CHUONG 1
PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG
1.1 Phép bién hinh trong mat phang 1.1.1 Dinh nghia phép bién hinh
Một song ánh f:P-> P từ tập điểm của P lên chính nĩ được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng
Phép biến hình f: P-> P là một quy tắc dé với bất kì điểm M thuộc P ta tìm được một điểm = f M_ hồn tồn xác định Điểm f M_ được gọi là
ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm ẤM gọi là tạo ảnh của điểm f M' qua phép biến hình f nĩi trên Người ta cịn nĩi phép biến hình f biến điểm M thành điểm f M vàtacĩ f M=M
Nếu H là một hình nào đĩ của P thì ta cĩ thể xác định tập hợp
f H= fM,MeH Khiđĩ f H gọi là ảnh của hình H qua phép biến
hình f và hình H gọi là tạo ảnh của hình f HH qua phép biến hình f đĩ 1.1.2 Sự xác định phép biến hình
Muốn xác định một phép biến hình f:P—> P ta cần nêu rõ quy tắc f đĩ
bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thăng đã được xác định nào đĩ, dựng đường thắng đi qua một điểm và vuơng gĩc với một đường thắng cho trước, dựng đường trịn với tâm và bán kính đã cho vv
1.1.3 Điểm bắt động của phép biến hình
Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình f nếu f M = M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu điểm M đĩ biến thành chính nĩ qua f
Trang 2
-1-1.1.4 Tích của hai phép biến hình
Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P—-> P dé biến một điểm M bat ki
của P thành một điểm ƒ rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai g:P-> P đề biến M thành Mĩ Ta cĩ: M=fM,M=gM Khi đĩ phép biến hình h biến M thành M" goi là tích của hai phép biến hình f và g, kí hiệu h= go f Ta cĩ hM= gof M=M=gM =gfM| Chú ý
Tích go f và tích f og là hai phép biến hình khác nhau
1.1.5 Phép biến hình đảo ngược
Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm ẤM thành điểm Mƒ Khi
đĩ phép biến hình biến điểm /Mƒ thành điểm M gọi là phép biến hình đáo ngược của phép biến hình f đã cho
Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f” và tacĩ f' M =M Mỗi phép biến hình f cĩ duy nhất một phép biến hình đảo ngược f ” và ta
cĩ fof ”= fo f = e (phép đồng nhất) 1.1.6 Phép biến hình cĩ tính chất đối hợp
Cho một phép biến hình f biến điểm M thành M, sau đĩ nếu ta thực hiện
tiếp phép biến hình f đĩ đối với điểm ƒ và giả sử f M = Mr Nếu điểm M trùng với điểm M thi ta nĩi rằng phép biến hình f đĩ cĩ tính chất đối
Trang 31.2 Phép biến hình đắng cự trong mặt phẳng
1.2.1 Định nghĩa phép biến hình đẳng cự
Phép biến hình f : P-> P được gọi là phép biến hình đẳng cự nếu trong
mặt phẳng P với hai điểm M,N bất kỳ và hai ảnh của chúng là M=fM,N=fN taluơn cĩ MN=MN
Nhận xét
* Phép đồng nhất e là một phép biến hình đẳng cự
* Dao ngược của một phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng
cự, nghĩa là nếu f là một phép biến hình đẳng cự thì f'” cũng là một phép biến hình đẳng cự
1.2.2 Các tính chất của phép biến hình đẳng cự
1.2.2.1 Định lí
Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thăng hàng thành ba điểm thắng hàng
và khơng làm thay đơi thứ tự của ba điểm thăng hàng đĩ
Hệ quả I
Phép biến hình đẳng cự biến một đường thăng thành một đường thắng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thắng thành một đoạn thang bang no
Hệ quả 2
Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ, biến một gĩc thành một gĩc bằng nĩ, biến một đường trịn thành một đường trịn bằng nĩ với tâm đường trịn này thành tâm đường trịn kia
1.2.2.2 Định lí
Trang 41.3 Phép đối xứng trục 1.3.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một đường ` M
thắng đ cố định Phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M sao cho doan q
thang MM nhận đường thắng d lam
đường trung trực Phép biến hình đĩ gọi là
phép đối xứng trục d
Đường thẳng ở gọi là trục đối xứng Kí hiệu phép đối xứng trục này là Є
và ta cĩ ĐĐ | M=M Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thi ta lay M trùng với M 1.3.2 Định lí Phép đối xứng trục là một phép biến hình đẳng cự 1.3.3 Các tính chất của phép đối xứng trục 1.3.3.1 Phép đối xứng trục là một phép biến hình đắng cự nên cĩ đầy đủ các tính chất của phép biến hình đẳng cự
1.3.3.2 Nếu ƒ là ảnh của M qua phép đối xứng trục ở thì ẤM lại là ảnh của Đƒ qua phép đối xứng đĩ Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với chính nĩ là phép đồng nhất
1.3.3.3 Mọi điểm của trục đối xứng ở đều là điểm kép
1.3.3.4 Mỗi đường thắng a vuơng gĩc với trục đối xứng d đều biến thành chính nĩ với chú ý rằng ngồi giao điểm của a với đ thì các điểm khác của
a đều khơng phải là điểm kép
1.3.3.5 Phép đối xứng trục hồn tồn được xác định nếu cho biết trục đối
Trang 51.4 Phép đối xứng tâm 1.4.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng P cho một điểm O cĩ định _
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm ee
M sao cho O là trung điểm của đoạn thắng uM ° MM gọi là phép déi xing tam O
Diém O goi là tâm đối xứng Kí hiệu phép đối xứng tâm này 1a N, Néu
M trùng với tâm O ta lay M tring voi M Ta viết Đ, M=M
1.4.2 Định lí
Phép đối xứng tâm O là một phép biến hình đăng cự
1.4.3 Các tính chất của phép đối xứng tâm
1.4.3.1 Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đẳng cự nên cĩ đầy đủ
các tính chất của phép biến hình đẳng cự
1.4.3.2 Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất
1.4.3.3 Nếu là ảnh của Í qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh của Đƒ qua phép đối xứng đĩ Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với
chính nĩ là phép đồng nhất
1.4.3.4 Phép đối xứng tâm biến đường thắng qua tâm thành chính nĩ, biến một đường thắng khơng đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thắng đĩ, biến một véc tơ thành véc tơ đối của nĩ
1.4.3.5 Phép đối xứng qua tâm được hồn tồn xác định nếu cho biết tâm
Trang 61.5 Phép tinh tién 1.5.1 Dinh nghia Trong mat phang P cho véc to v, phép biến hình biến i [ / mỗi điểm M thanh diém M sao cho MM =v goi la L" M'
phép tịnh tiễn theo véc tơ v và được kí hiệu là T, Véc tơ V gọi là véc tơ tịnh tiến Ta cĩ T M=M 1.5.2 Định lí Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự Chú ý Nếu véc tơ tịnh tiến là v= 0 thì khi đĩ phép tịnh tiến trở thành phép đồng nhất Ta cĩ T =e Hệ quả
Nếu một phép biến hình biến hai điểm A, B bat kì lần lượt thành hai điểm
A, B sao cho AB= AB thì nĩ là phép tịnh tiến theo véc to v= AB= AB
1
1.5.3 Các tính chất của phép tịnh tiến
1.5.3.1 Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự nên cĩ đầy đủ các
tính chất của phép biến hình đẳng cự
1.5.3.2 Nếu phép tịnh tiến theo véc tơ v# 0 biến điểm M thành điểm /W
thì ta cũng cĩ phép tịnh tiến biến điểm ƒ thành điểm # với véc tơ tịnh tiến
v
là —v Như vậy ta cĩ: T = Tr Ta suy ra Te of = e(1a phép đồng nhất)
Trang 71.5.3.4 Tích của hai phép tịnh tiến 7 và 7s, 1a một phép tịnh tiến với véc 1 u tơ tịnh tiến bằng v+ W 1.5.3.5 Phép tịnh tiến hồn tồn được xác định nếu ta biết được véc tơ tịnh 1 tiên V của nĩ 1.6 Phép quay 1.6.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một gĩc định hướng ø sai khác k2z Một phép quay tâm với gĩc quay # là một phép biến hình biến điểm O thành chính nĩ,
và biến mỗi điểm /M thành điểm ƒ sao cho 0 M UUUU UUUU
OM=OM và OM,OM =zø
—— x
Trong định nghĩa trên ta kí hệu OM,OM' là gĩc định hướng mà tia đầu là ĨM và tia cuối là OMF Ta kí hiệu phép quay tâm O với gĩc quay # là
Œ hoaẽ Œ) O,œ Ta thường chọn # sao cho -7Sa@<z Nếu z=0 thì phép quay là phép đồng nhất Nếu ø = hoắ a =—z thi fhotlagohep độxứg tăn O 1.6.2 Định lí Phép quay là một phép biến hình đẳng cự 1.6.3 Các tính chất của phép quay 1.6.3.1 Phép quay là một phép biến hình đẳng cự nên cĩ đầy đủ các tính chất của một phép biến hình đẳng cự
1.6.3.2 Trong phép quay tâm Ĩ với gĩc quay #œ #0, chỉ cĩ tâm O là điểm
kép duy nhất và nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thắng ảnh là 4
Trang 81.6.3.3 Nếu phép quay tâm O gĩc quay @ biến điểm M thanh diém M
thì phép quay tâm O gĩc quay -œ biến điểm M thành điểm M Nghĩa là nếu f = QS thi f'= Q”
1.6.3.4 Qua phép quay tâm O gĩc quay 2 biến điểm A thành điểm A,
⁄ 2 2 UUU UUUU
biên điêm B thành điêm B thi ABAB =a nghĩa là gĩc giữa hai véc tơ tương ứng bằng # Do đĩ hai đường thắng AB và Ä cắt nhau tạo nên một gĩc bằng Z 1.6.3.5 Phép quay hồn tồn được xác định nếu biết tâm quay O và gĩc quay ở 1.7 Phép vị tự 1.7.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k0 Phép biến hình
biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho OM = kOM duoc
goi la phép vi ty tam O tisé k Kí hiệu là VZ
Trang 9Hệ quả 1
Nếu phép vị tự biến hai điểm A, tương ứng thành hai điểm 4, thì
đường thắng AB và AB song song hoặc trùng nhau và 4 = IK AB Hệ quả 2 Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nĩ và biến một gĩc thành một gĩc bằng nĩ cĩ các cạnh tương ứng cùng phương 1.7.2.2 Định lí 2 Phép vị tự biến ba điểm thắng hàng thành ba điểm thẳng hàng Hệ quả
Phép vị tự biến đường thắng a thành đường thắng ấ cùng phương với 4, biến một tia thành một tia cùng phương với tia đĩ
1.8 Phép đồng dạng 1.8.1 Định nghĩa
Phép biến hình f: P-> P gọi là phép đồng dạng nếu nĩ biến hai điểm A, B
bất kì của mặt phẳng thành hai diém A=f A va B=f B sao cho
Trang 101.8.3 Dinh li
Mỗi phép đồng dạng đều cĩ thể xem là tích của một phép vị tự và một phép biến hình đẳng cự hoặc tích của một phép biến hình đăng cự và một phép vị
tự
Hệ quả
Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường thắng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thắng thành đoạn thẳng cĩ độ dài gấp k
lần đoạn thắng ban đầu, biến một gĩc thành gĩc bằng nĩ, biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nĩ
1.8.4 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng cho AABC và AABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k
nghĩa là AB = kAB, BC = kBC, ỞẬ = kCA, khi đĩ tồn tại duy nhất một
phép đồng dạng f biến A thành 4, B thành , € thành Ơ 1.8.5 Khái niệm hai hình đồng dạng
Hai hình H và H' gọi là đồng dạng với nhau nếu cĩ một phép đồng dạng
f biến hình này thành hình kia
Trang 11
-10-CHUONG 2
UNG DỤNG PHÉP BIÊN HÌNH GIẢI BÀI TỐN TRONG TAM GIAC
2.1 Ứng dụng giải bài tốn chứng minh trong tam giác 2.1.1 Bài tốn chứng minh
Bài tốn chứng minh trong tam giác thường gặp là bài tốn chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều Ngồi ra yêu cầu chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thăng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đĩ cũng là một
dạng bài tốn chứng minh
Sử dụng các phép biến hình để giải bài tốn chứng minh trong tam giác
như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thơng qua phép biến hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất khơng bị làm thay đổi qua những phép biến hình ấy ta nhận được kết quá về tính đồng quy hay tính thẳng hàng, quan hệ lệ thuộc, song song hay vuơng gĩc từ đĩ suy ra sự bằng nhau, đồng dạng của những tam giác để đi đến kết luận
2.1.2 Ứng dụng giải bài tốn chứng minh trong tam giác Bài tốn 1 (Bài tốn chứng mình hai tam giác đồng dạng) Bài tốn 1.1
Cho hai tan giác ABC và ABC cĩ ABL AB, BC BC, CAI CA Chứng mình rằng hai tam giác đĩ đồng dạng
Lời giải
Trang 12
Goi O va O lần lượt là đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABC và
ABC Khi đĩ luơn tồn tại một phép vị tự V biến đường trịn ( thành
đường trịn Ø
Giá sử V:Ä4a A,Ba B,Ca C Ta c6 ABIAB, BCIBC,
CANCA Tu dé suy ra ABLAB BGL BC, CA 1L CA hay
QP :AABCa AABC,
AA,B.C, co ba canh song song voi ba canh AABCva cùng nội tiép trong
mot dwong tron O , do do cac dinh AABC, trùng với các dinh AABC
Chứng tỏ tồn tại một phép đồng dạng là tích một phép vị tự với một phép
quay biến A4BC thành AABC Hay hai tam giác đĩ đồng dạng (ấpcm)
Bài tốn 1.2
Cho AABC Dựng các hình chữ nhật ACIN, CBPQ về phía ngồi tam
giác sao cho CC,, BN, AP đồng quy, với CC, là đường cao AABC
Chứng mình rang AACM déng dang voi ACBP
Trang 13
-12-Loi gidi Lc R Ha Bl,1 CP tai /,, dit k=—+— 1 1B thi TP = K Xét phép đơng dạng: I, ° Z=Z I„k,-90 :Ba C,Pa B M nén Z:BPa CB 1 p Trên tia đối của tia CC, lay điểm H R sao cho CR= k AB 2 A C, B
Ta cĩ CHL AB, phép đồng dạng Z, bién diém B thanh diém C nén Z, biến tia BA thành ta CR Kết hợp với 2 ta cĩ:
um ul UL
2:Aa Hhay Z, : ABa RC Mặt khác AP=AB+ BP nén suy ra:
ub ul UN UM
Z AP = Z AB +Z BP = RC+ CB= RB suy ra APL RB
Xét ARAB c6 ACL AB, APL RB Goi H= ROO AP suy ra H 1a truc
tam ARAB Vay BNL AR ¬ a os ` £ < IC Gọi !, là chân đường vuơng gĩc hạ từ A xuơng canh CN Dat k,=—— 2 Suy ra ot =k, Xét phép đồng dạng: Z=Z 1,,K,90 :Aa C,Na A 2
nén Z, bién tia AB thanh tia CR 3
Ma BNL AR nén Z, bién tia NB thanh tia AR 4
Trang 14
-13-Từ 3 và 4 suy ra Z, bién diém =AB¬MNB thành điểm
R=CR AR Vay Z,:Na A Aa C,Ba R=>CR=k,AB 5 Từ 2 va 5 tacé k=k, ~ LC_LC_ BC_ AC_ AC ~ˆ Ta tư ^ Vậy -'—=-^ —_— =— =_—— nghĩa là hai tam giác vuơng 1B 1A BP AN CM ACM vaeCBP déng dang Bài tốn 1.3
Cho tam giác đều ABCvà Mà điểm bất kì khơng trùng với các đỉnh tam
giác Ta kí hiệu IM, là ánh của IM qua phép đối xứng trục BC, M, là ánh
của ÍM qua phép đối xứng trục CA, M 3 là ảnh của IM qua phép đỗi xứng trục AB Chứng mình rằng ABM,M, đồng dạng với ACM,M,
Lời giải
Ta cĩ :
BM, = BM_ Phep foaxéng qua trut BC BM, = BM_ Pheb độxứg qua trưb AB => BM, = BM, hay ABM,M, caa tai B Mặt khac ta lai cé M,BM, = M,BM+ MBM,
=2 CBM+ ABM =2.60°=120° Tương tự
ACM,M, can tai C va M,CM, = 120°
Do đĩ hai tam giác cân BM,M và CM,M, đồng dạng vì cĩ các gĩc ở đỉnh
bằng nhau
Trang 15
-14-Bai toan 2
Chứng mình rằng trong một tam giác: trọng tâm, trực tâm và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác thắng hàng Đường thẳng đi qua các điểm đĩ gọi la dwong thang Ole
Lời giải
Giả sử AABC nội tiếp đường trịn
O cho trước
Goi A, B,C lần lượt là trung
điểm BƠ, CA, AB;
Ơ là tâm đường trịn ngoại tiếp
AABC;
H, GO lan luot là trực tâm,
trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp
AABC
Ta sé chtmg minh O, O, H, G thang hang
1
That vay: GA= - GA Tương tu ta c6 V,2: Aa A, Ba B,Ca C G
Trang 16-15-Vait Oladrét tak AABC Nghéa lao? :Ha O
Hay H, @, Othẳg haag (2)
Tưá1) vấ2) ta suy ra H, G, O, Ơ thẳg hàg
Đường thắng đi qua các điểm đĩ gọi là đường thắng Ơle Khai thác bài tốn trên:
“Chứng mình rằng trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm các đoạn thẳng nỗi trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn Đường trịn đĩ goi la dong tron Ole.”
Loi giải
Gọi A,B,C lần lượt là
trung điểm BƠ, CA, AB
H,, H,, H, lan luot 1a giao
điểm của các đường cao AH, BH,CH với đường trịn
ngoại tiếp AABC
A, B, C, lần lượt là chân các
đường cao hạ từ các đỉnh
A, B, Ccua AABC
Trong ABHH, cĩ BA vừa là đường cao, vừa là phân giác nên A 1a trung điểm của HH Chứng minh tương tự ta cĩ B, là trung điểm H,H va C, 1a trung điểm của H.H
Mặt khác gọi AH,, BH,., CH, là đường kính của đường trịn O
BH,//CH cùg vuôg goị vớAB
CH,/¡BH_ cung vuôg gó vớAC
Trang 17
-16-Do đĩ tứ giác BHCH, ladình bình hanh Vậ 4 ladrung đie# H,H
Tương tự ta cĩ , Ở lầ lượ ladrung đie#n H,H, H.H
1
XéV?: Ha A,H,a B,H,a C,
H, a A, H, a B, H, a C
A, B, C laa |66t bieắ thagh trung fie&n HA, HB, HC
MàH., H,, H,, H,, Hy, Hy, A B,C nam trén duong tron O Do đĩ A, 8, C, A, B, C va trung điểm của HA, HB, HC nằm trên một đường 1 1 lo-v O tron Do 1a duong tron V2 O,R = O,R với 1 |R=sR Kết luận
Trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm các đoạn thắng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn
Bài tốn 3
Cho ba điểm A, B, C thắng hàng theo thứ tự đĩ Dựng các tam giác đều
ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía so với BC Goi M, N lan lượt là trung điễm AE, DC Chứng mình rằng A1BIMN là tam giác đều
Lời giải
Tacol Q°":Aa D,Ea C do đĩ 2
@:AEa DC Vi M, N lan lwot 1a N
E trung điểm của AEvà2C ta suy ra
Q#⁄ :Ma N Chứng tỏ ABMN là tam
A B c
giác đều fipem
Trang 18
-17-Bài tốn 4
Cho AABC Về phía ngồi tam giác dung ba tam giác đều
BCA,, CAB,, ABC, cĩ tâm lần lượt là O,,O,,O, Ching minh rang
AO,OO, là tam giác đầu Lời giải Ta cĩ ƯBA = ƯBA = 30° Ta xét phép quay: Q” :OQ,a K Ke AB Oa H HeBA
Vi AABC, va ABCA 1a hai tam
giác đều cĩ tâm lần lượt 1a O,, O, , BO, BO_ 1 „ nén: —#=—1= hay ta cĩ BA BA 3 BAT BAe Từ đĩ ta suy ra KH_ 1 KHI/AA và ——=—= (1) aA ° UUUUI UUU
Vì Q”:OGa KH nêtacoừ2O = KH, OO,KH =-30 (2)
Trang 19-18-Mặt khác ta lại cĩ
00,00, = O0,,EF + EF,OO,
uuu UU UY UUUU
= OO,,EF + KH,QO, =30°+30°=60° hay 0,0,0, = 60°
Vay AO9OO là tam giác đều (dpcm)
Bai toan 5
Cho hai tam giác vuơng cân OAB và OẤB cùng vuơng tai O sao cho
Onằm trên đoạn AB và nằm ngồi đoạn AB Gọi G và G lần lượt là trong tim AOAA và AOBB Chứng minh rằng AOGG vuơng cân
Lời giải
Ta xét phép quay: `
@Q”:Aa BAa B Suy _ ra
Œ*:AOAAa AOBB Nghĩa là AX
Q”:Ga G %7
Vậy AOGG vuơng cân (đpcm) “XS O
Bài tốn 6
Trên các cạnh của AABC, dựng về phía ngồi của tam giác đã cho các
Trang 20-19-PC_sn45_„ NB_ sn30°_ 1 ì —“= =k, —= =— nén taco: PA sin30° NC sn45 k ° Z nAaos BoM 2 PKI gk >B Vậy F B =B F là một phép đồng dạng cĩ tỉ số ko 1, g6c 150° + 105° + 105° = 360° va giữ nguyên B Vậy F là phép đồng nhất, nghĩa là F M =M ft ancy Q M50 Z P,k105" 2 M109 Vậy M M M Từ đĩ suy ra: ‘ M'
APMM ~ APAC, ANMM ~ANBC Mà đã cĩ APAC: ANMM gg Vì thế nên ta cĩ
APMM: ANMM Hai tam giác cĩ MM N
chung, ngược hướng nên bằng nhau (đối xứng
qua trục MM) Vay: MP=MN_ và
PMM = NĐMM = PAC=4S— PMN = 90° M
Chứng tỏ APMN vuơng cân tại M.(đpcm)
2.2 Ứng dụng giải bài tốn tính tốn trong tam giác 2.2.1 Bài tốn tính tốn
Bài tốn tính tốn trong tam giác là dạng bài tốn tính số đo các gĩc, các
cạnh, diện tích, chu vi hay thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng hình
học Việc tính tốn này dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập mỗi quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài tốn với các giá trị cần tính tốn
Trong một số bài tốn việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải nhanh gọn Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực
Trang 21
-20-hiện nhờ một số phép chuyên dịch, bảo tồn độ dài đoạn thẳng và bảo tồn
gĩc để đưa những yếu tơ đã biết và những yếu tổ cần tính xích lại gần nhau Các bước giải: 3 bước
Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính tốn
Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đĩ lựa chọn phép biến hình phù hợp
Bước 3: Tiến hành tính tốn theo các dữ kiện đã xác lập
2.2.2 Ứng dụng giải bài tốn tính tốn trong tam giác Bài tốn 1 (Bời tốn tính các cạnh, các gĩc trong tam giác) Bài tốn 1.1
Cho tam giác vuơng cân ABC B=90°ˆ va diém M nam trong tam giác
Trang 22-21-Theo cách giải bài tốn trên ta cĩ Œ tMa N,Ca A Ta chứng mình
được AAMN cĩ NA= MN, MN= MB, NA= MC va AN? = AM? + MN? do
d6 MC? = MA’ + MB’
Vậy nếu thay giả thiết MA:MB:MC=1:2:3 bằng giả thiết
MC? = MA + MB” thì bài tốn vẫn hồn tồn giải tương tự và ta cĩ bài tốn:
%Cho tam giác vuơng cân ABC B=90° và điễm IM nằm trong tam giác sao cho MC? = MA’ + MB” Tinh sé do gic AMB.”
Mặt khác ở bài tốn trên cho tam giác ABC vuơng cân tại B, nếu ta thay gia thiết nay bang AABC đều thì cách giải hồn tồn tương tự Khi đĩ xét
GQ” :Ma N, Ca Asau dé cac bước giải tương tự và ta cĩ bài tốn:
“Cho tam giác đều ABC và điểm M nam trong tam giác sao cho MC?=MA?+IMB (hoặc IMA:MB:MC=1:2:3) Tính số do gĩc AMB.”
Dap sé: AMB= 150° = 90°+ 60° Bài tốn 1.2
Cho A1ABC cĩ B=60Ø, BA= 2cm BC = 4cm Dựng ra phía ngồi tam giác một tam giác đều ACD Tính độ dài đoạn thắng BD
Lời giải
Ta dựng ra phía ngồi AAĐŒ thêm E c
một tam giác đều nữa là ABGE Xét
phép quay: D
Œ”: Aa D,Ea B dođóD= AE
Ta cou ABE = ABC + CBE = 120°
Trang 23-22-Ap dung fmh lý ham soa Cỗn trong AABE ta có AE? = BA’ + BE*®—2.BABE.cosABE = 416-224{ 1] = 28
Vai BD= AE=2V7 cm
Bài tốn 1.3
Cho AABC cân AB= AC cĩ BAC=80 Bên trong tam giác lấy diém
M sao cho MBC = 30°, MCB= 10° Tinh sé do gic MAC
Loi gidi
Xét phép quay: A
@?”:Ca Edođoừ2AE=60' Vì tia
AE nán trong gó BAC va AACE
đều nên AGE=60° Mặt khác trong 3 c
AABC cĩ ACB= 50' nên BCOE= 10 E
Vi B, E, C cing nam trên đường trịn tâm A suy ra EBC=30° Mà ta cĩ
ABMC=ABEC gcg do đĩ CE= CM= CA Ba điểm E, M, A cùng nằm
trên đường trịn tâm €Œ nên 2MAE=MCE=20° suy ra MAE=10° hay MAB=10° Vậy MAC=70'
Bài tốn] 4
Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng V7 Lay M la m6t diém trong tam gidc sao cho AMB= 120°, AM = 1 Tinh dé dai doan thang CM
Trang 24-23-XetlAABM coiMB= /7, AM=1, AMB= 120° — w
AB dưng đờh lý ham số Coẩän ta có AB = AM? + BM° - 2AM.MB.ccos120° ©7 = 1+ BM°+ BM <= BM’?+ BM-6=0 > BM = 2 BM>0 Xét G@:Ma M, Ba C nén AM=AM va 5 e MAM = 60°, MB= M'C=2
Do AMAB=AM‘AC ccc nea AM'C= AMB= 120°
Ta có MMC= AMC- MMA= 120°- 60 = 60°
Ap dung đờh lý ham số Coẩn trong AMMC ta cou
MC? = MM°+ MCŒ”- 2.MM.MC.cosMMC =1+4- 2.1 25= 3
Vậ IMC= +3
Nhận xét
Nếu cho M nằm ngồi tam giác và các giả thiết khác giữ nguyên thì ta sẽ
sử dụng phép quay @ ” và khi đĩ C, M, M thang hang, từ đĩ suy ra MC= MM + MC=1+2=3
Bài tốn 1.5
Goi P là một điểm nim trong AABC sao cho PAC = 10°, PCA= 20°, PAB = 30° va ABC = 40° Tinh sé do géc BPC
Lời giải
Vì P nằm trong tam giác nên ta cĩ
CAB= PAC+ PAB=10°+30°= 40° Vay trong AABC cĩ = B=40°>AABC
cân tại C và B= 100° A B
Trang 25
-24-Goi © là trục đối xứng của AABC Ce thi © là trung trực của AB
Gọi Q=Đ P ta cé6 CP=CQ va QCB= PCA= 20° POQ=60' Vậy
AGPQ là tam giác đều
Mặt khác theo tính chất đối xứng ta cĩ: BQŒC= APC=150' Nên
BQP= 360'- PQC- BQC= 360'- 60°— 150° = 150° 26
ACQB= APQB cg.c suy ra PQ vừa là phân giác của CBP, vừa là phân giá QP Xét phép đối xứng trục: Ng: ABQCa ABQP nên Nag N, BPQ = BCQ = PCA=20° Vay suy ra BPC= BPQ+ QPC= 20° + 60° = 80° Kết luận: BPC= 80 Nhận xét
Đây là một bài tốn thuộc loại tính tốn các đại lượng hình học, cụ thể là
tính độ lớn của một gĩc Vì thế cĩ rất nhiều cách giải khác nhau, đặc biệt là
hướng tính tốn dựa trên cách vận dụng định lí Sin và Cơsin Tuy nhiên trong
trường hợp bài tốn trên thì dựa vào đặc điểm AABC mà ta nghĩ đến sử dụng phép biến hình: Phép đối xứng trục
Bài tốn 2 (Bài tốn tính diện tích tam giác) Bài tốn 2.1
Cho AABC l=9ữ ,AB=3,AC=4, đường cao AH Goi 1,K twong
ứng là điểm tiếp xúc của đường trịn nội tiếp các tam giác ABH và ACH
với cạnh AB, AC Tính diện tích của AHIK
Trang 26
-25-Lời giải
Vì BAH= ACH nên ta cĩ hai tam giác vuơng BAH vàACH đồng dạng Từ
đĩ phép đồng dạng Z = Ä Hà) :ABAHa AACH [bo a 4)
bién diém / thanh diém K HK 4 Nghia la JHK= 90° va ——=— ghia la va 3 Ta tính được HI = = HK= 4 = nên diện tích tam giac HIK 1a _1 3146 4l146 _ 174 nà Sm”2" 2g ^ 25 125 Bài tốn 2.2
Cho AABC Qua điểm D thuộc cạnh BC ké các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành hai tam giác nhỏ cĩ diện tích 4CHỶ và
9crf Tính diện tích của AABC
Trang 27-Loi gidi Đặt S=df ABC Các tam giác EBD và Ạ F BD 4 E A = va FDC déng dạng với AABC nên es s và › 5 B D c DC =Š Vậy BD_2 DC_ 3 Mà BC BC Js’ BC “Ye BD | DC _ 2 đã cĩ ã cĩ Bot Bon 8° Is + =1 do đĩ o do VS 4S=5 hay ay S=25 cn? Nhận xét
* Nếu diện tích tam giác nhỏ la a va ĐỂ thì diện tích AABC là a+b * * Thay đổi giả thiết bài tốn và áp đụng cách giải tương tự ta cĩ bài tốn mới như sau:
“Cho AABC và một điểm O nằm trong tam giác Qua O vẽ các đường thang song song với các cạnh của tam giác, chỉa nĩ thành ba tam giác nhỏ và ba hình bình hành Tính diện tích của AABC biết diện tích ba tam giác
nhỏ là: a Acnf, 9cn, 16c
b xœf, wnf, xrf
Đáp số: a 81T b Jx+Jy+ Jz em
2.3 Ứng dụng giải bài tốn quỹ tích trong tam giác 2.3.1 Bài tốn quỹ tích
Bài tốn quỹ tích trong tam giác thường gặp là tìm quỹ tích đỉnh của tam
giác, tìm quỹ tích trọng tâm, trực tâm, chân đường cao của tam giác khi cho
các yếu tơ cĩ định nào đĩ
Sử dụng các phép biến hình, đĩ là các phép biến đổi 1-1 nên bài tốn quỹ
tích khơng phải làm theo hai phần: phần thuận và phần đảo như bài tốn quỹ
Trang 28
-27-tích sử dụng các phép biến đổi thơng thường Ngồi ra sử dụng phép biến
hình bài tốn quỹ tích sẽ cho kết quả nhanh gọn và chính xác 2.3.2 Ứng dụng giải bài tốn quỹ tích trong tam giác
Bài tốn 1 (Bài tốn tìm quỹ tích trực tâm tam giác)
Cho đường trịn O P là điểm nằm ngồi đường trịn đĩ A là tiếp điểm
của tiếp tuyến từ P Gọi d là cát tuyến bất kì qua P, cắt O tại B và C Tùn
quỹ tích trực tân A ABC
Lời giải
Goi AA là đường kính của Ò, M= HA BC Tứ giác BHCA là hình
bình hành vì BH//ĨA (cùng vuơng gĩc với AC) và CH// BÀ (cùng vuơng
gĩc với AB) Vậy M là trung điểm của BC và HA
* Khi BC di chuyển ta tìm quỹ tích điểm M
Khi BC di chuyển hay cho PA chuyển động quanh P theo hướng âm cho tới PD(D là tiếp điểm thứ hai của tiếp tuyến vẽ từ P)
Trang 29
-28-Xét AOPM ta cĩ OML POhay M nhin PO dưới một gĩc vuơng Vậy M
thuộc đường trịn đường kính PO Do PA di chuyên đến PD nên M chỉ
thuộc phần đường trịn đường kính PO nằm trong O
Vì BC là dây cung của O nén M là trung điểm BC Vậy quỹ tích M 1a
cung ÈẦ2 nằm trong O Kí hiệu là ¿
Phép vị tự V:Ma_ H nên tập hợp các điểm H là ảnh của phần đường
trịn đường kính PO nằm trong O qua phép vị tự trên
Bài tốn 2 (Bài tốn tìm qHỹ tích chân đường cao trong tam giác)
Cho AABC l=9ữ cĩ đính A cố định, dính B và C lần lượt chuyễn
động trên các đường trịn cỗ định OR, Ơ,H_ tiếp xúc ngồi với nhau
Trang 30-Ké tiép tuyén chung ngoai BC,, BC, ctia hai duong tron O va O Goi
R
I=BCBG, Khi đĩ V": Oa Ơ
R
Gọi A=V,? A tasuyra A A, / thẳng hàng và đều nằm trên đường thang nối hai tâm của hai đường trịn Vậy AA là đường kính của đường trịn Ơ
Suy ra A4 = 90° hay AŒ// AB (vì cùng vuơng gĩc với AC) R
Nghĩa là ta cĩ V“:ABa AC nén BC di qua | va AHI =90° Vay H
nam trén đường trịn đường kinh A/ cố định
Mặt khác H chỉ cĩ thể nằm trong gĩc tạo bởi hai đường thắng BC, và B.C, nên quỹ tích H là cung HH, của đường trịn đường kính A/ nằm trong gĩc BIB
Bài tốn 3 (Bài fốn tìm quỹ tích trọng tâm, trực tâm tam giác)
Cho AABChội tiếp đường trịn (OR cho trước, cĩ hai đỉnh A,B cỗ
định
a Tim quy tich trong tim G cia AABC
b Từ đĩ suy ra quỹ tích trực tâm H của A ABC
Lời giải
Trang 31
-a Goi C, la trung điểm AĐ, ta cĩ
wm {UuH 1
C,G==C,C nghia la V3:Ca G Ma 3 0
điểm Œ chuyển động trên đường trịn
O ta suy ra quỹ tích điểm G là đường trịn @,H với -R 3° UU 2uuu xa đừnh bơũOO = < ĨC, _ 1 R O 1 b Ta coW,?:Ha O (Bài tốn 2 — bài tốn chứng minh) Ta suy ra UU 1 nu uur LUUƯ
GO= —3GH hay OH= 3OG
Vậy quỹ tích điểm H được suy ra từ quỹ tích điểm @ bởi phép vị tự Vs
Nghĩa là quỹ tích các điểm H là đường trịn O,R trong đĩ Ở được xác
định bởi OO = 300, hay theo 1 suy ra OO = 206, 2
Hệ thức 2 cịn chứng tỏ rang O d6i xứng với Ĩ qua C, va qua cả đường
trịn đường kính AB
Từ đĩ ta cĩ kết luận: Quỹ tích trực tâm H của AABC là đường trịn O,R đối xứng với đường trịn Of? qua cạnh AB
Nhận xét
Nếu đề bài yêu cầu tìm quỹ tích trực tâm HÍ của tam giác mà khơng thơng qua quỹ tích trọng tam G thì ta cĩ thể sử dụng phép đối xứng tâm như sau:
Trang 32
-31-Giả sử CC là đường kính của đường
trịn Ø/H Gọi Ĩ, là trung điểm AB
nên Ớ, cố định Ta cĩ BH+ AC
AC L AC
Vay BH// AC’ Chứng minh tương tự ta cĩ AH// BƠ Hay tứ giác AHBC là hình
bình hành Khi đĩ trung điểm của AB cũng là trung điểm của HƠ Nghĩa là
No ‘Ca H
Vi C chuyén déng trén duong tron O,R nén C’ cing chuyén déng trén đường trịn đĩ Vậy quỹ tích điểm H là đường trịn O,R voi O đối xứng với O qua điểm Œ, (hoặc đối xứng qua cạnh AB)
Bài tốn 4 (Bài tốn tìm quỹ tích đỉnh của tam giác)
Cho một đường thẳng d và một điếm A cỗ định khơng thuộc d Với mỗi
điểm B nằm trên d ta dựng tam giác vuơng cân ABC B=90 Tim tap
hợp điểm C khi B thay đỗi
Lời giải
Trang 33
-32-Theo giá thiết AABC vuơng cân tại B nên BAC= BCA= 45'
Xét phép quay QŸ:Ba B, Be AC Khi đĩ AB= AB Mà AC= J2AB nén AC=J/2AB Suy ra phép vị tự ve :Ba C
Vi tap hợp B 1a mét đường thăng đ, là ảnh của đ trong phép quay QY nén tap hop diém C là ảnh của đ trong phép vị tự ye
Nghĩa là tập hop C là ảnh của d qua phép đồng dạng
Z AN2,+45' =V;?oQ®S
Nhận xét
Thay đổi một phần của giả thiết và kết luận bài tốn ta được một bài tốn mới cĩ lời giải tương tự với bài tốn đã cho
(Bài tốn tìm quỹ tích trọng tâm tam giác)
%Cho một đường thẳng d và một điểm A cỗ định khơng thuộc d Với mỗi
điểm B thuộc d ta dựng một tam giác đều ABC Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác khi B thay đổi trên d.” Ta xét phép đồng dạng c 1 + 3Ags=3]- “J8 o2” biến 3 A
diém B thành trọng tâm Œ của tam
giác đều ABC 5 8
Do đĩ đường thắng đ biến thành đường thắng đ đi qua G Vậy tập hợp trọng tâm của tam giác là một trong hai đường thẳng, ảnh của đường thẳng
đ qua phép đồng dạng nĩi trên
Trang 34
-33-2.4 Ứng dụng giải bài tốn dựng hình trong tam giác 2.4.1 Bài tốn dựng hình
Bài tốn dựng hình trong tam giác thường gặp là dựng tam giác thỏa mãn các yêu cầu bài tốn, cĩ thé 1a tam giác cân, tam giác đều hay tam giác cĩ các cạnh, các gĩc thỏa mãn yêu cầu đã cho
Bài tốn dựng một hình thơng thường gồm bốn bước là phân tích, cách
dựng, chứng minh, biện luận Trong đĩ bước phân tích cĩ vai trị đặc biệt
quan trọng
Nhờ tính chất bất biến qua phép biến hình hay các phép biến đối ta cĩ thể dựng một hình bằng cách quy về dựng một số điểm của hình đĩ Vậy ta thường tìm hai tập hợp điểm chứa đồng thời điểm cần dựng rồi lấy giao điểm
của hai tập hợp đĩ Một số tập hợp đĩ cĩ thê tìm được nhờ phép biến hình
Ngồi ra ta cĩ thể đề xuất bài tốn dựng hình mới, phát biểu bài tốn dựng hình mới dưới dạng tương đương thơng qua sử dụng phép biến hình thích hợp
2.4.2 Ứng dụng giải bài tốn dựng hình trong tam giác Bài tốn 1
Cho đường trịn (O, một đường thang d, điểm A khơng thuộc d và
khơng thuộc O Dựng tam giác vuơng cân ABC B=9ữ sao cho đính
B nam trén d va đỉnh C nằm trên đường trịn O
Lời giải
Trang 35
-34-® Phân tích
Giả sử đã dựng được AAĐC thỏa
mãn điều kiện bài tốn Thực hiện
phép quay Qe :Ba B thuộc tia
AC Vì AB= AB nén AC=V2AB Nghĩa là phép vị tự V2:Ba C Vậy phép đồng dạng Z=Z A248 =V;oQđ:Ba â v do biến đa đ đi qua C Vậy C là điểm chung của đường trịn Ø và đường thắng đ Từ đĩ suy ra cách dựng như sau: e Cách dựng * Dựng đường thẳng d 1a anh của đường thắng ở trong phép đồng dạng Z=Z AA2,45 =VjoQ° * Dựng C=dn O * Dựng điểm Ư là ảnh của C trong phép đồng dang Z = 4 Ase 46') 2 Khi đĩ AABC là tam giác cần dựng © Ching minh
Theo cach dung diém C thi C thudc d là ảnh cua d trong phép déng dang Z, do đĩ ảnh B của € trong phép đồng dạng Z phải thuộc ở và AABC
vuơng cân tại B
Trang 36
-35-¢ Bién luận
Bài tốn chỉ cĩ nghiệm khi đ và đường trịn O cĩ điểm chung Cĩ hai
phép đồng dạng biến đ thành đ là Z AN2.45' và Z AA2.-45° Bài tốn cĩ tối đa là bốn nghiệm
Nhận xét
Trong bài tốn trên điều quan trọng là ta phải tìm ra phép đồng dạng biến
điểm Ư thành điểm C Từ đĩ khai thác bài tốn:
“Cho hai đường trịn O,,R, va O,,R,, điễm A cỗ định khơng thuộc
cả hai đường trịn Hãy xác định điểm B nằm trên O,,R, va diém Cnam
trên O,R sao cho AABC vuơng cân tại B.”
Giải bài tốn trên hồn tồn tương tự, ta xét phép đồng dạng
Z AN2,45 :Ba C
Một bài tốn khác được khai thác khi ta thay đổi một phần của giả thiết và
kết luận:
* Cho hai đường trịn O,,R, va O,,R, , diễm A cỗ định khơng thuộc
cả hai đường trịn Hãy xác định điễm B nằm trên O,,R, và điểm C nằm
trên O,,R, sao cho AO,O, = ABC, AO,O, = ACB.”
Trang 37
36-Lời giải e Phân tích
Giả sử ta đã dựng được AABC thỏa
mãn điêu kiện bài tốn _ (
Theo gia thiét ta cĩ à-CZ”~? c
AQO, = ABC, AO,O,= ACB suy ra SA & ⁄27 A AAQO,: AABC Dat k= AQ = 2P Khi đĩ xét phép đồng dang Z= Alva với @ là AO, AC k
gĩc quay tâm A biến tia AO thành tia AO, Vì Z:Ba Œ, @Q a Ơ nên Ce O Ma Ce O, tasuy ra C= Ở Q@ Từ đĩ cĩ cách dựng như
sau:
e Cách dựng
1
* Dựng đường trịn làảnh của qua phép đồng dạng Z= 2Akz|
* Dựng C= ONO, va điểm B la anh cia C qua phép đồng dang
Z=ZAk-a
© Ching minh
Z=ZAk-a :Ca B Oa O = BAC=a = AOO, Ta lại cĩ
Trang 38-37-Bài tốn 2
Dựng một tam giác nội tiếp một tam giác cho trước và cĩ các cạnh song song với các cạnh của một tam giác cho trước
Lời giải
®_ Phân tích
Giả sử đã dựng được AMNP nội tiếp AABC và cĩ các cạnh song song với
các cạnh AABC cho trước
Lay Me BC, Ne ACsaocho MN // MN Dung qua M đường thắng x
song song với MP, dựng qua Đ đường thẳng y song song với NP va goi
P=xa y Phép vi tu ck St): m, N,Pa M,N, P Tw do suy ra
cach dung như sau: ® Cách dựng
* Dung Me BC, Ne AC saocho MN // MN
* Dung qua M,N các đường thang x, y tuong tmg song song với
AB, AC Gọi P= xe y, P= CP ¬ AB Đặt = Dựng AMNP là ảnh
của AMWNP qua Vệ thì AMNP là tam giác cần dựng
Trang 39
-© Chung minh
Dễ dàng chứng minh được AMNP thỏa mãn các yêu cầu bài tốn
® Điện luận
gNếu CP// AB: Bài tốn vơ nghiệm
g CPe¬ AB= P: Bài tốn cĩ một nghiệm hình Bài tốn 3 Dựng AABC biết một đính, trọng tâm và hai đường thắng đi qua hai đính cịn lại Lời giải ® Phân tích
Giá sử dựng được AABC biết đỉnh A,
trọng tâm @, hai đỉnh BvàC lầ lươf nằm trên hai đường thắng cĩ định Ð, œ Gọi ẤM là trung điểm BC ta cĩ MB= MC Vì A, G cỗ
định nên Ä⁄ là điểm cố định
Trang 40
39-Ta c6 B=CMnb, Ceb, B= N, b ta suy ra MB= MC Mat khac
wut 4 Wm
GM = sa nén G la trong tim AABC Ma C=cr 6 nén Cec
Vay AABC thỏa mãn điều kiện bài tốn
e© Biện luận
Số nghiệm của bài tốn phụ thuộc số giao điểm của hai đường thăng và c gNếu cắt c tại một điểm: Bài tốn cĩ một nghiệm hình
gNếu Ø=ec nghĩa là b//c va b, c cách đều M: Bai tốn cĩ vơ số nghiệm
hình
gNếu Øc=ø nghĩa là b//c và b, c khơng cách đều M: Bài tốn vơ
nghiệm hình Bài tốn 4
Cho ba đường thắng phân biệt a, b, c song song với nhau từng đơi một
Dựng tam giác đều ABC sao cho Ae a, Be bCe c
Lời giải
® Phân tích
Giả sử đã dựng được AABC thỏa mãn điều
kiện bài tốn Ta cĩ Œ”:Œa B Mặt khác
theo bai ra Cec => Bed=Q c Vay ta sé