TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TỐN
kwuwkw*%
DỖN HỒNG VIỆT
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TỐN
kwuwkw*%
DỖN HỒNG VIỆT
Trang 3LỜI CÁM ƠN
Trong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên trong lớp Em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài
“Phép đối xứng qua đường thẳng trong E’”
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tô hình học đã tạo
điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận này Và đặc biệt, em xin chân thành
cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Người thực hiện
Trang 4LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm tòi, tích luỹ
kiến thức của bản thân tôi dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, cùng
với đó là quá trình học hỏi, nghiên cứu dưới sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường
Vì vậy, tôi cam đoan rằng luận văn này không trùng với bắt kỳ luận văn nào trước đó
Người cam đoan
Trang 5MỤC LỤC PHẦN I1: MỞ ĐẦU -22252+S2SE2E2E5212215211215 2152122111111 cEeE 1 PHÀN 2: NỘI DUNG 2
CHƯƠNG 1: KIEN THUC CHUAN BỊ
1 Các khái niệm về phép biến hình ¬ Đ 2 2 Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự .- 2
3 Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng 3
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC . 5
§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thắng trong việc giải các bài toán Ji) 0 5 §2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán
00 2 14
§3: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc 19 giải các bài toán dựng hình 5 «6< t3 9 E91 91 111 11 ng ren 19 §4: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc - 29 giải bài tốn quỹ tÍCHh s5 k1 1 1 1 TH nhu TH nhu ngư ghế 29
Trang 6PHẢN 1: MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Hình học là một trong những môn học khó và tương đối trừu tượng trong
chương trình tốn phơ thông, đặc biệt là về phép biến hình Vấn đề này, học
sinh được tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ
ngỡ Nhưng phép biến hình là một công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu quả trong việc giải các bài toán hình học Tuy nhiên, việc giải các bài toán hình
học bằng phương pháp biến hình không phải là dễ đối với cả học sinh và giáo
viên
Về phép biến hình đẳng cự nói chung và phép đối xứng qua đường thẳng
nói riêng trong hình học phẳng, học sinh chỉ được học về phép đối xứng qua
đường thắng một cách sơ lược và hệ thống bài tập còn rất sơ sài, chưa thể
hiện được tính ưu việt của phép đối xứng qua đường thẳng trong giải toán hình học Nhưng trên thực tế, phép đối xứng qua đường thẳng có thể giúp chúng ta giải quyết được nhiều lớp các bài toán hình học Để thấy được tính hiệu quá của nó, tôi đã chọn đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng trong E””
2 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến phép đối xứng qua đường thắng
và xây dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh hoạ, cùng các lời đánh giá nhận
xét sao cho hữu ích và có thể sử dụng được, thông qua các lớp bài toán: Bai
toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích
3 Phương pháp và phạm vi nghiên cứu
Chứng minh bằng các ví dụ cụ thể đựa trên các tài liệu sẵn có
Trang 7PHAN 2: NOI DUNG
CHUONG 1: KIEN THUC CHUAN BI 1 Các khái niệm về phép biến hình
1.1 Định nghĩa 1
Mỗi song ánh f: E" › E” được gọi là phép biến hình của không gian E”
1.2 Định nghĩa 2
Cho phép biến hình f: E" ¬ E* ta có các khái niệm sau:
a Điểm M e E" được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu f(M) = M
b Hình H c E được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H c Hình H c E" được gọi là bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f 1.3 Định nghĩa 3 Phép biến hình f: E"› E" mà f-f= ¡d „ được gọi là phép biến hình đối hợp 2 Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự 2.1 Định nghĩa
Phép biến hình f: E" › E" được gọi là phép biến hình đẳng cự của E" nếu
nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bắt kỳ Tức là:
F là phép đẳng cự © d(M, N) = d(f(M), N)), vM, Ne E* ( d(M, N) là
khoảng cách của 2 điểm M, N)
2.2 Tính chất
a Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A và C thành 3 điểm A', B', C' thắng hàng với B' nằm giữa A' và C'
b Phép biến hình đẳng cự biến:
- Đường thẳng thành đường thắng - Tia thành tia
Trang 8- Góc thành góc bằng nó
- Đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho
3 Định nghĩa và tinh chất của phép đối xứng qua đường thang 3.1 Định nghĩa
Cho một đường thắng A Phép biến hình biến mỗi điểm X eA thành điểm
X và biến điểm M zA thành điểm M' sao cho A là trung trực của đoạn thẳng
MM!' được gọi là phép đối xứng qua đường thắng A và được kí hiệu là Đạ
Phép đối xứng qua đường thắng còn được gọi đơn giản là phép đối xứng trục
Đường thắng A được gọi là trục đối xứng và là đường thắng bất động của phép đối xứng trục Ð,, Cho trước một hình H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H qua phép đối xứng trục Є lập thành một hình H' được gọi là hình đối xứng với H qua A Nếu H = H' thì ta nói H là hình có trục đối xứng 3.2 Tính chất Ta có định lý sau: * Định lý: Phép đối xứng trục là một phép biến hình đẳng cự * Dựa vào định lý và định nghĩa của phép đối xứng qua đường thẳng, ta suy ra các tính chất :
a) Phép đối xứng qua đường thắng là một phép biến hình đẳng cự nên nó có
đầy đủ tính chất của một phép biến hình đẳng cự
b) Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thắng A thì M lại là
Trang 9c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng A đều là điểm bất động
d) Mỗi đường thằng a vuông góc với trục đối xứng A đều biến thành chính nó
với chú ý rằng giao điểm a với A các điểm khác của a đều không phải là điểm
Trang 10CHUONG 2: UNG DUNG CUA PHEP DOI XUNG QUA DUONG THANG TRONG VIEC GIAI CAC BAI TOAN HiNH HOC §1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải
các bài toán chứng minh 1.1 Khái niệm bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học khác như: bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán tìm quỹ tích Đó là
bài toán cần chứng minh mệnh đề A = B với A là giả thiết, B là kết luận Ta
đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận hợp logic dựa trên cơ sở của các định nghĩa, định lý
1.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng
trục thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng qua đường thẳng ta nhận được kết quả về tính đồng quy, thắng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thắng bằng nhau, các góc bằng nhau,các tam giác, các đường tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dé dàng giải quyết được bài toán chứng minh
1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng qua đường thẳng
Nếu mệnh đề A = B đã được khẳng định nhờ phép đối xứng qua đường thẳng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng qua đường thắng xét mệnh đề đảo
B= A, xét các trường hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá của
mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới 1.4 Một số ví dụ cụ thể
Vi du 1.1:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn (S) đi qua 3
điểm I, B, C cắt các đường thắng AB và AC thành 2 dây cung Chứng minh
Trang 11Lời giải:
Đề chứng minh hai dây cung là giao điểm của (S) với AB và AC có độ dài bằng nhau, ta thấy việc chứng minh trực tiếp độ dài của chúng bằng nhau là rất khó Vì vậy ta sẽ tìm cách chứng minh qua phép đối xứng qua đường thắng và tìm một trục đối xứng cho phù hợp
Goi J là tâm đường tròn
bàng tiếp thuộc 4#C của tam giác ABC Ta sẽ tìm một phép đối xứng qua đường thắng LI biến dây cung này thành dây cung kia
Ta có: I là tâm đường tròn
ngoại tiếp AABC
= IB là phân giác của góc 48C
=> IBA=IBC (1)
Tương tự, IC là phân giác 4CB
=> ACI=ICB (2)
Gọi đường kéo dài của 2 tia AB và AC là Ax va Ay
J la tâm đường tròn bàng tiếp ø4C của AABC
= IB là phân giác cua CBx Do do JBx = JBC (3) Tương tự ta cũng có: JCB = JCy (4) Từ (1),(2).(3) và (4) = I8C+JBC = ICg+JCg = 189" Hay 787 = ICJ= 909 = Tứ giác IBJC là tứ giác nội tiếp Kết hợp với /87 = ICI= 90°
= IBJC nội tiếp đường tròn đường kính II
Ta có: IJ là trục đối xứng của hai đường thăng AB, AC và đường tròn (S)
Do đó các giao điểm của (S) và AB sẽ đối xứng với các giao điểm của (S)
Trang 12với AC thong qua truc IJ
Hay 2 dây cung đó sẽ đối xứng nhau qua l1
= Theo tính chất của phép đối xứng qua đường thăng, hai dây cung đó có độ dài bằng nhau
Ta có điều phải chứng minh * Khai thác sâu bài toán
Gọi At là tia phân giác của x4y Khi đó, mọi đường tròn có tâm nằm trên Tia At đều cắt Ax, Ay thành 2 cung bằng nhau Vậy ta có bài toán mới sau:
Bài toán: Cho góc x4y cố định Đường tròn tâm I nằm trên phân giác của xáy, cắt Ax, Ay tương ứng thành 2 dây cung Chứng minh hai dây cung đó bằng nhau Hướng dẫn giải: Khi đó, do tính chất đối xứng của đường tròn, ta chọn tia phân giác At làm trục đối xứng Ta có : Dar: AX BH Ay (LR) (LR)
Khi đó suy ra 2 dây cung tương ứng qua phép đối xứng trục At sẽ bằng nhau do tính chất của phép đối xứng qua đường thắng
=> Điều phải chứng minh
Vậy 2 dây cung đó sẽ bằng nhau Ví dụ 1.2:
Cho AABC với trực tâm H Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp AABC, các đường
Trang 13Lời giải: a, Goi H; = Dgc(H) Ha = Dac(H) H3 = Dap(H) Ta sẽ chứng minh H¡, H;, H; e (O) Trong đó (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trước hết ta sẽ chứng minh H; e (O)
Goi M= AH na BC,N=BH na AC,P=CH no AB Hy
Tứ giác APHN có: 4PH = ANH = 90° = APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH => A+ PHN = 180° qd) Ma PHN = BHC ( déi dinh ) (2) Do H, = Dgc(H) nén theo tính chất bảo toàn góc của Đạc ta có: BHC = BH,C (3) Từ (1),(2) và (3) = 4 + BH,C = 180°
= Tứ giác ABH¡C nội tiếp
Mà A,B,C e (O) nên H; e (O)
Chứng minh tương tự ta cũng có H; H; e (O)
b, Ta có: Dac: Hw dH, Đạc : ABHC & ABH,C
= Đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp ABH;C
Mà đường tròn ngoại tiếp ABH,C chính là (O)
Vậy đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn (O)
Tương tự ta có : Đục : AAHC AAH;C
Dap : AAHB +> AAH;B
Trang 14của AABC ( chính là (O) )
Ta có điều phải chứng minh
* Khai thác sâu bài toán
- Ở phần b của bài toán ta nhận xét thấy:
Để chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của AABC và các tam giác còn lại bằng nhau một cách trực tiếp thì ta phải đi chứng minh bán kính của chúng bằng nhau Việc này rất khó thực hiện Nhưng nếu sử dụng tính chất của phép
đối xứng qua đường thắng thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn
Qua đó thấy được ưu điểm của phép đối xứng qua đường thắng trong bài toán
chứng minh
- Từ bài toán trên ta có kết quả sau :
Nếu gọi O¡, O;, O; lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABHC, AAHC, AAHB thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp AO,0,03 Tu do ta cd
đường tròn ngoại tiếp AO,O;O; bằng đường tròn (O) Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên thành bài toán sau :
Bài toán: Cho H là trực tâm của AABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi O¡, O¿,
O; lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABHC, AAHC, AAHB Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp AO,OzO; bằng đường tròn (O)
Hướng dẫn giải:
+ Ta cần chung minh: Dgc(O) = O1, Dac(O) = O2, Dag(O) = O;
Ma H « (O,), H € (On), H € (O3)
Bán kính của (O,), (O2), (O3) đều bằng bán kính của (O)
= H là tâm đường tròn ngoại tiếp AO,O;O;
Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.3:
Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các
cạnh BC tai A’, CA tai B' va AB tai C' Gọi I là điểm đối xứng với A' qua AO
Trang 15Lời giải: Ta có : B' và C' đều là điểm của AABC và (O) = B'C' cách đều AO = Bỉ đối xứng với C' qua đường thắng OA Ai Xét phép đối xứng trục OA ta có : Do, : B' RH C' I HA > IB AC Do đó IB' = A'C'
Ta có điều phải chứng minh
* Khai thác sâu bài toán
Ta nhận thấy rằng : Nếu AC > AB thì ta có CC’ > BB’ Điều này có thê
chứng minh được bằng phép đối xứng qua đường thang Từ đó ta có bài toán mới sau :
Bài toán: Cho AABC có đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với các cạnh
AB và AC tương ứng tại các điểm C' và B' Chứng minh rằng nếu AC > AB thì CC' > BB'
Hướng dẫn giải:
Gọi B" là điểm đối xứng với B qua
Trang 16góc Z8"C nên C'B"C la goc tu,
đối diện với góc đó là cạnh CC"
Vì vậy CC! > B"C' hay CC' > BB' Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kí hiệu AH, AD lần lượt là
đường cao, đường phân giác của tam giác Chứng minh rằng đường thắng đối xứng với AH qua AD đi qua tâm O của đường tròn
Lời giải:
Gọi Ak là đường thắng đối xứng với AH qua AD (K e (O)) Vì AK đối xứng với AH qua AD => HAD = KAD (1)
Ma AD là phân giác BAC => BAD = CAD (2) Tw (1) va (2) ta cd: HAB = KAC Taco: Dap: AH AK AB ® AC Ma HAB = KAC => Dap: HAB ® KAC Xét AABH và AACK có: HAB = KAC ABC = AKC ( cùng chắn cung 4C ) = AABH và AACK đồng dạng (g.g) = AHB = ACK = 90°
= AK là đường kính của đường tròn (O) Ta có điều phải chứng minh
Trang 17
* Khai thác sâu bài toán
Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB và AC Khi đó HA là
phân giác của góc tạo bởi giao điểm của PQ và AB, AC kẻ từ H Ta có bài toán mới nhờ phép đối xứng qua đường thẳng :
Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn và H là chân đường cao kẻ từ A xuống
BC Gọi P,Q là các điểm đối xứng với H qua AB và AC Đường thắng PQ cắt
AB và AC tại K và E Chứng minh rằng HA là đường phân giác của KHE
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta đễ dàng thấy AB, AC là các phân giác ngoài của tam giác KHE Vì vậy ta suy ra HA cũng là phân giác trong của tam giác đó
Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 1.5:
Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có hai góc kề cạnh CD nhọn Chứng
minh rằng nếu số đo góc D lớn hơn số đo góc C thì ta có AC > BD Lời giải: Gọi A là đường trung trực của cạnh AB và D' là điểm A B đối xứng với D qua A Khi đó D' « CD Vi ADC = DD'B > BCD => BD'D nhon
Vitia D'A nam trong BD 'D, do đó AD'D nhọn và AD 'C tù
Trong AAD'C có góc D ' tù, do đó cạnh AC lớn nhất, nghĩa là AC > AD '
Mà AD'=BD = AC > BD Ta có điều phải chứng minh
Trang 18
* Khai thác sâu bài toán
Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng không chỉ giúp ta chứng minh trực tiếp một tính chất hình học mà còn gián tiếp giúp ta chứng minh bằng cách tạo ra các yếu tố bên ngoài, hình phụ để chứng minh bài tốn
Ngồi ra, nhiều bài toán chứng minh được tạo thành từ chính phép đối
xứng trục đó Ta có bài toán sau :
Bài toán: Cho AABC có 3 góc nhọn Chứng minh rằng các điểm đối xứng
với trực tâm tam giác qua mỗi cạnh của tam giác đều nằm trên đường tròn
Trang 19§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc
giải các bài toán tính toán
2.1 Khái niệm về bài toán tính toán
Trong hình học, ta thường gặp một số bài toán tính toán tiêu biểu như:
tính độ đài đoạn thắng, tính số đo của góc, tỉ số độ dài đoạn thang, tinh chu vi
diện tích của các hình hình học Đề giải bài toán tính tốn, thơng thường ta sử dụng các bước sau :
1 Xác định các yếu tố tính toán, các yếu tố đã biết
2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán
3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập
2.2 Giải bài toán tính toán nhờ sử dụng phép đối xứng qua đường thắng
Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thắng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau Từ đó dựa vào các yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thắng đề tìm ra các đại
lượng cần tính toán
2.3 Một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 2.1: Cho AABC cân tại A, ø4C =80° Điểm O nằm trong tam giác sao cho OBC=10°, OCB=30° Tinh goc AOB
Lời giải:
Kẻ đường cao AH Ta gọi I= AH m OC, K= AH 14 OC Xét phép đối xứng qua đường thắng AH:
Dani: BHC
=> Day: AIBH & ATHC
= ICH = IBH = OBC = 10°
= ICK = OCB - ICH =30° - 10° = 20°
Trang 20
B 10° H 30C Mà ACB = — =50° = 4CK =20° = ACK=ICK=20° = CK là phân giác của góc 4C! Ta có: Đan: A> A II BRC K=B=K
=> Day: AAIB r› AAIC
Do đó phép đối xứng qua đường thắng AH biến phân giác của AAIC thành
Trang 21* Khai thác sâu bài toán
Bài toán trên thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là tính độ
lớn (số đo) của một góc giữa hai tia Bài toán này vì thế có nhiều cách giải
khác nhau, đặc biệt là hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lý sin và
côsin Tuy nhiên, đối với trường hợp bài toán này từ đặc điểm AABC cân tại A, chúng ta nghĩ đến phép đối xứng qua đường thẳng với trục đối xứng là
AH, trong đó AH là đường cao của AABC
Xét trường hợp tương tự nếu AABC cân tại B, ta sẽ có bài toán sau :
Bài toán: Giả sử P là điểm nằm trong AABC sao cho PAC = 10°, PCA =
20°, PAB = 30°, ABC = 40° Hay tinh do lon BPC
Hướng dẫn giải:
Trang 22180°-30°_
Do AABC cân tại B có ø=30° nên 84C = BCA4= 75°
Ta có AAEB cân tạiE => BAD' =30°= ABE
=> D'AC =75° - 30°=45° (1)
Mặt khác theo giá thiết ta có:
AC=BD42 =AD42
Trong AADC ta có:
D'AC =45°, AC= A'DA2
Nên theo định lý cosin ta có:
Trang 23Ví dụ 2.3:
Cho AABC can tai C cé ACB = 100° Qua A và B vẽ các tia AL và BK (L
e BC, K € AC) sao cho LAB = 30°, KBA = 20°, AL cắt BK ởM Tính các
goc ACM và 8CM
Lời giải:
Gọi CH là đường cao của tam giác ABC Ta có: Đc¡: A B EA EB IA» IB A (Voi E= BK « CH, I= AL 7 CH)
Trong AABC cân tại C có C = 100° => C4B = CBA = 40°
=> CAI = CAB - IAB = 10° ()
Ta có EAH = EBH = 20? > IAE = IAH - EAH = 109 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: C4! = IAE = 10°
=> AI là phân giác góc CAE = IB là phân giác góc CBE Xét phép đối xứng qua đường thẳng BI ta có:
Đại : BC b BK
IC Ð IM
= M là ảnh của C qua Day
Trang 24§3: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán dựng hình
3.1 Khái niệm bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình được phát biểu dưới dạng: “Dựng một hình thoả mãn các điều kiện, yêu cầu sau ”
Các bước để giải bài tốn dựng hình
Thơng thường giải một bài toán dựng hình gồm 4 bước:
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thoả mãn yêu cầu của bài toán, căn cứ vào hình đó xét xem mối quan hệ giữa các yếu tố (điểm, đoạn thắng, đường thẳng, đường tròn, độ dài đoạn thắng, các quan hệ song song, vuông góc ) của hình
đó để xác định xem yếu tố nào trước, yếu tố nào sau Bước này là bước quan
trọng để đưa ra lời giải của bài toán Bước 2: Cách dựng
Dựa vào phần phân tích trình bày lần lượt các phép dựng và thê hiện bằng hình vẽ các phép dựng đó
Bước 3: Chứng minh
Khi phép dựng đã được thực hiện, dựa vào phép lập luận đề chứng tỏ rằng
hình đã đựng thoả mãn các yêu cầu đặt ra của bài toán
Bước 4: Biện luận
Xét xem khi nào các phép dựng trong bước 2 dựng được và dựng được bao
nhiêu hình thoả mãn bài toán hay nói cách khác trả lời xem có bao nhiêu hình
thoả mãn bài toán
3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng qua đường thắng
Có thể nói bước phân tích đóng vai trò hàng đầu trong bài toán dựng hình
Có bài toán dựng hình sau khi phân tích còn lại các điều khác hầu như là hiển nhiên
Trang 25
Có thê hình dung bước phân tích nhờ sơ đồ như sau:
HH, c H; = H,; - H;
- Dé đựng được hình H ta phải dựng hình H;
- Đề dựng được hình H; ta phải dun hình H; - Đề dựng được hình H;.¡ ta phải dựng hình Hạ
Quá trình này dựng được khi H, đã cho dễ dàng dựng được từ các yếu tố đã cho trong giả thiết nhờ các phép dựng cơ bản
3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xúng qua đường thắng
Đề xuất bài toán: Với bài toán dựng hình H có tính chất ơ nào đó đã cho
Sử dụng phép đối xứng trục Ð biến hình H thành hình H' có tính chất œ' có
được đo chuyên các tính chất œ tương ứng qua Ð (nhờ tính chất bất biến của
ÐĐ) ta nhận được bài toán dựng hình H' có tinh chat a’ Lúc đó nếu một trong hai bài toán giải được thì bài toán còn lại cũng giải được
Xét một số trường hợp của bài toán: sử dụng thao tác đặc biệt hoá, khái
quát hoá, tương tự hoá bằng cách thay đối tập hợp điểm (hình này) bằng các
tập hợp điểm khác (hình khác) nhờ sử dụng sự trợ giúp của phép đối xứng qua
đường thắng
3.4 Một số ví dụ cụ thể Vi du 3.1:
Cho hai đường thắng a, b và đường tròn (O) Hãy tìm trên a điểm M và
Trang 26Khi đó ta có M vàN đối xứng với nhau qua d MàMea,Ðy:M+->N => N sẽ phải thuộc một đường thắng đối xứng với a qua b Từ đó ta chỉ cần tìm một đường thang
đối xứng với a qua b
Và N chính là giao điểm của đường thắng đó với đường tròn (O)
Bước 2: Cách dựng
- Dựng đường thắng a' đối xứng với a qua b - Lay giao điểm N của a' và đường tròn (O)
- Tìm điểm M đối xứng với N qua b
Bước 3: Chứng minh
- Với cách dựng, ta hoàn toàn có được N e (O)
- Ta có: M và N đối xứng với nhau qua b = b là đường trung trực của MN
- Vì đường thẳng a đối xứng với a' qua b, mà N e a' do đó Mea
Bước 4: Biện luận
Khi a' và (O) không có điểm chung, khi đó sẽ không tồn tại điểm N đối xứng với M qua b Do đó bài toán sẽ vơ nghiệm
Bài tốn có nghiệm khi N tồn tại, nghĩa là khi đó a' và (O) phái có điểm chung
* Khai thác sâu bài toán
Khi thay đổi dé bài, ta thay đường thắng thành đường tròn, hoặc đường
tròn thành đường thắng và bố sung thêm điều kiện, ta sẽ được một số bài tròn thành đường thắng và bổ sung thêm điều kiện, ta sẽ được một số bải toán
mới tương tự như bài toán ban đầu :
Trang 27
Bài toán 1: Cho đường thẳng a và đường tròn tâm (O) Đường thắng b cắt a tại S Hãy dựng đường thắng m vuông góc với b, m cắt a tại A, cắt (O) tại B sao cho A và B đối xứng với nhau qua b
Bài toán 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O '), cùng một đường thắng d Hãy dựng đường thắng m vuông góc với d, m cắt (O) tại A, m cắt (O ') tại B sao cho A, B đối xứng nhau qua d
Bài toán 3: Cho hai đường tròn (O) và (O '), cùng một đường thắng d Hãy
dựng hình vuông ABCD có 2 đỉnh là A và C lần lượt nằm trên (O) và (O '), hai đỉnh còn lại nằm trên đường thắng d
Ví dụ 3.2:
Cho góc nhọn xøy và một điểm A thuộc miễn trong của góc này Hãy tìm
Trang 28Bước 2: Cách dựng - Dựng M = Đọ,(A) - DựngN = Doy(A) -B=MN on Ox -C=MN no Oy Khi đó B, C là điểm cần dựng Bước 3: Chứng minh
Lấy điểm B" bất kì thuộc Ox, C" bắt kì thuộc Oy
Dox(A) = M, Do,(A) = N, B= MN 1 Ox, C=MN 1 Oy
Ta co: AB" + B"C" + AC" = MB" + B"C" + NC" > MB+BC+NC=AB+BC+CA
Do đó AABC có chu vi nhỏ nhất
Bước 4: Biện luận
- Néu xOy < 90° thi bài toán có 1 nghiệm hình - Néu xOy > 90° thi ta có:
MON =2x0y >180° = MN khéng cat Ox, Oy
Hoặc chỉ cắt tại O — Bài tốn khơng có nghiệm hình
* Khai thác sâu bài toán
Khi thay đổi yêu cầu bài toán, ta có một bài toán tương tự bài toán trên:
Bài toán: Cho góc nhọn xØy và điểm A không nằm trên 2 tia Ox, Oy Hãy tìm
trên Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho AABC nhận O làm tâm đường
tròn nội tiếp
Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox, N đối xứng với A qua Oy Khi đó B,C phải tìm chính là giao điểm của MN lần lượt với Ox, Oy
Trang 29
Ví dụ 3.3:
Cho đường thắng d và hai điểm M,N không nằm trên d Hãy dựng tam giác ABC sao cho M,N là trung điểm hai cạnh AB, AC và phân giác góc C nằm trên d
Lời giải:
Đước l: Phân tích
Giả sử đã dựng được AABC
với M là trung điểm của AC A
va N là trung điểm của AB
d là phân giác của góc C M Khi đó ta có: D sẽ là trục đối xứng của N AC va AB C Và ta có MN // BC Gọi M' là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thì C chính
là giao điểm của đường thắng song song voi MN đi qua M'
A đối xứng với C qua M
Còn lại B chính là giao điểm của AN và MC
Bước 2: Cách dựng
- Dựng M' đối xứng với M qua đường thắng d
- Qua M' vé tia Mx // MN, cắt d tại C
Trang 30= đ là trục đối xứng của MC và M'C Hay d là đường phân giác của góc C
Hiển nhiên, theo cách dung ta co AM = CM va AN = BN
Bước 4: Biện luận
Bài toán chỉ có nghiệm khi và chỉ khi MN cắt d
Nếu M và N đối xứng với nhau qua d thì bài tốn có vơ số nghiệm hình * Khai thác sâu bài toán
Khi đơn giản hoá yêu cầu đề bài, ta cũng có một bài toán tương tự bài toán đã cho :
Bài toán: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm khác phía với d Hãy dựng điểm C trên đ sao cho tam giác ABC có đường phân giác góc 4C# nằm trên d
Hướng dẫn giải:
Nếu phân giác góc 4C nằm trên d thì d là trục đối xứng của hai cạnh góc
ACB
Goi B' là điểm đối xứng của B qua d, khi đó B' nằm trên đường thắng AC
C là giao điểm của d và AB' Đề dựng C ta dựng điểm B' đối xứng với B qua d Tìm giao điểm C của d và AB'
Bài toán có nghiệm khi AB' không song song với d
Nếu A và B đối xứng qua d thì theo yêu cầu đề bài, sẽ có vô số điểm C thoả mãn bài toán
Trang 31
Ví dụ 3.4:
Cho đường thẳng đ và hai đường tròn (O), (O') nằm về hai phía đối với d hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d, đỉnh A nằm trên đường tròn (O), đỉnh C nằm trên đường tròn (O' Lời giải: Đước l: Phân tích Giả sử ABCD là hình vuông ta đã dựng được Xét phép đối xứng qua đường thắng d ta có : De: ABC (0) (O) Mặt khác, AC là đường kính
của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, do đó đường kính AC đi qua B và D
Từ đó ta thấy C thuộc một
đường tròn đối xứng với đường
tron (O) qua d va (O')
Từ C sẽ tìm được những điểm còn lại qua Dy
Bước 2: Cách dựng
- Dựng ảnh (O") của (O) qua phép đối xứng qua đường thắng d
- Ta gọi C = (O") ¬ (O)
- Dựng ánh của C qua phép đối xứng trục Dy Đó chính là đỉnh A
- Dựng đường tròn đường kính AC Gọi B,D là giao điểm của đường tròn đó với d, ABCD là hình vuông phải dựng
Trang 32
Bước 3: Chứng minh
Theo cách dựng, C thuộc đường tròn (O") nên ảnh A của C qua phép đối
xứng trục Ðạ thuộc (O) Tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó ABCD là hình vuông
Bước 4: Biện luận
Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của (O") và (O')
Nếu hai đường tròn đó trùng nhau thì bài toán có vô số nghiệm Có nghĩa là nếu đường tròn (O) đối xứng với (O') qua d thì bài toán có vô số nghiệm
* Khai thác sâu bài toán
Khi thay đường tròn (O') bằng 1 đường thẳng d, ta cũng có bài toán mới tương tự như bài toán ban đầu:
Bài toán: Cho đường tròn (O) và các đường thắng a, b Hãy dựng hình
vuông ABCD sao cho hai đỉnh liên tiếp A, C nằm trên a và (O), hai đỉnh còn
lại nằm trên b
Hướng dẫn giải:
Gọi a' là ảnh của a qua phép đối xứng qua đường thẳng b
Giá sử A là điểm chung của a' với đường tròn (O) Khi đó C là điểm đối xứng
với A qua b và C nằm trên a
Gọi H là giao điểm của b với AC Đường tròn tâm H bán kính HA cắt b tại
2 điểm Đó chính là B và D
Vi du 3.5:
Hãy dựng tam giác cân MNP đỉnh M với M cho trước nằm trong tam giác
ABC thoả mãn điều kiện NP // AB,N e AC, P e BC
Lời giải:
Bước l: Phân tích
Giả sử đã dựng được AMNP thoả mãn yêu cầu bài toán
Goi d là đường thẳng qua M và vuông góc với AB Khi đó, do NP // AB
và AMNP cân tại M nên d là trục đối xứng của AMNP Ta có:
Trang 33
P<BC,Nc AC = N đối xứng với P qua d
=> P< d làảnh của AC qua d
Bước 2: Cách dựng
- Dựng đường thắng d qua M và vuông góc với AB
- Dung d' la anh cua AC qua d -đnaBC=P - Từ P kẻ đường thắng vuông góc với d cắt AC tai N Bước 3: Chứng minh Theo cách dựng, ta có AMNP cân tại M và nhận d làm trục đối xứng =d+LNP(I) MàdL AB = NP//AB
Bước 4: Biện luận
Khi MC L AB, bài tốn khơng có nghiệm hình vì d' ¬ BC =C = P=C nên không tồn tại AMNP
Khi MC không vuông góc với AB, bài toán luôn có một nghiệm hình
Trang 34
§4: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải bài toán quỹ tích
4.1 Khái niệm bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích: Là bài toán đi tìm một tập điểm (hay một hình) có chung một tính chat a nao đó cho trước
Sau khi tìm hiểu kỹ bài toán, các yếu tố đặc trưng của bài toán bước đoán
nhận quỹ tích giúp ta hình dung được hình dạng vị trí kích thước của quỹ tích
và đi đến dự đoán quỹ tích K của điểm M có tính chất œ là hình H Để chứng
minh ménh dé này ta thường tiến hành các bước sau :
+ Phần thuận: K là tập hợp con của H, nghĩa là mọi điểm có tính chất œ
đều nằm trên hình H (dam bao tính chất không thể thiếu của quỹ tích)
+ Phần đảo: H là tập hợp con của K, nghĩa là mọi điểm nằm trên hình H đều có tính chất ơ
+ Biện luận quỹ tích: Ta xem xét các trường hợp đặc biệt để tìm ra các
điểm không thuộc quỹ tích
4.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thắng để giái các bài toán quỹ tích
Cho hình H là một hình trong mặt phẳng, f là phép đối xứng qua đường
thắng nào đó, tập hợp H' = f(H) = {M' = f(M) /M<H} gọi là ảnh của H qua phép đối xứng qua đường thẳng f Khi M chạy khắp H thì M' chạy khắp H' và ngược lại cũng có H = f'(H)={M / f(M) =M',M' e H} Vậy nếu N là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thắng f: N = fM) thì M có tính chất ơ khi và chỉ khi N có tính chất œ' (œ' được quy định bởi œ và f) hay quỹ tích
điểm N có tính chất œ' là hình H' thì quỹ tích các điểm M có tính chất œ là hình f'(H)
Vậy có thể dùng phép đối xứng trục f chuyển bài toán tìm quỹ tích các
điểm M có tính chat œ thành bài toán tìm những điểm N có tính chất ơ' với
Trang 35
N=f(M) được quy định bởi f và ơ sao cho quỹ tích mới này là quỹ tích co ban
hoặc tìm được dễ dàng hơn
4.3 Khai thác sâu bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng qua đường thang
Xuất phát từ bài toán cơ bản (§) của M hay bài toán quỹ tích tìm những điểm M có tính chất ơ đã giải được và quỹ tích là (£) bằng phép đối xứng qua đường thẳng f hoặc tích của phép đối xứng qua đường thắng biến điểm M thành M' rồi chuyên tính chất œ của điểm M thành tính chất œ' của điểm M' sao cho:
M có tính chất œ © MI có tính chất ø'
Lúc đó chúng ta sẽ được bài toán quỹ tích mới là: “Tìm quỹ tích những điểm MI' có tính chất a” ma kết quả quỹ tích của M' là f(&)
4.4 Một số vi du cu thé
Vi du 4.1:
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm A thay đổi
trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC Lời giải: Gọi H' là điểm đối xứng với H qua BC Ta đễ dàng chứng minh Được H' < (O) Ta có: Đạc : H' H (O) (O)
=> H thuộc đường tron (O') là ảnh của (O) qua phép đối xứng Đục
Khi A = B hoặc A = C thì không tồn tại AABC :
+ Trường hợp A = B thì H' = C' (với CC' là đường kính của (O'))
Thật vậy, nếu A = B thì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B
Trang 36
=> OB L AB mà OB // OtC (do tứ giác BOCO' là hình thoi)
=> AB L ƠC hay AB L CC' (CC' là đường kính của (O') (1) Do B nam trén duéng tron (O') duéng kinh CC'nén BC 1 BC’ (2)
Tw (1) va (2) >C' la truc tam cua AABC hay ABBC
Tương tự, khi A =C thì H =B' (BB' là đường kính của (O'))
Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn (O') bỏ đi 2 điểm B' và C' với BB' và CC'
là đường kính của đường tròn (O') ( (O') là ảnh của (O) qua Đạc ) * Khai thác sâu bài toán
Từ bài toán trên, ta suy ra nhiều kết quả va bài toán khác nhau như sau:
¡ H" là điểm sao cho tứ giác BHCH" là hình bình hành Chứng minh rằng H"
thuộc đường tròn (O) Từ đó suy ra quỹ tích H"
ii O' = Dgc(O) suy ra O' = D,(O) voi I 1a trung điểm của BC Hị, Hạ Hạ, Hạ,
Hs, He lần lượt đối xứng với H qua BC, CA, AB và các trung điểm của BC,
CA, AB thì 6 điểm đó cùng thuộc một đường tròn chính là đường tròn (O) và AH;, BH;,CH; đồng quy tại O Đó chính là các đường kính của (O)
iii Gọi O, O;, O; lần lượt là các điểm đối xứng của O qua BC, CA, AB thì ta
cũng có các đường tròn qua O;, O;, O; bằng đường tròn (O)
iv K là điểm bất kỳ Gọi K¡, Kạ, K; lần lượt là các điểm đối xứng của K qua
BC, CA, AB thì ta có: AK;K¿K; = AABC
Vi du 4.2:
Cho hình thang cân ABCD có đáy AB cố định Hai điểm D,C thay đổi,
Trang 37Theo giá thiết, ta có AC = m không đổi với A cố định
= Quỹ tích điểm C là đường tròn (C) tâm A bán kính m = D nằm trên đường tròn (C) trong đó (C') = D,((C)) Do đó quỹ tích của D là đường tròn (C)
Ví dụ 4.3:
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Với mỗi điểm M trên cạnh BC dựng hình bình hành APMQ (P nằm trên cạnh AB, Q nằm trên cạnh AC) Gọi M' là
điểm đối xứng với M qua PQ Tìm tập hợp M' khi M thay đổi trên cạnh BC Lời giải: Ta thấy, rõ ràng M nằm trên đường tròn tâm Q bán kính QC Vì vậy, ta được : MM'C=2 MỌC=} BAC
Tương tự, M' thuộc đường tròn Tâm P với bán kính PB, nên MM'P=+ MPB=} BAC 2 2 Tia MM nằm trong góc øM'C, do đó 8M'C = NM'P Va MM'P = BAC Mặt khác, M' nằm cùng phía với A, nên M' thuộc cung 84C Vay M' © BAC Vi du 4.4:
Cho hai điểm A, B cố định Với mỗi đường thẳng d đi qua B ta dung diém A' đối xứng với A qua d Tìm tập hợp điểm A' khi đ quay quanh B
Trang 38
Lời giải: Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và AA' A Ta có: BH L AA' Gọi C là điểm đối xứng B d voi A qua B H Qua A ké d'//d Cc và AB na d'=C Xét AA'C có: HB // AC, HA = HA' => BH là đường trung bình của AAA'C
= B là trung điểm của AC
Do A, B cố định nên C có định Mặt khác ta lại có AA'C = 90°
= A' nằm trên đường tròn đường kính AC
+ Khi d= AB thì A'= A, C =B, khi đó A' vẫn nằm trên đường tròn đường
kính AC
+ Dao lại, nếu A' nằm trên đường tròn đường kính AC thì đường thăng d
đi qua B và trung điểm của AA' là trục đối xứng của hai điểm A và A' * Khai thác sâu bài tốn
Ngồi cách giải bằng cách sử dụng phép đối xứng qua đường thang, ta còn có cách giải khác đơn giản hơn cũng xoay quanh phép đối xứng qua đường thắng d Qua đó cho thấy được tính đa dạng trong việc vận dụng phép đối xứng qua đường thẳng Ta có :
D(A) = A'
Vì B e d nên khi quay d quanh B ta luôn có BA = BA'
Mà A, B có định nên AB không thay đổi
= Quỹ tích ta cần tìm là đường tròn đường kính AB
Trang 39
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ĐÈ NGHỊ
Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, bắt đẳng thức sau đây là đúng:
hạ < Jp(p=a)
trong đó, h„ là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, BC = a,2p=a+b+c
Bài 2: Đường tròn tâm I nội tiếp trong một tam giác không cân ABC, tiếp xúc
với BC, CA, AB tương ứng tại A;, Bị, C¡ gọi A; là điểm đối xứng với A; qua AI, B; là điểm đối xứng với B, qua BI, C; là điểm đối xứng với C¡ qua CI
Chứng minh rằng AAzB;€; có các cạnh song song với các cạnh của AABC
Bài 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác trong của
BAC cắt đường tròn (O) tại D Chứng minh rằng: 2AD > AB + AC
Bài 4: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Hãy dựng tam giác có hai đỉnh là hai điểm đã cho và đ là đường phân giác của góc thuộc đỉnh thứ ba
Bài 5: Cho hai điểm phân biệt M, N và đường thắng d Hãy dựng tam giác
ABC mà M, N là trung điểm hai cạnh AB, AC của tam giác và d là phân giác của góc thuộc đỉnh C
Bài 6: Dựng tam giác ABC, biết các điểm M, N, P là ảnh của trực tâm H của
tam giác trong các phép đối xứng qua các cạnh của tam giác đó
Bài 7: Cho tam giác ABC và một đường thắng d Hãy tìm trên đường thắng d
điểm M sao cho:
a, | x4 + MB | +2| Me | nhỏ nhất
b, |284 +38 | + |4M + 4 | nhỏ nhất
Bai 8: Cho tam giác nhọn ABC Gọi A' là chân đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A Hãy tìm trên cạnh AB, AC các điểm C' và B' tương ứng sao cho chu vi tam giác A'B'C' nhỏ nhất
Bài 9: Cho hai điểm có định A và B Với mỗi đường thắng x đi qua B, ta
dựng điểm A' đối xứng với A qua x Tìm tập các điểm A' khi x quay quanh điểm B
Trang 40
Bài 10: Cho Elip (E) có các tiêu điểm là F¡ và F; Xét đường thắng d có một điểm chung duy nhất M với Elíp va F' la điểm đối xứng với F; qua d Tìm tập hợp điểm F' khi d thay đổi
Hướng dẫn giải các bài tập: Bài 1: Hướng dẫn Qua A kẻ đường thang d // BC va goi B', C' lần lượt là điểm đối xứng với B, C qua d Ta co: AB + AB'+ AC + AC! > BC'+CB'=2BC' 2 2 © b+c> 4h, +a = (btc)’ —a’ > 4h,’ q © 4p(p-a) > 4h,’ h
Dau “=” xay ra khi va oq
chỉ khi AABC cân tại A Bài 2: Hướng dẫn Ta thấy rằng A; đối xứng với A¡ và B¡ đối xứng với C¡ qua AI nên C¡A¿= AIB¡ Tương tự A¡ đối xứng với C¡ A va B, doi xung voi B, qua BI Bị nên C,B; = A,B, Ba Ci Ngoài ra ta có: IA¡=lA;=IB;=lIC,
Điều đó chứng tỏ các điểm BAD AL Cc
A>, By nam trén duong tron (1)
Tam gidc C,A,B, can tai C, néi tiép duong tron (I) nén A,B, song song voi
tiếp tuyến của đường tròn (I) tại C¡ Tức là A;B; // AB Tương tự ta có :
A¿€; // AC và B;C; // BC