tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương phá p cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số

Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ Window Design Techniques, Phương pháp lấy mẫu tần số Frequency Sampling Design Techniques và Phương

LỜI MỞ ĐẦU

Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ

sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự độnghoá Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD,VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa

lý, bản đồ số, viễn thông v.v

Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất

trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter) Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể

chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải vàchắn dải Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương

pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques) Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và

ưu khuyết điểm riêng

Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, nhóm tôi xin phép được trình bày bàitoán thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần

số Nội dung tiểu luận được chia thành 5 chương:

Chương 1: Bài toán thiết kế

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của bộ lọc FIR

Chương 3: Phương pháp thiết kế

- Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

- Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số

Chương 4:Chương trình thiết kế

Chương 5:Kết luận

Nhóm tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS Ngô Văn Sỹ đã tận tình hướng dẫn,

truyền đạt những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo cho tôiphương pháp làm việc khoa học

Trong quá trình làm tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránhkhỏi những sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các anh chị và các bạn họcviên trong lớp để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn

Đà Nẵng, ngày 15 tháng 9 năm 2009

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN THIẾT KẾ

Thiết kế một bộ lọc thông dãi BPF(Band Pass Filte) nghĩa là tìm hàm truyền hệ thống H(z) hoặc phương trình hiệu của nó) có dải thông [ 1P,  2P] với dung sai P (hoặc Rp theo dB) và dải chắn [0 ,  S] và [2S,  ] với dung sai S (hoặc As theo dB).

AS: Suy hao dãi chắn

Rp: Độ gợn sóng trong dãi thông

Thiết kế bộ lọc thỏa mãn các chỉ tiêu đã cho với cấu trúc đơn giản nhất

Các thông số thiết kế:

dB A

db R

dB R

dB A

S s

p p

p p

S S

60

; 8 , 0

1

; 65 , 0

1

; 35 , 0

60

; 2 , 0

Chương này sẽ trình bày sơ lược cơ sở lý thuyết thiết kế bộ lọc số FIR, cùng vớicác phương pháp thiết kế nó, từ đó tìm hiểu thiết kế bộ lọc thông dãi theo cấu trúc FIRbằng phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số.

Đáp ứng tần số là cách rất hiệu quả và thực tế để đặc trưng một bộ lọc Khi biếtmột bộ lọc, tức là biết phương trình hiệu số của nó hay biết các hệ số của nó, ta có thểtính được đáp ứng xung và đáp ứng tần số - Đây là bài toán phân tích Ngược lại, khi biếtđược yêu cầu đáp ứng tần số của bộ lọc, ta tìm các hệ số của bộ lọc, từ đây có thể viếtphương trình hiệu số của nó, sao cho đáp ứng tần số càng sát với yêu cầu càng tốt - đây làbài toán thiết kế Bài toán thiết kế thường phức tạp hơn vì có nhiều phương pháp thiết kếkhác nhau

Quá trình thiết kế bộ lọc được bắt đầu với các đặc tính của bộ lọc bao gồm cácràng buộc về biên độ và pha của đáp ứng tần số, về biên độ hoặc pha của đáp ứng tần số,các ràng buộc về đáp ứng xung đơn vị hoặc đáp ứng nấc của bộ lọc Sau khi đã xác địnhđược các đặc tính bộ lọc, ta tiếp tục tìm tập các hệ số của bộ lọc mà các hệ số tạo ra một

bộ lọc chấp nhận được Bước sau cùng là dùng hệ thống phần cứng hoặc phần mềm minhhọa, lượng tử hoá các hệ số của bộ lọc và chọn cấu trúc bộ lọc thích hợp

2.1 Bộ lọc – lọc số:

2.1.1. Bộ lọc:

Bộ lọc là một hệ thống xử lý tín hiệu thực hiện chức năng chọn lọc tín hiệu theotần số (bộ lọc cho tín hiệu trong một dãi tần số nào đó đi qua và ngăn không cho tín hiệutrong các dãi tần khác đi qua) Dãi cho qua gọi là dãi thông, và dãi không cho qua gọi làdãi chắn

2.1.2. Lọc số:

Lọc số là một trường hợp riêng của bộ lọc Trong đó tín hiệu vào là số và tín hiệu

ra là số thường dùng máy tính, IC, vi xử lý

Sơ đồ khối chức năng của quá trình lọc số:

Hình 2.1: sơ đồ khối chức năng quá trình lọc

 Phân loại lọc số:

- Dựa vào dãi thông và dãi chắn chia làm 4 loại:

(khôiphục)

Th

A

Th ra

o Lọc thông thấp LPF.

o Lọc thông cao HPF

o Lọc thông dãi BPF

o Lọc chắn dãi BSF

- Căn cứ vào độ dài của đáp ứng xung h(n) của bộ lọc:

o Đáp ứng xung hửu hạn (lọc FIR)

o Đáp ứng xung vô hạn (lọc IIR)

- Dựa vào tính nhân quả (khả năng thực hiện bộ lọc):

o Bộ lọc lý tưởng

o Bộ lọc thực tế

2.2 Lọc FIR thông dãi

2.2.1. Khái niệm lọc FIR thông dãi

Lọc FIR pha tuyến tính có H(n) dài hữu hạn N (0 nM  1)

Các bộ lọc thường được kết nối với nhau để tạo ra hệ thống có các tính chất mongmuốn Hai loại kết nối tổng quát là nối tiếp (hay còn gọi là nối tầng - cascade) và ghépsong song Ở đây hai hệ thống kết nối là tuyến tính và bất biến

Bộ lọc thông dải theo cấu trúc FIR thiết lập từ việc xây dựng bằng cách tổ hợp

(ghép song song) hai bộ lọc thông thấp với nhau Hai bộ lọc thông thấp thiết lập một dảitần số băng thông có tần số cắt C1, C2 tương ứng như mô tả hình 2.2 dưới đây:

Hình 2.2: Mô tả sự tạo thành bộ lọc thông dãi

1 1 0

)

n

n n

M

b z

b b z

0

1 0

) (

M n va n

M n b

) 1 ( ) ( ) (n b0x n b1x n  b 1x n M 

Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn

Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các

hệ số) Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với cáccấu trúc bộ lọc IIR Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một đáp ứngpha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng

Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây:

2.2.2.1Cấu trúc dạng trực tiếp

Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không cóđường phản hồi:

) 1 (

) 1 ( ) ( ) (n b0x n b1x n  b 1x n M 

Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất Cấu

trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 1.2 với M = 5:

2.2.2.2Cấu trúc dạng ghép tầng:

Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ sốthực Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầngcủa các khâu bậc 2

b

b b z

b z

b b z

0

1 1

0

1 0

1 1

1 1

2 2 , k

1 1 , k

0 ( 1 B z B z ) b

b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3 z-1 b4

y(n)x(n)

Hình 2.3: Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp

Trong đó  

2

M

K , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu

bậc 2 Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 2.4 với M = 7:

2.2.2.3Cấu trúc dạng pha tuyến tính:

Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyếntính theo tần số, nghĩa là:

Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điềukiện tuyến tính là:

1 0

, 0 );

1 ( ) (n h M   n  nM 

1 0

, 2 / );

1 ( ) (n  h M   n   nM 

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.5) với đáp ứngxung đối xứng trong phương trình (1.9), ta có:

) 1 (

) 2 (

) 1 ( ) ( )

Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6

Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệmđược 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp

2.2.3. Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần sốtrong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính

Cho h(n), trong đó 0  n  M – 1, là đáp ứng xung có chiều dài N thì hàm truyền hệthống là:

1 ( 1

0

)()

()

n

n M N

N

n

z n h z

j h n e e

1 ,

1 0

), 1 ( )

M n n

M h n

xung được mô tả bằng hình 2.6 dưới đây:

 M chẵn:Trong trường hợp này, M2 1

 là một số nguyên Đáp ứng xung ứng

xung được mô tả bằng hình 2.7 dưới đây:

Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha

Hình 2.7: Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn Hình 2.6 Đáp ứng xung đối xứng M lẻ

Là hằng số, chính là trễ nhóm ( là một hằng số trễ nhóm) Trong trường hợp này,các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi Nhưng một số tần số có thể được làmtrễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:

1 M n 0 ), n 1 M ( h ) n (

2

, 2

 M lẻ: Trong trường hợp này,  M 2 1 là một số nguyên Đáp ứng xung được

mô tả bằng hình 2.8 dưới đây:

Lưu ý rằng mẫu h() tại  M 2 1 phải bằng 0, nghĩa là, 0

2

1 M

2.2.3.2Đáp ứng tần số H(ejwn)

Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểulọc FIR pha tuyến tính Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng Đểnghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(ej) như sau:

2

1 M ,

2

; e ) e ( H ) e (

Trong đó H r (e j ) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng

biên độ Đáp ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đápứng biên độ luôn luôn dương Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàmkhông liên tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này   0,  M 2 1 là một biến nguyên, và h n  hM  1  n,

2 / 1 M

0 n

j ) a n cos n e e

2

3 M n

1   

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn

Trong trường hợp này   0, h n  hM  1  n, 0nM1, nhưng

Hình 2.9 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

  j  M 1  / 2 2

/ M

1 n

2

1ncosnb)

e(

1 n r

2

1 n cos n b ) ( H

Lưu ý: Tại   , ta có   0

2

1 n cos n b ) (

H M/2

1 n

quan tâm đến b(n) hoặc h(n) Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng,

M chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này ta có  2,  M 2 1 là một biến nguyên, h n   hM  1  n,

/ 1 M

0 n

j ) c n sin n ee

(H

2

M , , 2 , 1

0 n

r c n sin n H

Lưu ý: Tại 0 và   , ta có Hr  0 mà không cần quan tâm c(n) hoặch(n) Hơn thế nữa, ej2 j

, điều đó có nghĩa là jHr  là thuần ảo Do đó, loại bộ lọcnày không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao Tuy nhiên,điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý tưởng

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4(Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

Trong trường hợp này  2, h n   hM  1  n , 0nM1, nhưng  M 2 1không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:

/ M

1 n

2

1nsinnd)

e(HTrong đó:

2

M , , 2 , 1

2

1 n sin n d ) ( H

Lưu ý: Tại   , Hr(0)0 và ej2 j

 Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việcthiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số

Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biếnđổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu:

         





 1

0

M

n

n j e n h n

h FT

2 1 2

1

,,

Khi

,,

0

1

c c c

c

c c c

c

va

va khi

n Sin d

e d

e n

h

C

C C

C

C C

n j n

C C

1 1

2

2 2

1

2 1

2 / ) (

2 2 2

1 1 1

P S C

P S C

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ

3.1 Phương pháp cửa sổ

Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế là: chọn một bộ lọc chọn tần lý tưởng (mà đáp

ứng xung luôn luôn phi nhân quả, dài vô hạn) và cắt (lấy cửa sổ - window) đáp ứng xung của nó để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả (linear phase and causal

FIR filter) Bởi vậy, điểm quan trọng trong phương pháp này là việc chọn một hàm cửa

sổ thích hợp và một bộ lọc lý tưởng tương ứng

Bộ lọc thông thấp lý tưởng (ideal LPF) có tần số cắt  c <  được cho bởi:

d

nêu

nêu e

e H

, 0

, 1 ) (

e e H e

H F n

d

j d d

sin 2

1 )

Chú ý rằng h d (n) là đối xứng theo , sự kiện này tiện dụng cho bộ lọc FIR có pha

tuyến tính Ngoài ra h d (n) có độ dài vô hạn và phi nhân quả.

Để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả h(n) có độ dài M, ta cần có:

Thao tác này được gọi là lấy cửa sổ (window) Tổng quát, đáp ứng xung h(n) có thể có được bằng cách lấy đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng h d (n) nhân với hàm cửa sổ w(n) như sau:

h(n) = h d (n).(n)

Tuỳ thuộc vào cách định nghĩa hàm cửa sổ (n) (window function) chúng ta có

những cửa sổ thiết kế khác nhau Chẳng hạn nếu dùng cửa sổ chữ nhật (Rectangular), thìhàm cửa sổ được định nghĩa:







 , 0

, 1 )

(n w

Trong miền tần số, đáp ứng của lọc FIR nhân quả H(e j) chính là tích chập vòng của đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng H d (e j) và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ W(e j) :

H(e j) = H d (e j)  W(e j)

Hình dạng của H(e j) có thể được mô tả trực quan trên hình 3.1 Từ hình vẽ này

chúng ta có một số nhận xét quan trọng sau đây:

2

1 ,

0

1 0

) ( )

h n

nếu 0 n  M-1

 Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn, đáp ứng của nó có một búp chính

(main-lobe) có độ rộng tỷ lệ với 1/M, và các búp bên (side-lobe) của nó có chiều

cao thấp hơn

 Tích chập tuần hoàn sinh ra một phiên bản méo của đáp ứng xung lý tưởng H d (e



j ).

 Búp chính (main-lobe) sinh ra một dải chuyển tiếp trong H(e j) mà độ rộng là

nguyên nhân tạo nên độ rộng dải chuyển tiếp (transition bandwidth) Độ rộng

này tỷ lệ với 1/M Độ rộng búp chính càng lớn thì độ rộng dải chuyển tiếp cànglớn

 Các búp bên (side-lobes) sinh ra các gợn sóng có hình dạng như nhau trong cả

dải thông và dải chắn

Với các chỉ tiêu bộ lọc đã cho, chọn chiều dài bộ lọc và một hàm cửa sổ w(n) với

độ rộng main-lobe hẹp nhất và hệ số suy giảm side-lobe bé nhất có thể được Từ nhận xét

4 nêu trên ta chú ý rằng dung sai dải thông 1 và dung sai dải chắn 2 không thể ấn định

Tiếp theo chúng ta xem xét các hàm cửa sổ thường được dùng, bao gồm: cửa sổchữ nhật (Rectangular), cửa sổ tam giác (Bartlett), cửa sổ Hanning, cửa sổ Hamming, cửa

sổ Blackman và cửa sổ Kaiser

3.1.1 Cửa sổ chữ nhật (Rectangular Window)

Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:

3.1.2 Cửa sổ tam giác (Bartlett Window)

Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọnmột cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Bartlett

Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:

3.1.3 Cửa sổ Hanning (Hanning Window)

3.1.4 Cửa sổ Hamming (Hamming Window)

3.1.5 Cửa sổ Blackman (Blackman Window)

M-1 2

cos 08 0

2 cos 5 0 42

cos 08 0

2 cos 5 0 42

1

1 1

1

2 2

2 2

S

C C

C

S

C C

C

f

F f

f

F f

2 / ) (

2 2 2

1 1 1

P S C

P S C

f f f

f f f

- Tính h(n) lý tưởng

- Dịch chuyển h(n) sang phải M2 1mẫu, sau đó nhân với w(n)N

) ( ) 2

1 (

)

(n h n M w n

Hd(n): là đáp ứng xung của bộ lọc thiết kế

- Từ Hd(n) tính Hd(Z) → Xây dựng sơ đồ cấu trúc

- Lượng tử hóa và mã hóa các hệ số của bộ lọc

- Kiểm tra lại: Nếu không thỏa mãn yêu cầu thì tăng độ dài từ mã biểu diễn hệ số

bộ lọc

Hình 3.2Hình dạng một số cửa sổ thường dùng