Đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học phận cấu thành nên Toán học Hình học môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic tính trừu tượng hóa cao Vì hình học môn học tương đối khó với học sinh Ngay từ em đặt chân đến trường, từ bậc học: Tiểu học, Trung học sở em làm quen nhận biết đường thẳng, khái niệm liên quan đường thẳng … Đó kiến thức giúp em học tiếp chương trình toán học nói chung hình học nói riêng cấp học Và kiến thức có ứng dụng thiết thực thưc tế sống Đến với cấp học Trung học phổ thông em tìm hiểu sâu đường thẳng Ở lớp đầu cấp 10, 11 em học đường thẳng mặt phẳng, lớp 12 em tìm hiểu khía cạnh kiến thức đường thẳng: Đường thẳng không gian.Với mong muốn em học sinh có cách nhìn hình học vấn đề giải dạng tập liên quan đến đường thẳng không gian cách thuận lợi với lòng say mê thân giúp đỡ, bảo tận tình thầy Bùi Văn Bình em mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Đường thẳng không gian tọa độ ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Qua dạng toán, ví dụ minh họa hệ thống tập vận dụng giúp học sinh có cách suy nghĩ mẻ hình học giúp cho em giải tập liên quan đến kiến thức đường thẳng không gian cách dễ dàng thuận lợi Đối tượng nghiên cứu Là đường thẳng không gian tọa độ ba chiều Oxyz.Và việc vận dụng kiến thức liên quan vào việc giải tập hình học Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu Do khuôn khổ thời gian có hạn đề tài đề cập đến vấn đề: Đường thẳng không gian giải tập có liên quan Với đối tượng học sinh Trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu hệ thống kiến thức đường thẳng không gian: Phương trình đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng với mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng… không gian vận dụng kiến thức đường thẳng không gian để giải tập hình học có liên quan Cấu trúc khóa luận Mở đầu Nội dung Chương 1: Một số kiến thức có liên quan Chương 2: Một số tập nâng cao Kết luận Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Hệ trục tọa độ không gian Định nghĩa: Hệ gồm trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc gọi hệ trục tọa độ không gian Kí hiệu: Oxyz ( O, i , j , k ) với i , j , k vectơ đơn vị nằm trục z Điểm O gọi gốc tọa độ Trục x’Ox gọi trục hoành y’ x ’ Trục y’Oy gọi trục tung i Trục z’Oz gọi trục cao y z x Ta ý rằng: 2 i = j =k ’ =1 i j = j k = k i = 1.1.2 Tọa độ vectơ hệ tọa độ Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz vectơ z tùy ý Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng, nên có ba x, y, z cho: z v = x i + y j + z k Bộ ba (x, y, z) gọi v (x; y; z) y x tọa độ vectơ v , kí hiệu v (x, y, z) Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ, số z r y x gọi cao độ vectơ v Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Các tính chất: Cho hệ tọa độ Oxyz, có hai vectơ v1 ( x1 ; y1 ; z1 ) v ( x ; y ; z ) thì: i, v1 + v = ( x1 + x2 ; y1 + y ; z1 + z ) ii, v1 - v2 =  x1  x ; y1  y ; z1  z  iii, k v1  x1 ; y1 ; z1  = (k x1 , k y1 , k z1 ) , k R 1.1.3 Tọa độ điểm hệ tọa độ Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz điểm M Tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M hệ tọa độ Như vậy, OM (x; y; z) nghĩa là: z M’’’ OM = x i + y j + z k Thì ba (x, y, z) gọi tọa độ z điểm M, kí hiệu M(x; y; z) M (x; y; z) r M’’ y y Số x gọi hoành độ, số y gọi x tung độ, số z gọi cao độ điểm M M’ Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxyz, có hai điểm M1 x M M =  x2  x1 ; y  y1 ; z  z1  1.2 Phương trình đường thẳng không gian Vectơ phương đường thẳng Định nghĩa: vectơ a vectơ phương đường thẳng (d)  a  a // (d) Nhận xét: a vectơ phương đường thẳng (d) vectơ k a vtcp đường thẳng Bắt đầu từ ta dùng kí hiệu: vtcp (vectơ phương) Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.2.1 Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng (d) không gian xem giao tuyến hai mặt phẳng P1  P2  nên phương trình tổng quát (d) có dạng:  A x  B1 y  C1 z  D1  (1) (d):  , A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C A x  B y  C z  D  ( )  2 2 Trong (1), (2) theo thứ tự phương trình mặt phẳng P1  P2  Khi đó, vtcp a đường thẳng xác định bởi:  B a =   B2 C1 C2 ; C1 A1 C2 A2 ; A1 A2 B1   B2  1.2.2 Phương trình tham số đường thẳng Định lí: Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z 0) có vtcp aa1 ; a2 ; a3  có phương trình:  x  x0  a1 t   y  y0  a2 t , t R z   t z a3  (d): (1) Qua M  x0 ; y0 ; z  Vậy, ta được: (d):   (d): Vtcp a a1 ; a2 ; a3   x  x0  a1t   y  y0  a t , t  R z  z  a t  2 Trong phương trình (1) với điều kiện a1  a2  a3 > gọi phương trình tham số đường thẳng 1.2.3 Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho (1) suy ra: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 (2) 2 Phương trình (2) với điều kiện a1  a2  a3 > gọi phương trình tắc đường thẳng Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Qua M  x0 ; y0 ; z  x  x0 y  y0 z  z0 Vậy, ta được: (d):     (d): a1 a2 a3 Vtcp a a1 ; a2 ; a3  1.2.4 Các dạng toán thường gặp 1.2.4.1 Tìm vectơ phương đường thẳng Bài toán: Tìm vtcp đường thẳng (d) cho trước Phương pháp chung: + Nếu đường thẳng cho trước dạng tham số:  x  x0  a1t  d):  y  y0  a2 t , t  R z  z  a t  Thì vtcp là: + Nếu đường thẳng cho dạng tắc: (d): x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3 Thì vtcp là: aa1 ; a2 ; a3  + Nếu đường thẳng cho dạng tổng quát:  A x  B1 y  C1 z  D1  (1) (d):  ; A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C A x  B y  C z  D  ( )  2 2 Thì vtcp xác định bởi:  B a =   B2 C1 C1 , C2 C2 A1 , A1 A2 A2 B1   B2  Ngoài biết tọa độ hai điểm khác A,B  (d) vtcp (d) AB 1.2.4.2 Chuyển dạng phương trình đường thẳng - Chuyển phương trình tổng quát đường thẳng dạng tham số, tắc Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp chung: Với (d) cho dạng tổng quát:  A x  B1 y  C1 z  D1  (1) (d):  , A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C  A2 x  B2 y  C z  D2  (2) Để chuyển (d) dạng tham số, tắc ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Thực theo bước sau: Bước 1: Xác định vtcp đường thẳng (d) Gọi a vtcp đường thẳng (d), a xác định sau:  B a =   B2 C1 C1 ; C2 C2 A1 ; A1 A2 A2 B1   B2  Bước 2: Tìm điểm M ( x0 , y0 , z 0)  (d) Qua M  x0 ; y0 ; z  Bước 3: Vậy, ta được: (d):  Vtcp a a1 ; a2 ; a3  Từ ta viết được:  Phương trình tham số (d)  Phương trình tắc (d) Cách 2: Thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hai điểm A,B  (d) Qua A Bước 2: Vậy, ta được: (d):  Vtcp AB Từ ta có được:  Phương trình tham số (d)  Phương trình tắc (d) Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp * Chú ý: với yêu cầu xác định phương trình tham số đường thẳng (d) thực đơn giản cách đặt x = t (hoặc y = t z = t) từ suy y z theo t - Chuyển phương trình tham số đường thẳng sang dạng tổng quát, tắc Phương pháp chung:  x  x0  a1t (1)  Với (d) cho dạng tham số: (d):  y  y0  a2 t (2)  z  z  a t (3)  , t R Để chuyển phương trình đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng tổng quát ta thực theo bước sau: Bước 1: Rút t từ phương trình (1) Bước 2: Thay giá trị t vào (2) ta (4) Bước 3: Thay giá trị t vào (3) ta (5) Bước 4: Hệ tạo (4), (5) phương trình tổng quát đường thẳng (d) có dạng: a2 x  a2 x0  a1 y  a1 y0 ( 4) (d):  a3 y  a3 y0  a2 z  a2 z (5) Để chuyển phương trình đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng tắc cách: Rút t từ hệ, ta nhận phương trình tắc đường thẳng (d) cụ thể :  x  x0  a t   y  y0 t (d):   a2  z  z0 t  a  Nguyễn Thị Yên  (d): x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp - Chuyển phương trình tắc đường thẳng sang dạng tổng quát, tham số Phương pháp chung: Với (d) cho dạng tắc: (d): x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3 (1) * Đơn giản phương trình (1) ta nhận phương trình tổng quát đường thẳng (d), cụ thể: a2 x  a2 x0  a1 y  a1 y (d):  a3 y  a3 y  a z  a z Đó phương trình tổng quát đường thẳng (d) * Bằng việc sử dụng tham số trung gian t ta nhận phương trình tham số đường thẳng (d), cụ thể: (d): x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3  x  x0  a t   y  y0 t  (d):   a2  z  z0 t  a   x  x0  a1t  , t R  (d):  y  y  a t z  z  a t  Đó phương trình tham số đường thẳng (d) 1.2.4.3 Lập phương trình đường thẳng Phương pháp chung: Để xác định phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng (d) ta thực theo bước sau: Bước 1: Xác định điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  (d) Nguyễn Thị Yên K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bước 2: Xác định vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) (d) Bước 3: Khi đó: + Phương trình tham số đường thẳng (d) có dạng:  x  x0  a1t  (d):  y  y0  a2 t z  z  a t  , t R + Phương trình tắc (d) có dạng: (d): x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3 + Phương trình tổng quát đường thẳng (d) * Để xác định phương trình tổng quát đường thẳng (d) ta lựa chọn ba cách sau: Cách 1: Coi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Ta xác định phương trình tổng quát (P) (Q) Cách 2: Thực theo bước: Bước 1: Xác định phương trình tham số (d) Bước 2: Khử t x, y, z phương trình tham số suy phương trình tổng quát Cách 3: Thực theo bước sau: Bước 1: Xác định phương thình tắc (d) Bước 2: Từ phương trình tắc suy phương trình tổng quát * Chú ý: Một đường thẳng có vô số phương trình tham số, phương trình tắc phương trình tổng quát * Một số dạng toán thường gặp lập phương trình đường thẳng: 1: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A có vtcp a Nguyễn Thị Yên 10 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp b, Chứng minh đường thẳng d1  d  thuộc mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng c, Viết phương trình tắc hình chiếu song song d  theo phương d  lên mặt phẳng (Q) Giải a, Gọi a vtcp d  , a xác định sau:  1 0 2 1   1; 2;  1 a   ; ;     1    Vậy ta có vtcp a 1; 2;  1 d  b, + Ta chứng minh d1  d  cắt Chuyển phương trình d1  dạng tham số, ta được:  x   2t d1  :  y   t  z   3t  3 4 5 ,tR Thay (3), (4), (5) vào (1), (2) ta hệ phương trình theo ẩn: 2 5  2t   2  t   11   t 1  5  2t   2  t   6  3t    Thay t = vào (3), (4), (5) ta A(7; 3; 9) Vậy d1   d   A7; 3; 9  d1  d  thuộc mặt phẳng + Viết phương trình mặt phẳng chứa Gọi b vtcp đường thẳng d1  , ta có: b 2; 1; 3 Gọi (P) mặt phẳng chứa d1  d  , ta có: Qua A7; 3; 9 Qua A 7; 3;   P  :  2 vtcp a 1; 2;  1 b 2; 1; 3 vtpt n 7;  5;  3 P  :  Mặt phẳng (P) có phương trình: (P): 7x – 5y – 3z – = Nguyễn Thị Yên 45 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp c, Gọi   hình chiếu song song d  theo phương d1  lên mặt phẳng (Q),   giao tuyến của mặt phẳng (P) (Q), vậy: x  y  3z     :  3x  y  z   Ta chuyển phương trình   dạng tắc, ta có:  3 5 ;     Vậy   có phương trình: u   4; 5; 1 chọn điểm B1;  2   : x   z 2 y Bài tập 5: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: P  : x  y  z   , d  : x   y   z  1 a, Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b, Tính góc (d) (P) c, Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) lên (P) d, Viết phương trình đường thẳng   nằm (P), qua giao điểm (d) (P) vuông góc với (d) Giải a, Chuyển phương trình đường thẳng (d) dạng tắc dạng tham số:  x  3  2t d  :  y  1  t , t  R z   t  Gọi I   d   P  Ta có I  d   I   2t ;   t ;  t  Thay x, y, z từ phương trình tham số (d) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được: 2t  3  2t  1  t  3    t   I  1; 0;  Nguyễn Thị Yên 46 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp b, Đường thẳng (d) có vtcp a 2; 1; 1 , mặt phẳng (P) có vtpt n 1; 2;1 Gọi  góc tạo (P) (d) , ta có: sin    1   1    Vậy góc (d) và(P)     c, Lấy A 3;  1; 3  d  Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d) vuông góc với (P) ta có: Qua A 3;  1; 3 Qua A 3;  1; 3   Q  : x  y  z   2 vtcp a 2; 1; 1 n 1; 2;  1 vtpt m  3; 3; 3 Q  :  Khi hình chiếu vuông góc d1  (d) lên (P) giao tuyến x  y  z   mặt phẳng (P) (Q) có phương trình: d1  :  x  y  z   b  n  b  n , a   1; 1; 1 d, Gọi b vtcp đường thẳng   , ta có:  b  a   Vậy đường thẳng   cho bởi: Qua I  1; 0;    :  vtcp b  1; 1; 1    : x 1 y z    1 1 Bài tập 6: Cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(0; 0; 1), B(-1; -2; 0) C(2; 1; -1) a, Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) b, Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm  ABC vuông góc với mặt phẳng (P) c, Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC tính thể tích tứ diện OABC Nguyễn Thị Yên 47 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giải  AB 1;  2;  1 a, Mặt phẳng (P) có cặp vtcp:   AC 2; 1;  2   Gọi n vtpt (P), đó: n  AB; AC  5;  4; 3 Mặt phẳng (P) xác định bởi: Qua A0; 0; 1 P   vtpt n 5;  4; 3  P  : x  y  3z   b, Gọi G  xG ; yG ; z G  trọng tâm  ABC, đó:  x  G   1   1  G : yG   G  ; ; 0 3   zG    Đường thẳng (d) qua trọng tâm G vuông góc với (P) cho bởi:  x   5t   1   QuaG ; ; 0  1 d  :     d  : y   4t , t  R vtpt n 5;  4; 3   z  3t  c,+ Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC x  1 3t QuaB 1;  2; 0    BC : y  2  3t , t  R Phương trình BC :  vtcp BC 3; 3; 1 z  t  Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BC Ta xác định tọa độ H sau: Nguyễn Thị Yên 48 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp + Vì H  BC  H1  3t;   3t;  t  AH1  3t;   3t;  t 1 Vì AH  BC  AH BC   31 3t   3  3t    t 1  19t   t   14    H ; ;  19 19 19 19  + Tính thể tích tứ diện OABC Gọi d khoảng cách từ O đến (ABC), đó: 1 V  SABC d  AH BC d Trong đó: 3 d 3 2 4 3 3   50 10  2    14  8  38 AH         1  19 19  19   19  BC  32  32  1  19 Vậy thể tích tứ diện OABC là: 1 38 V 19  đvtt 19 10 Bài tập 7: Tìm tập hợp tất điểm P không gian cách ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0), C(2; -3; 2) Giải Giả sử P(x; y; z), đó:  PA  PB  x 1   y 1   z 1   x 1   y  2  z    x 12   y 12   z 12   x  2   y  32   z  22  PA  PC 2 2 2 x  y  z    x  y  z   Vậy tập hợp điểm P thuộc đường thẳng (d) có phương trình: Nguyễn Thị Yên 49 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 2 x  y  z    x  y  z   Bài tập 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d1  d  có phương trình: x  t 2 x  y    d  :  y   2t , t  R d1  :  x  y  z    z   5t  a, d1  d  có cắt hay không? b, Gọi B, C điểm đối xứng A(1; 0; 0) qua d1  d  Tính S ABC Giải A H1 H2 B C a, Thay x, y, z phương trình d  vào phương trình d1  , ta được: t  1 3  1 Vậy d1  cắt d  I  ; 0;  2  b, Tính diện tích tam giác ABC + Gọi a1 ; a2 theo thứ tự vtcp đường thẳng d1  d  , ta có: a1  (1;  2; 3) , a2  1; 2; 5 + Gọi H hình chiếu A lên d1  Xác định H (P) mặt phẳng qua A vuông góc với (d1), ta có: Nguyễn Thị Yên 50 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Qua A1; 0; 0 P  :  VTPT a 1;  2;  3 Khóa luận tốt nghiệp  P  : x  y  z   Điểm H = d   P  , tọa độ H nghiệm hệ phương trình: 2 x  y       12    15  12  ;   AH   ; ;  x  y  z    H  ; 14 14 14 14 14 14      x  y  3z    + Gọi H hình chiếu vuông góc A lên d1  Xác định H Điểm H  d   H t ;  2t ;  5t  AH  t  1;  2t ;  5t  Vì AH  d   AH  a  AH a2   t  7 10 Suy ra:   17    AH   ; ;  Diện tích ABC xác định công thức:  10 10 10  1 AB AC sin   AH AH sin  2 5904  AH AH sin   AH ; AH  đvdt  35 S   Bài tập 9: ChO  ABC , với A(4; 1; 3), B(1; 2; 3), C(2; 3; 1) Hãy viết phương trình đường cao AH, trung tuyến AM  ABC Giải A B Nguyễn Thị Yên H M 51 C K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp - Viết phương trình đường cao AH + Viết phương trình đường thẳng (BC): BC  1; 1;  2 Phương trình đường thẳng (BC) xác định bởi: x   t Qua B1; 2; 3  BC  :   BC  :  y   t , t  R vtcp BC 1; 1;  2  z   2t  H  BC  H 1  t;  t ;  2t   AH  t  3;  t ;  2t  Vì AH  BC  AH BC   t  3.1  1  t .1   2t . 2   t  4 7 8  2 ; ; Với t   H  ; ;   AH    Vậy phương trình đường 3 3  3  cao AH xác định bởi:  x   t Qua A1; 1; 1     AH  :      AH  :  y   t , t  R vtcp AH  ; ; 1   z   t  - Viết phương trình đường trung tuyến AM x B  xC   x    M  2  y  yC   + M trung điểm BC, ta có:  y M  B   2  z B  zC   zM     Nguyễn Thị Yên 52 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3    1  ; ; 1 Vậy đường thẳng (AM) xác Vậy M  ; ;   AM   2   2   x   t  Qua A4; 3; 1    định  AM  :        AM  :  y   t , t  R vtcp AM   ; ; 1     z   t  Nguyễn Thị Yên 53 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận cố gắng hoàn thiện nhiệm vụ đặt ra: - Tóm tắt số kiến thức có liên quan đến phương trình đường thẳng mà học sinh học - Thông qua tập số dạng toán để thấy tầm quan trọng việc giải toán liên quan đến đường thẳng không gian tọa độ ba chiều học phổ thông - Hệ thống tập bản, tập tổng hợp nâng cao liên quan đến đường thẳng không gian tọa độ ba chiều để em có nhìn tổng quát từ giúp em giải nhiều dạng tập khác Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Yên 54 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Hình học 12, Nxb Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Bài tập hình học 12, Nxb giáo dục Trần Phương – Lê Hồng Đức, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - Hình giải tích (2007), Nxb Hà Nội Lê Đức, Các dạng toán điển hình hình học 12 (2008), Nxb Quốc gia Hà Nội Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (Tuyển chọn), Giới thiệu Đề thi tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng toàn quốc – Môn Toán, Nxb Hà Nội Trang web: http:// tailieu.com.vn Các khóa luận tốt nghiệp: Phương pháp tọa độ không gian tập hình học, Phương pháp tọa độ ứng dụng Nguyễn Thị Yên 55 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Văn Bình tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học trường ĐHSP Hà Nội giúp em hoàn thành khóa luận Qua em xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên động viên, giúp đỡ trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Yên Nguyễn Thị Yên 56 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu thực hiện, khóa luận hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Bùi Văn Bình Trong thực khóa luận sử dụng tham khảo kết nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Tôi xin cam đoan khóa luận “Đường thẳng không gian tọa độ ba chiều” kết nghiên cứu riêng Các kết khóa luận không trùng lặp với kết khác chưa công bố trước Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Yên Nguyễn Thị Yên 57 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Hệ trục tọa độ không gian 1.1.2 Tọa độ vectơ hệ tọa độ 1.1.3 Tọa độ điểm hệ tọa độ 1.2 Phương trình đường thẳng không gian 1.2.1 Phương trình tổng quát đường thẳng 1.2.2 Phương trình tham số đường thẳng 1.2.3 Phương trình tắc đường thẳng 1.2.4 Các dạng toán thường gặp 1.2.4.1 Tìm vectơ phương đường thẳng 1.2.4.2 Chuyển dạng phương trình đường thẳng 1.2.4.3 Lập phương trình đường thẳng 1.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 11 1.3.1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 11 1.3.2 Các dạng tập thường gặp 12 1.3.2.1 Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 12 1.3.2.2 Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng lên mặt phẳng 12 1.4 Vị trí tương đối đường thẳng 14 1.4.1 Vị trí tương đối đường thẳng 14 1.4.2 Các dạng toán thường gặp 15 1.4.2.1 Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng 15 1.4.2.2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 16 1.4.2.3 Chứng minh đường thẳng chéo 17 Nguyễn Thị Yên 58 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.4.2.4 Viết phương trình đường vuông góc chung đường thẳng chéo 18 1.5 Góc đường thẳng 19 1.6 Góc đường thẳng mặt phẳng 19 1.7 Khoảng cách 20 1.7.1 Khoảng cách từ điếm đến đường thẳng 20 1.7.2 Khoảng cách giừa đường thẳng chéo 20 1.7.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 21 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 22 A Một số tập 22 2.1 Bài tập đường thẳng 22 2.1.1 Các ví dụ minh họa 22 2.1.2 Bài tập đề nghị 27 2.2 Bài tập vị trí tương đối đường thẳng 29 2.2.1 Các ví dụ minh họa 29 2.2.2 Bài tập đề nghị 31 2.3 Bài tập vị trí tương đối đường thẳng 32 2.3.1 Các ví dụ minh họa 32 2.3.2 Bài tập đề nghị 34 2.4 Góc đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng 35 2.4.1 Các ví dụ minh họa 35 2.4.2 Bài tập đề nghị 36 2.5 Khoảng cách 36 2.5.1 Các ví dụ minh họa 36 2.5.2 Bài tập đề nghị 39 B Các tập tổng hợp nâng cao KẾT LUẬN Nguyễn Thị Yên 59 K35A - Giáo dục Tiểu học [...]... phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d  và d  chéo nhau cho trước 1 2 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1  và cắt đường thẳng d 2  cho trước 9: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1  và cắt đường thẳng d 2  cho trước Và một số dạng bài toán khác 1.3.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt... nghiệp 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1  và d 2  3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng (  ) 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1  và d 2  cho trước 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A, B... minh 2 đường thẳng chéo nhau Cho 2 đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) Chứng minh rằng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau Phương pháp chung : Ta biết rằng trong không gian hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng Nguyễn Thị Yên 17 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Vậy để chứng minh hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau ta lựa chọn một trong. .. + Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và có vtcp là Nguyễn Thị Yên 13 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp a ( a1 ; a2 ; a3 ) + Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’( x0 ; y 0 ; z 0 ) và có vtcp ' ' ' ' ' ' , a ( a1 ; a 2 ; a3 ) Hai đường thẳng trong không gian có các trường hợp như sau: 1 Hai đường thẳng song song 2 Hai đường thẳng cắt nhau 3 Hai đường thẳng trùng... d 2  ) Khi đó tọa độ của A, B theo thứ tự thỏa mãn phương trình tham số của ( d1 ) và ( d 2 ) Từ đó suy ra tọa độ AB  AB  d 1 Bước 2: Từ điều kiện  , ta xác định được tọa độ điểm A, B  AB  d 2  Bước 3: Khi đó (AB) chính là phương trình đường vuông góc chung của ( d1 ) và ( d 2 ) 1.5 Góc giữa hai đường thẳng Cho đường thẳng ( d1 ) có vtcp là a ( a1 ; a 2 ; a3 ) và đường thẳng có d 2 ... của đường thẳng (d) là:  x  2  2t d  :  y   3t  z   3  5t  , tR + Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: d  : x2 y z3   2 3 5 + Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là: 3x  2 y  6  0 d  :  5 y  3 z  9  0 Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và song song với đường thẳng. .. định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Bước 3: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là đường thẳng d ' được cho bởi: Qua A d :  ' Vtcp IH Cách 2: Thực hiện như ở cách 2 ý 3 *Trong cả hai trường hợp 3, 4 ta thường lựa chọn cách 2 để giải 1.4 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1.4.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d) và d ' : + Đường. .. của d '  Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau  d  và d  trùng nhau khi và chỉ khi a  k a ' ' M  d ' Nguyễn Thị Yên 14 K35A - Giáo dục Tiểu học Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau Ta biết hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau, do vậy: Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi a và a ' không cùng phương và hệ phương... hiện theo hai bước: Bước 1: Chứng minh hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng đó vô nghiệm Bước 2: Chứng minh hai vtcp của ( d1 ) và ( d 2 ) không cùng phương 1.4.2.4.Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó Phương pháp chung: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1:... A2; 0;  3 Vậy, đường thẳng (d) thỏa mãn: (d):  Vtcp a  31;  63;  8 + Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:  x  2  31t d  :  y  63t , t  R  z  3  8t  + Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: d   x  2   31 y z 3   63  8 + Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là: d  : 63 x  31y  126  0  8 y  63z  189  0 Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz lập phương ... 1.1.3 Tọa độ điểm hệ tọa độ Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz điểm M Tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M hệ tọa độ Như vậy, OM (x; y; z) nghĩa là: z M’’’ OM = x i + y j + z k Thì ba (x, y, z) gọi tọa độ. .. thống kiến thức đường thẳng không gian: Phương trình đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng với mặt phẳng,... phương trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1  cắt đường thẳng d  cho trước 9: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1  cắt đường thẳng d 