Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  BÙI NGUYÊN SƠN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mở đầu Phân hoạch tập hợp tỏ đơn giản, áp dụng phong phú Nhiều toán khó đề thi chọn học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế giải nhanh gọn độc đáo nhờ vào việc áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp Mà phương pháp “bất quy tắc” Các tập hợp khác rỗng A1 , A2 , , Ak gọi phân hoạch tập hợp A nếu:   A  A1  A2   Ak ;    Ai  Aj  , i, j 1, 2, , k , i  j Mỗi tập Ai gọi thành phần phân hoạch Trong lý thuyết phân hoạch tập hợp, việc phân hoạch tập rời rạc, đặc biệt tập số nguyên đóng vai trò quan trọng Nhiều kết cổ điển xuất sắc đời từ lý thuyết Những kết độc đáo chỗ việc chứng minh chúng nhiều chủ yếu sử dụng số tính chất Số học với suy luận logic, mà áp dụng công cụ mạnh chẳng hạn Giải tích Đại số Có thể xem toán phân hoạch tập hợp phận Toán Rời rạc, chủ yếu nghiên cứu bậc Đại học Sau đại học, chưa giới thiệu cách chương trình Toán phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Một cách hình thức, chia toán theo dạng: - Dạng toán yêu cầu nêu phân hoạch tập hợp Đó toán dạng “hiện”, mà phân hoạch tập hợp yêu cầu đề Chẳng hạn toán sau đây: “Giả sử c số hữu tỉ dương khác Chứng minh phân hoạch tập số nguyên dương thành hai tập khác A B cho x  c , với x, y thuộc A thuộc B ” y - Dạng toán giải phương pháp phân hoạch tập hợp Đó toán dạng “ẩn”, mà ta phải áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp cách khéo léo giải Chẳng hạn toán sau đây: “ Cho p q hai số lẻ nguyên tố Chứng minh: p 1 q 1  iq   jp   p   q         q      ”   i 1  p  j 1    Cho đến nay, số tài liệu tham khảo chủ yếu từ nguồn internet, lý thuyết phương pháp phân hoạch tập hợp tài liệu đề cập cách hệ thống Luận văn góp phần giới thiệu cách phương pháp phân hoạch tập hợp, với mục đích tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến lý thuyết số áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp việc giải số toán khó phổ thông, đặc biệt toán Số học Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Do đó, việc nghiên cứu luận văn cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp phân hoạch tập hợp nói chung tập số nguyên dương nói riêng 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Luận văn không sâu vào lý thuyết phân hoạch mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương pháp phân hoạch để giải số toán khó toán phổ thông 4 Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn phân hoạch tập hợp áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm tòi lời giải, với việc đề xuất số toán tương tự, phù hợp với toán phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề Cấu trúc luận văn Với mục đích nêu trên, nội dung luận văn gồm phần sau đây: Lời mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài, nội dung đề tài số vấn đề khác theo quy định Chương Kiến thức sở Chương đề cập đến số kiến thức phân hoạch tập hợp số lý thuyết quan trọng liên quan đến phân hoạch dùng nhiều chứng minh chương sau số Stirling loại I, số Stirling loại II, Bài toán chia kẹo Euler, thuật toán “ba lô”, thuật toán “tham ăn”… Chương Phân hoạch nguyên Là phân hoạch tập số nguyên, với tập hợp xác định gồm số nguyên đó, toán cần phân hoạch tập hợp thành số tập hợp rời cho chúng thỏa mãn tính chất dạng toán quen thuộc quan trọng Chẳng hạn, cần phân hoạch tập hợp số nguyên xác định thành hai tập hợp rời cho tổng số hai tập hợp Đây dạng toán thường khó Chương đề cập đến việc phân hoạch tập số nguyên, giải số toán khó dạng “ẩn” “hiện” Chương Phân hoạch tập hợp Chương đề cập đến phương pháp phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung thỏa mãn vài tính chất cụ thể Đó toán nêu rõ yêu cầu phân hoạch ( dạng “ hiện”) chẳng hạn toán: “Tìm số phân hoạch tập hợp 1, 2, , n thành tập A1 , A2 , A3 (các tập rỗng) cho điều kiện sau thỏa mãn 1) Sau xếp phần tử A1 , A2 , A3 theo thứ tự tăng dần, phần tử liên tiếp có tính chẵn, lẻ khác 2) Nếu ba tập A1 , A2 , A3 không rỗng, có tập có số nhỏ số chẵn.” Cũng toán không nêu rõ điều kiện để giải ta buộc phải phân hoạch theo điều kiện (dạng “ẩn”), ví dụ: “Khai triển f  x   1  x  x   x10  f  x   a0  a1 x  a2 x   a100 x100 Tính S  a0  a1  a2   a10 ” 10 ta đa thức CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương đề cập đến số kiến thức phân hoạch tập hợp số lý thuyết quan trọng liên quan đến phân hoạch dùng nhiều chứng minh chương sau 1.1 SỐ STIRLING LOẠI I VÀ LOẠI II 1.1.1 Chu trình hoán vị Trong toán phân hoạch tập hợp, ta không nhắc đến số Stirling Đây sở để xây dựng toán đếm cách vững chắc, đồng thời kết hợp với công cụ đại số giải tích khác giúp xây dựng nhiều lý thuyết khác Chu trình hoán vị a1 , a2 , a3 , , an số 1, 2, 3, , n , tập số mà chúng đổi vị trí cho tạo thành vòng Ta xét hoán vị sau 123456789  142357698 , f hoán vị này, f    4, f    3, f  3  nên nói  2; 3;  tạo thành chu trình Các số không đổi qua phép hoán vị coi chu trình riêng biệt đó, hoán vị có tất chu trình: 1 ,  4; 2; 3 ,   ,  7;  ,  9;  1.1.2 Số Stirling loại I Số hoán vị n phần tử mà có k chu trình, đặt s  n, k  Công thức truy hồi s  n  1, k   s  n, k  1  n.s  n, k  1.1.3 Số Stirling loại II Số cách chia n phần tử thành k tập con, đặt S  n, k  Công thức truy hồi S  n  1, k   S  n, k  1  kS  n, k  1.2 BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER Bên cạnh toán số Stirling toán chia kẹo Euler liên quan đến số tổ hợp lặp dạng phổ biến quen thuộc Dạng 1: Số cách chia n viên kẹo cho k em bé mà em có kẹo Cnk11 Dạng 2: Số cách chia n viên kẹo cho k em bé mà có em kẹo Cnkk11 1.3 DÃY SỐ FIBONACCI Dãy Fibonacci dãy vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử Các phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử tổng hai phần tử trước Công thức truy hồi dãy Fibonacci là: 0,  Fn : F  n  : 1, F n   F n  ,      n  0; n  1; n  10 Định lý 2.2 Mọi tập gồm N  số nguyên dương không lớn N có tổng 2N , phân hoạch thành tập con, tập có tổng phần tử N Bổ đề 2.3 Với N  2n A tập hợp 2n  số nguyên dương không lớn N có tổng 2N Khi đó, A phân hoạch thành tập con, tập có tổng phần tử N Bổ đề 2.4 Cho A tập k số nguyên dương không vượt N A biểu diễn đến N Khi A tập hoàn chỉnh Bổ đề 2.5 Nếu A B hai tập hoàn chỉnh C  A  B tập hoàn chỉnh Bổ đề 2.6 Cho A tập số nguyên dương 1 A Khi đó, tồn tập hoàn chỉnh A có số phần tử lớn Gọi tập hoàn chỉnh H h tổng phần tử H Nếu tất phần tử A không vượt h H=A Nếu a  A a  H a  h  N  Bổ đề 2.7 Nếu tập A  N , k  với k     A có 2 ba phần tử có giá trị nhỏ 11 N  Định lý 2.3 Cho A  N , k  với N  k     Gọi H 2 tập hoàn chỉnh có số phần tử lớn A Nếu H biểu diễn đến A phân hoạch thành tập có tổng phần tử N N  Định lý 2.4 Cho A  N , k  với N  2, k     2 (a1 , a2 , a3 ) (1; 1; 1), (1; 1; 2),(1; 1; 3), (1; 2; 2), (1; 2; 3) Khi đó, tập hợp A phân hoạch thành hai tập có tổng phần tử N Bổ đề 2.8 Cho tập A 2N , k  với A 2N , k  mà N  N  2, k     2, a1  Khi đó, số thuộc A có tổng 2 không vượt N 12 N  Định lý 2.5 Cho tập A  N , k  với k     , N chẵn 2 a1  a2  Khi ta phân hoạch tập A thành tập có tổng N N  Định lý 2.6 Cho tập A  N , k  với k     , k chẵn 2 a2  Khi phân hoạch A thành tập có tổng phần tử N Hệ 2.1 Cho tập A  N , k  với N  6m  2, m  k  4m  Tập A  N , k  phân hoạch thành tập có tổng phần tử Hệ 2.2 Cho tập A  N , k  với N  6m  4; k  4m  Tập A  N , k  phân hoạch thành tập có tổng phần tử Hệ 2.3 Cho tập A  N , k  với N  6m; k  3m  Tập A  N , k  phân hoạch thành tập có tổng phần tử Định lý 2.7 Cho tập A có k phần tử số nguyên dương không lớn N tổng số 2N Khi đó, tồn giá 13 trị K nhỏ để với k  K , tập A phân hoạch thành tập có tổng phần tử tập N, đó:  K= N+1 N lẻ  K= N=2  K= 4m+3 N= 6m+2  K= 4m+4 N= 6m+4  K= 3m+2 N = 6m Bài toán 2.2 Chứng minh 35 số nguyên dương không vượt 50 có tổng 100 chọn nhóm số có tổng 50 Hệ 2.4 Trong năm số nguyên bất kỳ, tìm vài số để tổng chúng chia hết cho 2.1.2 Phân hoạch dạng tổng 2.1.3 Định lý Beatty Định lí 2.8 Nếu a, b số vô tỉ dương thỏa mãn 1  1 a b xét tập hợp A  ma  , m  1, 2,  , B  nb  , n  1, 2, 3,  A  B  , A  B  * 14 2.1.4 Các toán chọn lọc khác Bài toán 2.1 Chứng minh gọi f  r , n  số phân hoạch n thành dạng b0  b1  b2   bs với  i  s  bi  rbi 1 , r số nguyên dương tồn số nguyên dương n mà f  r , n  khác số phân hoạch n thành phần từ tập hợp số nguyên bất kỳ, trừ r  Bài toán 2.2 Gọi f(n), g(n) số phân hoạch n thành số chẵn phần số lẻ phần Chứng minh f  n   g  n    1 m n  m  3m  1 f  n   g  n  ngược lại (số có dạng n  m  3m  1 gọi pentagonal number) Bài toán 2.3 Gọi n số nguyên dương cho 1, 2, 3, , 3n chia thành tập hợp a1 , a2 , , an  , b1 , b2 , , bn , c1 , c2 , , cn  cho  bi  ci , i  1, n Chứng minh n thỏa 3n  1, 4n, 4n  thỏa Bài toán 2.4 a) Hỏi có tồn cách phân hoạch tập hợp số nguyên dương thành tập có phần tử A1 , A2 , A3 , , An 15 cho với số nguyên dương n tổng phần tử An 1391  n ? b) Hỏi có tồn cách phân hoạch tập hợp số nguyên dương thành tập có phần tử A1 , A2 , A3 , , An cho với số nguyên dương n tổng phần tử An 1391  n2 ? Bài toán 2.5 Chứng minh phân hoạch tập hợp số tự nhiên thành 100 tập khác rỗng cho với số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a  99b  c số chúng thuộc tập hợp Bài toán 2.6 Giả sử c số hữu tỷ dương khác Chứng minh phân hoạch tập số nguyên dương thành tập khác A, B cho x  c với x, y nằm A y nằm B Bài toán 2.7 Có cách chia 15 đồ vật đôi khác cho người, cho số có người không nhận đồ vật nào? 2.2 PHÂN HOẠCH NGUYÊN DẠNG “ ẨN ” Bài toán 2.8 Cho bảng ô vuông  aij  với i  1, n, j  1, n điền số từ đến n2 theo thứ tự từ trái sang phải, từ xuống Người ta viết ghép hàng bảng theo thứ tự từ trái 16 sang phải dãy X Tiếp tục ghép cột bảng thành dạng hàng ngang từ trái sang phải dãy Y Một phép biến đổi cho phép đổi chỗ số cho Hỏi cần phép biến đổi để đưa X Y? Bài toán 2.9 Cho A tập tất hoán vị a   a1 , a2 , , a2003  2003 số nguyên dương hoán vị thỏa mãn điều kiện: Không có tập S A mà ak | k  S  S Với a   a1 , a2 , , a2003   A ta kí hiệu 2003 d  a     ak  k  k 1 Tìm giá trị nhỏ d(a), gọi giá trị nhỏ d0 Tìm tất hoán vị a  A thỏa mãn d  a   d0 Bài toán 2.10 Gọi S  n  số cách phân hoạch có tính thứ tự n thành số 1, 3, Chứng minh S  2n  số phương Bài toán 2.11 Từ việc so sánh phân hoạch n thành số 1, chứng minh 17  0 x , y  n , x  y n Cxx y  Fn 1 Bài toán 2.12 Cho số nguyên dương k Dãy số  xn  , n  1, 2, 3, xác định sau: (i) x1  (ii) Với số nguyên dương n  xn 1 số nguyên dương bé không thuộc tập  x1; x2 ; x3 ; ; xn ; x1  k ; x2  2k ; x3  3k ; ; xn  nk Chứng minh tồn số thực a cho xn   na  với n * Bài toán 2.13 Xét dãy số 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, biểu diễn thành tổng hai số nguyên dương liên tiếp Gọi f  n  số hạng thứ n dãy Chứng minh f  n   n  log  n  log  n    Bài toán 2.14 Chứng minh tập số tự nhiên tô màu mà điều kiện sau thỏa mãn: i) Với số nguyên tố p số tự nhiên n số p n , p n1 p n  không tô màu i)) Không tồn cấp số nhân vô hạn số tự nhiên có màu 18 CHƯƠNG PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Chương đề cập đến phương pháp phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung thỏa mãn vài tính chất cụ thể 3.1 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ HIỆN ” 3.1.1 Các dạng phân hoạch tập hợp Trong toán học, người ta tổng hợp toán phân hoạch tập hợp hay hình dung phân chia đồ vật phân thành 12 dạng với tên gọi tiếng “ Twelvefold Way” Dưới đây, ta xét toán chung là: Xác định tất số cách cho n bóng vào k hộp Các kiểu phân hoạch đặc trưng ánh xạ từ tập bóng đến hộp liệt kê đầy đủ đây, ý rằng:  Ánh xạ bất kỳ: việc phân chia tùy ý, ràng buộc (có thể hộp có nhiều bóng mà có hộp nào, tất nhiên bóng chia vào hộp)  Đơn ánh: hộp chứa nhiều bóng Toàn ánh: hộp chứa bóng Ở không xét song ánh hộp chứa bóng toán không nhiều ý nghĩa Quy ước Cba  với b  a 19 Trường hợp 1: Các bóng đôi khác hộp đôi khác  Ánh xạ bất kỳ: bóng xếp vào hộp tùy ý Kết k n  Đơn ánh: Nếu n  k cách xếp thỏa mãn theo Nguyên lý Dirichlet, có hộp chứa nhiều bóng, kết Nếu n  k , ta thấy bóng đặt vào k hộp, thứ đặt vào k  hộp lại Kết k  k  1 k    k  n   Toàn ánh: Vấn đề tương tự việc phân hoạch tập hợp có n phần tử thành k tập khác rỗng, nhiên ý cần quan tâm đến thứ tự tập tương ứng Kết k !S  n, k  với S  n, k  số Stirling loại II Trường hợp 2: Các bóng giống hộp đôi khác  Ánh xạ bất kỳ: Do bóng giống nên ta xét có đưa vào hộp, tương ứng với toán chia kẹo Euler trường hợp không thiết em có kẹo Kết Cnkk11 20  Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k ta tính số cách chọn n hộp k hộp Kết Ckn  Toàn ánh: Số trường hợp tương ứng toán chia kẹo Euler trường hợp em phải có kẹo Kết Cnk11 Trường hợp 3: Các bóng đôi khác hộp giống  Ánh xạ bất kỳ: Do bóng khác nên ta dánh số chúng từ dến n , dẫn đến toán phân hoạch tập hợp 1, 2, 3, , n thành không k tập Kết S  n, 1  S  n,    S  n, k   Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k rõ ràng có cách xếp Kết  Toàn ánh: Hộp phải có bóng nên với toán tính số Stirling loại II Kết S  n, k  Trường hợp 4: Các bóng giống hộp giống  Ánh xạ bất kỳ: Tương ứng với toán phan hoạch số n thành không k thành phần Kết p1  n   p2  n    pk  n  21  Đơn ánh: Tương tự trên, n  k kết Nếu n  k rõ ràng có cách xếp Kết  Toàn ánh: Tương ứng với toán phân hoạch số n thành k thành phần Kết pk  n  3.1.2 Các toán chọn lọc Bài toán 3.1 Tìm số phân hoạch tập hợp 1, 2, , n thành tập A1 , A2 , A3 (các tập rỗng ) cho điều kiện sau thỏa mãn: 1) Sau xếp phần tử A1 , A2 , A3 theo thứ tự tăng dần, phần tử liên tiếp có tính chẵn, lẻ khác 2) Nếu ba tập A1 , A2 , A3 không rỗng, có tập có số nhỏ số chẵn Bài toán 3.2 Cho tập M gồm n số dương a1 , a2 , , an Xét tất tập hợp Ti khác rỗng M Gọi si tổng số thuộc tập Ti nói Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành n tập hợp khác rỗng không giao cho tỉ số hai số thuộc tập hợp vừa phân chia không vượt 3.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ẨN” Bài toán 3.3 Xác định số nghiệm phương trình sau a) x1  x2  x3   x20  2013 với xi  i, i  1, n 22 b) x1  x2  x3   x51  2013 với xi , i  1, n số lẻ c) x1  x2  x3   x201  2013 với x1  2, x2  Bài toán 3.4 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Một điểm P nằm tam giác gọi điểm tốt ta tìm 27 tia chung gốc P cắt cạnh tam giác ABC chia tam giác thành 27 tam giác có diện tích Xác định tất điểm tốt tam giác ABC Bài toán 3.5 Ở làng nọ, người nói thật nói dối Xét người làng xếp thành hàng người khách đến thăm làng hỏi người họ có người nói thật hàng Mỗi người cho khách số từ đến Hỏi có multiset câu trả lời mà người khách nhận được? (multiset tập mà phần tử xuất nhiều lần) Bài toán 3.6 Cho A tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: tập có k phần tử tập hợp A tồn hai số phân biệt a b cho a  b số nguyên tố Bài toán 3.7 Cho p q hai số nguyên tố lẻ Chứng minh p 1 q 1  iq   jp   p   q         q        i 1  p  j 1    23 Bài toán 3.8 Đối với số tự nhiên n  nhiên k  , tìm số tự lớn thỏa mãn điều kiện: tập gồm n phần tử, chọn k tập khác mà hai tập tập có giao khác rỗng Bài toán 3.9 Khai triển f  x   1  x  x   x10  10 ta đa thức f  x   a0  a1 x  a2 x   a100 x100 Tính S  a0  a1  a2   a10 Bổ đề 3.1 Cho hai số tự nhiên n, k Xét tập hợp: H n,k  ( x0 , x1 , , xn ) | x0 , x1 , , xn  , x0  x1   xn  k  Thế H n,k  Cnn k Bài toán 3.10 Cho số nguyên n  Gọi S tập hợp gồm n phần tử Ai (1  i  m) tập khác gồm hai phần tử S cho từ quan Ai  Aj  , Ai  Ak  , Aj  Ak   ta suy Ai  Aj  Ak   Chứng minh m  2n1  hệ 24 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trịnh Đào Chiến, dựa tài liệu thầy cung cấp, hoàn thành đề tài Luận văn “Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thông” đạt kết sau: Trình bày số khái niệm phân hoạch tập hợp Nêu số tính chất, kết liên quan đến việc áp dụng phương pháp phân hoạch vào giải toán Trình bày việc áp dụng phương pháp phân hoạch để phân hoạch tập hợp số nguyên giải số dạng toán tổng hợp dạng ẩn tập Trình bày áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm cách phân hoạch số cách phân hoạch tập hợp nói chung để giải số dạng số học, toán tính tổng tổ hợp, toán đếm tổ hợp số toán tổng hợp khác Kết luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ... áp dụng phương pháp phân hoạch để giải số toán khó toán phổ thông 4 Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn phân hoạch tập hợp áp dụng phương pháp phân hoạch... “Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thông đạt kết sau: Trình bày số khái niệm phân hoạch tập hợp Nêu số tính chất, kết liên quan đến việc áp dụng phương pháp phân hoạch... việc áp dụng phương pháp phân hoạch để phân hoạch tập hợp số nguyên giải số dạng toán tổng hợp dạng ẩn tập Trình bày áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm cách phân hoạch số cách phân hoạch tập