Phép biến hình với các bài toán về đường tròn

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Mở đầu Lý chọn đề tài Trong ch-ơng trình môn Toán nhà tr-ờng phổ thông, phép biến hình khó ch-a đ-ợc nghiên cứu sâu nh-ng phần thiếu Các phép biến hình không cung cấp công cụ để giải toán mà tập cho học sinh làm quen với ph-ơng pháp t- suy luận mới, biết nhìn nhận việc t-ợng xung quanh vận động biến đổi Vai trò phép biến hình ngày đ-ợc thể rõ ràng sâu sắc ph-ơng diện lý thuyết lẫn tập Trong nhiều tr-ờng hợp, phép biến hình công cụ hữu hiệu để giải mội số toán cách hợp lí ngắn gọn nh- : toán chứng minh, toán quỹ tích, toán dựng hình, toán tính toán, Ngoài ra, dựa vào số toán cụ thể với phép biến hình ta khai thác để sáng tạo toán khác Đó việc làm mang lại hứng thú học tập, tìm tòi nghiên cứu Hình học học sinh Trong khuôn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu ch-a nhiều nên tập trung nghiên cứu việc sử dụng phép biến hình để giải toán có liên quan đến đ-ờng tròn Đó lí mà chọn đề tài : "Phép biến hình với toán đ-ờng tròn " Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép biến hình - Xây dựng toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải đ-ợc cách sử dụng phép biến hình Hà Thị Hòa K33B_Toán -1- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kiến thức phép biến hình - Xây dựng hệ thống toán có liên quan đến đ-ờng tròn thể tác dụng phép biến hình bốn toán : toán chứng minh, toán quỹ tích, toán dựng hình, toán tính toán Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu - Đối t-ợng nghiên cứu : Phép biến hình - Phạm vi nghiên cứu : Một số toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải đ-ợc cách sử dụng phép biến hình ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Phong phú, đa dạng hóa cách giải khác số toán có liên quan đến đ-ờng tròn - Đơn giản hóa yếu tố phức tạp lời giải số toán có liên quan đến đ-ờng tròn, giúp cho lời giải toán trở nên lôgic ngắn gọn Hà Thị Hòa K33B_Toán -2- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Ch-ơng : kiến thức 1.1 Đại c-ơng phép biến hình 1.1.1 Khái niệm phép bin hình Ta kí hiu hp tt c im ca mt phng l P Khi ó, mi hình H bt kì ca mt phng u l mt ca P v c kí hiu H P Mt song ánh f : P P t im ca P lên c gi l mt phép bin hình ca mt phng 1.1.2 Các khái niệm c liên quan Nu phép bin hình f bin im M thnh im M ta kí hiu f : M a M v ta nói M l nh ca M qua phép bin hình f, kí hiu f(M) = M Ngc li, im M c gi l to nh ca im M qua phép bin hình f nói Nu mt hình H P ta có th xác nh c hp im H = f(H) = f(M) : M P Khi ó, H c gi l nh ca hình H qua phép bin hình f v hình H c gi l to nh ca H qua phép bin hình f ó Mt phép bin hình f cho tng ng mi im M P thnh gi l phép bin hình ng nht, kí hiu Id hoc e f = Id M = f(M), M P 1.1.3 Tích ca hai phép biến hình Gi s f v g l hai phép biến hình ca P Khi ó, ánh x tích ca f v g song ánh t P vo P nên tích ó cng l mt phép biến hình ca P v ta gi ó l phép biến hình tích ca f v g Kí hiu: g o f Nói chung : g o f f og Hà Thị Hòa K33B_Toán -3- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy 1.1.4 Phép biến hình đảo ng-ợc Cho phép bin hình f : P P M M Khi ó, phép bin hình bin M thnh M gi l phép bin hình đảo ng-ợc phép biến hình f ó Kí hiệu: f -1 v f -1 : P P M M Mỗi phép bin hình f có phép biến hình đảo ng-ợc f -1 v ta có : f of -1 = f -1 of = Id 1.2 Phép bin hình đẳng cự 1.2.1 nh nghĩa Mt phép bin hình f : P P c gi l phép biến hình đẳng cự nu mt phng P vi hai đim M, N bt kì v hai nh ca chúng ln lt l M =f(M), N = f(N) ta có M N = MN > Nhận xét : T nh ngha suy : - Phép ng nht Id l phép biến hình đẳng cự - o ngc ca phép biến hình đẳng cự l phép biến hình đẳng cự 1.2.2 Tính chất Phép biến hình đẳng cự bo ton s thng hng ca im v th t ca chúng ng thng cha im ó Phép biến hình đẳng cự bin ng thng thnh ng thng, bin tia thnh tia, bin on thng thnh on thng bng Phép biến hình đẳng cự bin tam giác thnh tam giác bng nó, bin góc thnh góc bng Hà Thị Hòa K33B_Toán -4- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Tích ca hai phép biến hình đẳng cự l phép biến hình đẳng cự T ó ta có: - Tích ca n phép biến hình đẳng cự l phép biến hình đẳng cự (n 2) - Tích ca phép biến hình đẳng cự vi phép o ngc ca l phép ng nht Tích ca phép biến hình đẳng cự có tính cht kt hp Mt phép biến hình đẳng cự có ba im bt ng không thng hng l phép bin hình ng nht 1.2.3 ảnh ng tròn qua phép biến hình đẳng cự Phép biến hình đẳng cự bin ng tròn thnh ng tròn bng nó, ó tâm bin thnh tâm (O, R) f ( O , R) 1.2.4 Một số phép biến hình đẳng cự c bit 1.2.4.1 Phép tnh tiến * Định nghĩa: ur Trong mt phng P cho véc t v , phép bin hình bin mi im M thnh uuuur ur ur M cho MN = v gi l phép tnh tin theo véc t v Kí hiu : Tvr ur Véc t v c gi l véc t tnh tin * Một số tính cht: Phép tnh tin l phép biến hình đẳng cự ur r v = Tvr = Id : mi im u l im bt ng ur v r Tvr im bt ng Hà Thị Hòa K33B_Toán -5- Khóa luận tốt nghiệp r ur GVHD : Đinh Văn Thủy ur ) ng thng nhn v l véc t ch phng u Qua Tvr ( v bin thnh Tích ca hai phép tnh tin l phép tnh tin : Tvr o Tur = T( vr +ur ) 1.2.4.2 Phép đối xng tâm * Định nghĩa: Trong mt phng P cho im O c nh, phép bin hình bin mi im M thnh im M cho O l trung im ca on MM gi l phép i xng tâm O, im O gi l tâm i xng Kí hiu : O * Một số tính chất: Phép đối xng tâm l phép biến hình đẳng cự Qua phép i xng tâm ĐO O l iểm kép Tích ca hai phép i xng tâm l phép tnh tin ĐO uuuur ĐO' = T2OO Phép i xng tâm biến ng thẳng i qua tâm thnh nó, biến đ-ờng thẳng không i qua tâm thnh ng thẳng song song vi ng thẳng ó, bin véc t thnh véc t đối ca 1.2.4.3 Phép đối xng trc * Định nghĩa: Trong mt phng P cho ng thng d c nh, phép bin hình bin mi im M thnh im M cho on thng MM nhn d lm ng trung trc phép bin hình ó gi l phép i xng trc d, ng thng d gi l trc i xng Kí hiệu : Đd Hà Thị Hòa K33B_Toán -6- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy * Một số tính chất: Phép i xng trc l phép biến hình đẳng cự Mi im ca trc i xng d u l im kép, tc l: Đd(M) = M Phép i xng trc d bin mi ng thng a d thnh nó, tức là: Đd(a) = a , a d 1.2.5.4 Phép quay quanh điểm * Định nghĩa: Trong mt phẳng P cho mt iểm O c nh v mt góc định hng sai khác k2 Mt phép quay tâm O vi góc quay l mt phép biến hình bin im M thnh iểm M cho OM = OM v OM; OM = - ; thng , Kí hiu : QOk hoc Q(O, ) > Chú ý: - Khi góc quay = hoc =- phép quay QOk tr thnh phép đối xng tâm O - Khi góc quay = k2 phép quay QOk tr thnh phép ng nht Id * Một số tính chất: Phép quay l phép biến hình đẳng cự Phép quay QOk có im bt ng nht l tâm quay O Tích hai phép quay: + Cùng tâm l phép quay : QO oQO = QO Hà Thị Hòa K33B_Toán -7- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy + Khác tâm: - Vi - Vi - + 2k = - + 2k ta có : QO o QO = QI uuuur ta có : QO o QO = T2OO 1.3 Phép v t đồng dng 1.3.1 Phép vị tự * Định nghĩa: Trong mt phng P cho im O c nh v mt s không i k Phép bin hình bin mi im M ca mt phng thnh im M cho uuuuur uuuur OM = kOM c gi l phép v t tâm O, t s k Kí hiu : V(O, k) hoc VOk im O gi l tâm v t, s k gi l t s v t Nu k > VOk l phép v t thun k < VOk l phép v t nghch * Các trng hp c bit: Nu k = VOk l phép ng nht Id Nu k = -1 VOk l phép i xng tâm O * Một số tính cht: Vi k 0, phép v t VOk có nht O l im bt ng ng thng ni im bt kỳ vi nh ca qua phép v t VOk i qua im O Phép v t t s k bin ng thng thnh ng thng song song hoc trùng vi nó, bin tia thnh tia, bin on thng thnh on thng có di Hà Thị Hòa K33B_Toán -8- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy c nhân lên vi k , bin tam giác thnh tam giác ng dng vi t s ng dng l k , bin góc thnh góc bng Tích ca hai phép v t : Ta t V1 = VOk11 , V2 = VOk22 , V3 = VOk1k2 - Nếu O O V2 o V = V3 vi O O1 O2 O V2 o V1 = V3 vi O xác nh bi : - Nếu O uuuur O1O = k uuuuuur OO k1 k 2 (k1.k 1) ur Khi k1.k2 = V2 o V1 = Tvr vi v uuuuuur (1 k )O1O2 * ảnh đ-ờng tròn qua phép vị tự Phép v t VOk bin ng tròn có bán kính R thnh ng tròn có bán kính k R (I; R) VOk (I ; k R) Ngc li, vi ng tròn bt kì cho trc ta có th xác nh c phép v t bin ng tròn ny thnh ng tròn 1.3.2 Phép đồng dạng * Định ngha: Mt phép bin hình f : P P gi l phép bin hình ng dng nu bin hai im A, B bt kì ca mt phng thnh hai im A = f(A) v B = f(B) cho có A B = k.AB , ó k l s thc dng xác nh S k c gi l t s ng dng * Các trng hp c bit: Phép biến hình đẳng cự l phép ng dng vi t s k=1 Hà Thị Hòa K33B_Toán -9- Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Phép v t VOk l phép ng dng vi t s k * Một số tính chất: Tích ca phép ng dng t s k vi phép ng dng t s k l phép ng dng t s k k Mỗi phép đồng dạng có th xem l tích ca phép v t v phép biến hình đẳng cự hoc tích ca phép biến hình đẳng cự vi phép v t Phép ng dng t s k bin ng thng thnh ng thng, bin tia thnh tia, bin on thng thnh on thng có di gp k ln on thng ban u, bin góc thnh góc bng nó, bin tam giác thnh tam giác đồng dạng vi 1.4 Phép nghịch đảo 1.4.1 Định nghĩa Cho mt im O c định v s k Nếu ng vi mi im M ca mặt phẳng khác im O ta tìm c im M ng thng OM cho uuuur uuuur OM OM = k phép nghch o N(M) = M gi l phép nghch o cc O, phng tích k Kí hiu : N(O, k) 1.4.2 Các tính chất Nu M l nh ca M qua phép nghch o N(O, k) M, O, M thng hng Hà Thị Hòa K33B_Toán - 10 - Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Bài toán : Cho hai đ-ờng tròn (O) (O') mà đ-ờng tròn qua tâm đ-ờng tròn Cát tuyến qua giao điểm A hai đ-ờng tròn cắt hai đ-ờng tròn hai giao điểm thứ hai lần l-ợt M M' Tính góc hai tiếp tuyến Mt M't' (O) (O') Giải: B O3 O' O Q M A M' t' t 1ã ã ã OB = AOB =O Ta có : AMB ã B = AO ã B = OO ã B AM MBM : OBO Do OBO' tam giác MBM Do : Q60 : M a B M (O) a (O ) Mt a M t (Mt; M t ) = 60 Hà Thị Hòa K33B_Toán - 46 - Khóa luận tốt nghiệp Bài toán : GVHD : Đinh Văn Thủy P O1 I O3 Cho điểm O cố định đ-ờng thẳng d cố định Hạ OH vuông góc với ã đ-ờng thẳng d Cho OH = 1, xOy = A quay quanh O J R K Q B cắt d A M Chứng minh (OAB) O2 tiếp xúc với đ-ờng tròn cố định Tìm tâm tính bán kính đ-ờng tròn cố định Giải: O C J A' I D H A B' d B x y Xét phép nghịch đảo N = N(O; 1) Khi : N(d) = (OH) Gọi A = N(A); B = N(B) Ta có : AB = = sin A (OH); B (OH) A B = sin Gọi I, J lần l-ợt trung điểm A B OH sin cos2 IJ = A J - A I = = 4 2 Vậy A B tiếp xúc với (C) = ( J; IJ = cos cos ) Lại có : N( A B ) = (OAB) Hà Thị Hòa K33B_Toán - 47 - Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy (OAB) tiếp xúc với đ-ờng tròn (C ) = N[(C)] cố định Gọi bán kính (C ) r ta có : cos r = cos2 OJ = 2.cos sin Gọi OH (OAB) = C; D OC = OJ - JC = cos OD = OC + CD = sin2 = sin + cos = cos2 Gọi C , D ảnh C, D ta có : OC = sin2 ; OD = OJ = cos2 Gọi J tâm (C ) J trung điểm C D OC + OD = sin Vậy đ-ờng tròn cố định (C ) có tâm điểm nằm OH cách O đoạn sin có bán kính 2.cos sin Bài toán : Cho hai đ-ờng tròn (O; R) (O'; R') cắt A, B ã cho OAO = 120 Trên (O) lấy điểm M, (O') lấy điểm M' cho M M' lần l-ợt nằm hai đ-ờng tròn MM' qua B Gọi S giao tiếp tuyến M M' Xác định vị trí M M' để bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp SMM' lớn Tính bán kính Hà Thị Hòa K33B_Toán - 48 - A (C1) O H (C) Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy N B B1 Giải:N1 B S M H B K M' O O' A ã = Giả sử : AOM (0 < 180 ) Xét phép quay Q = Q-120 A Giả sử M ảnh M qua Q Khi : Q : (O) a (O ) M a M ã M = Ta có : AO ã ABM = 1ã ã ã = 180 - ABM = AOM = Lại có : ABM 2 M M hay Q : M a M Do phép quay Q biến tiếp tuyến M (O) thành tiếp tuyến M (O ) hay góc tù tạo thành SM SM 120 ã MSM = 60 Gọi r bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp Hà Thị Hòa K33B_Toán SMM - 49 - Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy áp dụng định lý hàm số Sin SMM ta có : 2r = MM ã sinMSM r= MM Vậy r lớn MM lớn Gọi H, K lần l-ợt trung điểm BM BM Khi MM = 2HK Lại có : HK Vậy rmax = OO MM 2OO Dấu "=" xảy MM // OO 2OO , đạt đ-ợc M, M lần l-ợt giao điểm (O) (O ) với đ-ờng thẳng qua B song song với OO 2.4.3 Bài tập luyện tập Bài 2.4.3.1 : Cho ABC vuông cân A có đáy BC = 2a Chứng minh có đ-ờng tròn (C) tiếp xúc với AB, AC (AB), (AC) Tính bán kính đ-ờng tròn Bài 2.4.3.2 : Cho ABC , cạnh BC di động nh-ng đ-ờng ã = thẳng cố định d Góc BAC < 90 không đổi, trực tâm H cố định Gọi khoảng cách từ H tới d 2k Chứng minh (HBC) tiếp xúc với đ-ờng tròn cố định Tính bán kính đ-ờng tròn theo k Hà Thị Hòa K33B_Toán - 50 - O'3 O3 C O4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy HƯớng dẫn giải Bài 2.1.3.1 : d C E C' E' A I A B O F' A2 D' C' C1 F D H B2 Đặt : I = d AB ; k = AI AB k số B Xét phép nghịch đảo N = N(A; k) ta có: A1 N (C ) = C N[(O)] = d N( D ) = D m N(E) = E N( E ) = E N(F) = F N( AF ) = F n Mặt khác, ta lại có : C , D , E , F nằm đ-ờng tròn tâm A không qua cực nghịch đảo A O O' M' ảnh qua phép nghịch đảo N lần l-ợt C, D, E, F nằm đ-ờng tròn không qua cực nghịch Bđảo A M Vậy C, D, E, F nằm đ-ờng tròn Hà Thị Hòa K33B_Toán - 51 - O' Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Bài 2.1.3.2 : B' D' C' x Xét phép nghịch đảo N = N(A; k), k Giả sử : N(B) = B ; N(C) = C ; N(D) = D N : (ABC) a BC (ABD) a BD (CDA) a CD (CDB) a (B C D ) Gọi D x tiếp tuyến đ-ờng tròn (B C D ) D Ta có : ã C D ) CBD = ã C D x ( ẳ Do góc B C B D góc C D (B C D ) Do tính chất bảo toàn góc hai đ-ờng phép nghịch đảo Góc đ-ờng tròn (ABC) (ABD) góc đ-ờng tròn (CDA) (CDB) Hà Thị Hòa K33B_Toán - 52 - M Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy O Bài 2.1.3.3 : A H2 O3 O2 O D' H3 H C B x H1 O1 a, Gọi H1, H2, H3 lần l-ợt điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB Xét phép đối xứng trục ĐBC : B a B Ca C H a H1 ã C = BHC ã ( Phép đối xứng trục bảo toàn độ lớn góc) BH ã Vì BHC +ã BAC = 180 ã ã BH1C + BAC = 180 Tứ giác ABH1C nội tiếp hay H1 nằm (O; R) T-ơng tự ta có H2, H3 nằm (O; R) b, Ta có : ĐBC : (HBC) a (H1BC) = (O; R) ĐCA : (HCA) a (H2CA) = (O; R) ĐAB : (HAB) a (H3AB) = (O; R) Vậy (HBC) = (HCA) = (HAB) = (O; R) Hà Thị Hòa K33B_Toán - 53 - M'' M Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy O' O Bài 2.1.3.4 : H2 O2 A O O2 O1 C H B C B' O3 C' O1 Giả sử : (S1) = (O1; R1), (S2) = (O2; R2), (S3) = (O3; R3) O1, A, O2 thẳng hàng O2, B, O3 thẳng hàng O3, C, O1 thẳng hàng - Ta có : V1 = VC - V2 = VA - V3 = VB R1 R3 R2 R1 R3 R2 : (O3 ) a (O1 ) : (O1 ) a (O2 ) : (O2 ) a (O3 ) V1 V2 V1 (O3 ) = (O3 ) Nếu đặt V = V3 V2 V1 V phép vị tự Mặt khác : V O3 = V3 V2 V1 O3 = V3 V2 O1 = V3 O2 = O3 O3 tâm vị tự Lại có : V B = V3 V2 V1 B = V3 V2 A = V3 A = C O3, B , C thẳng hàng hay B C đ-ờng kính (S3) Hà Thị Hòa K33B_Toán - 54 - N A Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Bài 2.2.3.1 : A M O C I O' M' H B D Gọi H = MO CD Do I O thuộc trung trực CD IO CD MI OO CD MO CD MI AB Chứng minh : Ta có : IO AB AB MI // OO (1) MO CD IO CD IO // MO (2) Từ (1) (2) suy tứ giác MIO'O hình bình hành uuur uuuur MI // OO uuuur mà M di động (O) I ảnh M qua TOO uuuur [(O)] đ-ờng tròn (O ; R) với R bán Quỹ tích điểm I TOO kính đ-ờng tròn (O) Bài 2.2.3.2 : a, Phần thuận : Lấy Ox điểm A, Oy điểm B cho : OA = OB = m Giả sử C tâm đ-ờng tròn (OAB) Hà Thị Hòa K33B_Toán - 55 - A M O C I O' M' H GVHD : Đinh Văn Thủy B Khóa luận tốt nghiệp D x H1 A M H C B O y M' H2 Q(A) = O Q(O) = B Xét phép quay Q = Q(C, (CA; CO)) Do OM + O M = m (OAM) = (BO M ) Tứ giác OM CM nội tiếp Q(M) = M (OM M ) qua điểm cố định O C Tâm (OM M ) nằm trung trực OC Gọi giao trung trực OC trung trực AC, BC H1 H2 Tâm (OM M ) nằm đoạn H1H2 b, Phần đảo : Lấy H đoạn H1H2 Xét giao điểm M, M đ-ờng tròn (H; HO) với Ox, Oy Do H nằm trung trục OC nên (H) qua C Mặt khác, Q(M) = N N nằm đ-ơng tròn (CMO) hay N AM =O M M OM + O M = m Tâm (OM M ) nằm đoạn H1H2 Hà Thị Hòa K33B_Toán - 56 - B H D Khóa luận tốt nghiệp x GVHD : Đinh Văn Thủy Bài 2.2.3.3 : C J B Q I y O P A B M Gọi I trung điểm PQ Tứ giác PMQC hình bình hành uur uuur CI = CM I trung điểm CM C I = V (M) Do M di chuyển đoạn AB Qũy tích điểm I đ-ờng trung bình ABC ứng với cạnh AB Gọi J tâm đ-ờng tròn (CPQ) O tâm đ-ờng tròn (ABC) Ta có : AO đ-ờng trung trực PM BO trung trực QM O tâm đ-ờng tròn (PQM) Phép vị tự VI-1 : (CPQ) a (MQP) J ảnh I qua phép vị tự VO2 Qũy tích tâm J đ-ờng tròn (CPQ) ảnh đ-ờng trung bình ABC ứng với cạnh AB qua VO2 Bài 2.3.3.1: * Cách dựng: Dựng đ-ờng thẳng d trung trực AB - Nếu d // d toán nghiệm hình - Nếu d d = I Hà Thị Hòa K33B_Toán - 57 - H A B x y Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy + Dựng P, Q giao điểm tia IA với (O; OH) O điểm O' thuộc d khác I; H hình chiếu O d I' I IA IQ I IA + Khi đó, đ-ờng tròn ảnh (O; OH) qua VIIP V (C) đ-ờng tròn cần dựng Bài 2.3.3.2: * Cách dựng: Gọi S tâm vị tự (O) (O ) - Dựng N = VSk (M), k = R R O A I - Dựng giao điểmI' thứ hai M SN (O ) O - Dựng O = OM O(C') M I' A I (C) (C) - Dựng đ-ờng tròn (O ; O M) (C') (O ; O M) đ-ờng tròn cần dựng Bài 2.4.3.1 : A J I B Hà Thị Hòa K33B_Toán H C - 58 - Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy AB = AC = a Gọi I, J, H lần l-ợt trung điểm AB, AC, BC a 2 BH = HC = a AI = AJ = Xét phép nghịch đảo N = N(A, a2) ta có : N(B) = I ; N(C) = J ; N(AB) = AB N(AC) = AC ; N[(AB)] = IH ; N[(AC)] = JH Tứ giác AIHJ hình vuông Có đ-ờng tròn (C1) tiếp xúc với cạnh hình vuông AIHJ (C)A= N[(C1)] tiếp xúc với AB, AC, (AB), (AC) Gọi r, r1 lần l-ợt bán kính (C) (C1) a Ta cóO : a2 G PA / (C1 ) = B' H B r1 = M r1.a r= = 2a PA / (C1 ) C Vậy bán kính (C) r = 2a A' Bài 2.4.3.2 : A H C' I B' d B Hà Thị Hòa K33B_Toán A' C - 59 - Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Xét phép nghịch đảo N = N(H; 4k2) Gọi A chân đ-ờng cao hạ từ A xuống BC, I trung điểm HA Ta có : N( A ) = A N(BC) = ( HA ) = (I; k) Gọi B , C lần l-ợt giao HB, HC với ( HA ) N(B) = B ; N(C) = C ã = Lại có : BAC BC sin = 2k ã BHC =2 B C = 2k.sin2 BC d (I; B C ) = k 2 ãH C = B 2 = k - k sin 2 = k cos2 d(I; B C ) = k.cos2 Vậy B C tiếp xúc với đ-ờng tròn cố định (I) = (I; k.cos2 ) Mà N[(HBC)] = B C (HBC) tiếp xúc với đ-ờng tròn cố định ( I ) = N[( I )] Gọi R bán kính ( I ) ta có : 4k k.cos2 R= HI - k cos2 Hà Thị Hòa K33B_Toán 4k cos2 = k sin 2 = 4k.cos2 sin 2 - 60 - [...]... phép nghch o O A I' I O (C') (C) I' A I (C) (C') Hà Thị Hòa K33B _Toán - 13 - I' ( Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy Ch-ơng 2 : Phép biến hình với các bài toán về đ-ờng tròn 2.1 Phép biến hình với bài toán chứng minh về đ-ờng tròn 2.1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong Toán học nói chung và trong Hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các. .. trong hầu hết các bài toán khác nh- bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán, Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B đúng, trong đó A là giả thiết, B là kết luận của bài toán Có rất nhiều cách để giải bài toán chứng minh và việc sử dụng phép biến hình để giải bài toán chứng minh cũng là một cách khá hay Khi đã thiết lập đ-ợc mối quan hệ giữa các điểm, các đ-ờng đã cho... thiết A với các điểm, các đ-ờng trong kết luận B thông qua phép biến hình hoặc tích của phép biến hình thì nhờ tính chất 1-1 của phép biến hình và tính chất không đổi trong phép biến hình đã chọn có thể khẳng định kết luận B Giải bài toán chứng minh bằng sử dụng phép biến hình th-ờng thông qua 3 b-ớc sau : - B-ớc 1 : Xác định giả thiết A, kết luận B - B-ớc 2 : Thiết lập các mối quan hệ giữa các yếu... biến hình D - B-ớc 2: Thực hiện các phép biến hình để tìm quỹ tích Phép biến B hình f : M a M với M H thì quỹ tích M là hình A H = f(H) B' M 2.2.2 Sử dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích về đ-ờng tròn C' Bài toán 1H : Cho đ-ờng tròn (O) và (O') tiếp xúc với nhau tại A, (O') nằm trong B C (O) BC O là một dây cung của (O) tiếp xúc với (O') Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn nội tiếp ABC khi dây cung... điểm thuộc hình (H) đều có tính chất A Tuy nhiên phần đảo luôn là phần khó đối với học sinh Và công cụ phép biến C hình đã giải quyết đ-ợc khó khăn đó vì tính chất song ánh của phép biến C1 hình Đây là một trong những ứng dụng quan trọng của phép biến hình vào D1 việc giải các bài toán tìm quỹ tích B1 (C) Giải bài toán quỹ tích bằng ph-ơng pháp biến hình gồm 2 b-ớc: - B-ớc 1: Chọn phép biến hình D -... tr-ớc Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn (OM M ) Bài 2.2.3.3 : Cho đoạn thẳng AB và điểm N chạy trên AB Dựng các tam giác đều PAM, QBM nằm về cùng một phía của đ-ờng thẳng AB Gọi C là giao điểm của AP và BQ Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn (PQC) 2.3 Phép biến hình với bài toán dựng hình về đ-ờng tròn 2.3.1 Bài toán dựng hình Bài toán dựng hình thông th-ờng đ-ợc giải theo 4 b-ớc : phân tích, cách dựng, chứng minh và... A và kết luận B Từ đó lựa chọn các phép biến hình phù hợp - B-ớc 3 : Thực hiện các phép biến hình đã chọn để đi đến khẳng định kết luận B 2.1.2 Sử dụng phép biến hình để giải bài toán chứng minh về đ-ờng tròn Bài toán 1 : ( Đ-ờng tròn Ơle) Hà Thị Hòa K33B _Toán - 14 - B M' M Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy A Chứng minh rằng trong một tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba O' O chân đ-ờng cao... lời xem bài toán có bao nhiêu nghiệm hình Nhiều bài toán dựng hình sau b-ớc phân tích thì các b-ớc sau là hiển nhiên Phân tích : H H11 H12 H13 H1m ( m hình hoặc m yếu tố cấu thành hình H.) Hà Thị Hòa K33B _Toán - 32 - Khóa luận tốt nghiệp H H1 H2 GVHD : Đinh Văn Thủy Hm ( Hm là hình dễ dàng nhận đ-ợc.) Nhờ tính chất bất biến qua phép biến hình ta có thể thấy đ-ợc các mối liên hệ giữa các hình Hi,... 2.3.2 Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình về đ-ờng tròn Bài toán 1 : Dựng đ-ờng tròn : 1, Đi qua hai điểm cho tr-ớc và tiếp xúc với một đ-ờng tròn cho tr-ớc 2, Đi qua hai điểm cho tr-ớc và trực giao với một đ-ờng tròn cho tr-ớc 3, Đi qua hai điểm cho tr-ớc và cắt một đ-ờng tròn cho tr-ớc theo một góc cho tr-ớc 4, Đi qua hai điểm cho tr-ớc và cắt một đ-ờng tròn cho tr-ớc tại các điểm xuyên... Việc dựng một hình bao giờ cũng quy về việc dựng một số điểm nào đó và ta th-ờng tìm hai tập hợp điểm chứa đồng thời điểm cần dựng, ta đi tìm giao của hai tập hợp đó Một số trong số các tập hợp đó có thể nhận đ-ợc nhờ sử dụng phép biến hình Ngoài ra, nhờ sử dụng phép biến hình ta có thể tìm ra những bài toán dựng hình mới chuyển đổi bài toán d-ới dạng t-ơng đ-ơng thông qua sử dụng phép biến hình thích ... 2.4 Phép biến hình với toán tính toán đ-ờng tròn 2.4.1 Bài toán tính toán Bài toán tính toán th-ờng gặp toán tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tính diện tích hình, Việc tính toán đại l-ợng hình. .. tính với yếu tố có Từ chọn phép biến hình thích hợp - B-ớc 3: Thực phép biến hình chọn tiến hành tính toán 2.4.2 Sử dụng phép biến hình để giải toán tính toán đ-ờng tròn Bài toán : Cho ba đ-ờng tròn. .. Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn (PQC) 2.3 Phép biến hình với toán dựng hình đ-ờng tròn 2.3.1 Bài toán dựng hình Bài toán dựng hình thông th-ờng đ-ợc giải theo b-ớc : phân tích, cách dựng, chứng minh