Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bước Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Do đó, hình vẽ tốn cho có chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D(0; a; 0) D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ cho:   Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng Khi a a a a ;0;0); C ( ;0;0); ; B(0;  ;0); D(0; ;0) 2 2 S (0;0; h) A( Với hình chóp tam giác S.ABC cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi đó: a a A( ;0;0); B( ;0;0) 2 a a C (0; ;0); S (0; ; h) cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O a a a AB   CH  , HI  => suy dc tọa độ đỉnh 2 a a a a a A( ;  ;0)  xy; B( ;  ;0)  xy, C (0; ;0)  oy; 6 a a S (0;  ; h)  yz; I (0;  ;0)  y 6 cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0), tính CI  a a B( ; ;0)  xy; a a C ( ; ;0)  xy, a S (0; ; h)  oz Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng A Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vuông B Tam giác ABC vng B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vuông C ΔABC vuông C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng A hình a) ΔABC vng A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0) a a a ;0), B(0,  ;0); C ( ;0;0) S (0;0; h) 2 11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vng O Khi đó: A(0; z y O x Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán: Các dạng câu hỏi thường gặp 1.khoảng cách điểm : (ý phụ)  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) Cách 1:( d qua M0 có vtcp u ) [M M , u ] d ( M , )  u Cách 2: Phương pháp :  Lập ptmp(  )đi qua M vàvng gócvới (d)  Tìm tọa độ giao điểm H mp(  ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho côngthức d (M , )  Ax  By0  Cz0  D A2  B  C 4.khoảng cách mặt phẳng //: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5.khoảng cách đường thẳng A, Khoảng cách hai đường chéo  Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a  (a1; a2 ; a3 ) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) d (d , d ')  [a, a '].MM '  [a, a '] Vhop Sday  Cách 2: d điqua M(x0;y0;z0);có vtcp a  (a1; a2 ; a3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) Phương pháp :  Lập ptmp(  )chứa d songsong với d’ d(d,d’)= d(M’,(  )) ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ  AB, CD  AC   chúng d ( AB, CD)   AB, CD    B khoảng cách đường thẳng //: -Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  góc đường thẳng  Góc hai đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 ) (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '  (a '1 ; a '2 ; a '3 ) a.a ' cos  cos(a, a ')   a a' a1.a '1  a2 a '2  a3 a '3 a12  a22  a32 a '12  a '22  a '32 7.góc mặt phẳng  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cos = cos(n P , nQ )  n P nQ nP nQ  A.A'  B.B ' C.C ' A  B  C A '2  B '2  C '2 8.góc đường thẳng mặt phẳng () qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n  ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp () mp(α) sin   cos(a, n)  Aa1 +Ba +Ca A  B  C a12  a22  a32 diện tích thiết diện  Diện tích tam giác : S ABC  [ AB, AC ]  Diện tích hình bình hành: SABCD= [ AB, AD] 10.thể tích khối đa diện - Thểtích chóp: Vchóp = 1 Sđáy.h Hoặc VABCD= [ AB, AC ] AD (nếu biết hết tọa độ đỉnh) - Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC BỔ XUNG Dấu hiệu nhận biết hình: 1): Dấ u hiê ̣u nhận biế t hình thang, hình thang vuông, hình thang cân: - Tứ giác có hai ca ̣nh đố i song song - Hin ̀ h thang có mô ̣t góc vuông là hin ̀ h thang vuông - Hình thang có hai góc kề mô ̣t đáy là hình thang cân - Hình thang có hai ca ̣nh bên bằ ng là hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo bằ ng là hiǹ h thang cân 2): Dấ u hiê ̣u nhận biế t hình bình hành (Có dấ u hiê ̣u nhận biế t): - Tứ giác có các că ̣p ca ̣nh đố i song song - Tứ giác có các că ̣p ca ̣nh đố i bằ ng - Tứ giác có hai ca ̣nh đố i song song và bằ ng - Tứ giác có các góc đố i bằ ng - Tứ giác có hai đường chéo cắ t ta ̣i trung điể m mỗi đường 3): Hình chữ nhật (có dấ u hiê ̣u nhận biế t): - Tứ giác có góc vuông - Hình thang cân có mô ̣t gócvuông - Hình biǹ h hành có mô ̣t góc vuông - Hin ̀ h biǹ h hành có hai đường chéo bằ ng 4): Hình thoi (có dấ u hiê ̣u nhận biế t): - Tứ giác có ca ̣nh bằ ng - Hình biǹ h hành cá hai ca ̣nh kề bằ ng - Hình biǹ h hành có hai đường chéo vuông góc - Hin ̀ h biǹ h hành có đường chéo là đường phân giác cùa góc 5): Hình vuông (có dấ u hiê ̣u nhận biế t): - Hình chữ nhâ ̣t có hai ca ̣nh kề bằ ng - Hình chữ nhâ ̣t có hai đường chéo vuông góc - Hình chứ nhâ ̣t có đường chéo là đường phân giác của mô ̣t góc - Hin ̀ h thoi có mô ̣t góc vuông - Hin ̀ h thoi có hai đường chéo bằ ng II: Bài tập vận dụng: Dạng 1: Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 1.(ĐHA-2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 1.Gọi M, N trung điểm AB CD A, tính thể tích khối chóp M.A’B’D’ b Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Đ/S: d = 2 Bài 2: (ĐHB- 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a A Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D B Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N a Đ/S: Đáp số: A B MP C 'N Bài 3: (ĐH A – 2003): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘có AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với a 2b Đ/S: a, v  , b a:b = Dạng 2: hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Bài 1: (ĐH– 2006) Cho hình hộp đứng ABCD A’ B’ C’ D’ có cạnh AB= AD = a, AA'= a góc BAD  600 Gọi M N trung điểm cạnh A’ D’ A’B’ A,Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng BDM  B, Tính thể tích khối chóp A BDMN C, Tính khoảng cách đường thẳng AB C’D’ 3a3 Đ/S: V  16 Dạng 3.Hình chóp tam giác S.ABC (Dấu hiệu: Đáy tam giác cạnh a, đường cao vng góc với đáy) Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC A,Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) B, Tính khoảng cách đường thẳng SC AB Bài tập tổng hợp Câu 1: THPT Đông Sơn 1- lần 2- 2015 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M trung điểm SC Biết AB  a , BC  a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM a3 Đ/S: V= 12 Câu 2: THPT Chuyên ban Hạ Long – 2015 Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC tam giác cạnh a Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 độ Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến (SAC) theo a Đ/S: V  a3 3a 13 ;d= 16 13 Câu 3: THPT Hậu Lộc - 2015 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, AB= 2a , AC  2a Hình chiếu vng góc S (ABC) H, H trung điểm AB Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 30 độ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm M trung điểm cạnh BC đến (SAC) Câu 4: THPT Lương Thế Vinh – HN - 2015 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tam giác SAB cân S nằm tring mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu S lên ABCD trung điểm H cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABCD) 45 độ Gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) Câu 5: THPT Đào Duy Từ - TH - 2015 a 17 Hình chiếu vng góc H S (ABCD) trung điểm AB Gọi K trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách HK SD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Quyết định thành cơng toán) Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán Các dạng tốn thường gặp:  Định tính: Chứng minh quan hệ vng góc, song song, …  Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …  Bài tốn cực trị, quỹ tích …………… Ta thường gặp dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM z Cách 1: a A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0), N a a   a a 3 M  ; ;  , gọi N trung điểm AC  N  0; ;  2 2     MN đường trung bình tam giác ABC  AB // MN  AB //(OMN)  d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) C O a B x M a y a a OM   ; ; 2   a a 3  , ON   0; ;  2     3a a a  a [OM ; ON ]   ; ;    4 4     3; 1;  a2 n , với n  ( 3; 1; 1) Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : x  y  z  3.a   Ta có: d ( B; (OMN ))  11  a  a 15 a 15 Vậy, d ( AB; OM )  5 Cách 2: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)  OM // (ABN)  d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK  BN , OH  AK ( K  BN ; H  AK ) a N A O C a Ta có: AO  (OBC ); OK  BN  AK  BN M BN  OK ; BN  AK  BN  ( AOK )  BN  OH OH  AK ; OH  BN  OH  ( ABN )  d (O; ( ABN )  OH a B Từ tam giác vng OAK; ONB có:           OH  a 15 a 15 Vậy, d (OM ; AB)  OH  5 OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a b Dạng khác Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vng C Độ dài cạnh SA =4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC) Hướng dẫn giải z Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: S A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy  SHB  ,  SBC    IH , IK  (1) SB  (1; 3; 4) , SC  (0; 3; 4) suy ra: I K  x  1 t x  y   A ptts SB:  y   3t , SC:  y   3t (P): x + 3y – 4z – = C  z  4t  z  4t   M H IH IK 15 51 32  I  ; ;  , K  0; ;   cos   SHB  ,  SBC    =… B x IH IK 8 2  25 25  Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o Cách 1: BC  a a a Gọi M trung điểm BC  AM  ; AG  z Gọi E, F hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF hình vng a x  AG  AE  AE  AF  Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vng góc, A(0;0;0), B(a;0;0), a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ;  , S  ; ; x  3  2  C F A a a   2a a   a 2a  SA   ; ; x  , SB   ;  ;  x  , SC    ; ;  x  y G E 3     3  B M a a  DC1   ;  ; a  a    DG, DM   (t  3a; 3(t  a ); a 3) Ta có:    DM   0; a; t  a    DG, DM   a (t  3a)  3(t  a)  3a 2 a 4t  12at  15a 2 a SDC1M  4t  12at  15a 2 Giá trị lớn SDC1M tùy thuộc vào giá trị tham số t  Xét f(t) = 4t2  12at + 15a2 f(t) = 4t2  12at + 15a2 f '(t) = 8t 12a 3a f '(t )   t  (t [0;2a]) Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn S DC1M  a 15 t =0 hay M  A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật III CÁC DẠNG BÀI TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho ABC vuông A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm ABC 1 1    Chứng minh 2 OH OA OB OC Chứng minh cos2   cos2   cos2   Chứng minh cos   cos   cos   Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc  (OMN) (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP 1 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông   a b c Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, ( ABC ), (SBC )  600 Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vuông góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) (SCD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA  a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng () qua AB vng góc với SC Tìm điều kiện h theo a để () cắt cạnh SC K Tính diện tích ABK Tính h theo a để () chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  cm Mặt phẳng () qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với () Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Tìm điều kiện a b để cos CMN  Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) Mặt phẳng () qua H vuông góc với SC I Chứng tỏ () cắt cạnh SB, SD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO  2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng () qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0  m  a ) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m  , gọi K giao điểm BM AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) (SBK) 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0  k  a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa AM  mAD, BN  mBB ' (0  m  1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường trịn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD  600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng () qua B vng góc với B’C Tìm điều kiện a, b, c để () cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C C’) Cho () cắt CC’ I a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy  GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :  Ý nghóa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào quan hệ hình học nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc  mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S '  S cos 2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta có: V ' ' ' SA ' SB ' SC ' S.A B C  V S ABC SA SB SC Ta thường gặp dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = zM = Tương tự M(1; 2; 3) x y z pt(ABC): a b c M (ABC) (1) a b c VO.ABC abc (2) 3 (1) 33 a b c a b c abc 27 27 (2) Vmin a b c Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh raèng : 2S  abc  a  b  c  (Dự bị – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) BC   c; b;  ,BD   c; 0;a  ,  BC,BD    ab;ac; bc  1 2 SBCD   BC,BD   a b  a c2  b c 2 z D y A C B x ñpcm  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c)  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c) Theo BÑT Cauchy ta : a2 b2 +b2 c2  2ab2 c   b2 c2 +c2 a2  2bc2 a  Coäng veá : a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c) c2 a2  a2 b2  2ca2 b  b Dạng khác Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0) mp(P) qua H vuông góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy [H, SB, C] = IH, IK (1) SB ( 1; 3; 4) , SC (0; 3; 4) suy ra: x t x ptts SB: y 3t , SC: y z z 4t 3t 4t (P): x + 3y – 4z – = 15 51 32 I ; ; , K 0; ; 8 25 25 IH.IK =… IH.IK Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K cos[H, SB, C] Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: a AI BC 2 a a OA , OI Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a ; 0; O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a ; 0; , B I a ; C N a ; 12 n(AMN) (AMN) a ;0 ,M a a ; ;0 , a a h ; ; 12 a h ; AM, AN (SBC) ah 5a ; 0; , n(SBC) 24 n(AMN).n(SBC) h2 5a2 12 SB, SC S AMN ah; 0; a2 AM, AN a2 10 16 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: a a a a a ; b; , D ; 0; , S 0; 0; H(0; 0; 0), A ; 0; , B ; b; , C 2 2 Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng Ví dụ: Cho h×nh lập phơng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vuông góc mp (A'BD) Z D' C' I' A' B' D Y O C I A B X Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho O  A; B  Ox; D Oy A' Oz Giả sử hình lập phơng ABCD A'B'C'D' có cạnh a đơn vị A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn mặt phẳng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC) Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) z B O A C y D x Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy vµ B  Oz A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phơng trình đoạn chắn cđa (BCD) lµ: x y z     3x + 3y + 4z – 12 = 4 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là: Nhn mnh cho hc sinh: II Ph-ơng pháp giải: Để giải toán hình học không gian ph-ơng pháp sử dụng tọa độ Đề không gian ta làm nh- sau: * B-ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết * B-ớc 2: Chuyển hẳn toán sang hình học giải tích không gian B»ng c¸ch: + ThiÕt lËp biĨu thøc cho gi¸ trị cần xác định + Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh + Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm cực trị + Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm quỹ tích v.v III Luyện tập Bài 1: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC H chân đ-ờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G SAC Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy 3 6 ;  ;0) ; C ( ; ;0) ; S (0;0 ) ; I (0;0; ) Tọa độ ®iÓm: A( ;0;0) ; B( 3 6 6 ; ; ;0; ) ) ;   BC , IC   ( 6 6 Phơng trình mặt phẳng (IBC) là: 6 ( x 0)  0( y  0)  (z  )0 6 6 )  SA // u SA (1;0;  2)  mà ta lại có: SA  ( ;0;  Hay:   z  3  t ; y 0; z 2t Phơng trình đờng th¼ng SA: x   t (1) x   (2)  y  + Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ:  Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: y   t (3)    x  z   (4)  Ta có: BC  (0;1;0) ; IC  ( 3 6 ; y  0; z  )  SA  SM  M ( ;0; ) ;  SM  ( ;0;  12 12 12 12 V( SBCM ) SM   M nằm đoạn SA V ( SABC ) SA Do G trọng tâm cđa ASC  SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC GI (SNB) GI SB đồng ph¼ng (1) 6 ; ; )  GI  ( ) Ta l¹i cã täa ®é G ( ; ; 18 18 18  GI  ( ; ; )  GI SB   GI  SB (2) 18 18 Tõ (1) vµ (2)  GI  SB  H x z z S S M H I I B G C O O y A A N x x Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cđa diƯn tÝch MC1D Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho A  O; B  Oy; A1  Oz Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a a ; ; 2a) vµ D(0;a;a) 2 Do M di động AA1, tọa độ M (0;0;t)với t  [0;2a] C1 (  DC1 , DM   2 a a DC1  ( ;  ; a) a Ta cã :   DG, DM    (t  3a; 3(t  a); a 3) 2 DM  (0; a; t  a) a   DG, DM   (t  3a)2  3(t  a)2  3a 2 a  4t  12at  15a 2 z a 2 SDC1M  4t  12at  15a 2 Ta cã : SDC1M  B1 A1 C1 D M A B C y Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa SDC1M tïy thc vào giá trị hàm số Xét f(t) = 4t2 12at + 15a2 f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 f'(t) = 8t – 12a 3a f '(t )   t  (t [0;2a]) Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cđa S DC1M  a 15 t =0 hay M A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật II CÁC DẠNG BÀI TẬP CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi , , góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm ABC 1 1 Chứng minh 2 OH OA OB OC2 Chứng minh cos2 cos2 cos2 Chứng minh cos cos cos Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đôi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc (OMN) (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP 1 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vng 2 a b c2 Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, (ABC),(SBC) 600 Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C] Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B] Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C] Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( ) qua AB vng góc với SC Tìm điều kiện h theo a để ( ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ABK Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA cm Mp ( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với ( ) Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Tìm điều kiện a b để cos CMN Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD) Mặt phẳng ( ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( ) cắt cạnh SB, SD Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B ', C', D' Chứng minh B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m , gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa AM mAD, BN mBB' (0 m 1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường trịn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng ( ) qua B vng góc với B’C Tìm điều kiện a, b, c để ( ) cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C C’) Cho ( ) cắt CC’ I a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA= a vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 1) Tính MN SO 2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD) Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH  (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố định B, C thay đổi thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc  ,  ,  Chứng minh rằng: 1) cos2   cos2   cos2   2) S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA  S 2ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, sa vuông góc với đáy Gọi 3a a M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho BM  , DN  CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông a góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD  , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi cho OA=a , OB= a OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 9: Cho tứ diện SABC coù SC=CA=AB= a , SC  (ABC) ,  ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0