bài toán dirichlet ngoài trong không gian

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ******* CHU THị THUỷ BàI TOáN DIRICHLET NGOàI TRONG KHÔNG GIAN Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS BùI KIÊN Cường Hà nội - 2013 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận Bài toán Dirichlet không gian em nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy giáo cô giáo tổ giải tích nói riêng khoa Toán Trường đại học sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo, TS Bùi Kiên Cường người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo, TS bùi Kiên Cường với cố gắng thân em Trong trình thực em có tham khảo số tài liệu (như nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan nội dung trình bày khóa luận kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Mục lục Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc đề tài Nội dung Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 1.4 Bài toán Cauchy 1.5 Bài toán biên 1.6 Bài toán hỗn hợp 1.7 Định nghĩa phương trình Laplace 10 1.8 Bài toán Dirichlet 10 Chương 2: Bài toán Dirichlet 11 2.1 Biến đổi nghịch đảo bán kính vectơ 11 2.2 Định lý phụ thuộc liên tục nghiệm kiện biên 15 2.3 Công thức Poisson miền hình cầu 17 2.4 Dáng điệu đạo hàm hàm điều hòa vô tận 19 Chương 3: Bài tập 22 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình toán học đại học tìm hiểu toán Dirichlet mà không tìm hiểu toán Dirichlet không gian nhiên trình tìm hiểu em thấy để giải toán hình cầu ta sử dụng phép biến đổi Kenvil để đưa toán hình cầu mà ta biết cách giải em thấy phép biến đổi Kenvil thú vị với hướng dẫn thầy giáo, TS Bùi kiên Cường nên em định chọn đề tài: Bài toán Dirichlet không gian Mục đích nghiên cứu Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng linh hoạt việc tìm hiểu môn khoa học khác cho thân Tìm hiểu toán Dirichlet hình cầu toán Dirichlet hình cầu không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán Dirichlet không gian tìm nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu phần kết luận nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Dirichlet không gian Chương 3: Bài tập SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường NộI DUNG CHƯƠNG MộT Số KIếN THứC CHUẩN Bị Đ1: MộT Số KHáI NIệM CƠ BảN CủA PHƯƠNG TRìNH ĐạO HàM RIÊNG 1.1.Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Xét phương trình Au f (1.1.1) Trong f hàm (hoặc véctơ hàm) biết miền n A toán tử vi phân tuyến tính tác dụng , tức toán tử có dạng: A a x .D (1.1.2) Với 1, , , n i số nguyên không âm , D n n D1 D2 Dn ; D j i ;i x j n ; i i a hàm (hoặc ma trận) , u u x hàm chưa biết Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt hệ thức (1.1.1) gọi cấp toán tử A Định nghĩa 1.1: Phương trình (1.1.1) với toán tử A cấp m hàm u, f thoả mãn điều kiện nêu gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định nghĩa tổng quát 1.2: Phương trình liên hệ hàm ẩn u1 , u2 , , un biến đạo hàm riêng chúng gọi phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng chứa đạo hàm cấp m không chứa đạo hàm cấp cao m gọi phương trình cấp m VD: Phương trình Laplace: u Phương trình truyền sóng: 2u u t Phương trình truyền nhiệt: u u t 2u toán tử Laplace Nghiệm phương x i i n Trong u trình đạo hàm riêng hệ hàm cho thay vào hàm ẩn phương trình biến thành đồng thức theo biến độc lập 1.2 phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình đạo hàm riêng cấp phương trình có dạng: u u u F x1, x2 , , xn , u , , , , x x x n Phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính phương trình có dạng: X x1 , x2 , , xn , u u u X n x1, x2 , , xn , u f x1 , x2 , , xn , u x1 xn Nếu vế phải phương trình đồng 0, hàm X i x1 , x2 , , xn , u không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính X x1 , x2 , , xn SVTH: Chu Thị Thủy u u X n x1 , x2 , , xn x1 xn K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường 1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai phương trình có dạng: n 2u u aij ( x) x x x x a x u f x i , j i i j i n (1.3.1) aij , , a, f hàm phức trơn VD: Phương trình: 2u 2x y xy phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến độc lập Xét phương trình tuyến tính cấp với hệ số thực: a x; y u xx 2b x; y u xy c x; y u yy F x; y; u; u x ; u y (1.3.2) Đặt: b ac Xét điểm x0 ; y0 cố định Phương trình (1.3.2) thuộc lọai: + Eliptic điểm x0 ; y0 ta có + Parabolic điểm x0 ; y0 ta có + hypebolic điểm x0 ; y0 ta có Nếu phương trình (1.3.2) điểm miền G thuộc loại phương trình thuộc loại miền G 2u 2u VD: Xét phương trình tricomi: y x y Ta có: a y; b 0; c b ac y SVTH: Chu Thị Thủy K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Do đó: Nếu y phương trình thuộc loại Elip Nếu y phương trình thuộc loại Parabol Nếu y phương trình thuộc loại Hypebol 1.4 Bài toán Cauchy Giả sử miền không gian với n n (có thể trùng ) Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai: n 2u u aij ( x) x x x x a x u f x i , j i i j i n (1.4.1) aij , , a, f hàm phức đủ trơn ta tách biến biến x1, x2 , , xn chẳng hạn xn đặt t xn Giả sử mặt phẳng t t lân cận điểm x0 ' x10 , x20 , , xn01 cho điều kiện ban đầu u| u0 t t x ; u | u1 x t t t (1.4.2) Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1)trong lân cận điểm x0 x10 , x20 , , xn01, t với điều kiện ban đầu (1.4.2) gọi toán Cauchy Trong trường hợp tổng quát: Giả sử miền cho mặt n chiều đủ trơn S điểm mặt cho đường cong l không tiếp xúc với mặt S biến thiên đủ trơn mặt S Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1) lân cận mặt S cho: u |S u x SVTH: Chu Thị Thủy (1.4.3) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường u |S u1 x l (1.4.4) u0 , u1 hàm cho mặt S gọi toán Cauchy tổng quát phương trình (1.4.1) Các hàm u0 , u1 gọi kiện Cauchy mặt S gọi mặt Cauchy 1.4.1 Định lý Kovalepskaia Giả sử phương trình đạo hàm riêng cấp viết dạng: n n 2u n1 2u 2u u b x b x bi x b x u h x 1.4.5) ij in xi x j i xi t i xi t i , j Định lý 1.1: Giả sử bij ; bin ; bi ; b; h hàm giải tích lân cận điểm x0 , u j ; j 0,1 hàm giải tích lân cận điểm x0 ' toán Cauchy (1.4.5) (1.4.2) có nghiệm giải tích lân cận điểm x0 nghiệm hàm giải tích 1.5 Bài toán biên Giả sử miền bị chặn n Trong xét phương trình (1.4.1) toán tìm nghiệm phương trình(1.4.1) thoả mãn điều kiện: u | (1.5.1) hàm cho gọi toán biên thứ Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4.1) thoả mãn điều kiện biên: u | v SVTH: Chu Thị Thủy (1.5.2) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường CHNG tập 3.1 Giải toán Dirichlet phương pháp Fourier 3.1.1 Nội dung phương pháp Có nhiều phương pháp để giải toán biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương trình Eliptic trường hợp đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Mà toán Dirichlet toán phương trình Eliptic nên có đầy đủ phương pháp giải toán biên phương trình đạo hàm riêng tổng quát Trong phương pháp phương pháp tách biến (hay gọi phương pháp Fourier) phương pháp tỏ hữu hiệu nên sử dụng phổ biến Phương pháp tách biến nhằm xây dựng nghiệm u toán Dirichlet cho trước thông qua hàm chứa biến độc lập, nghĩa u viết dạng tích tổng hàm phụ thuộc vào biến tách Kết phương pháp viết phương trình vế mà vế phụ thuộc vào biến, vế phải số Ta giải cho hàm chưa xác định Hợp nghiệm cho ta nghiệm cần tìm 3.1.2 Cơ sở phương pháp Định lý 1: (nguyên lý cộng nghiệm) Nếu u1; u2 ; un nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính c1u1 c2u2 cnun nghiệm phương trình với c1; c2 ; ; cn số SVTH: Chu Thị Thủy 22 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định lý 2: Nghiệm tổng quát phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không nhận cách cộng nghiệm riêng phương trình không nghiệm tổng quát phương trình tương ứng 3.1.3 Bài tập Bài 1: Tìm nghiệm toán Dirichlet phương pháp tách biến x; y (1) u xx u yy x (2) u x;0 sin x 2sin x u x; u 0; y u ; y 0 x; y (3) Giải: Đặt: u x; y X x Y y giả sử XY - Tính đạo hàm u thay vào (1) ta được: X Y XY X Y const X Y X X Y Y (4) (5) - Từ (3) ta suy ra: u x; X x Y u 0; y X Y y u ; y X Y y X X (3) - Giải (4) với điều kiện (3) + Nếu từ điều kiện (3) có X nghiệm (loại) + Nếu (4) có nghiệm tổng quát là: SVTH: Chu Thị Thủy 23 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường X x c1.cos x c2 sin x Với c1; c2 - áp điền kiện (3) X ta suy c1 0;sin k ; k 1,2, Vậy hàm X k x ck sin kx nghiệm (4) thỏa mãn (3) - Giải (5) với k k ; k 1,2, Y k 2Y Yk y D1eky D2e ky ; D1; D2 áp điền kiện (3) vào ta có: Y D1e k D2e k D2 D1e2 k Vậy hàm Yk y D1 (e ky e k ( y ) ) thỏa mãn (5) Chọn D1 Dk e k ta được: e k ( y ) ek ( y ) Yk Dk Dk sh k y ; Dk Vậy hàm uk x; y Ak sh k y sin kx Ak Ck Dk ; k 1,2 thỏa mãn phương trình (1) điều kiện (3) - Xét chuỗi: u x; y Ak sh k y .sin kx (6) k - Ta tìm Ak để u thỏa mãn điều kiện (2), áp điều kiện (2) vào (6) ta được: SVTH: Chu Thị Thủy 24 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường sin 3x 2sin x Ak sh k .sin kx Ak sh k sin kx k k 1 A sh3 A3 sh3 A2 sh2 A2 sh A ; k 2; k k Ak 0; k 2; k Vậy nghiệm toán là: u x; y sh y sin x sh y sin x sh2 sh3 Bài 2: Giải toán Dirichlet trong: u 2 u y xy mặt tròn tâm O bán kính 2, biên Giải: x rcos Đặt: y r sin 0r Khi phương trình u viết dạng: 2u u 2u r r r r Khi đó: f x; y y xy 16sin 32cos sin cos 16cos cos 8cos 16cos cos3 cos SVTH: Chu Thị Thủy 25 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường 8cos 8cos 8cos3 Khi toán ban đầu đưa dạng: 2u u 2u (1) r r r u r 8cos 8cos 8cos3 (2) () Ta tìm nghiệm toán () phương pháp tách biến Đặt: u r; R r Ta tìm nghiệm phương trình (1) - Tính đạo hàm u thay vào (1) ta được: 1 R R r r r R rR R (3) r R rR R (4) (5) Giải (5) ta xét TH: TH1: Khi nghiệm tổng quát (5) là: c 1e c2e (c1; c2 tùy ý) áp dụng điều kiện (2) ta được: f R hàm tuần hoàn chu kỳ Điều xảy hàm mũ Nó xảy (loại) TH2: Khi nghiệm tổng quát (5) là: SVTH: Chu Thị Thủy 26 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường c1 c2 (c1; c2 tùy ý) Để hàm tuần hoàn c1 c2 (loại) TH2: Khi nghiệm tổng quát (5) là: c1cos c2 sin (c1; c2 tùy ý) Do điều kiện ta nhận k (với k số dương) *) k ta có: ak cos k bk sin k nghiệm (5) thỏa mãn (2) Giải (4) với k ; k * Phương trình (4) có nghiệm độc lập là: R r k R r k Ta lấy R r k hàm u điều hòa O Vậy hàm uk r ; r k ak cos k bk sin k ; k * thỏa mãn (1) (2) a0 k Đặt: u r; r ak cos k bk sin k k (6) Tìm a0 ; ak ; bk ; k * để (6) nghiệm toán () Ta thấy để (6) nghiệm toán () ta tìm a0 ; ak ; bk ; k * để (6) nghiệm phương trình(2) Với a0 f d 8cos 8cos 8cos3 d 8sin 4sin sin 10 SVTH: Chu Thị Thủy 27 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp ak f cos k d 8cos 8cos 8cos3 .cos k d GVHD: Bùi Kiên Cường 5cos k 4cos k 4cos k 4cos k d 4cos k 4cos k 4cos k Với k thì: a1 5cos 4cos 4cos3 cos 4cos 4cos d 4cos 4cos3 4cos d 4sin sin sin Với k a2 5cos 4cos3 4cos 4cos 4cos5 cos d 4cos 4cos3 4cos d 4 3sin sin sin sin sin Với k a3 5cos3 4cos 4cos 4cos5 4cos 4cos6 d Với k 1, 2,3 ak SVTH: Chu Thị Thủy 28 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp bk GVHD: Bùi Kiên Cường f sin k d 8cos 8cos 8cos3 sin k d 5sin k 4sin k 4sin k 4sin k d 4sin k 4sin k 4sin k Vậy u r ; 8rcos 8r 2cos 8r 3cos3 Bài 3: Giải toán Dirichlet trong: u u x x xy mặt tròn tâm O bán kính 2, biên Giải: x rcos Đặt: y r sin r Khi đó: f x; y x x3 xy rcos rcos 2rcos r sin cos cos 2cos sin cos cos cos3 cos 2cos 4 1 cos cos3 4 Khi toán ban đầu đưa dạng: 2u u 2u r r r u cos cos3 r 4 SVTH: Chu Thị Thủy 29 (1) (2) K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Khi nghiệm toán có dạng: a0 u 1; ak cos k bk sin k k 1 Theo giả thiết: u r cos cos3 4 a0 1 ak cos k bk sin k cos cos3 k 4 Sử dụng phương pháp đồng ta có: a0 a a3 ak k 1,3 bk k Vậy nghiệm toán là: 1 u r ; rcos r 3cos3 4 Bài 4: Giải toán Dirichlet ngoài: u 2 u y y x y x Trong phần mặt cầu tâm O bán kính , biên SVTH: Chu Thị Thủy 30 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Giải: Đặt OP ; x y z OP (với P x; y; z điểm hình cầu P điểm nghịch đảo P mặt cầu S R Dùng phép biến đổi Kelvin: R R2 Khi đó: u ; ; v ; ; (*) Ta chuyển toán ban đầu thành toán miền hình cầu v v 1 u R; ; f P y y3 x2 y x2 R R R áp dụng công thức Poisson ta có: v ; ; R r3R R f Q dSQ x r cos sin Đặt: y r sin sin z r cos r' Ta có: R R f Q y y3 x2 y x2 3 r R R r R R 16 3 r sin sin r sin sin r 4r r sin cos sin r 2cos sin 3 3 r2 r sin sin r sin sin r sin cos sin 2r r 2cos sin SVTH: Chu Thị Thủy 31 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường r r sin sin r sin sin r 2cos sin 2r r sin r sin sin r v ; ; d d dr r 0 2r cos sin r 2 sin r sin cos sin r r d dr 0 r r sin sin r 2 2r5 r sin d dr 00 r cos 2r5 r d dr 00 r r r sin dr 2r 2 r r dr 2r 2 dr 2r r 4r r 2 ln r 4r 4 2r r0 2 ln 16 ln 16 SVTH: Chu Thị Thủy 32 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Thay vào (*) ta được: u ; ; ln 16 Trở biến cũ ta nghiệm phương trình là: u x; y; z SVTH: Chu Thị Thủy ln 2 16 x y z 33 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Một số ví dụ khác Bài 1: Giải toán Dirichlet sau: u u u (0 x a;0 y b) xx yy v x0 v const ; u xa u y u y v0 const Bài 2: Giải toán Dirichlet phương trình Laplace u hình tròn tâm O bán kính thỏa mãn: u x xy Với biên hình tròn Bài 3: Tìm nghiệm toán phương trình Poisson 2u 2u x y b b Trong miền D x a; y với a;b số 2 Và thỏa mãn điều kiện: u x0 u x a u b u b y y 2 SVTH: Chu Thị Thủy 34 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Kết luận Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu đề tài với nỗ lực học tập thân giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung đặc biệt bảo tận tình thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường, đến em hoàn thành khóa luận nội dung khóa luận là: Tìm hiểu phương trình đạo hàm riêng cấp Tìm hiểu toán Dirichlet Nghiên cứu toán Dirichlet Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán đặc biệt thầy giáo, ts Bùi Kiên Cường giúp đỡ em hoànthành tốt khóa luận Do thời gian nghiên cứu hạn chế lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận bảo tận tình đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Chu thị thủy SVTH: Chu Thị Thủy 35 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Tài liệu tham khảo Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng NXB Đại Học sư phạm, Hà Nội Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý NXB Giáo Dục SVTH: Chu Thị Thủy 36 K35G-SPToán [...]... a 2 2 2 t y z x (1.7.1) Giả sử sau một thời gian nào đấy nhiệt độ trong môi trường ổn định nghĩa là u x, y, z, t không còn phụ thuộc vào thời gian ta có: u 0 t và khi đó phương trình (1.7.1) có dạng: 2u 2u 2u 0 x 2 y 2 z 2 (1.7.2) Phương trình (1.7.2) được gọi là phương trình Laplace 1.8 Bài toán Dirichlet trong Bài toán Dirichlet trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau:... giản tính toán ta có: u , , 1 4 2 R2 SR r3R f Q dSQ (2.3.6) đây là công thức Poisson cho miền ngoài của hình cầu Trong trường hợp tổng quát đối với không gian n chiều ta có 1 u P S1 SR 2 R2 rnR f Q dSQ (2.3.7) Trong đó S1 là diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian n chiều SVTH: Chu Thị Thủy 18 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường 2.4 Dáng điệu của đạo hàm điều... đã được chứng minh Trong trường hợp mặt phẳng n 2 Xét phương trình Laplace: SVTH: Chu Thị Thủy 12 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường u 1 u 1 2u 0 r r r r r 2 2 Dễ khẳng định được hàm u r; thoả mãn phương trình Laplace trong : r , u 0 thì hàm: 1 v r , u r , , r r (2.1.6) cũng sẽ thoả mãn phương trình Laplace trong : r, v 0 Trong không gian n chiều ( n ... r O S P Trong trường hợp tổng quát n 3, dáng điệu đạo hàm của hàm điều hoà vô tận trong không gian n chiều được đánh giá bởi bất đẳng thức Dku Ck n 2 k (2.4.2) Trong trường hợp n 2 ta thu được đánh giá mạnh hơn (2.4.2), cụ thể ta có: Dku Ck (2.4.3) k 1 x12 x2 2 xn 2 SVTH: Chu Thị Thủy 21 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường CHNG 3 bài tập 3.1 Giải bài toán Dirichlet. .. tại r 0 Bằng cách bổ sung ấy, nếu u r , , điều hoà trong miền vô hạn , thì v r , , điều hoà trong miền giới nội Trong trường hợp n 2 dùng phép biến đổi (2.1.6) ta cũng khẳng định được rằng nếu u r , điều hoà trong miền vô hạn ( u r , M khi r ) thì đối với v r , u r , Ta có thể bổ sung giá trị tại r 0 để v r , điều hoà trong toàn Đối với trường hợp n 3 , ta cũng có kết... au | v (1.5.3) Với a và là các hàm đã cho trên 1.6 Bài toán hỗn hợp Giả sử n n 1 n là không gian n chiều với các điểm là miền bị chặn, chiều Với T n 1 n x1, x2 , , xn t là không gian là một số dương nào đó ta kí hiệu Q |T x ,0 t T có mặt xung quanh là T x ,0 t T Với T 0 trong hình trụ QT ta xét phương trình (1.4.1) Bài toán tìm nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện ban... Laplace trong Hàm v r , , xác định bởi (2.1.3) theo chứng minh ở trên thoả mãn phương trình Laplace trong ' , trừ tại điểm gốc r 0 (ảnh của điểm r trong phép biến đổi ) Do bất đẳng thức (2.1.7) ta có: v r, , ru r , , A Trong lân cận điểm gốc r 0 , vì vậy theo định lý về điểm bất thường khử được, thực tế có thể bổ sung cho v r , , giá trị tại r 0 để cho v r , , là hàm điều hoà trong. .. toán là: 1 1 u r ; rcos r 3cos3 4 4 Bài 4: Giải bài toán Dirichlet ngoài: u 0 trong 3 2 2 u 2 y y x y x Trong đó là phần ngoài của mặt cầu tâm O bán kính 2 trong 3 , là biên của SVTH: Chu Thị Thủy 30 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Giải: Đặt OP ; x 2 y 2 z 2 OP (với P x; y; z là một điểm bất kỳ trong hình cầu P là điểm nghịch đảo của P đối với mặt cầu S... (2.2.11) Vì v P là hàm điều hoà trong R , liên tục trong miền đóng R S S R nên từ nguyên lý cực đại, ta suy ra bất đẳng thức (2.2.11) đúng trong toàn R , đặc biệt tại điểm Q ta có (2.2.9) SVTH: Chu Thị Thủy 16 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Từ cách chứng minh định lý duy nhất dễ dàng suy ra kết quả sau đây: Hệ quả 2.2.2: Nghiệm của bài toán Dirichlet ngoài phụ thuộc vào điều... tục cho trước trên S Tìm hàm u P điều hoà trong , liên tục trong miền đóng S sao cho tại biên S giá trị của hàm trùng với hàm f P nói trên, tức là: u 0 u |S f P Bài toán Dirichlet nói trên còn được gọi là bài toán biên thứ nhất của phương trình Laplace SVTH: Chu Thị Thủy 10 K35G-SPToán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường CHNG 2 Bài toán dirichlet ngoài 2.1 Biến đổi nghịch đảo các ... nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình toán học đại học tìm hiểu toán Dirichlet mà không tìm hiểu toán Dirichlet không gian nhiên trình tìm hiểu em thấy để giải toán... thức Poisson cho miền hình cầu Trong trường hợp tổng quát không gian n chiều ta có u P S1 SR R2 rnR f Q dSQ (2.3.7) Trong S1 diện tích mặt cầu đơn vị không gian n chiều SVTH: Chu Thị Thủy... cho thân Tìm hiểu toán Dirichlet hình cầu toán Dirichlet hình cầu không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán Dirichlet không gian tìm nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu