|(a+em)p +(b+en)q |
a=" a+cm )p+ (b+en)4]
<= Gemp(f) với (8 ) là mặt phẳng đi qua Gạ và nhận D q lam cap vecto chi phuong
Hay (a) va (£) cing phuong
Vậy quỹ tích G là mặt phẳng đi qua Gạ cùng phương với mp (z) đã cho
Nhận xét: Sử dụng phương pháp vectơ trong lời giải của bài tốn giúp cho
việc tìm tập hợp trở nên đơn giản và ngắn gọn
III.3 Bai tap:
Bai tap 1: Cho 3 điểm A, B, C Tìm quỹ tích điểm M trong khơng gian thỏa
mãn hệ thức: AB.CM =CB.AM
Huong dan:
Tach CM thanh 2 vecto C4,AM Tương tự đối với AM
Trang 36-31-Sau đĩ áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta sẽ suy ra được quỹ tích của điểm M
Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M trong khơng gian thỏa
mãn hệ thức: MA”+ MB =2MC”
Hướng dẫn:
Gọi O,G là tâm đường trịn ngoại tiếp và trọng tâm AABC, CC; là đường
trung tuyến của AABC
Ta tách các vectơ MA, MB,MC thành hiệu của hai vectơ cĩ điểm đầu là O sau đĩ biến đổi tương đương ta cĩ điều phải chứng minh
Bài tập 3 Cho tứ diện ABCD và M là một điểm đi động trong khơng gian Tìm quỹ tícsh điểm M nếu cĩ:
1 MA + MB + MC + MD|=4|MB + MC + MD|
2 [SMA - 2B + MC + MD|=|MB- MA|
Huong dan:
1 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD va G; 1a trong tâm của tam giác BCD Sau đĩ áp dụng tính chất trọng tâm ta được: [MG = IMG; suy ra diéu phải chứng minh
2 Trước hết ta hãy xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: 314-— 21B + IC + ID=0
Gọi N là trung điểm của CD suy ra điểm I được xác định duy nhất bởi hệ
thức: JA = 5 NB
Sau đĩ biến đổi biểu thức ở về trái theo vectơ A⁄7 suy ra điều phải chứng minh
Trang 37-32-IV CHU'NG MINH BAT DANG THUC
IV.1 Phuong phap
Để chứng minh bat dang thức bằng vectơ ta dựa vào các kết qua sau: a) Su dung tích vơ hướng của hai vectơ:
Cho hai vectơ a,b(a #0,5# 0) khi đĩ tích vơ hướng cua hai vectơ được định nghĩa như sau:
ab= |b cos(a,b) voi (a,b) là gĩc giữa hai vectơ a,b
Do |cosa@| <1 nên ta cĩ: lad) <|a\,9| Hoặc ta sử dụng cơng thức:
]
b) Sử dụng tính chất của vectơ:
ab=5(\a+b) -laÏ +lð 2
Cho 3 vectơ a,b,c ta luơn cĩ: l.a >0
2 |a+b|<|a+|ð| tirdo néu c=a+b thi c|<|a|+|ð
3 la-B)<\a\-|b) từ đĩ nếu c=ø—ð thì le|<|z|= |
IV.2 Ví dụ:
Trong khơng gian cho hai tứ diện ABCD và A°B°C°D° Gọi G, G' lần lượt
AA'+ BB" '+DD'
là trọng tâm cua hai tt dién do Chung minh: GG'< —~_oaV“an
Giải:
Do G, G? 1a hai trọng tâm của tứ diện ABCD và A’B’C’D’, với điểm O bắt
ki ta c6: 40G = OA+ OB + OC + OD
Trang 3833-40G' = OA'+ OB'+ OC'+OD' = 4GG' = AA'+ BB'+CC'+DD'
+/BB\+|CC'
GG ="\4a'+ BBY+CC'+ 4 DD <" (lar 4
Hay GG"< ARS ES CCSD (dpem)
Dang thức xảy ra khỉ và chỉ khi (*) [42+ BP' DDi = ([Aa|+ +|CCi+ po’)
DpÌ) Œ)
xảy ra tức:
Nhận xét: Sử dụng hệ thức vectơ về trọng tâm của hai tứ điện ABCD và
A'BC'D' ta được hệ thức vectơ (*) Vận dụng bat đẳng thức vectơ
la, + a, + + a, = ai + ia, + + ia, ta cĩ ngay bắt đẳng thức cần chứng minh
Giả sử O là điểm nằm trong tứ điện ABCD sao cho:
BOC = DOA, AOB = DOC,COA = DOB Chimg minh: voi mọi điểm M
trong khơng gian luơn cĩ: M⁄4+ MB+MC+MD2>OA+0OB+0OC+OD Giải:
Trên các tia OA, OB, OC, OD lay cac vecto don vi OA',OB', ĨC'.OD'
Khi đĩ với giả thiết đã cho ta cĩ; B'C°=D'A',C?A'=D'B',A'B'=D°C' nên
A ?B'CD' tứ diện gần đều nhận O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, đồng thời O
cũng la trong tam cua tir dién gan déu A’B’C’D’
= OA'+ OB'+OC'+OD'=0
_OA OB oc , OD _ 3
"OA “OB ĨC” OD
Với mọi điểm M trong khơng gian luơn cĩ: MA.OA
MA.OAS MA.OA © <MA
-34 -
Trang 39(M0 +04)+04 OA
©*>——————<M⁄4©04+MO——<MA (1)
OA OA
a — O8
Chứng minh tương tự ta được: MB > OB+ MƠN (2)
MC >OC+MG.2E (3) OC MbD>oD+M6.22 (4) OD Tw (1), (2), (3), (4) va (*) ta duge: MA+MB+MC+MD2OA+0B+0C+0OD (dpem)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (1), (2), (3), (4) xảy ra tức là: MA= Ø4+ MƠ 1M e tia [AO)
MB =0B + M6.7" <M € tia [BO)
MC=0C + M6.C° <M e tỉa [CO) MD=OD+ MƠ/D <> M e tia [DO)
Vậy M thuộc 4 tia [AO), [BO), [CO), [DO) tức là M=O thì dấu đẳng thức
xảy Ta
IV.3 Bai tap:
Bài tập 1 Cho tứ diện gần đều ABCD (AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c)
Chứng minh: MA+MB+MC+MD>4R Hướng dẫn:
Trang 40-35-Ta cĩ: MA.R > MA.OA( voi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện
ABCD)
Biến đổi ta được Ä⁄4.R > R° ~ OM.OA Tương tự đối với MB, MC, MD
Sau đĩ cộng các về của bất dang thức ta suy ra điều phải chứng minh
Bài tập 2 Cho tử điện ABCD vuơng tại A và điểm M tùy ý Chứng minh:
2MA”<MB +MC”+MD”
Hướng dẫn:
Goi A’ 1a diém sao cho:
A'B+ A'C+ A'D-24'A=0 AA'= AB+ AC+ AD, A’ Ia dinh déi A cha
hình hộp cĩ 3 cạnh AB, AC, AD
Ta tách các A⁄4,MB,MC, MD thành tổng của hai vectơ bằng cách chèn điểm A’ trong biểu thức MB?+*MC”+MD”-2MA' rồi biến đổi ta sẽ cĩ kết quả cần chứng minh
V CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN
V.1 Phương pháp
Ta sử dụng phương pháp vectơ trong các bài tốn tính tốn thường với
những dạng bải sau:
1 Tính gĩc:
+ Giữa hai đường thắng ta quy về tính gĩc giữa hai vectơ chỉ phương
của hai đường thắng đĩ
+ Giữa hai mặt phẳng quy về tính gĩc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đĩ
+ Giữa đường thắng và mặt phẳng quy về tính gĩc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đĩ
2 Tính độ dài đoạn thẳng AB cho trước ta thực hiện:
——: ————
AB’ = AB =AB.A