Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

4 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ.. Các dạng bài tập toán cơ bản về đường tròn trong mặt phăng tọa độ.. Một

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên động viên, giúp đỡ trong quá trình thực hiện khóa luận này

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi những thiếu xót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và của các bạn bè sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Lan Anh

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, khóa luận được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Văn Bình Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử dụng và tham khảo các kết quả của các nhà khoa học với lòng biết ơn và trân trọng Tôi xin cam đoan khóa luận “ Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả trong khóa luận này không trùng lặp với bất kì kết quả nào khác

và chưa từng được ai công bố trước đây

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Lan Anh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN 3

§1 Khái quát chung về hệ trục tọa độ 3

§ 2 Những vấn đề chung về đường tròn 4

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 7

I Các dạng bài tập toán cơ bản về đường tròn trong mặt phăng tọa độ 7

II Một số bài tập cơ bản và nâng cao về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ 34

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI NÓI ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Môn toán là một trong những môn học hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ thông Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn học khác mà nó còn là ứng dụng rất quan trọng trong thực tế

Môn toán được chia thành hai phân môn nhỏ đó là hình học và đại số Trong

đó hình học là phân môn nhỏ đó là hình học và đại số Trong đó hình học là phân môn có tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng hóa cao

Đường tròn là một thuật ngữ quen thuộc được nhắc đến thường xuyên trong hình học Có rất nhiều các dạng bài toán phong phú và đa dạng liên quan đến đường tròn và có nhiều cách giải khác nhau như phương pháp tổng hợp, phương pháp véc tơ…Tuy nhiên khi giải các bài toán về đường tròn bằng phương pháp tọa độ giúp học sinh thấy được mối tương quan 1-1 giữa đại số và hình học Từ đó phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi đứng trước một bài toán khó, hình thành cho học sinh tư duy đúng đắn và phù hợp

Xuất phát từ những lí do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “ Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

II Mục đích nghiên cứu

Qua việc tổng kết lí thuyết, các dạng toán và các ví dụ tham khảo mẫu,…sẽ giúp học sinh hiểu rõ và nắm chắc hơn các kiến thức liên quan đến đường tròn trong mặt phẳng tọa độ và có thể giải tốt được các dạng toán khác nhau

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lí thuyết về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Hệ thống hóa các dạng bài tập về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương trình đường thẳng

mà học sinh đã học

- Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan trọng của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ thông

V Các phương pháp chính

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lí luận

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VI Cấu trúc khóa luận

Phần 1: Lời nói đầu

x 0 x

y

y

j i

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN

§1 Khái quát chung về hệ trục tọa độ

I Hệ trục tọa độ

Cho hai trục x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tại điểm O Gọi i j  ,

là các véc

tơ đơn vị tương ứng trên các trục x’Ox, y’Oy

Hệ hai trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac

Vuông góc Oxy hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxy

- Trục x’Ox gọi là trục hoành

- Trục y’Oy gọi là trục tung

- Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ

Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ

Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxy và một vectơ tùy ý v

Khi đó luôn tồn tại duy nhất cặp số x, y sao cho : v xi y j

Cặp (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ v

kí hiệu là v

(x; y) Số x được gọi là hoành độ,

số y được gọi là tung độ của vectơ v

Các tính chất :

Cho hệ tọa độ Oxy, nếu có hai véctơ v x y 1 1; 1

và v 2x y2 ; 2

thì :  i :v  1 v2 x1 x y2 ; 1 y2

 ii :v  1 v2 x1 x y2 ; 1 y2

 iii :kv x y 1 1 ; 1  kx ky1 ; 1,kR.

II Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ

Định nghĩa :

Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M bất kì

Tọa độ của vectơ OM

cũng được gọi là tọa độ

M'r

của điểm M đối với hệ tọa độ đó

Như vậy, nếu OM

(x ; y) nghĩa là :OM xi y jThì cặp (x ; y) được gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M(x ; y)

Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất : Cho hệ tọa độ Oxy, với hai điểm M1x y1 ; 1,M2x y2 ; 2thì :

I Phương trình chính tắc của đường tròn

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R có

phương trình:

(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) Vậy, ta được (C):  (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2

Chú ý: Ta có:

 Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2

 Đường tròn đơn vị có phương trình x2 + y2 = 1

II Phương trình tổng quát của đường tròn

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình :

(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c > 0 (2)

Là phương trình của đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R = 2 2

a b c III Phương trình tham số của đường tròn

Đường tròn (C) có phương trình chính tắc:

(C):

2 2 2

2 1

(1 )

1

z

z z

IV Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0;y0) của

đường tròn

(C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2p

Có phương trình (d): (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2 (5)

Chú ý:

1 Phương trình (5) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo quy tắc:

(x – a)2 = (x – a)(x – a) thay bằng (x – a)(x0 – a)

(y – b)2 = (y – b)(y – b) thay bằng (y – b)(y0 – b)

2 Nếu (C) có phương trình tổng quát:

(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c >0

Thì tiếp tuyến (d) có phương trình: x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0 dựa theo quy tắc:

x2 = x.x thay bằng x.x0

y2 = y.y thay bằng y.y0 2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x0)

2by = b(y + y) thay bằng b(y + y0)

3 Trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đường tròn (C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:

D(I,(d)) = R

V Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình:

(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a2 + b2 – c >0

Phương tích của điểm M(x0;y0) đối với đường tròn (C) được xác định bởi:

M/(C) = x02 + y02 – 2ax0 – 2by0 + c

Từ giá trị về dấu của M/(C) ta xác định được vị trí của điểm M đối với đường (C) :

 Nếu M/(C) 0  M ở ngoài đường tròn (C)

 Nếu M/(C) = 0  M ở trên đường tròn (C)

 Nếu M/(C)< 0  M ở trong đường tròn (C)

VI Trục đẳng phương của hai đường tròn

Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ

BÀI TẬP TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG

MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

I Các dạng bài tập toán cơ bản về đường tròn trong mặt phăng tọa độ

Dạng 1: Điều kiện để phương trình cho trước là phương trình đường tròn

Phương pháp chung:

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:

(C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1)

Bước 2: Để (1) là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 – c > o

Bước 3: Khi đó (C) có thuộc tính:  

c Viết lại phương trình dưới dạng: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

Suy ra tâm I(2,-3) và bán kính R = 4

Ví dụ 2:Cho họ đường cong :

  2 2    

m

C x y  m x m m  (1)

a Tìm m để C m là một họ đường tròn Tìm quĩ tích tâm Im

b Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục dẳng phương cho tất

cả các đường tròn C m

c Chứng minh rằng tất cả các đường tròn của họ C m luôn tiếp xúc với

nhau tại một điểm cố định

m x

Vậy tâm Im của họ C m thuộc đường thẳng (d): 2x – y – 7 = 0

b Giả sử M(x ; y)thuộc trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn C m

c Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1:Thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Với m1và m2bất kỳ m1 m2 xét

C m1có tâm I1và bán kính R1

Cách 2:Thực hiện theo các bước:

Bước 1:Tìm điểm cố định Mx y0 ; 0 mà mọi đường tròn của họ C m luôn đi qua

Bước 2: Nhận xét rằng:tâm I m của họ C m luôn thuôc đường thẳng (d) cố định

Ví dụ1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5)

b Đường kính AB với A(1;a) và B(7;5)

b Đường tròn (C) có đường kính AB, suy ra:

 Tâm I là trung điểm AB nên I(4;3)

 Bán kính R = AB2 = 12 (7-1)2 + (5-1)2 = 13

Từ đó, suy ra phương trình của đường tròn (C) có dạng:

(x - 4)2 + (y – 3)2 = 13

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng:5x – 2y + 21 =

0 và tiếp xúc đồng thời với hai trục tọa độ

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là M/(C)

Bước 2: Kết luận:

 Nếu M/(C) < 0  M nằm trong đường tròn

 Nếu M/(C) = 0  M nằm trên đường tròn

 Nếu M/(C) > 0  M nằm ngoài đường tròn

 Nếu M nằm ngoài (C)  tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M

Ví dụ 1: Cho điểm M(6,2) và đường tròn (C) có phương trình:

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, ta có:

 Với A = 3B, ta được (d2): x + 3y – 12 = 0

Vậy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Nhận xét rằng (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B không thể song

song với Oy suy ra (d): y = k(x – 6) + 2

Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (C):

2 2

2 2

x kx – 2 3k – 1 – 2x 4 kx – 2 3k – 1 0 ( 6) 2

Để (d) (C) = {A,B} điều kiện là:

(1) có hai nghiệm phân biệt  (1)> 0  (6k2 + 1)2 – 4(k2 + 1)(9k2 – 1) > 0

4 9 1

1

k

k k

k k

k k

Vậy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Phương pháp chung:

Ta lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đường tròn,

ta được:

 Nếu h > R  (d) (C) =

 Nếu h = R  (d) tiếp xúc với (C)

 Nếu h < R  (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của phương trình

bằng số giao điểm của (d) và (C)

Cách 3: Sử dụng phương trình tham số của đường tròn

Có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c + m(Ax + By + C) = 0.”

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình:

(d): x + y – 1 = 0, (C): x2 + y2 – 1 = 0

a Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

b Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng

a Ta lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: Đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1

Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (C):

x x

A B





Vậy (d) (C) = {A(0;1), B(1;0)}

Cách 3: Chuyển phương trình đường tròn về dạng tham số:

Sint + cost – 1 = 0  sin(t + ) = 1

2 

0

(0;1) (1; 0) 2

t

A B

Vậy, ta được (d) (C) = {A(0;1), B(1;0)}

b Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (d) và (C), có dạng

(S): x2 + y2 – 1 + m(x + y -1) = 0  (S): x2 + y2 + mx + my – 1 – m = 0 (2) Suy ra tâm I(-m

2

;-m

2 )

Từ giả thiết I  ) ta được: 2(-m2 ) + m2 - 2 = 0  m = -4

Thay m = -4 vào (2) ta được (s): x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0

Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (S): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với điều kiện a2 + b2 – c  0

Điểm B(1;0)  (S) nên 1 – 2a + c = 0 (4) Tâm I(a;b)  () nên 2a – b – 2 = 0

Giải hệ phương trình tạo bởi (3), (4), (5), ta được a = b = 2, c = 3 (5) Vậy phương trình đường tròn (S): x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0

c Vì (d1) song song với (d) nên có phương trình x + y + C = 0

b Gọi x y1 ; 1 , x y2 ; 2là nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Tính khoảng cách I1I2 (I1, I2 là hai tâm của hai đường tròn), rồi so sánh với tổng và hiệu hai bán kính R1, R2 của hai đường tròn ta được:

 Nếu I1I2> R1 + R2 (C1) và (C2) không cắt nhau và ở ngoài nhau

 Nếu I1I2< R1 - R2  (C1) và (C2) không cắt nhau và lồng nhau

 Nếu I1I2 = R1 + R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau

 Nếu I1I2 = R1 - R2  (C1) và (C2) tiếp xúc trong với nhau

 Nếu R1 - R2 < I1I2< R1 + R2 (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Phương pháp này thường được sử dụng để xác định số nghiệm của bài toán tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2)

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C1) và (C2), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

2 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) và (C2) và:

a Đi qua điểm M(6;2)

b Tiếp xúc với đường thẳng (d): x – 2y + 4 = 0

Giải :

1 Ta có:

 Đường tròn (C1) có tâm I1(0;0) và bán kính R1 = 2 2

 Đường tròn (C2) có tâm I2(0;0) và bán kính R2 = 2

Ta có I1I2 = 2 và:

R1 - R2 = 2 2 – 2 < I1I2< 2 2 + 2 = R1 + R2  (C1) (C2) = {A, B} Bằng cách trừ phương trình của (C1) cho (C2), ta được: -8 + 4x = 0  x – 2 = 0

Đó chính là đường thẳng đi qua hai giao điểm A, B

2 Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (C1) và (C2), có dạng:

Ví dụ 2:Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :

X1 là tập hợp các điểm trong hình tròn (C) có tâm I1(0;-1), bán kính R1 = m

X2 là tập hợp các điểm trong hình tròn (C) có tâm I2 (-1;0), bán kính R2 = m Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (C1) tiếp xúc với (C2) :

Dạng 6: Tiếp tuyến của đường tròn

Chia thành hai bài toán cơ bản : - Tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Bài toán 1 : Tiếp tuyến đường tròn đi qua một điểm

Phương pháp chung :

Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) (tâm I(a,b) bán kính R) thoả mãn điều kiện K, ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có phương trình:

(d): Ax + By + C = 0

Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C)  d(I, (d)) = R

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)

Chú ý: Điều kiện K thường gặp:

1 Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:

a Nếu M (x0,y0)  (C) (tức là M/(C) = 0), ta có ngay:

(d): 0 0

0 0

quaM(x ;y )vtcpIM(x -a;y -b)

1+k k , với k1, k2 theo thứ tự là hệ số góc của (d), ()

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử điểm M(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó:

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0 (1) (hoặc (x – a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2)

Điểm M  (C)

 x02 + y02 – 2ax0 – 2by0 + c = 0 (2) (hoặc (x0 – a)2 + (y0 – b)2 = R2)

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình

Cho đường tròn (C) có phương trình (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2

Tiếp tuyến với (C) tại M(x0,y0)  (C) có dạng:

(dt): (x – a)sint + (y – b)cost = R

Ta gọi các tiếp tuyến (dt) với tham số t là họ tiếp tuyến của (C)

Toạ độ tiếp điểm của (C) với (dt) là: sin

a Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(-1;0)

c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng

(d): 3x – 4y + 5 = 0

Giải:

a Ta có ngay, tâm I(2;-4) và bán kính R = 5

b Vì A  (C) nên tiếp tuyến có phương trình:

x.(-1) + y.0 – 2(x + 1) + 4(y + 0) - 5 = 0  3x – 4y + 3 = 0

c Gọi () là tiếp tuyến của đường tròn (C) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ta có hai cách giải sau:

Cách 1: Tiếp tuyến ()  (d) nên có phương trình:

(): 4x + 3y + c = 0

Đường thẳng () là tiếp tuyến của (C) điều kiện là:

d(I,()) = R 

4.2+3.(-4)+c16+9 = 1 

1 2

21 29

C C





  

  Với C1 = 21, ta được tiếp tuyến (1): 4x + 2y – 21 = 0

 Với C2 = -29, ta được tiếp tuyến (2): 4x + 2y + 29 = 0

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x0; y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -1) và bàn kính R = 10

Để xác định phương trình tiếp tuyến ta có hai cách giải sau :

Cách 1 : Gọi k1, k2theo thứ tự là hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đường thẳng (),

ta có k2 = - 2

Theo giả thiết : tan 45 = 1 2 1

k k

 Với m1 = 6, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.1) : 3x – y + 6 = 0

 Với m2= -14, thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d1.2) : 3x – y -14 = 0

3, thay vào (2) được tiếp tuyến (d2.2) :x + 3y – 8 = 0

Vậy tồn tại bốn tiếp tuyến của đường tròn d1.1 , d1.2 , d2.1 , d2.2 tới (C) thỏa mãn

điều kiện đầu bài

Cách 2 : Giả sử tiếp điểm là Mx y0 ; 0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng :

(d) : (x – 1)x0  1  y 1y0  1 10  ( ) :d x0  1xy0  1yx0 y o  8 10 (1)

Vì M(xx y0 ; o   C n n xê  0  12y0  12  10 (2) Đường thẳng (d) tạo với () một góc 45 khi và chỉ khi :