LỜI CÁM ƠN
Lời đầu tiên em muốn nói là em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Bùi Văn Bình, khoa Toán trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2
Trong thời gian thực hiện luận văn, mặc dù rất bận rộn trong công việc
nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn em Thầy đã cung cấp cho em rất nhiều hiểu biết và kiến thức để hoàn thành
tốt khóa luận Trong quá trình em thực hiện luận văn, thầy luôn định hướng,
góp ý và sửa chữa những chỗ sai giúp em không bị lạc lối trong biển kiến thức
Cho đến hôm nay, luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành, cũng chình là nhờ sự nhắc nhở, đôn đốc, giúp đỡ nhiệt tình của thầy
Em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ em trong 4 năm học qua Chính thầy cô đã xây dựng cho chúng em những kiến thức nền táng và những kiến thức chuyên môn đề em có thể hoàn thành luận văn này
Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những sai sót Em rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp của thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa
Một lần nữa em xin cảm ơn thầy Bửi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này
Em xin chân thành cảm on! Ngày 8 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa
luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm
Trang 3MỤC LỤC
Trang NI 2000 4dđ1 1 NOI DUNG woos ssssssssssossssssssssessssssssesssesssessssesssssssssssesssesssesssseaseesseesseeees 3 PHAN 1: MOT SO KIEN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 3 PHAN 2: VEC TO VỚI CÁC BÀI TẬP -2- -¿+cs+cxccxecse2 14 HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG -2¿©25+©5<25scxcscxecse2 14
CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN . . - 14 CHUNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN : 555 22 CHUNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 22
CHUONG III: VECTƠ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 33
DUONG THANG DI QUA DIEM CÓ ĐỊNH 2-5 5c+c<ss2 33 CHUONG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG 40
Trang 4MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán học Đây là một môn học thú vị nhưng tương đối khó đối với học sinh
Trong chương trình mơn tốn ở trung học cơ sở các em đã dược làm quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thông các
khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó
vectơ là một ví dụ Khi mở rộng đoạn thắng vô hướng sang đoạn thắng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các em trong quá trình học tập ở trường trung học phô thông
Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có
một phương pháp mới, một công cụ mới đề giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng, nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn
Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ wecfơ trong mặt phẳng với các bài toán: hai đường thẳng song song; hai đường thắng vuông góc; điểm có định của đường thẳng; bài toán nhận dạng”
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Qua các đạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy
được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ vào các bài tập trong hình học phẳng, đặc biệt là các bài tập hình học chứng minh các yếu tố song song, yếu tố vuông góc, điểm có định của đường thẳng và bài toán nhận dạng
Trang 5
Với mỗi dạng toán đều có phần cơ sở lí thuyết phương pháp giải, ví dụ
áp dụng dé học sinh có thể tự giải bài tập đề nghị Như vậy học sinh có thé coi
đây là một phương pháp giải toán có hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về
hình học
3 Đối tượng , phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài
tập hình học
Do khuôn khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ
vectơ để giải quyết một số bài tập cơ bản của hình học, đối tượng là học sinh
trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao dang, THCN
4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, phân tích tài liệu Hệ thống, khái quát các van dé
Trang 6NỘI DUNG
PHAN 1: MOT SO KIEN THUC CO BAN VE VECTO I Vecto
L1 Định nghĩa
Cho đoạn thắng AB, nếu ta quy định B
dié A là điểm đầu (điểm gốc) và _ điểm B là điểm cuối (điểm ngọn), x
thi ta bao rang doan thang AB da
được định hướng hay gọi là vectơ AB, kí hiệu là: AB
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB, .được gọi là vecfơ - không
1.2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng B Hai vectơ 4B và CD gọi là cùng
phương nếu chúng lần lượt A D
nằm trên hai đường thang
song song hoặc trùng nhau é
Hai vec tơ cùng phương 48 và CD
được gọi là cùng hướng, nếu chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí
hiệu là 48 †? CD
Hai vec tơ cùng phương AB và CD
Trang 7Chú ý:
+) Vectơ không được xem là cùng hướng voi moi vecto
+) Hai vectơ cùng hướng với một vect0 khác vectơ không thì hai vecto do cùng hướng với nhau
+) Ta chỉ có thể nói hai vec tơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã có hai vec tơ đó cùng phương
L3 Độ dài của vecto
Độ dài đoạn thắng AB là độ dài của vectơ AB, và được kí hiệu [43]
Nhu vay I45| = BA =AB
Theo đó, độ dài của vectơ — không bằng 0 L4 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:
Hai vecto AB và CD được gọi là bằng nhau, nếu chúng cùng phương cùng hướng và cùng độ dài Kí hiệu: AB=CD
Chú ý:
+) Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên tập các vectơ Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:
A,B, X, Va
+) Mọi vectơ — không đều bằng nhau và kí hiệu là 0
+) Nếu đã cho vectơ avà một O, thì có một điểm A duy nhất sao cho OA=a
I5 Góc giữa hai vecfơ
Trang 8cia géc gitta hai vecto avab Ki hiéu: (a,b)
Nhận xét:
+) Hiển nhién (a,b) € [0°; 180°)
+) (a,b) = 0° < avab cling hướng
+) (a,b) = 180° <= avàb ngược hướng
+) (a,b) = 90° khi dé ta néi rằng hai vectơ avab vuông góc với nhau, và kí hiệu là ø.L5
©- Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ avab 1a vecto — không thì ta có thé xem (a,b) có giá trị tùy ý trong doan [O°; 180°]
II Cac phép toán vectơ LI.1 Phép cộng vectơ e Dinh nghia
Cho hai vecto avab
Trang 9Khi đó vectơ 4C được gọi là tổng của hai vectơ avab Ki hiéu: AB=a+b Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ Chi y: +) Nếu at+b=0 thi vecto b được gọi là vectơ đối của vectơ a, và kí hiệu là “a Vectơ - a luôn ngược hướng với vecto a va |-a|=|q] Mỗi vectơ có một vectơ đối duy nhất
© Cac tinh chat
Với mọi vectơ a,b vac taco:
(1) Tính chất giao hoán : a+b=b+a;
(2) Tính chất kết hợp : ((a+b)+c=a+(b+e);
(3) Tính chất của vectơ — khơng : a+0=0+a=a © Cac quy tac can nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc :
Trang 10c) Quy tắc hình hộp : Nếu ABCDA,B;,C;D, là hình hộp, thì ta có : AB+AD +AA,=AC, D C l | ss > AP |B LÔ oS SL ~~ LT———4 o> Dy’ C ⁄ ⁄ ⁄ Ai Bị H2 Hiệu của hai vectơ e Dinh nghia Hiéu cua hai vecto avab, ki hiéu a-b, la tong của vectơ ø và vectơ đối của b, tức là: a—b = a+(-b)
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ © Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ
Trang 11Néu k <0 thi vecto ka ngược hướng với vectơ a
2) Độ dài vecto ka bing |t|-a
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số thực © Céc tính chất của phép nhân vectơ với số
Với hai vectơ bắt kỳ a,b và mọi số thực k, | taco : 1) k(da)=(k)a; 2) (k+l a=katla; 3) k(atb)=ka +kb; k(a-b) =ka - kb; 4) la=a;
ka= 0 khi va chi khi k= 0 hoặc a= 0 ;
Trang 12- _ Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc OXxy, cho hai
vecto a (x), yi) và B(x2, V2) Khi do :
ab= X/X2 +t yy;
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai vecto’ a(x), V1 Z¡) va B(x», V2, Zo)
Khi đó ab= xi: + Vy + Z2;
- Dang hinh chiéu : ab= ab’, trong đó b` là hình chiếu của b
trên đường thẳng chứa vectơ a HHL.2 Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ a,b,c tùy ý và một số thực k, ta có : 1) ab=ba ; 2) ab=0 & a Lb; 3) (+2)? = a{kb) = k(ab) : 4) a(ỗ+€)=4Š +aẽ ; a(b-2)=ab - ae ; H3 Định lý Trong mặt phẳng cho hai vectơ a, bvéi moi vecto ctén tai duy nhat cap sé thực m, n sao cho : c= ma + nb
VI Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1 : Chứng minh rằng :
1) 11a trung diém doan thang AB < 1⁄4 + JB =0
Trang 13
2) I là trung điểm đoạn thắng AB © A⁄4 + M8 = 2M, với M là điểm tùy ý Chứng mình 1)* Điều kiện cần: Giả sử I là trung điểm đoạn thẳng AB Khi đó: IA =IB, 47 và 78 cùng hướng Do đó suy ra AI =IB Vậy 4+ 1B=1A+ IA= H =0 +Điều kiện đủ:
Gia sit [4+ IB=0=> IA=-IB (*)
Tw (*) suy ra IA = IB va I, A, B thang hang, tức I là trung điểm của đoạn thang AB
2)I la trung diém doan thang AB © /4 + IB =0
<> MI + IA + MI + IB = 2MI, voi M la diém tiy y <> MA + MB = 2MI, voi M la diém tiy y
Bài toán 2: Chứng minh rằng:
1) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC © GA + GB + GC =0 2) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm O, ta luôn có:
OA + OB + OC =30G Chứng mình
Trang 141)Giả sử AI là trung tuyến của tam giác ABC
Điểm G là trọng tam của tam giác ABC ©> G4=—2GÏ I là trung điểm của BC 2GI = GB + ŒC
Do vậy, G là trọng tâm của AABC
© G4=-(GB + GC) © GA + GB + GŒC =0
2)Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: GA +GB+GC =0
<> GO + ÓA + GỠ + OB + GÓ +OC =0, với O là điểm bắt kỳ <> OA + OB + OC =0, với O là điểm bất kỳ
Bài tốn 3: Trong khơng gian chứng minh rằng:
1)Điểm G là trọng tâm tứ dign ABCD <> G4 + GB +GC +GD =0
Trang 15GC + GD =2GJ (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: GA + GB + ŒC + GD = 2(GIÏ + GJ)=0 *Điều kiện đủ: Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trọng tâm tứ diện ABCD Thật vậy : Do I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên với điểm G ta có: GA + GB =2GI va GC + GD =2GJ
Ma: GA+GB+GC+GD=0 = 2(GI+GJ)=0=> GI+G/=0
Suy ra G là trung điểm của đoạn thang IJ
Một cách tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn
thắng KL và MN Vậy G là trọng tâm của tứ điện ABCD 3)Do G là trọng tâm tứ diện ABCD nên:
= GA + GB + GŒC + GD =0 (*)
Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:
GỠ + O4 + GỠ + OB + GÓ + OC + ÓG + ÓD =0
Trang 16PHAN II: VECTO VOI CAC BAI TAP HiNH HỌC TRONG MAT PHANG
CHUONG I: VECTO VOI CAC BAI TOAN CHUNG
MINH HAI DUONG THANG SONG SONG
L1 Phương pháp
Gia sir vecto AB là vectơ chỉ phương của đường thang a CD là vectơ chỉ phương của đường thẳng b
Để chứng minh hai đường thắng phân biệt a và b song song với nhau ta đi chứng minh cho 48 = k.CD,k #0, ke AB =k.CD ,kz0, ke a//b <= 1M eAB;M CD 12 Ví dụ
Ví dụ I: Cho tứ giác ABCD không là hình bình hành, sđường thắng vẽ qua
đỉnh A song song với BC và cắt BD tại M; đường thắng qua đỉnh B song song
Trang 18Hay DG = MN Vậy MN // DC
mq
Ví dụ 2:_ Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác, AM cắt BC tại
D Goi I, N lần lượt là trung điểm của BM, CM DĨ cắt AB tại P, DN cắt AC tại Q Chứng minh PQ // BC Chứng mình Gọi A; là trung điểm của AM Để chứng minh PQ // BC ta sẽ chứng tỏ 8C =kPQ_ (k#0)
Trong A ABM có A;[l là đường trung bình nên AIl/AC = AjI// AP
Trang 19DA _ DỊ —— 2 DA DP @) Từ (1) và (2) ta có: DA _ DN _ DI DA DQ DP Dat: ĐA =a (zz0) DA Khi đó: DN —=a > DN=a.DO DQ DĨ _„ — bị =ø.DP DP Trừ theo về ta có: DN - DI =a.(DO - DP) <= IN =a.PO (*) Mặt khác IN là đường trung bình trong A BMC nên: — | IN =—-B 2 (**) ae Từ (*) và (**) ta suy ra 1 — — —- BC=a-P 2 Q © BC=Š.P 2 Vay BC // PQ
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của các tứ giác AMND và BMNC là các đính của hình bình hành
Trang 20Gọi R là trung điểm của BN S là trung điểm của MC P là trung điểm của AN
Trang 21=BP~ BỘ =QP = LBÄ+ 1B - LBD Q=OP= | 4 4 = RS
Vay OP=RS
Hay tu giac PQRS 1a hinh binh hanh
L3 Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành M và N lần lượt
là trung điểm của AB và CD Ta có MN = 2(AD + BC)
Chứng minh rằng AD // BC
Bài tập 2: Cho tử giác lỗi MNPQ Gọi A là giao điểm của hai đường chéo
MN và PQ Chứng minh rằng nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối
diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì MNPQ là hình thang hoặc là hình bình hành
Hướng dẫn
+Dat AM =a, AN=b
+ Biểu diễn MN, PO theo a va b
Bài tập 3: Các đường thắng p va p, cat nhau 6 O trén p cho cac diémA, B,
Cva trén p, lay các điểm A¡, B,, C, sao cho AB,//A,B, BC,//B,C Ching minh AC, // A,C
Huong dan
Từ giả thiết bài toán và định lí về các đoạn thắng tỉ lệ, ta có:
OB=k.OA; OA, = k.OB,
OC =1.0B OB =1.0C
Khử các vectơ OB,OB, ta có:
OC =1.(k.OA); OA, = k.IOC.) = k.LOC,
Trang 22Vậy A¡C /C¡A
Bài tập 4: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy tương ứng các
điểm C¡,„ A¡, Bị sao cho AC _ B4 _ CB kk e-l)
CB AC BA
Trên các cạnh A,B, B,C;,C,A, cla tam giac A,B,C, theo thir tu lay các điểm
AC, _BA, _CB,
Cs, A>, By sao cho vee CB AC BA =k (k#-1 «=Ð:
Chứng minh rằng : A,C;//AC, C2B,//CB, B2A; // BA Huong dan Lay O bat ki, dat: OA =a; OB =b; OC =c; OA, =4,; OB, =b; OC, =¢; OA4=a; OB,=c; ÓC,=c,;
Biéu dién cac vecto a, a,b, c, theo các vectơ ø, b, e và k Biểu diễn các vectơ a,,b,,e, theo các vecto a a,b, cv! Tw do:
AG =a =mAG (n=)
Tương tự với các trường hợp còn lại
Bai tap 5: Cac điểm M,N, P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình bình hành ABCD Lai co:
Trang 23Biểu điễn MN =MB + BN =(1—m)AB +m.BC (1) Tương tự có: ỌQP =(—m)DC + mAD (2) So sanh (1) va (2) ta suy ra MN = OP Kết luận tứ giác MNPQ là hình bình hành Bài tập 6: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tai I sao cho: TẢ +1B + IC + ID=0 a) Chứng minh ABCD là hình bình hành
b) Xét hình bình hành A¡B,C,D¡ Từ một điểm O dựng các vectơ:
OM =AA,, ON=BB,, OP=CC,, OO=DD,
Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
Trang 24CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI
DUONG THANG VUONG GOC TRONG MAT PHANG
TI.1 Phương pháp
Đề chứng minh hai đường thắng vuông góc với nhau ta thường dựa vào tính chất của tích vô hướng
Hai vecto a, b (khac 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a-b =0
Gọi z là vectơ chỉ phương của đường thắng a Gọi ð là vectơ chỉ phương của đường thắng b Khi đó: alb<a-b =0 a |q|-|b]-cos(a,b)=0 b= Ngoài ra ta còn sử dụng các tính chất của tích vô hướng Chu y:
Nếu a(a,,a,) va b(b,,b,) thi diéu kién
alb © a,b; + axb)= 0
II.2 Vi du minh hoa
Trang 26Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD E, F là các điểm xác định bởi
Trang 28Để chứng minh 3 đường cao trong AABC đồng quy, ta chứng minh AH 1 BC Nghia là ta chứng minh 4H - 8C =0 Thật vậy do BH L CA > BH-CA=0 CH L AB >CH - 48=0 Nên AH -BC = AH -BC + BH CA + CH - AB = AH (BH -CH) + CH ‹(HB~ HA) + BH -(CH +HA) = BH (AH + HA) - CH -( AH + HA) + CH(HB + BH) =0 = AH - BC =0 © AH L BC
Nhận xét : ưu điểm của phương pháp vectơ trong bài tập này là không phải
xét nhiều trường hợp, lời giải đơn giản và ngắn gọn Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:
Trang 30=> BM -NM =0 © MN L BM
Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi H;, H; lần
Trang 31
+ DB AAs + DB-AC + AC DE, 1— — = —ÁC- BD + }DB-AC AC 2 2 = 28D(AC +C4)=0 2 Vay HH, | MN I3 Bài tập đề nghị
Bài tập]: Cho tam giác cân ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M là trung điểm của AB, G¡ là trọng tâm của tam giác ACM Chứng
minh rằng OG, | CM
Huong dan
OG = 5 (208 + OM ) (N: trung diém AC) CM =CA+ AM
Bài tập2: Cho tư giác lồi ABCD Gợi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ Chứng minh AB 1 CD
Hướng dẫn
Ta cần chứng minh AB.CD =0 Đặt AB=a, AC=c, AD=d
Trang 32Bài tập3: Cho tứ giác ABCD Biết độ dài đoạn thắng nối trung điểm hai đường chéo bằng độ dài đoạn thắng nối trung điểm hai cạnh đối diện BC, AD Chứng minh rằng AB L CD Hướng dẫn Đặt AB=b; AC=c;AD=d Biểu diễn MN theo các vectơ b, C, d tacé: —— l/~x se = MA = S4 +6 ~ (1) Biéu dién vecto PO theo các vectơ b, C, d taco: — ]l/~ - = PO =—(d -¢-5) (2) Từ giả thiết (ay =|PO ): (1); (2) ta suy ra: l¿-e-j = l¿+5-4 =ll#-e=5 Ì | =(l+5-e = B(4~e)=0 = AB.CD =0 Từ đó kết luận (AB) L (CD)
Trang 33=2 (04 + Ø8 - 0€) 2 Tương tự ta tính OE theo OA, OB, ÓC Ta có : OE =+(0C + 04 + OD) 3 § 206+ 304 + 0B} Suy ra:
120E.CD = (OC + 04 + OD).(20C+ 30A + OB)
Do OA = OB = OC = R ( bán kính đường tròn ngoại tiếp) và OA L BC
Nén 120E.CD = 304° + OBÏ~ 40C” + 404(OB - OC)
= 3R’ +R’ - 4R° + 404.CB =0
Vay OE 1 CD
Bài tập 5: Cho hai đường thang a, b cắt nhau tại O Lay M 1a mét diém bat ky
Trang 34Mặtkhác 4B =OB,-OA
=>m.AB =m.(OB, - OA) =0 Vậy OM vuông góc voi A,B)
Bài tập 6: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A la BA- BC = AB’
Bài tập 7: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB LCD và AD L BC thì AC LBD
Bài tập 8: Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM, CN Chứng minh rằng “ Điều kiện cần va di dé BM | CN 1a AB? + AC” =5 BC?”
Bai tap 9: Cho tam giác ABC vuông tai A Trén các cạnh AB, BC, CA lần
lượt lấy M, N, E sao cho AM = BN’ = CE Chứng minh AN L ME
MB NC EA
Bài tập 10: Cho AABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm của
AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE L CD
Bài tập I1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) BỈ là điểm đối xứng của B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC tại P, Q Trên BA, BC lấy
cac diém K, L sao cho BK = CQ, BL = AP Ching minh BT LKL
Trang 35
CHUONG III: VECTƠ VÀ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
DUONG THANG DI QUA DIEM CO DINH TRONG MAT PHANG
1H.1 PHƯƠNG PHÁP
Một điểm hoàn toàn cố định khi biết ti số mà điểm đó chia đoạn cố
định cho trước
Do vậy để chứng minh đường thắng đi qua điểm cố định ta sẽ chỉ ra rằng đường thắng đó chứa một điểm chia đoạn thắng có định nào đó theo tỉ số
xác định đã biết
+) Bước I: Dự đoán yếu tố cố định
+) Bước 2: Dựa vào phương pháp vectơ đề chứng minh Ta sử dụng kết quả:
- Cho trước hai điểm A, B và hai số thực ơ, B thỏa mãn ơ + B z 0
Nếu có: MN =zMA + Ø8 MB thì đường thang MN sé cat đường thắng AB tại
điểm I thỏa mãn z1⁄4 + 18 = 0
Đặc biệt khi œ = B # 0 thì I là trung điểm của AB
- Cho trước ba điểm A, B, C và ba số thực a, PB z thỏa mãn z+/đ+7z#0 Nếu
co: MN =aMA+ BMB +yMC thì đường thắng MN sẽ đi qua điểm cô định I thỏa mãn :
alA+ 1B + yIC =0 Đặc biệt z=/=z#0 thì I là trọng tâm AABC
- Tương tự với trường hợp n điểm A; , i =ln thỏa mãn Ya, + 0thì đường
¡= thắng MN sẽ đi qua một điểm cố định I thỏa mãn :
Trang 36©Š`z,14 =Ö ml 11.2 Vi DU Vidu 1: Cho hai điểm A, B Điểm M,N trong mặt phẳng thoả mãn: MN = MA + 2MB Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi Chứng mình
Gọi I là điểm thỏa mãn : TA +21B =0 = Tổn tại duy nhất điểm 1 cố định Từ giá thiết ta nhận được
MN = MA + 2MB =(MI + IA) +2(MI + 1B)
= 3MI + (14 + 21B) =3MI
Vay MN luôn đi qua điểm có dinh I khi M thay đối
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Điểm M, N trong mặt phẳng thỏa mãn
MN = MÃ + 5MB ~ MC
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi b) Gọi P là trung điểm của CN Chứng minh rằng MP luôn đi qua một
điểm cổ định khi M thay đối
Chứng mình
a) Gọi I là điểm thỏa mãn 14 + 518 - /C = 0 = Tén tai duy nhất điểm I cố định
Trang 37= SMI + (1A + SIB - IC) = 5MI
Vay MN luôn đi qua điểm có dinh I khi M thay đổi
b) Vì P là trung điểm của CN nên:
— Jv —— 1j— —— — ——
MP = (uc + MN) = (uc + MA + SMB — MC) 2 2
= 2 (M4 + 5MB) 2
Goi J là điểm thỏa mãn:
JA + 5JB =0 — Tổn tại duy nhất điểm J cố định
Từ đó:
MP= (4 + SMB)
|—
2:6: Mỹ = 3MÙ
Vậy MP luôn đi qua điểm cố định J khi M thay đối
Ví dụ 3: Cho góc xOy và hai số dương a, b Điểm A, B là hai điểm chạy trên a b v » Ox, Oy sao cho —— + —— = l Chứng minh răng đường thăng AB luôn đi qua y OA OB g g g g q một điểm có định Chứng mình
Trang 38Dựng hình bình hành OXKY Ta có: OK =OX + OY - OX 55, 2% oF OA = 04+— OB OA Dat a=— > —=1-a ;ae[0,l] Ta có: OK =a-OA+(1-@)-OB =>KeAB Vay AB di qua diém cé dinh K
Vi du 4: Cho AABC Cac điểm I, J di động trên các cạnh AB, AC sao cho
Trang 40Vay IJ luôn đi qua G, do đó IJ luôn đi qua một điểm có định 111.3 BAI TAP DE NGHI
Bai tdp 1: Cho tam gidc ABC va diém M tay y Goi A, B, C 1an lvot 1a diém
đối xứng của M qua các trung điểm K, L, J của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh rằng ba đường thắng AA, BB, CC đồng quy tại một điểm N
b) Chứng minh rằng khi M thay di động đường thắng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Hướng dẫn
a) Ta có KI là đường trung bình của tam giác MA Bỉ KI cũng là đường trung bình của A CAB
Dođó: 48= 4B =2IK
Suy ra : AA', BB giao nhau tại trung điểm N của mỗi đường
Tuong tu: ACA C 1a hình bình hành
Suy ra: AA’, CC giao nhau tai trung diém N ctia méi dung