Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh LI CM N hon thnh khúa lun, em xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo Bựi Vn Bỡnh ó tn tỡnh hng dn, giỳp em sut thi gian thc hin ti Em cng xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy cụ giỏo khoa Giỏo dc Tiu hc trng HSP H Ni ó giỳp em hon thnh khúa lun ny Qua õy em cng xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó bờn ng viờn, giỳp quỏ trỡnh thc hin khúa lun ny Do ln u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch nờn mc dự ó cú nhiu c gng xong khụng trỏnh nhng thiu xút Em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ v ca cỏc bn bố sinh viờn khúa lun ny hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 20 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn Bựi Th Lan Anh Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh LI CAM OAN Sau mt thi gian nghiờn cu v thc hin, khúa lun c hon thnh di s hng dn ca thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Trong thc hin khúa lun tụi ó s dng v tham kho cỏc kt qu ca cỏc nh khoa hc vi lũng bit n v trõn trng Tụi xin cam oan khúa lun ng trũn mt phng ta l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc kt qu khúa lun ny khụng trựng lp vi bt kỡ kt qu no khỏc v cha tng c cụng b trc õy H Ni, ngy 20 thỏng 05 nm 2013 Sinh viờn Bựi Th Lan Anh Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh MC LC LI NểI U NI DUNG CHNG I: Lí THUYT CHUNG V NG TRềN Đ1 Khỏi quỏt chung v h trc ta Đ Nhng chung v ng trũn CHNG II: CC DNG TON C BN V MT S BI TP TON C BN V NNG CAO V NG TRềN TRONG MT PHNG TA I Cỏc dng bi toỏn c bn v ng trũn mt phng ta II Mt s bi c bn v nõng cao v ng trũn mt phng ta 34 KT LUN 51 TI LIU THAM KHO 52 Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh LI NểI U I Lớ chn ti Mụn toỏn l mt nhng mụn hc hng u chng trỡnh giỏo dc ph thụng Nú khụng ch l c s, tin hc tt cỏc mụn hc khỏc m nú cũn l ng dng rt quan trng thc t Mụn toỏn c chia thnh hai phõn mụn nh ú l hỡnh hc v i s Trong ú hỡnh hc l phõn mụn nh ú l hỡnh hc v i s Trong ú hỡnh hc l phõn mụn cú tớnh cht ch, tớnh logic v tru tng húa cao ng trũn l mt thut ng quen thuc c nhc n thng xuyờn hỡnh hc Cú rt nhiu cỏc dng bi toỏn phong phỳ v a dng liờn quan n ng trũn v cú nhiu cỏch gii khỏc nh phng phỏp tng hp, phng phỏp vộc tTuy nhiờn gii cỏc bi toỏn v ng trũn bng phng phỏp ta giỳp hc sinh thy c mi tng quan 1-1 gia i s v hỡnh hc T ú phỏt trin t ton din cho hc sinh ng trc mt bi toỏn khú, hỡnh thnh cho hc sinh t ỳng n v phự hp Xut phỏt t nhng lớ trờn, tụi i n quyt nh chn ti nghiờn cu: ng trũn mt phng ta lm ti khúa lun tt nghip ca mỡnh II Mc ớch nghiờn cu Qua vic tng kt lớ thuyt, cỏc dng toỏn v cỏc vớ d tham kho mu,s giỳp hc sinh hiu rừ v nm chc hn cỏc kin thc liờn quan n ng trũn mt phng ta v cú th gii tt c cỏc dng toỏn khỏc III i tng v phm vi nghiờn cu ca ti Nghiờn cu c s lớ thuyt v ng trũn mt phng ta H thng húa cỏc dng bi v ng trũn mt phng ta IV Nhim v nghiờn cu Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -1- Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh - Túm tt mt s kin thc c bn cú liờn quan n phng trỡnh ng thng m hc sinh ó hc - Thụng qua cỏc bi mt s dng toỏn c bn thy c tm quan trng ca ng thng mt phng ta vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc phng ph thụng V Cỏc phng phỏp chớnh - Phng phỏp nghiờn cu ti liu lớ lun - Phng phỏp quan sỏt - Phng phỏp iu tra - Phng phỏp tng kt kinh nghim VI Cu trỳc khúa lun Phn 1: Li núi u Phn 2: Ni dung Chng 1: Nhng kin thc c bn v ng trũn mt phng ta Chng 2: Mt s dng bi v ng trũn mt phng ta v mt s bi Phn 3: Kt lun Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -2- Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh NI DUNG CHNG I: Lí THUYT CHUNG V NG TRềN Đ1 Khỏi quỏt chung v h trc ta I H trc ta Cho hai trc xOx, yOy vuụng gúc vi ti im O Gi i, j l cỏc vộc t n v tng ng trờn cỏc trc xOx, yOy y H hai trc nh vy gi l h ta ờcac Vuụng gúc Oxy hoc n gin l h ta Oxy - Trc xOx gi l trc honh j x x i - Trc yOy gi l trc tung y - im O gi l gc ca h ta Ta ca vect i vi h ta nh ngha: Cho h ta Oxy v mt vect tựy ý v Khi ú luụn tn ti nht cp s x, y cho : v xi y j y Cp (x; y) c gi l ta ca vect v kớ hiu l v (x; y) S x c gi l honh , v (x;y) y s y c gi l tung ca vect v Cỏc tớnh cht : x x Cho h ta Oxy, nu cú hai vộct v1 x1; y1 v v2 x2 ; y2 thỡ : i : v1 v2 x1 x2 ; y1 y2 ii : v1 v2 x1 x2 ; y1 y2 y' iii : kv1 x1; y1 kx1; ky1 , k R II Ta ca im i vi h ta M'' r y M' nh ngha : Cho h ta Oxy v mt im M bt kỡ Ta ca vect OM cng c gi l ta Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -3- M (x;y) x x Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh ca im M i vi h ta ú Nh vy, nu OM (x ; y) ngha l : OM xi y j Thỡ cp (x ; y) c gi l ta ca im M, kớ hiu l M(x ; y) S x c gi l honh , s y c gi l tung ca im M Tớnh cht : Cho h ta Oxy, vi hai im M x1 ; y1 , M x2 ; y2 thỡ : M 1M x2 x1 ; y2 y1 Bỏn kớnh vect : Mi im M(x ; y) M r cú th cho rng bỏn kớnh vộct ca nú : r xi y j x; y Vộct r OM xỏc nh phộp bin i tnh tin, chuyn im t gc ta O vo iờm M Đ Nhng chung v ng trũn I Phng trỡnh chớnh tc ca ng trũn nh lý 1: Trong mt phng Oxy, ng trũn (C) cú tõm I(a,b) v bỏn kớnh R cú phng trỡnh: (C): (x a)2 + (y b)2 = R2 Vy, ta c (C): (1) (C): (x a)2 + (y b)2 = R2 Chỳ ý: Ta cú: 2 ng trũn tõm O bỏn kớnh R cú phng trỡnh x + y = R 2 ng trũn n v cú phng trỡnh x + y = II Phng trỡnh tng quỏt ca ng trũn nh lý 2: Trong mt phng Oxy, ng cong (C) cú phng trỡnh : (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0, vi a2 + b2 c > L phng trỡnh ca ng trũn tõm I(a,b) v bỏn kớnh R = III Phng trỡnh tham s ca ng trũn ng trũn (C) cú phng trỡnh chớnh tc: Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -4- (2) a2 b2 c Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh (C): (x a)2 + (y b)2 = R2 c chuyn v dng tham s: x-a y-b (C): ( ) +( ) = (C): R R , t[0; 2] x a R sin t , t[0;2] y b R cos t ' (C): (3) Phng trỡnh (3) c gi l phng trỡnh tham s dng lng giỏc ca ng trũn (C) t 2z 1-z2 Ta bit rng, nu t z = tan thỡ: sint = , ú (3) cú th v cost = 1+z 1+z2 c vit di dng: 2z x a z R (C): ,z y b (1 z ) R z2 (4) Phng trỡnh (4) c gi l phng trỡnh tham s dng i s ca ng trũn (C) IV Phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn nh lý 3: Trong mt phng Oxy, phng trỡnh tip tuyn (d) ti im M(x0;y0) ca ng trũn (C): (x a)2 + (y b)2 = R2p Cú phng trỡnh (d): (x a)(x0 a) + (y b)(y0 b) = R2 Chỳ ý: Phng trỡnh (5) c gi l phng trỡnh phõn ụi to theo quy tc: (x a)2 = (x a)(x a) thay bng (x a)(x0 a) (y b)2 = (y b)(y b) thay bng (y b)(y0 b) Nu (C) cú phng trỡnh tng quỏt: Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -5- (5) Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0, vi a2 + b2 c >0 Thỡ tip tuyn (d) cú phng trỡnh: x.x0 + y.y0 a(x + x0) b(y + y0) + c = da theo quy tc: x2 = x.x thay bng x.x0 y2 = y.y thay bng y.y0 2ax = a(x + x) thay bng a(x + x0) 2by = b(y + y) thay bng b(y + y0) Trng hp tng quỏt, ng thng (d) tip xỳc (l tip tuyn) vi ng trũn (C) cú tõm I v bỏn kớnh R v ch khi: D(I,(d)) = R V Phng tớch ca mt im i vi mt ng trũn Cho ng trũn (C) cú phng trỡnh: (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0, vi a2 + b2 c >0 Phng tớch ca im M(x0;y0) i vi ng trũn (C) c xỏc nh bi: M/(C) = x02 + y02 2ax0 2by0 + c T giỏ tr v du ca M/(C) ta xỏc nh c v trớ ca im M i vi ng (C) : Nu M/(C) Nu M/(C) Nu M/(C)< M ngoi ng trũn (C) = M trờn ng trũn (C) M ng trũn (C) VI Trc ng phng ca hai ng trũn Cho hai ng trũn khụng ng tõm (C1) v (C2) cú phng trỡnh: (C1): x2 + y2 2a1x 2b1y + c1 = 0, vi a12 + b12 c >0 (C2): x2 + y2 2a2x 2b2y + c2 = 0, vi a22 + b22 c2>0 Khi ú hp nhng im cú cựng phng tớch vi hai ng trũn (C1) v (C2) vi a1 ; b1 a2 ; b2 ng thng (trc ng phng) (d): 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y c1 + c2 = Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -6- Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh CHNG II: CC DNG TON C BN V MT S BI TP TON C BN V NNG CAO V NG TRềN TRONG MT PHNG TA I Cỏc dng bi toỏn c bn v ng trũn mt phng ta Dng 1: iu kin phng trỡnh cho trc l phng trỡnh ng trũn Phng phỏp chung: Ta thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh ban u v dng: (C): x2 + y2 2ax 2by + c = (1) Bc 2: (1) l phng trỡnh ng trũn iu kin l a2 + b2 c > o TõmI a; b Bc 3: Khi ú (C) cú thuc tớnh: 2 Bỏn kớnh R = a b c Vớ d1: Tỡm tõm v bỏn kớnh ca cỏc ng trũn sau: a x2 + y2 2x 2y = b 16x2 + 16y2 + 16x 8y 11 = c x2 + y2 4x + 6y = Gii: a Vit phng trỡnh di dng: (x 1)2 + (y 1)2 = suy tõm I(1,1) v bỏn kớnh R = b Vit li phng trỡnh di dng: 11 1 x2 + y2 + x - y = (x + )2 + (y - )2 = 16 1 Suy tõm I(- , ) v bỏn kớnh R = c Vit li phng trỡnh di dng: (x 2)2 + (y + 3)2 = 16 Suy tõm I(2,-3) v bỏn kớnh R = Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh -7- Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Khi ú: AM 27 3sin t cos t 27 3 B ; cos t sin t cos2t sin t 3 cos t C ; Bi 5: Cho ng trũn (C): x y x y v im A(3, 5) a Hóy tỡm phng trỡnh cỏc tip tuyn k t A n (C) b Gi s cỏc tip tuyn tip xỳc vi (C) ti M v N; hóy tớnh di MN Hng dn: Nhn xột rng PA/(C ) A(3, 5) ngoi (C) tn ti tip tuyn vi (C) qua A Gi s tip im l M(xo, yo), ú tip tuyn (d) x xo + y yo + (x + xo) 2(y - yo) = (1) Vỡ M(xo, yo) (C) x02 y02 x0 y0 (2) im A(3,5) (d) 3x0 y0 (3 x0 ) 2(5 y0 ) x0 y0 11 (3) Gii h phng trỡnh to bi (2) v (3) ta c: x0 y0 x0 47 y0 29 25 25 - Vi M(-1,5), thay vo (1) ta c tip tuyn ca (d1) : y-5=0 - Vi N ( 47 29 , ) thay vo (1) ta c tip tuyn (d2) :24x-7y-37=0 25 25 Vy qua A(3,5) k c hai tip tuyn (d1), (d2) ti (C) - di on MN c cho bi MN ( 47 29 14400 24 1)2 ( 5) MN 25 25 625 Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 38 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Bi 6: Cho ng trũn x y R v mt im M ( x0 , y0 ) nm ngoi ng trũn T M k hai tip tuyn MT1, MT2 vi ng trũn, ú T1, T2 l cỏc tip im a.Vit phng trỡnh ng thng T1 T2 b Gi s M chy trờn ng thng (d) c nh, khụng ct ng trũn ó cho CMR ú cỏc ng thng T1 T2 luụn i qua mt im c nh Hng dn: a Vit phng trỡnh ng thng T1 T2 Gi T1(x1, y1), T2(x2, y2) ta cú: - Tip tuyn vi ng trũn (C) ti T1 cú dng x.x1 y y1 R Tip tuyn trờn i qua im M ( x0, y0 ) ta cú x0 x1 y0 y1 R (1) - Tip tuyn vi ng trũn (C) ti T2 cú dng x.x2 y y2 R Tip tuyn trờn i qua im M ( x0, y0 ) ta cú x0 x2 y0 y2 R (2) T (1) v (2) nhn thy T1, T2 u tha phng trỡnh x.x0 y y0 R Vy phng trỡnh ng thng T1 T2 : x.x0 y y0 R b Gi s phng trỡnh (d) Ax By C vi iu kin A2 B Vỡ (d) khụng ct ng trũn (C) k (0, (d )) R C A B R C R ( A2 B ) M ( x0 , y0 ) (d ) Ax0 By0 C By0 Ax0 C Khi ú (T1 T2) cú dng Bx0 x ( Ax0 C ) y BR Gi N(x,y) l im c nh m (T1 T2) luụn i qua vi mi xo ú Phng trỡnh Bx0 x ( Ax0 C ) y BR nghim luụn ỳng vi mi xo x0 ( Bx Ay ) Cy BR nghim luụn ỳng vi mi xo Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 39 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh AR x Bx Ay C 2 Cy BR y -BR C Vy (T1 T2) luụn i qua im c nh ( AR BR , ) C Bi 7: Cho ba im: A(3,1); B(0,7); C(5,2) a CMR tam giỏc ABC vuụng v tớnh din tớch tam giỏc ABC b Gi s M l im chy trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC CMR ú trng tõm G ca tam giỏc MBC chy trờn mt ng trũn, vit phng trỡnh ng trũn ú Hng dn: a Ta cú AB(3, 6), AC (2,1) suy AB AC 3.2 6.1 AB AC Suy tam giỏc ABC vuụng ti A Din tớch tam giỏc ABC c cho bi: S ABC 1 15 AB AC 36 (vdt) 2 2 b Gi I l trung im ca BC, ta cú I ( , ) Vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A nờn I l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Gi s M l im chy trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, thỡ tam giỏc MBC vuụng ti M,MI l trung tuyn suy G MI v 1 1 G IM BC 45 50 3 6 Vy, trng tõm ca G ca tam giỏc MBC chy trờn ng trũn: 25 ( x ) ( y )2 2 18 Bi 8: Cho hai ng trũn tõm A(1,0), bỏn kớnh r1=4, v tõm B(-1,0) bỏn kớnh r2=2 tỡm hp I(x,y) ca cỏc ng trũn tip xỳc vi c hai ng trũn trờn Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 40 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Tp hp ú gn nhng ng gỡ? Hng dn: Nhn xột rng AB r1 r2 ( A), ( B) tip xỳc vi ng trũn tõm I(x,y), bỏn kớnh R tip xỳc vi hai ng trũn (A), (B), khi: I Ox IA r1 IB R r2 (*) (*) ( x 1) y ( x 1)2 y x2 y2 Vy qu tớch I thuc Ox hoc Elip cú phng trỡnh x2 y2 Bi 9: Cho h ng trũn (Ca) cú phng trỡnh: x y (a 2) x 2ay a Tỡm qu tớch tõm cỏc ng trũn (Ca) b Chng t rng a thay i, cỏc ng trũn (Ca) luụn i qua hai im c nh Tỡm cỏc im ú c Cho a = -2 v im Q(3,0), vit phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn (C2) k t Q Hng dn: a xột ng trũn (Ca): x y (a 2) x 2ay cú a a2 bỏn kớnh R ( ) a 5a 4a I 2 y a Vy, qu tớch cỏc tõm I cỏc ng trũn (Ca) l ng thng (d): 2x + y + = b Gi s M l im c nh m h ng trũn (Ca) luụn i qua x y (a 2) x 2ay 0a (2 y x)a x y x 0a Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 41 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh M (2, 1) y x I M ( , 15 ) x y 2x Vy, cỏc ng trũn (Ca) luụn i qua hai im c nh c Vi a = -2, ta cú (Ca): x y x y , tõm I(-2, 2) v bỏn kớnh R = Nhn xột rng Q(3,0) (C) gi s tip im l M(x0, y0), ú phng trỡnh tip tuyn (d) cú dng x.x0 y y0 2( x x0 ) 2( y y0 ) Vỡ M(x0, y0) (C): x02 y02 xo y0 im Q(3,0) (d) : 3xo 2(3 xo ) y0 x0 y0 (1) (2) (3) Gii h phng trỡnh (2) v (3) ta c: 13 12 40 30 13 12 40 30 y0 , ) x0 M1 ( 29 29 29 29 13 12 40 30 13 12 40 30 y0 , ) x0 M ( 29 29 29 29 - Vi M1 thay vo (1) ta c tip tuyn (d1) (45 12 5) x (18 12 5) y 135 - Vi M2 thay vo (1) ta c tip tuyn (d2) (45 12 5) x (18 12 5) y 135 Vy qua Q(3,0) k c hai tip tuyn (d1), (d2) ti (C) Bi tp10: cho ng trũn (C) x y , ng trũn (C) ct trc tung A(0,1) v B(0,-1) ng thng y = m (-1 < m < 1, m 0) ct (C) ti T v S, ng thng qua A, T ct ng thng qua B, S ti P tỡm hp cỏc im P m thay i Hng dn: ng trũn (C) nhn Oy lm trc i xng, nờn gi s S(n,m) thỡ T(-n,m) Ta cú S(n,m) (C) suy ra: n m (1) Phng trỡnh ng thng AT: quaA(0,1) ( AT ) : (m 1) x ny n quaT ( n, m) Phng trỡnh ng thng BS: quaB(0, 1) ( BS ) : (m 1) x ny n quaS (n, m) Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 42 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Ta giao im P l nghim ca phng trỡnh n x y (m 1) x ny n (m 1) x ny n m y (2) Thay (2) vo (1) ta c qu tớch P l x y Vy hp P thuc Hyperbol cú phng trỡnh x y Bi 11 : Trong h to Oxy cho ng thng ( d ) : x y v ng trũn (C ) : ( x 1) ( y 1)2 10 Lp phng trỡnh cỏc tip tuyn ca ng trũn (C ) bit tip tuyn to vi ng thng (d ) mt gúc 450 Hng dn: ng trũn cú tõm I (1;1) bỏn kớnh R 10 Gi n(a, b) l vect phỏp tuyn ca tip tuyn (a b 0) , vỡ ng thng to vi ng thng ( d ) mt gúc bng 450 nờn 2a b 2 a b a 3b b 3a Vi a 3b , phng trỡnh tip tuyn cú dng : x y c 0( ) d ( I ; ) R 4c c 10 10 c 14 Vi b 3a , phng trỡnh tip tuyn cú dng : x y c 0( ) d ( I ; ) R Vy cú 2c bn 10 c 10 c 12 tip tuyn cn tỡm l: x y 0; x y 14 ; x y 0; x y 12 Bi tp12: Trong (Oxy) cho hai im A 3; , B 3; Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 43 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh a Chng t tam giỏc OAB l tam giỏc u b Chng minh rng hp cỏc im M cho : MO MA2 MB 32 l mt ng trũn (C) Hng dn: a/ Ta cú : OA 22 4, OB 4, AB Chng t OAB l tam giỏc u b/ Gi M(x;y) thỡ ng thc gi thit cho tng ng vi biu thc : Ta cú : MO x y , MA2 x y x y 16, MB x y x y 16 MO MA2 MB 32 x y x 32 32 x y x0 4 x y Chng t l ng trũn (C) cú tõm I ;0 , R Bi tp13: Cho C : x y x y v A (0; 1) C2 : x y x y 14 a Chng t rng C1 , C2 ct ti hai im B, C b Vit phng trỡnh ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Hng dn: Ta cú C1 : I1 1; , R1 C2 : I 1;1 , R2 I1 I 13 R2 R2 ; R2 R1 C1 C2 ti hai im B,C Trc ng phng ca C1 , C2 l : 2x 3y = (BC) ng trũn C3 qua B, C, A cú phng trỡnh : x y 2mx 2ny p + Trc ng phng BC cú phng trỡnh : 2(m - 1)x + 2(n + 1)y + p =0 C3 C2 Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 44 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh m n 3 n m 2 p 5m p 14 + Do (ABC) C3 i qua A cú phng trỡnh : + 2n + p = 3m 5m 29 37 m n ,p 16 Vy phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l: C3 : x2 y2 29 37 x y 8 Bi 14: Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn (C ) : x y x y 0, (C ') : x y x cựng i qua M(1; 0) Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn (C ), (C ') ln lt ti A, B cho MA= 2MB Hng dn: Cỏch 1: x at y bt - Gi d l ng thng qua M cú vộc t ch phng u a; b d : - ng trũn C1 : I1 1;1 , R1 C2 : I 2;0 , R2 , suy : C1 : x y 2 1, C2 : x y - Nu d ct C1 ti A : t M 2ab 2b a b t 2bt A ; 2b 2 2 t a b a b a b - Nu d ct C2 ti B : t M 6a 6ab a b t 6at ; 6a B t a b2 a b a b 2 Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 45 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh - Theo gi thit : MA=2MB MA2 4MB * 2 6a 2 6ab 2ab 2b - Ta cú : 2 2 2 2 a b a b a b a b b 6a d : x y 4b2 36a b 36a 2 2 a b a b b 6a d : x y Cỏch 2: - S dng phộp v t tõm I t s v t k= x y 16 M (6; 5) x 13 y 29 B (8; 4) - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y mx ny p 52 4m 6n p Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 80 8m 4n p 50 7m n p Suy pt đường tròn: x y x y 72 hay ( x 2) ( y 3) 85 Bi 15: Trong (Oxy) cho C : x y v im M ; Tỡm trờn 5 2 (C) im N cho MN cú di ln nht ? Hng dn: x sin t N C N sin t ;3 cost y cost (C) vit di dng tham s : 12 16 Khi ú : MN sin t cost sin t cos 2t sin t cost+4 5 12 16 16 12 sin t cost+5 sin t cost * Vỡ : 5 20 20 cos 12 16 ;sin = thỡ (*) tr thnh : 20 20 - 46 - 4sin t Du ng thc xy : sin t t Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh 12 16 20 20 k Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh 3 cos = x sin t 5 Do vy : sin t sin 4 19 19 sin y cost=3+ N ; 5 5 Tng t : cost=cos Bi 16: Trong mt phng Oxy, cho im A 1;3 nm ngoi (C): x2 y2 x 2y Vit phng trỡnh ng thng d qua A ct (C) ti hai im B v C cho AB=BC Hng dn: Theo yờu cu bi toỏn A, B, C thng hng v AB=BC m 2a Gi B(a; b), C(m; n) n 2b a a b a2 b2 6a 2b b Do B, C nm trờn (C) nờn 2 hoc m n 6m 2n m m n n 13 Vy cú hai ng thng tha yờu cu bi toỏn l x+y-4=0 v 7x+y-10=0 Bi 17: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn ( C ) cú phng trỡnh x y x y v ng thng ( ) cú phng trỡnh : x y Chng minh rng ( ) luụn ct ( C ) ti hai im phõn bit A, B Tỡm to im M trờn ng trũn ( C ) cho din tớch tam giỏc ABM ln nht Hng dn: ng trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = 13 Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 47 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh Khong cỏch t I n ng thng ( ) l d ( I , ) ct (C) ti hai im A, B phõn bit S ABM 13 < R ; Vy ng thng ( ) Gi M l im nm trờn (C), ta cú AB.d ( M , ) Trong ú AB khụng i nờn S ABM ln nht d ( M , ) ln nht Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi ( ).PT ng thng d l 3x + 2y - = Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C) To P, Q l nghim ca h phng trỡnh: x y 2x y x 1, y ; P(1; -1); Q(-3; 5) ; Ta cú d ( P , ) 13 x 3, y 3x y d (Q , ) 22 13 Ta thy d ( M , ) ln nht v ch M trựng vi Q Vy ta im M (-3; 5) Bi 18: Trong mt phng (Oxy), cho ng trũn (C ): 2x 2y 7x v hai im A(-2; 0), B(4; 3) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca (C ) ti cỏc giao im ca (C ) vi ng thng AB Hng dn: 7 65 + ng trũn (C ) : 2x 2y 7x x y x x y 16 2 2 65 (C ) cú tõm I ;0 v bỏn kớnh R 4 + ng thng AB vi A(-2; 0) v B(4; 3) cú phng trỡnh x2 y x2 , hay : y + Giao im ca (C ) vi ng thng AB cú ta l nghim h phng trỡnh: Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 48 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh x2 2x 2y 7x 5x(x 2) 2x 7x x 0; y x2 x2 y= x2 x 2; y y = y = Vy cú hai giao im l M(0; 1) v N(2; 2) + Cỏc tip tuyn ca (C ) ti M v N ln lt nhn cỏc vect IM ;1 v IN ; lm cỏc vect phỏp tuyn, ú cỏc tip tuyn ú cú phng trỡnh ln lt l : (x 0) 1(y 1) , hay : 7x 4y (x 2) 2(y 2) , hay : x 8y 18 Bi tõp19: Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C) tõm I(-1; 1), bỏn kớnh R=1, M l mt im trờn ( d ) : x y Hai tip tuyn qua M to vi (d) mt gúc 450 tip xỳc vi (C) ti A, B Vit phng trỡnh ng thng AB Hng dn: D thy I (d ) Hai tip tuyn hp vi (d) mt gúc 450 suy tam giỏc MAB vuụng cõn v tam giỏc IAM cng vuụng cõn Suy ra: IM a0 M ( d ) M ( a; a+2), IM (a 1; a 1) , IM a a Suy cú im tha món: M1(0; 2) v M2 (-2; 0) + ng trũn tõm M1 bỏn kinh R1=1 l (C1): x y y Khi ú AB i qua giao im ca (C ) v (C1) nờn AB: x y y x y x y x y + ng trũn tõm M2 bỏn kinh R2=1 l (C2): x y x Khi ú AB i qua giao im ca (C ) v (C2) nờn Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 49 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh AB: x y x x y x y x y Vy cú hai ng thng tha món: x y v x y Bi 20: Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn ( C ) cú phng trỡnh x y x y v ng thng ( ) cú phng trỡnh : x y Chng minh rng ( ) luụn ct ( C ) ti hai im phõn bit A, B Tỡm to im M trờn ng trũn ( C ) cho din tớch tam giỏc ABM ln nht Hng dn: ng trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = 13 Khong cỏch t I n ng thng ( ) l d ( I , ) 13 < R ;Vy ng thng ( ) ct (C) ti hai im A, B phõn bit.Gi M l im nm trờn (C), ta cú S ABM AB.d ( M , ) Trong ú AB khụng i nờn S ABM ln nht d ( M , ) ln nht.Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi ( ).Phng trỡnh ng thng (d) l: 3x + 2y - = Gi P, Q l giao im ca ng thng(d) vi ng trũn (C) To P, Q l nghim ca h phng trỡnh: x y 2x y x 1, y P(1; -1); Q(-3; 5) x 3, y 3x y Ta cú d ( P , ) 13 ; d (Q , ) 22 13 Ta thy d ( M , ) ln nht v ch M trựng vi Q Vy ta im M (-3; 5) hay l ng thng i qua M v vuụng gúc vi AM Vy phng trỡnh ng thng ( ): x + y - = Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 50 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh KT LUN Khúa lun ó c gng hon thin c nhim v t ra: - Túm tt c mt s kin thc c bn cú liờn quan n phng trỡnh ng trũn m hc sinh ó hc - Thụng qua cỏc bi mt s dng toỏn c bn thy c tm quan trng ca vic gii cỏc bi toỏn liờn quan ộn ng trũn mt phng ta ph thụng - a h thng cỏc bi c bn v nõng cao liờn quan n ng trũn mt phng ta t ú cú th gii c nhiu dng bi khỏc - Do ln u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch nờn mc dự ó cú nhiu c gng nhng khụng trỏnh nhng sai sút Em rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ khúa lun ca em c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 51 - Giỏo Viờn Hng Dn:Thy giỏo Bựi Vn Bỡnh TI LIU THAM KHO Vn Nh Cng ( Ch biờn), Phm V Khuờ, Trn Hu Nam, Bi hỡnh hc nõng cao 10, NXB Giỏo dc Trn Vn Ho ( Tng biờn ), Nguyn Mng Hy ( Ch biờn ), Nguyn Vn onh, Trn c Huyờn, Sỏch giỏo viờn hỡnh hc 10, NXB Giỏo dc Nguyn Mng Hy ( Ch biờn ), Nguyn Vn onh, Trn c Huyn, Bi hỡnh hc c bn 10, NXB Giỏo dc Trn Phng, Lờ Hng c, Tuyn cỏc chuyờn luyn thi i hc mụn toỏn Hỡnh gii tớch, NXB H Ni on Qunh ( Ch biờn ), Vn Nh Cng ( Ch biờn ), Phm V Khuờ, Bựi Vn Ngh, Hỡnh hc nõng cao 10, NXB Giỏo dc Trang web: http://tailieu.com.vn Tuyn cỏc thi i hc Sinh Viờn Thc Hin: Bựi Th Lan Anh - 52 - [...]... đường tròn (ABC) là: x 2  y 2  x  3 y  10  0 Dạng 9: Đường tròn nội tiếp – đường tròn ngoại tiếp Phương pháp chung: - Đường tròn ngoại tiếp: Ta có thể thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: + Viết phương trình của hai đường trung trực của hai cạnh + Giao điểm của chúng lah tâm của đường tròn + Khoảng cách từ giao điểm này tới các đỉnh là bán kính Cách 2: + Dùng phương trình giả định của đường tròn: ... (x – 2)2 + (y – 3)2 = 5 b Đường tròn (C) có đường kính AB, suy ra:  Tâm I là trung điểm AB nên I(4;3)  Bán kính R = AB 1 = (7-1)2 + (5-1)2 = 13 2 2 Từ đó, suy ra phương trình của đường tròn (C) có dạng: (x - 4)2 + (y – 3)2 = 13 Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng:5x – 2y + 21 = 0 và tiếp xúc đồng thời với hai trục tọa độ Giải: Gọi (S) là đường tròn cần tìm có phương trình:...  0 2 Trong trường hợp đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ta có khái niệm chùm đường tròn dạng 1: “Phương trình đường tròn đi qua giao điểm của (d): Ax + By + C = 0 và (C): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh - 14 - Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình Có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c + m(Ax + By + C) = 0.” Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) và đường tròn. .. tròn: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 + Thay tọa độ của ba đỉnh, ta thu được ba phương trình ba ẩn + Giải hệ phương trình tìm được các ẩn - Đường tròn nội tiếp: + Viết phương trình của hai đường phân giác trong + Giao của hai đường phân giác trong là tâm của đường tròn ngoại tiếp + Khoảng cách từ giao điểm này tới các cạnh là bán kính Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường thẳng (AB): 4x + 3y – 1 = 0, (AC)... tập hợp các điểm trong hình tròn (C) có tâm I 2 (-1;0), bán kính R 2 = m m Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 ) :  II = R + R  II 2 m  m = Vậy với m = 1 2 1 thỏa mãn điều kiện của đầu bài 2 Dạng 6: Tiếp tuyến của đường tròn Chia thành hai bài toán cơ bản : - Tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm - Tiếp tuyến chung của hai đường tròn Bài toán 1 : Tiếp tuyến đường tròn đi qua một... có cùng phương tích với ba đường tròn có tâm không thẳng hàng Phương pháp giải: - Viết phương trình của hai trục đẳng phương của hai cặp đường trong ba đường tròn đã cho - Tìm giao của hai trục đẳng phương từ đó suy ra tâm đẳng phương Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn qua A(1; -2) và hai giao điểm của (  ): x7y+10=0 và (C): x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 Giải: Đường tròn là (ABC) có phương trình:... dụ 1: Cho điểm M(6,2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 a Chứng tỏ rằng điểm M nằm ngoài (C) b Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và bán kính R = 5 a ta có: M/(C) = (6 – 1)2 + (2 – 2)2 – 5 = 20 > 0  M nằm ngoài đường tròn b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách... dạng phương trình thích hợp 2 Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để Xác định phương trình đường tròn Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh - 10 - Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình Ví dụ1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau: a Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5) b Đường kính AB với A(1;a) và B(7;5) Giải: a Đường tròn (C) có: Tâm I là trung... Vậy có hai đường tròn cần tim là: x2 + y2 + 14x + 14y + 49 = 0 x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0 Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm và đường tròn Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là M/(C) Bước 2: Kết luận: Sinh Viên Thực Hiện: Bùi Thị Lan Anh - 11 - Giáo Viên Hướng Dẫn:Thầy giáo Bùi Văn Bình  Nếu M/(C) < 0  M nằm trong đường tròn  Nếu... niệm chùm đường tròn dạng 2: “phương trình đường tròn đi qua giao điểm của đường thẳng” (C1): x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0, (C2): x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2 = 0 Có dạng: (x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1) + (x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2) = 0 Với ,  R và2 + 2> 0.” Ví dụ1: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình: (C1): x2 + y2 – 8 = 0 và (C2): x2 + y2 – 4x = 0 1 Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) ... Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y mx ny p 52 4m 6n p m Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 80 8m 4n p n 50 7m n p p 72 Suy pt đường tròn: x y x y 72... (8; 4) - Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x y mx ny p 52 4m 6n p Vì A, B, C thuộc đường tròn nên 80 8m 4n p 50 7m n p Suy pt đường tròn: x y x y 72 hay (... quan trng thc t Mụn toỏn c chia thnh hai phõn mụn nh ú l hỡnh hc v i s Trong ú hỡnh hc l phõn mụn nh ú l hỡnh hc v i s Trong ú hỡnh hc l phõn mụn cú tớnh cht ch, tớnh logic v tru tng húa cao