Chuyén dé 3
GIAI TOAN HINH HOC KHONG GIAN BANG PHUONG PHAP TOA DO
Chúng ta biết rằng, nĩi chung, mỗi sự kiện của Hình học khơng gian đều cĩ thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích Do đĩ, cĩ thể giải một bài tốn
Hình học khơng gian bằng cách toạ độ hố để chuyển thành bài tốn Hình học giải:
tích Việc chuyển đổi này bao gồm những bước sau :
Bước: ï : Chọn hệ toạ độ
Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài tốn Hình học khơng gian đang
xét cĩ sắn gĩc tam diện vuơng, hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau hay cĩ các quan hệ vuơng gĩc khác Tuy vậy, khơng ít trường hợp ta phải tự kẻ thêm đường phụ để gây nên gĩc tam diện vuơng
Trong khi chọn gĩc tam diện vuơng để gắn với hệ toạ độ, ta cũng cần lưu ý để
các bước sau được thuận lợi
Bước 2 : Tính toạ độ của các điểm trong đề bài theo hệ toạ độ vừa chọn Thực
ra chỉ cần tính toạ độ của những điểm liên quan tới giả thiết và kết luận của bài
tốn Đối với những bài tốn Hình học khơng gian mà trong đề bài đã cĩ sắn số
liệu thì việc tính toạ độ của từng điểm nĩi chung là dựa trực tiếp vào hình vẽ Đối
với những bài tốn mà đề bài chưa cho số liệu thì trước hết cần tự đưa số liệu vào
bài tốn và sau đĩ dựa vào hình vẽ để tính toạ độ các điểm dựa theo số liệu đĩ ` Bước 3 : Thể hiện giả thiết của bài tốn theo cách thức của Hình học giải tích
Nĩi chung mọi sự kiện của Hình học giải tích đều được tìm ra bằng con đường
tính tốn Do đĩ, giả thiết của Hình học giải tích nên để ở dạng ràng buộc của các
số liệu
Bước 4 : Giải quyết kết luận của bài tốn theo cách thức của Hình học giải tích Ở đây, cũng như Bước 3, một lần nữa cần phải “phiên dịch” từ ngơn ngữ của bài tốn Hình học khơng gian sang bài tốn Hình học giải tích
Cần lưu ý rằng mặc dù các sự kiện của Hình học khơng gian nĩi chung đều cĩ
thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích, tuy vậy mức độ khĩ, dễ khác nhau Điều đĩ dẫn tới việc cĩ rất nhiều bài tốn Hình học khơng gian gặp nhiều
khĩ khăn khi chuyển sang bài tốn Hình học giải tích Phương pháp toạ độ hố bài tốn Hình học khơng gian khá hữu hiệu trong việc giải tốn Hình học khơng gian, tuy vậy khơng nên tuyệt đối hố nĩ
Trang 2Trước khi quyết định giải quyết một bài tốn Hình học khơng gian cụ thể bằng phương pháp toạ độ, ta nên xét những khĩ khăn cĩ thể gặp trong những bước trên
Để làm rõ bình luận trên, ta xét ví dụ sau :
Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A'BC'D' Các điểm M, N lần lượt thay
đổi trên các đoạn thẳng BD và AD' sao cho DM = AN
a) Xác định vị trí của hai điểm X, N để MN nhỏ nhất Chứng minh rằng khi
đĩ MN vuơng gĩc với BD và AI
b) Chứng minh rằng MN vuơng gĩc với một đường thẳng cố định Lời giải (h.65) Chọn hệ trục toạ độ Ĩxyz cĩ gốc ƠĨ trùng ; A’
điểm A, các tia Ĩx, Ĩy, Ĩz lần lượt trùng các B tia AB, AD, AA’
Giả sử cạnh hình lập phương cĩ độ dài Đ—] 1 C
bang a Dat AN = DM =1(0 <t <2) N
Ni B
Khi đĩ ta cĩ ; ven a amd oe
A(0;0;0), B(a;0;0), Jaen
D(0;a;0), D(0;a; a) yfP C Hình 65 t t t t M|Ị =:a-—=;0|,N|0;—=;—=| lg v2 ( 42`42 —— t t Do dé: MN = pind - ase] [pinto 3 i 2 ú Ỷ i 2 d Ta cĩ: MN "Í— 5) +(tV2 —a) +|—=| = 30? -2V2at Ra + a
Xét ham sé f(r) = 37? - 2V2ar + a” Ham số này cĩ đơ thị là một parabol
quay bé lém lén phia trén Do dé f(¢) nhỏ nhất khi và chỉ khi ¢ = wt
2 4
Vi ¬ € |0, av? | nén MN nho nhat khi rt = wh <> M,N thuộc đoạn BD, AD' tuong tmg sao cho DM = 2Ð, AN = SAP
Trang 3Khi MN nho nhat tac6: ¢ = aV2 - man nén MN 3 Raf aa 3 3 Mặt khác BD = (Ta; a;0), AD' = (0;a;a) nén MN.BD _|—2 Á-4) + (-š}: + £0 = 0, 3 3 3 MN.AD' = (-£}0 + [4 + fa =0 3 3 3
Vay MN vuơng gĩc với BD va AD"
b) Trước hết ta tìm phương a = (x:y;z} #0 vuơng gốc véi vecto MN Điều đĩ tương đương với
œơ.MN =0Vie 0; av2 | = {-] + v2 - u) + {œ) =0 V/e [0 av? | xX Z ©|—-—+ y2 +-—Ìr- yư=0 Virel|0:a42 =5 5] » [Osav? "1 E=: 2 => œ4 V2 v2 ya = 0 Chon a = (15051) Vay MN vuơng gĩc với một đường thẳng cố định nhận a = (1;0;1) 1am vectơ chỉ phương Chú ý : Ta cĩ kết luận tương tự là MN luơn song song với một mặt phẳng cố định
Ví dụ 2 Cho tam gidc ABC vuơng tại A và đường thẳng A vuơng gĩc với mặt
phẳng (ABC) tai diém A Cac điểm M, N thay đổi trên đường thẳng A sao cho
(MBC) L (NBC)
a) Chứng minh rằng AM.AN khơng đối
b) Xác định vị trí của M, N để tứ diện M4MBC cĩ thể tích nhỏ nhất
Trang 5Dau dang thitc xay ra khi va chi khi m = —n = a, be +0?
AB.AC BC ˆ Vay Vuwac nho nhat khi M, N nam về hai phía của A và AM = AN =
Chú ý : Cĩ thể tính thé tich tt dién MNBC theo cách :
1 |
Vunec = Yuasc + Vvasc = ảM “SAABC † AN SABC = 2(AM + AN).SAxpgc = chim ~n)
Ví dụ 3 Cho tam gidc déu ABC cé canh a, / 1a trung điểm của ĐC, D là điểm av6 đối xứng với A qua / Dung doan SD = > vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng : a) (SAB) L (SAC) ; b) (SBC) L (SAD) Loi gidi (h.67)
Chọn hệ trục Oxyz cé géc O tring diém /,
các tia Ox, Oy lan luot tring cdc tia /D, IC, tia
Trang 6
=
4) Mặt phẳng (SAB) di qua A|-S 6i] so:-5:0] Dnủ
nên cĩ phương trình đoạn chắn : (saB): 2% - 22 4 “2-1 <0 av3 a av6 và c6 phap vecto n ni 2,4 ¬) a a a6 Mat phang (SAC) di qua | 0; | (0: 5:0) vn: sẽ] nên cĩ phương trình đoạn chắn : et 4z SAC + -~1=0 (80): TB TN và cĩ pháp vectơ 0 ial 2.2.4 ¬] : a3 a No Tac6: hg = eo 22) * 1⁄2 a 3 a3 * avo avo 4 4 =0 Do dé : (SAB) 1 (SAC) b) Mặt phẳng (SBC) cĩ cặp vectơ chỉ phương là : 8C(0;a;0) // ø(0;1;0), alse = HA -1; V6) 2
Vay (SBC) cĩ vectơ pháp tuyến H3 = |z | = (V6 0; -V3),
Mat phẳng (S47) trùng mặt phẳng toạ độ (xĨz) nên cĩ pháp vectơ nạ(0 ;1;0)
Do mày = 0 nên (SBC) L (SAD)
Ví dụ 4 Cho hình vuơng ABCD Các tia Ám và Cn cùng vuơng gĩc với mặt
ABCD và cùng chiều Các điểm M, N lần lượt thuộc Am, Cn
Chứng minh rằng (BMN) L (DMN) © (MBD) L (NBD)
Trang 7Loi gidi (h.68)
Chọn hệ trục toa độ Øxyz cĩ gốc Ĩ trùng điểm A, các tia Ĩx, Oy, Ĩz lần lượt trùng các tia AB, AD, Am Gia sử hình vuơng ABCD cé canh bang a Dat AM =m, CN=n Taco: B(a;0;0), D(O;a;0), M(0;0;m), —N(a;a;n), C(a;a;0) Mặt phẳng (8M) cĩ cặp vectơ chỉ :
phuong BM = (~a :Ơ; m), BN = (0 tớ) n) Hình 68
Do đĩ (BMN) cĩ pháp vectơ | BM, BN | = (-am ,an; -a?) {a (m ,—n3 a)
Mặt phẳng (DMM) cĩ cặp vecto chỉ phương DM = (0;-a;m), DN = (a °0; n) Do đĩ (DMN) cĩ pháp vectơ | DM, DN | = (an -am; a’ | // œ;(—n tử a) _— ——> 2 Vậy (BMN) L (DMN) © ad; = Ú mn = > (1) , Kx y Z7 yo => 11 1 Ta cĩ : (MBD): — + —+——1 =0 cĩ pháp vectơ Ø, = |—;—; — | a a m a am — Mặt phẳng (BDN) cĩ cặp vectơ chỉ phương BD = (-a;a;0), BN = (0;a3n) Do d6 (NBD) co phap vecto | BD BN | = (an tan) =4?) 1I8{n tử -d) —» —— 2 Vậy (MBD) 1L (NBD) © Ø.8; =0œ +“ T=— =0 € mm =S— (2) a a m
Từ (1) và (2) ta cĩ điều phải chứng minh
Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ đều A8C.A'#C' cĩ tất cả các cạnh bằng nhau, M là trung điểm cia BB’ Chứng minh rằng A'Ä⁄ vuơng gĩc với AC' va CB’
Trang 8Lời giải (h.69)
Gọi Ĩ là trung điểm cia AB Chọn hệ trục toạ dé Oxyz cé cac tia Ox, Oy lan lượt trùng với các tia ĨC, OB, tia Oz song song ciing chiéu vdi tia AA’ Gia su cac cạnh của hình lăng trụ bằng ¿ Khi đĩ : Z 2 2 Zi P L4 1 ' a , a 4 | 7 Cc A= 0; ;0[, B = 0; »a |, “ l I mt ABS A' — [0:2:4) Œ — [0:0] aa 77> a ý B Cc x M= 0:24.21), Hinh 69 2 2 AC’ = [S30] BB 2) CB = -# tặng}
Do ø.Ø =0, øy =0 nên A'M L ÁC' và A'M L CB
Ví dụ 6 Cho hình chĩp đều S.ABCD, đáy cĩ cạnh bằng ¿ Gọi Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của SA, $C Biết rằng BM | DN Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Lời giải (h.70)
Trang 9a h S=(0;0;h), M=|—=;0;-|, (0.030), M = [S2 :0:5) N= [-s45:0:3] (do M, N lần lượt là 242 trung điểm của SA, SC) Tacĩ: BMi =| a 7 * wa j2'2 —— DN =|—=;-=:~| —d ah = 42 4 Hinh 70 _ 2 2 2 Taco: BMDN -0@ “a ig ey - 8 2` 4 2 3
Vi du 7 Cho hình chĩp đều S.ABC, đáy cĩ cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của $8, §C Biết rằng (AMN) 1 (SBC) Tính thể tích hình chĩp
S.ABC
Lời giải (h.71)
Chọn hệ trục toạ độ Øvyz cĩ Ĩ là tâm tam giác đều ÀC, các tia Oy, Oz lan lượt trùng với các tia OB, OS, tia Ĩx cùng hướng với tia CA
Trang 10Vay (AMN) co phap vecto
—— — 3ah —ah 5a 3ah Sa’
AM,AN |= ; Ile — qdh)—— |
L ] 244 8 8/3 | ae a
Mat phang (SBC) cat truc Ov tai K($:0:0] va di qua Hoi J3 9)
(0:0; ) nên cĩ phương trình đoạn chắn : (sec) : 2" 8Y 2 120, a a Vậy (SBC) cĩ pháp vectơ AS v3 | a a 1 Ta cĩ : (AMN) L (SBC) © ø.8 = 0= ¬ - N3 + “ dena jou NB _ jấa a Su Vay Vv ay Vs ABC = | soa ABC 3 dt( )= 3 12" —d 4 24
Ví dụ 8 Cho hình chĩp S.ABŒD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP
b) Ching minh rang (ANP) 1 (ABCD)
Lời giải (h.72)
Gọi Ĩ là trung điểm của AB Chọn hệ trục
Trang 11D= a:—=:01, P= o,f av3 | 2 2 4 4 M=[S: 5:0), K -lạ,«.«3) 2 2 4 4 a) Đường thẳng MK cĩ vectơ chỉ phương là ik = (2,8 4 8 | vasa 8) Đường thang AP cĩ vectơ chỉ phương là AP = ý Ti cải I0: l; v3) Ta cĩ : | 2, B| = (2V3;-4V3;0), AK = [0 tin AR a, a, B |
Vay d(MK, AP) = ax [ea] is” 25 _ 3V3Ba _ 3a
b) Mặt phẳng (ANP) cĩ cặp vectơ chỉ phương là NP = lý i8 Juäil:~j3) 2 4 AB (4.8 | “ last) Do đĩ (ANP) cĩ pháp vectơ là |z, 6 | = (2V3 ; -4V3 ;0) // n,(1;-20) Mặt phẳng (ABCD) cé phap vectơ là n, = (0;0; 1) Do 1.7 = 0 nén (ANP) 1 (ABCD)
Vi du 9 Trong hé toa dé Oxyz cho hinh hop ABCD.A'B'C'D' c6 A(O ; 0; 0), D(O; 1; 0), DO; 1; 2), BU ; 0; 2) Goi E 1a diém d6i xing với A qua 8 Điểm # thuộc đoạn CD sao cho mat phang (A'ME) tạo với mat (ABB'A’') gĩc ø thoả mãn
tang = V2
Trang 12a) Viết phương trình mat phang (A'ME)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C, 8, Ð' và cĩ tâm thuộc mặt phẳng (A ME) Lời giải (h.73) Dễ dàng suy ra được toạ độ của z các điểm At(0:0;2), B(1;0;0), A B IN ss C(;1:0), Œ{(1:1;2), £(2:0;0) p/ 1S TA C° Dat DM =1(0 <1 <1) Khi dé 1 1 7 a Bo M = (t;1;0) r 1 7 E + - 3 ' A 4 / \ - £
Trang 13b) (S) di qua C, B', D' nén cé tam / thu6c céc mat phang (a), (9) lan luot 14 cdc
mat phang trung truc cla CB’, CD"
(a) di qua trung diém KỈ 3 | của ŒØ' và cĩ pháp vectơ CB' = (0; -] ;2)
Vậy (ø): ~[y = 3] 3 ~ I)= 0 © 2y-4z+3=0
() đi qua trung điểm nee l; ) của CÐ' và cĩ pháp vectơ Ð'C = (1:0: —2) Do ):1{x~z]+0@=1)=2=1)=0 ôâ 2v-4z+3=0 Vy toa độ của / là nghiệm của hệ x+y+z-2=0 2y—=4z+3=0 >1=[ 2:1] 2v=4z+3=0 Mặt cầu (S) cĩ ban kinh R = IC = fe Vay (8): (-;] +(»-4) +(z- = > 2 Bài tập
1 Cho tứ diện OABC vuơng tại Ĩ Các mặt phang (OBC), (OCA), (OAB) tao véi
mặt phẳng (ABC) các gĩc ø, Ø, y tuong tng Goi Sy, 5x, Š;, S%c lần lượt là diện
tích các mặt đối diện với các đỉnh Ĩ, A, B8, C của tứ diện Chứng minh rằng : l l l a) 7a s†+ với H là hình chiếu vuơng gĩc cua O OH OA OB ĨC trên (ABC)
b) Sy” = Sy? + Sp’ + Se”
c) sin’a@ + sin? B + sin? y = 2
Cho tứ diện OABC vuơng tại Ĩ Điểm P bất kì thuộc mặt phẳng (ABC) Gọi ø
là gĩc giữa đường thẳng ĨP và mp(ABC) Chứng minh rằng :
Hi ——I +| —| BPY (cPŸỶ +|——|] = 2+ cotan“ø 2
AO) \BØ} (CO
Trang 14Cho hình chit nhat ABCD cé AB =a, AD = b Các tia Am và Cn cùng hướng và
vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các
tia Am, Cn sao cho (MBD) L (NBD) Chứng minh rằng AM.CN khơng đổi
Cho hình chĩp đều S.ABCD, đáy cĩ cạnh bằng a Goi Ä⁄, N lần lượt là trung
điểm của SA và 8C, Ĩ là tâm của đáy ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng
(ABCD) gĩc 30”
a) Chứng minh rằng : SỞ = MN
b) Tính gĩc giữa MN và (SBD)
Cho hình chĩp S.ABC cĩ $4 vuơng gĩc với mặt (ABC) Tam giác ABC vuơng
tại 8, AB = a, BC = b Đường thang SC tao véi mat phang (ABC) géc 60° Tinh
thể tích hình chĩp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Cho hình chĩp đều S.AĐC, đáy cĩ cạnh bằng a Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của SA, $C Biết 8M 1 AN Tính thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chop S.ABC
Cho điểm M nằm trong gĩc tam diện vuơng Oxyz Mặt phẳng (ơ) thay đổi đi
qua M và cắt các tia Ĩx, Ĩy, Ĩz lần lượt tại các điểm phân biệt A, B, C Tim
giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC
Cho hai đường thẳng chéo nhau ¿, b-vuơng gĩc với nhau, nhận AB làm đoạn
vuơng gĩc chung (A thuộc ø¿, B thuộc b) Các điểm Mí, N lần lượt thay đổi trên a, b sao cho MN = AM + BN Chimg minh rang khoảng cách từ trung diém O của đoạn A8 tới đường thăng MN khơng đổi Từ đĩ suy ra MN luơn tiếp xúc
với mặt cầu đường kính A8
Trong khơng gian toạ độ cho các điểm A(0 ; 0; 1), D(0; 2; 0) Các điểm B va
C thay đổi trên truc Ox sao cho (ACD) L (ABD) Xác định vị trí của B và €
để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất Ứng với vị trí đĩ, viết phương trình mặt phẳng (z) chứa AD và tạo với các mặt (ACD), (ABD) những gĩc bằng nhau 10 Trong khơng gian toạ độ Ĩxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' cĩ A(0; ¬] ;0),
220
C(2:1;0), 8(2;-1;2), D(0;1;2) Các điểm 4, N lần lượt thay đổi trên
các đoạn A'8' và 8C sao cho D'M L AN
Trang 15Loi giai
1 Chon hé toa độ Ĩvyz như hình 74
Giả sit OA =a, OB = b, ĨC = c, khi đĩ O =(0;0;0), A = (a;0;0), B = (0;b;0),C = (0;05c) a) Mặt phẳng (ABC) cĩ phương trình : +—=1 Hinh 74 => = + +
OH? OA? OB? OC?
Trang 18Goi a 1a géc giữa MN và (SBD), ta cĩ : n.MN TG sinø =;= = = jalan aV30 5 6
Chon hé toa dé Oxyz nhu hinh 78
Gia sir SA =h, khi dé: B = (0;0;0), A =(a;0;0), C =(0;5;0), S =(a;0;h)
=> SC = (-a;b;-A)
Trang 19Gọi V là thể tích hình chĩp, ta cĩ :
1 1 1 2 na
V =—SA.S,„„e 3 AABC = —§A.BA.BC = —ab l3(a2 + bˆÌ 6 6 ( )
Trang 207 Chon hé toa d6 Oxyz nhu hình 80 Z Giả sử M = (xo ; vụ ;zạ) và mặt phẳng (2) C cắt Ox, Oy, Ĩz tại các điểm : A(a; 0;0), B(0 ; b; 0), C(0;0; c} Khi đĩ, mặt phẳng (ø) cĩ phương trình : o 5 ` “+ Cư], abe A Taco: Voagc = abe Hinh 80 Vi M « (a) nén “o , X04 70 2], a b Cc Suy ra 1 > 33 02020, (bất đẳng thức Cơ-si) abe 27 => abc > 27 Xy¥y2y => Woapc > = a = 3X - » a ] Di" xây rap ®=- WH!) 3, a b Cc 3 c= 32
8 Ké Ay//b Dé thay Ay L a, Ay L AB
Trang 21[“v,om | P + mẫn Dođĩ d(O,MN) = = MN J m+n? +h?
Vậy khoảng cách từ Ĩ đến MN khơng đổi và bằng = Do đĩ MN luơn tiếp
xúc với mặt cầu đường kính AƯ 9 (h82) Giả sử B =(b;0;0), C=(c;0;0) Khi đĩ (ABD) cĩ phương trình : ot 5 +z=l và cĩ vectơ > 1 1 hap tuyén nv» = | —;—; l| phap tuyen 7 (435 Mat phang (ACD) c6 phuong trình : ~ + 5 +z=l v  Hỡnh Đ2
c vect pháp tuyến " = fara c
Trang 22Dau "=" xay ra = BO = CO = 2 Khi đĩ, mp(4ĨD) tạo với các mặt phẳng i
(ACD), (ABD) những gĩc bằng nhau và do d6, mat phang (a) qua AD va vuơng gĩc với (AĨD) cũng tạo với các mặt (ACĐD), (ABD) những gĩc bằng nhau
(AOD) cĩ phương trình : x = 0 và cĩ vectơ pháp tuyến ø(1;0; 0)
Mặt phẳng (ø) cĩ vectơ pháp tuyến m = E AD] = (0; 1; 2) Do đĩ (a) cĩ phương trình : O.(x — 0) + L(y - 0) +2(z-1) =0 hay y+2z-2=0 10 (h.83) Ta cĩ : AC =(2;2;0), 8!D' = (-2;2;0) D' C => AC L B'D' vaAC= B'D' => AC 1 BD va AC = BD => ABCD 1a hinh vuơng 1D _——_—_ | _lc ' ' At— 5 1 l
Tương tự, ta chứng minh được các mặt cịn lại / LỢN
Trang 23230 BC cĩ phương trình : 2 =-l+2s (1,5 € R) 0 Nw & Do M, N nam trén cdc doan A'B' va BC nén M =(2r;-1;2), N=(2;-1+2s;0) vai0<sr<slO<ss<l Theo gia thiét D'M | AN > D'M.AN =O0>1t=s => MN = (2 - 2r;2r;-2)