Về phép biến hình đẳng cự nói chung và phép đối xứng qua đường thẳng nói riêng trong hình học phẳng, học sinh chỉ được học về phép đối xứng qua đường thắng một cách sơ lược và hệ thống
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
kwuwkw*%
DOÃN HOÀNG VIỆT
PHÉP ĐÓI XỨNG QUA ĐƯỜNG
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
kwuwkw*%
DOÃN HOÀNG VIỆT
PHEP DOI XUNG QUA DUONG
Trang 3LỜI CÁM ƠN
Trong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên trong lớp Em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài
“Phép đối xứng qua đường thẳng trong E’”
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tô hình học đã tạo
điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận này Và đặc biệt, em xin chân thành
cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Người thực hiện
Doãn Hoàng Việt
Trang 4LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm tòi, tích luỹ
kiến thức của bản thân tôi dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, cùng
với đó là quá trình học hỏi, nghiên cứu dưới sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường
Vì vậy, tôi cam đoan rằng luận văn này không trùng với bắt kỳ luận văn nào trước đó
Người cam đoan
Doãn Hoàng Việt
Trang 5CHƯƠNG 1: KIEN THUC CHUAN BỊ
1 Các khái niệm về phép biến hình ¬ Đ 2
2 Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự .- 2
3 Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng 3
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC . 5
§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thắng trong việc giải các bài toán Ji) 0 5
§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán
Trang 6PHẢN 1: MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Hình học là một trong những môn học khó và tương đối trừu tượng trong
chương trình toán phô thông, đặc biệt là về phép biến hình Vấn đề này, học
sinh được tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ
ngỡ Nhưng phép biến hình là một công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu quả trong việc giải các bài toán hình học Tuy nhiên, việc giải các bài toán hình
học bằng phương pháp biến hình không phải là dễ đối với cả học sinh và giáo
viên
Về phép biến hình đẳng cự nói chung và phép đối xứng qua đường thẳng
nói riêng trong hình học phẳng, học sinh chỉ được học về phép đối xứng qua
đường thắng một cách sơ lược và hệ thống bài tập còn rất sơ sài, chưa thể
hiện được tính ưu việt của phép đối xứng qua đường thẳng trong giải toán hình học Nhưng trên thực tế, phép đối xứng qua đường thẳng có thể giúp chúng ta giải quyết được nhiều lớp các bài toán hình học Để thấy được tính hiệu quá của nó, tôi đã chọn đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng trong E””
2 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến phép đối xứng qua đường thắng
và xây dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh hoạ, cùng các lời đánh giá nhận
xét sao cho hữu ích và có thể sử dụng được, thông qua các lớp bài toán: Bai
toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích
3 Phương pháp và phạm vi nghiên cứu
Chứng minh bằng các ví dụ cụ thể đựa trên các tài liệu sẵn có
Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 (cơ bản và nâng cao), các bài giảng chuyên đề, sách tham khảo lớp 10 và lớp 11, các giáo trình hình học sơ cấp và tài liệu có liên quan đến phép đối xứng qua đường thắng
Trang 7PHAN 2: NOI DUNG CHUONG 1: KIEN THUC CHUAN BI
1 Các khái niệm về phép biến hình
1.1 Định nghĩa 1
Mỗi song ánh f: E" › E” được gọi là phép biến hình của không gian E”
1.2 Định nghĩa 2
Cho phép biến hình f: E" ¬ E* ta có các khái niệm sau:
a Điểm M e E" được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu f(M) = M
b Hình H c E được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H
c Hình H c E" được gọi là bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f
Phép biến hình f: E" › E" được gọi là phép biến hình đẳng cự của E" nếu
nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bắt kỳ Tức là:
F là phép đẳng cự © d(M, N) = d(f(M), N)), vM, Ne E* ( d(M, N) là
khoảng cách của 2 điểm M, N)
2.2 Tính chất
a Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa
A và C thành 3 điểm A', B', C' thắng hàng với B' nằm giữa A' và C'
b Phép biến hình đẳng cự biến:
- Đường thẳng thành đường thắng
- Tia thành tia
- Đoạn thắng thành đoạn thắng
Trang 8- Góc thành góc bằng nó
- Đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho
3 Định nghĩa và tinh chất của phép đối xứng qua đường thang
3.1 Định nghĩa
Cho một đường thắng A Phép biến hình biến mỗi điểm X eA thành điểm
X và biến điểm M zA thành điểm M' sao cho A là trung trực của đoạn thẳng
MM!' được gọi là phép đối xứng qua đường thắng A và được kí hiệu là Đạ
Phép đối xứng qua đường thắng còn được gọi đơn giản là phép đối xứng trục
Đường thắng A được gọi là trục đối xứng và là đường thắng bất động của
a) Phép đối xứng qua đường thắng là một phép biến hình đẳng cự nên nó có
đầy đủ tính chất của một phép biến hình đẳng cự
b) Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thắng A thì M lại là
ảnh của M' qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng qua đường thẳng với chính nó là phép đồng nhất hay phép đối xứng qua đường thắng là một phép đối hợp
Trang 9c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng A đều là điểm bất động
d) Mỗi đường thằng a vuông góc với trục đối xứng A đều biến thành chính nó
với chú ý rằng giao điểm a với A các điểm khác của a đều không phải là điểm
bắt động
Trang 10CHUONG 2: UNG DUNG CUA PHEP DOI XUNG QUA DUONG THANG TRONG VIEC GIAI CAC BAI TOAN HiNH HOC
§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải
các bài toán chứng minh 1.1 Khái niệm bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học khác như: bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán tìm quỹ tích Đó là
bài toán cần chứng minh mệnh đề A = B với A là giả thiết, B là kết luận Ta
đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận hợp logic dựa trên cơ sở của các định nghĩa, định lý
1.2 Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng
trục thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng qua đường thẳng ta nhận được kết quả về tính đồng quy, thắng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thắng bằng nhau, các góc bằng nhau,các tam giác, các đường tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dé dàng giải quyết được bài toán chứng minh
1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng qua đường thẳng
Nếu mệnh đề A = B đã được khẳng định nhờ phép đối xứng qua đường thẳng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng qua đường thắng xét mệnh đề đảo
B= A, xét các trường hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá của
mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới
1.4 Một số ví dụ cụ thể
Vi du 1.1:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn (S) đi qua 3
điểm I, B, C cắt các đường thắng AB và AC thành 2 dây cung Chứng minh
rằng hai dây cung đó có độ dài bằng nhau
Trang 11Lời giải:
Đề chứng minh hai dây cung là giao điểm của (S) với AB và AC có độ dài bằng nhau, ta thấy việc chứng minh trực tiếp độ dài của chúng bằng nhau là rất khó Vì vậy ta sẽ tìm cách chứng minh qua phép đối xứng qua đường thắng và tìm một trục đối xứng cho phù hợp
Goi J là tâm đường tròn
bàng tiếp thuộc 4#C của tam giác
ABC Ta sẽ tìm một phép đối
xứng qua đường thắng LI biến
dây cung này thành dây cung kia
Ta có: I là tâm đường tròn
ngoại tiếp AABC
= IB là phân giác của góc 48C
=> IBA=IBC (1)
Tương tự, IC là phân giác 4CB
=> ACI=ICB (2)
Gọi đường kéo dài của 2 tia AB và AC là Ax va Ay
J la tâm đường tròn bàng tiếp ø4C của AABC
= IB là phân giác cua CBx Do do JBx = JBC (3)
= IBJC nội tiếp đường tròn đường kính II
Ta có: IJ là trục đối xứng của hai đường thăng AB, AC và đường tròn (S)
Do đó các giao điểm của (S) và AB sẽ đối xứng với các giao điểm của (S)
6
Trang 12với AC thong qua truc IJ
Hay 2 dây cung đó sẽ đối xứng nhau qua l1
= Theo tính chất của phép đối xứng qua đường thăng, hai dây cung đó có độ dài bằng nhau
Ta có điều phải chứng minh
* Khai thác sâu bài toán
Gọi At là tia phân giác của x4y Khi đó, mọi đường tròn có tâm nằm trên Tia At đều cắt Ax, Ay thành 2 cung bằng nhau Vậy ta có bài toán mới sau: Bài toán: Cho góc x4y cố định Đường tròn tâm I nằm trên phân giác của xáy, cắt Ax, Ay tương ứng thành 2 dây cung Chứng minh hai dây cung đó bằng nhau
Khi đó suy ra 2 dây cung tương ứng qua phép đối xứng trục At sẽ bằng nhau
do tính chất của phép đối xứng qua đường thắng
=> Điều phải chứng minh
Vậy 2 dây cung đó sẽ bằng nhau
Trang 13đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
Trước hết ta sẽ chứng minh H; e (O)
Goi M= AH na BC,N=BH na AC,P=CH no AB Hy
Tứ giác APHN có: 4PH = ANH = 90°
= Tứ giác ABH¡C nội tiếp
Mà A,B,C e (O) nên H; e (O)
Chứng minh tương tự ta cũng có H; H; e (O)
b, Ta có: Dac: Hw dH,
Đạc : ABHC & ABH,C
= Đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn ngoại tiếp ABH;C
Mà đường tròn ngoại tiếp ABH,C chính là (O)
Vậy đường tròn ngoại tiếp ABHC bằng đường tròn (O)
Tương tự ta có : Đục : AAHC AAH;C
Dap : AAHB +> AAH;B
Do đó ta có đường tròn ngoại tiếp AAHC, AAHB bằng đường tròn ngoại tiếp
Trang 14của AABC ( chính là (O) )
Ta có điều phải chứng minh
* Khai thác sâu bài toán
- Ở phần b của bài toán ta nhận xét thấy:
Để chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của AABC và các tam giác còn lại bằng nhau một cách trực tiếp thì ta phải đi chứng minh bán kính của chúng bằng nhau Việc này rất khó thực hiện Nhưng nếu sử dụng tính chất của phép
đối xứng qua đường thắng thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn
Qua đó thấy được ưu điểm của phép đối xứng qua đường thắng trong bài toán
chứng minh
- Từ bài toán trên ta có kết quả sau :
Nếu gọi O¡, O;, O; lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABHC, AAHC, AAHB thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp AO,0,03 Tu do ta cd
đường tròn ngoại tiếp AO,O;O; bằng đường tròn (O) Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên thành bài toán sau :
Bài toán: Cho H là trực tâm của AABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi O¡, O¿,
O; lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABHC, AAHC, AAHB Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp AO,OzO; bằng đường tròn (O)
Hướng dẫn giải:
+ Ta cần chung minh: Dgc(O) = O1, Dac(O) = O2, Dag(O) = O;
Ma H « (O,), H € (On), H € (O3)
Bán kính của (O,), (O2), (O3) đều bằng bán kính của (O)
= H là tâm đường tròn ngoại tiếp AO,O;O;
Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 1.3:
Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các
cạnh BC tai A’, CA tai B' va AB tai C' Gọi I là điểm đối xứng với A' qua AO
Chứng minh rằng: IB' = A'C'
Trang 15Ta có điều phải chứng minh
* Khai thác sâu bài toán
Ta nhận thấy rằng : Nếu AC > AB thì ta có CC’ > BB’ Điều này có thê
chứng minh được bằng phép đối xứng qua đường thang
Từ đó ta có bài toán mới sau :
Bài toán: Cho AABC có đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với các cạnh
AB và AC tương ứng tại các điểm C' và B' Chứng minh rằng nếu AC > AB thì CC' > BB'
Hướng dẫn giải:
Gọi B" là điểm đối xứng với B qua
phân giác góc A Khi đó B" nằm trên
Trang 16góc Z8"C nên C'B"C la goc tu,
đối diện với góc đó là cạnh CC"
Vì vậy CC! > B"C' hay CC' > BB' Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 1.4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kí hiệu AH, AD lần lượt là
đường cao, đường phân giác của tam giác Chứng minh rằng đường thắng đối xứng với AH qua AD đi qua tâm O của đường tròn
Lời giải:
Gọi Ak là đường thắng đối xứng với AH qua AD (K e (O))
Vì AK đối xứng với AH qua AD => HAD = KAD (1)
Ma AD là phân giác BAC => BAD = CAD (2)
= AK là đường kính của đường tròn (O)
Ta có điều phải chứng minh
11
Trang 17* Khai thác sâu bài toán
Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB và AC Khi đó HA là
phân giác của góc tạo bởi giao điểm của PQ và AB, AC kẻ từ H
Ta có bài toán mới nhờ phép đối xứng qua đường thẳng :
Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn và H là chân đường cao kẻ từ A xuống
BC Gọi P,Q là các điểm đối xứng với H qua AB và AC Đường thắng PQ cắt
AB và AC tại K và E Chứng minh rằng HA là đường phân giác của KHE
Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có hai góc kề cạnh CD nhọn Chứng
minh rằng nếu số đo góc D lớn hơn số đo góc C thì ta có AC > BD
Vitia D'A nam trong BD 'D, do đó AD'D nhọn và AD 'C tù
Trong AAD'C có góc D ' tù, do đó cạnh AC lớn nhất, nghĩa là AC > AD '
Mà AD'=BD = AC > BD Ta có điều phải chứng minh
12
Trang 18* Khai thác sâu bài toán
Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng không chỉ giúp ta chứng minh trực tiếp một tính chất hình học mà còn gián tiếp giúp ta chứng minh bằng cách tạo ra các yếu tố bên ngoài, hình phụ để chứng minh bài toán
Ngoài ra, nhiều bài toán chứng minh được tạo thành từ chính phép đối
xứng trục đó Ta có bài toán sau :
Bài toán: Cho AABC có 3 góc nhọn Chứng minh rằng các điểm đối xứng
với trực tâm tam giác qua mỗi cạnh của tam giác đều nằm trên đường tròn
ngoại tiếp của tam giác đó Kết luận trên còn đúng không trong trường hợp
Trang 19§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc
giải các bài toán tính toán
2.1 Khái niệm về bài toán tính toán
Trong hình học, ta thường gặp một số bài toán tính toán tiêu biểu như:
tính độ đài đoạn thắng, tính số đo của góc, tỉ số độ dài đoạn thang, tinh chu vi
diện tích của các hình hình học Đề giải bài toán tính toán, thông thường ta sử dụng các bước sau :
1 Xác định các yếu tố tính toán, các yếu tố đã biết
2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán
3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập
2.2 Giải bài toán tính toán nhờ sử dụng phép đối xứng qua đường thắng
Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thắng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau
Từ đó dựa vào các yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thắng đề tìm ra các đại
Kẻ đường cao AH Ta gọi I= AH m OC, K= AH 14 OC
Xét phép đối xứng qua đường thắng AH:
Dani: BHC
=> Day: AIBH & ATHC
= ICH = IBH = OBC = 10°
= ICK = OCB - ICH =30° - 10° = 20°
14
Trang 20K=B=K
=> Day: AAIB r› AAIC
Do đó phép đối xứng qua đường thắng AH biến phân giác của AAIC thành
phân giác BK của AAIB
Trang 21* Khai thác sâu bài toán
Bài toán trên thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là tính độ
lớn (số đo) của một góc giữa hai tia Bài toán này vì thế có nhiều cách giải
khác nhau, đặc biệt là hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lý sin và
côsin Tuy nhiên, đối với trường hợp bài toán này từ đặc điểm AABC cân tại
A, chúng ta nghĩ đến phép đối xứng qua đường thẳng với trục đối xứng là
AH, trong đó AH là đường cao của AABC
Xét trường hợp tương tự nếu AABC cân tại B, ta sẽ có bài toán sau :
Bài toán: Giả sử P là điểm nằm trong AABC sao cho PAC = 10°, PCA =
20°, PAB = 30°, ABC = 40° Hay tinh do lon BPC
Trang 22180°-30°_
Ta có AAEB cân tạiE => BAD' =30°= ABE
=> D'AC =75° - 30°=45° (1)
Mặt khác theo giá thiết ta có:
AC=BD42 =AD42
Trong AADC ta có:
D'AC =45°, AC= A'DA2
Nên theo định lý cosin ta có:
D'C?= AC? + AD” — 2AC.AD'.cos45°
=2AD? + AD” - 22.AD” e