Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂK LĂK TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THỒNG CHUYÊN NGUYỄN DU ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP NGƯỜI THỰC HIỆN : LÊ NGỌC ĐỨC LỚP : 10CT NIÊN KHÓA : 2017-2020 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP MỤC LỤC Mục lục ………………………………………………………………………………………………… Lời cảm ơn ……………………………………………………………………………………………….2 Giới thiệu tổng quan vấn đề nghiên cứu ………………………………………………………… Một số chữ viết tắt kí hiệu tốn học tài liệu ………………………… …………………….5 Cơ sở lí thuyết …………………………………………………………………………………………… Ánh xạ …………………………………………………………………………………… ……………6 Ứng dụng ánh xạ toán tổ hợp …………………………………………………………7 Lời kết …………………………………………………………………………………………… ……28 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………………………… ….29 Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập, nghiên cứu thực dự án, nhận nhiều giúp đỡ Giờ nội dung dự án hoàn thành, chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến: Quý Thầy, Cô trường THPT chuyên Nguyễn Du tỉnh Đắk Lắk tận tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ học tập hỗ trợ việc thực đề tài nghiên cứu Đặc biệt thầy Nguyễn Văn Quang, giáo viên hướng dẫn khoa học, tận tình hướng dẫn chúng tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành dự án Chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, không giảng dạy trực tiếp chia sẻ toán tổ hợp hay với cách giải phương pháp ánh xạ độc tham khảo Xin gửi tặng bạn lớp, người dành cho tình cảm, lời động viên, giúp đỡ sống trình học tập vừa qua Lần tập làm nghiên cứu, nội dung có lẽ chưa đầy đủ nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý bổ ích từ quý Thầy, Cô độc giả Xin trân trọng cảm ơn! Buôn Ma Thuột, ngày 16 tháng 10 năm 2017 Tác giả Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP A LỜI GIỚI THIỆU VÀ TỔNG QUAN Cùng với chương trình phát triển trọng điểm toán học giai đoạn 2010 – 2020 , tốn học Việt Nam có nhiều phát triển tiến bộ.Đi với đó,phong trào chun tốn phổ thơng năm gần có nhiều dấu hiệu khởi sắc với kết kì thi HSG tốn quốc gia quốc tế ngày nâng cao Hằng năm trường hè,trường đông Viện toán học tổ chức ngày phát triển quy mô chất lượng Cùng với phát triển nhu cầu tài liệu nhiều học sinh quan tâm Đặc biệt tài liệu mang tính thời chun mơn sâu phân mơn Lịch sử q trình giảng dạy cho ta thấy điểm yếu học sinh Việt Nam tốn tổ hợp rời rạc Trong kìthi HSG tốn phổ thơng, số học sinh giải trọn vẹn tốn tổ hợp ít, chí khơng có học sinh Trên thực tế vậy, việc biên soạn sách chuyên khảo sâu tổ hợp rời rạc việc cần thiết.Và lý chúng tơi biên soạn tài liệu này.Tài liệu cung cấp khái niệm ánh xạ ứng dụng tốn học Trong toán học, tổ hợp dạng toán khó lại thu hút lài giải hay, độc đáo có ý nghĩa quan trọng nghành học cơng nghệ thơng tin Trong kì thi học sinh giỏi, tổ hợp ln tốn khó nên hầu hết học sinh ngại học chủ đề này, kì có vài ba bạn giải Do có nhiều nghiên cứu chủ đề này, từ có nhiều phương pháp để tiếp cận Ánh xạ công cụ đầu tiên, đơn giản hiệu tốn đếm Thơng qua ánh xạ ta đưa toán đếm phức tạp toán đếm đơn giản ; nhiên việc xây dựng ánh xạ phù hợp việc khó khăn đòi hỏi phải chạm nhiều phải có kinh nghiệm Bài nghiên cứu nhằm mục đích ban đầu tự học, tổng hợp tốn để có thêm nhiều kinh nghiệm; sau tài liệu tham khảo cho bạn bước đầu học tổ hợp Tuy nhiên, dù cố gắng nhiều chắn nhiều thiếu sót Mong bạn đọc góp ý để nghiên cứu hoàn thiện tốt Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG TÀI LIỆU I/Một số chữ viết tắt: IMO International Mathematical Olympiad Olympic Toán học Quốc tế VMO Vietnam Mathematical Olympiad Olympic Toán học Việt Nam APMO Asian Pacific Math Olympiad Olympic toán Châu Á – Thái Bình Dương II/Một số kí hiệu tốn học A số phần tử tập hợp A Cmn tổ hợp chập n tập hợp gồm m phần tử Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP B CƠ SỞ LÝ THUYẾT I/ÁNH XẠ 1/KHÁI NIỆM Một ánh xạ f từ tập X đến Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f(x) (i) Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f (ii) Ánh xạ f từ X đến Y kí kiệu f: X → Y x ↦y=f(x) (iii) Khi X Y tập số thực , ánh xạ f gọi hàm số xác định X (iv) Cho a thuộc X, b thuộc Y Nếu f(a)=y ta nói y ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f (v) Tập hợp Y = {y=Y : x thuộc X, y=f(x)} gọi tập ảnh f 2/Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 2.1 Định nghĩa đơn ánh: Ánh xạ f:X gọi đơn ánh với a ∈ X,b ∈ Y mà a≠b f(a)≠f(b), tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt Từ định nghĩa ta suy ta ánh xạ f đơn ánh với a ∈ X, b ∈ Y mà f(a)=f(b), ta phải có a=b 2.2 Định nghĩa toàn ánh Ánh xạ f: X ↦ Y gọi toàn ánh với phần tử y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho y=f(x) Như f toàn ánh Y=f(X) 2.3 Định nghĩa song ánh Ánh xạ f : X ↦ Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X↦Y song ánh với y Y , tồn phần tử x X để y = f(x) Ánh xạ ngược song ánh 3.1.Định nghĩa Ánh xạ ngược f, kí hiệu ,là ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử y Y phần tử x X cho y = f(x) Như 3.2 Chú ý Nếu f song ánh ta khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh Ánh xạ hợp 4.1 Định nghĩa Nếu g : A↦ B f : B ↦ C g(A) B ánh xạ hợp xác định Kí hiệu Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Nguyên lý ánh xạ Cho A B tập hữu hạn khác rỗng f : A B ánh xạ Khi đó: a) Nếu f đơn ánh | A| |B | b) Nếu f tồn ánh |A | |B | c) Nếu f song ánh |A | |B | Phương pháp ánh xạ dựa vào ý tưởng đơn giản: - Nếu tồn song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm dễ đếm - Nếu tồn đơn ánh (tương ứng toàn ánh) từ A vào B |A| |B| (tương ứng |A| |B |) Do đó, đơn ánh tồn ánh chủ yếu sử dụng để chứng minh toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Chuyển toán cần chứng minh việc so sánh số phần tử hai tập hợp, có tập hợp biết cách đếm dễ đếm Tương tự nguyên lý Dirichle, mặt ý tưởng đơn giản nhiên thực khơng phải đơn giản Để sử dụng phương pháp ta cần xác định song ánh tập cần đếm vào tập biết cách đếm việc làm lúc thực dễ dàng Sau số tập áp dụng phương pháp II/ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ TRONG TỔ HỢP Để khởi đầu cho phần xin gửi đến bạn định lí đơn giản có ứng dụng lớn giải tốn tổ hợp “Bài tốn chia kẹo Euler” Định lí: Cho k,n số tự nhiên ; số nghiệm tự nhiên phương trình + +…+ = n Chứng minh Ta cho tương ứng nghiệm ngun khơng âm phương trình + +… + = n (1) với xâu nhị phân độ dài n+k-1 có n bit k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm bit 1, sau bit 0,tiếp theo bit 1, sau bit 0, thế, cuối bit Dễ dàng chứng minh song ánh từ tập A nghiệm nguyên không âm (1) vào tập hợp B xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit k-1 bit Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có (đpcm) Ví dụ 1: Có n người xếp thành hàng dọc.Hỏi có cách chọn k người cho khơng có hai người liên tiếp chọn ? Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Lời giải Ta đánh số thứ tự hàng người số nguyên dương 1,2,3, ,n Vậy ta đưa đề dạng : Cho n số nguyên dương 1,2,…,n.Hỏi có cách chọn k số phân biệt n số cho cho khơng có số nguyên liên tiếp nào? Một cách chọn thích hợp số ≤ …< ≤ n thỏa mãn tức Vậy ta cần tìm số phần tử A={( , , ,…, 1≤ …< ≤ n, với i=1,2,…,k-1} Xét ánh xạ : = với = rõ ràng ta có: i) ≥1 ii) iii) Suy phần tử tập hợp B B={ │1≤ …< ≤ n – k +1} Dễ thấy f đơn ánh Ngoài ánh xạ g = với cho đơn ánh từ B vào A.Vậy Ví dụ 2: Cho 49 số tự nhiên liên tiếp 1,2,…,49 Hỏi có cách chọn số khác từ 49 số có số nguyên liên tiếp Lời giải Giả sử gồm số tùy ý , , Không giảm tổng quát, ta giả sử …< (1) Ứng với dãy (1) xét tương ứng dãy sau : , , , , , (2) Rõ ràng dãy (2) gồm số khác cà dãy (1) không chứa số nguyên liên tiếp.Rõ ràng ta có số dãy (2) xếp từ bé đến lớn Như dãy số khơng chứa số nguyên liên tiếp đặt tương ứng với dãy số khác chọn từ số đến 44 Từ ta hồn tồn tính kết cần tính Nhận xét: Bài tốn xét với tập 49 số bạn đọc hồn tồn mở rộng với n số Điểm nhấn đặc biệt việc đặt tương ứng dãy (1) với dãy (2), điều tự nhiên Nhưng gắn kết tốn khiến thứ trở nên tường minh Bài tập ứng dụng : Cho 2018 số tự nhiên liên tiếp 1,2,…,2018 Hỏi có cách chọn số khác từ 2018 số có số nguyên liên tiếp Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Các bạn nghĩ kết hợp hai ví dụ tốn không? Vâng xin gửi đến bạn kết hợp vi diệu Ví dụ Ví dụ 3: Cho n số 1,2,3, ,n.Có cách chọn m số phân biệt từ n số cho cho m số có số liên tiếp với giả thiết n ≥ 2m-1 Lời giải Gọi A tập hợp tất cách chọn m số từ n số phân biệt cho, ta có: = Gọi B tập hợp cách chọn m số phân biệt n số cho cho khơng có số ngun liên tiếp Gọi C tập hợp cách chọn m số phân biệt n số cho cho có số ngun liên tiếp Áp dụng Ví dụ , ta có : Kết : Nhận xét : Giả thiết n ≥ 2m-1 cần thiết n+1-m ≥ m Vì ngược lại theo ngun lí Dirichlet cách chọn có số nguyên liên tiếp chọn (Bạn đọc tự lí giải điều này) Một câu hỏi bạn cần trả lời : Nếu bỏ điều kiện n ≥ 2m-1 cần phải có thêm quy ước gì? Ví dụ 4: Cho tập hợp E ={1;2;…;n}.Gọi g(n,k) số tập gồm k phần tử E mà không chứa số nguyên liên tiếp Còn số tất tập E mà không chứa số nguyên liên tiếp Chứng rằng: a) g(n,k) = b) Lời giải Ở câu a) , ta dễ dàng chứng minh ví dụ trước Giờ ta việc xét câu b) Kí hiệu P tập hợp tất tập hợp E thỏa mãn điều kiện mà tập hợp không chứa số nguyên liên tiếp E Đặt A chứa n A không chứa n Như ta có Theo định nghĩa ta có Nếu A n A Vì a nên a thuộc P mà theo định nghĩa P n nên n-a không thuộc A Vậy A\{n} ’, P’ tập hợp tất tập hợp A\{n,n-1} thỏa mãn điều kiện tập hợp khơng chứa Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP số nguyên liên tiếp {1,2,3,…,n-2} Như với A tương ứng với tập P’ Vậy ta có : Nhưng theo định nghĩa ta lại có Lập luận tương tự ta có : Như ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Kết toán cho ta phép định nghĩa dãy Fibonacci theo tư tưởng phép đếm Một lần chung ta thấy vẻ đẹp tổ hợp, yếu tố tưởng chừng khơng liên quan lại cho ta dãy Fibonacci Từ đôi lúc làm việc với day Fibonacci ta tổ hợp hóa giải tốn theo hướng tổ hợp Ví dụ 5:(VMO 2002) Cho tập S gồm tất số nguyên đoạn [1,2001] Gọi T tập hợp tất tập không rỗng S Với X thuộc T, ký hiệu m(X) trung bình cộng phần tử X Tính m= Lời giải Xét ánh xạ f :T → T sau : f(X) = {2003 - x│x ∈ X}, X∈T Vì f song ánh nên m(X)=m(f(X)) Do : 2m = Mà m(X) +m(f(X)) = 2003 nên m = Ví dụ 6:( Trung Quốc 1994) Chứng minh : Lời giải Bước : Ta chọn n số từ 2n+1 số sau Trước hết từ 2n+1 số ta chia n cặp số x Bước : Ta chọn k cặp từ cặp chọn số Bước : Chọn [ cặp n-k cặp lại Ngoài số x chọn n-k lẻ không chọn n-k chẵn.Rõ ràng bước có cách chọn bước có tổng cộng n số, k chạy từ đến n cách chọn Lúc này, ta chọn Ví dụ 7: Cho n số nguyên dương Xét bảng vng n × n Hỏi bảng cho có hình vng Lời giải Xét hình vng ( mang tính minh họa) Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 10 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 0, 1, f(X) chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, tức X thuộc loại A f(X) thuộc B Vậy f song ánh từ tập xâu loại A độ dài n đến tập xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu Nhưng từ xâu X thuộc B ta nhận xâu X thuộc B cách đổi phần tử X theo quy tắc 0, nên số xâu loại B độ dài n+1 gấp đôi số xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu số Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 14:(Vơ địch Ucraina - 1996) Gọi M số số nguyên dương viết hệ thập phân có 2n chữ số, có n chữ số n chữ số Gọi N số tất số viết hệ thập phân có n chữ số, có chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số Chứng minh M = N = C 2nn Lời giải n Hiển nhiên M = C n Ta cần chứng minh M = N Với số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số 2, ta “nhân đơi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc sau: đầu tiên, hai phiên số viết kề thành số có hai chữ số, sau chữ số n chữ số đầu chữ số n chữ số sau đổi thành chữ số 1, chữ số n chữ số sau chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số Ví dụ: 12341421234142123414212121221221112 Như thế, ta thu số có n chữ số n chữ số Rõ ràng đơn ánh từ tập số n chữ số sang tập số 2n chữ số Để chứng minh song ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược sau: với số có n chữ số n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu n chữ số cuối cộng chúng theo cột với quy tắc: 1+1=1, 2+2=2, 1+2=3, 2+1=4, ta thu số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, với số chữ số số số 1212122 Ví dụ 12121221221112 1221112 1234142 1234142 Ví dụ 15: (IMO - 2005) Cho số nguyên dương n, k với n k Xét phép toán f thứ tự X = [x1, , xn] sau: lần chọn k số liên tiếp tuỳ ý X đổi dấu chúng Tìm số thứ tự X =[x1, , xn] thoả mãn điều kiện: (i) Mọi phần tử X thuộc tập {-1,1} (ii) Có thể thực hữu hạn lần phép toán f để từ X nhận [1,1, ,1] Lời giải Xét thứ tự X = [x1, , xn] tuỳ ý Ta có hai nhận xét sau: 1) Có n k + nhóm k số liên tiếp Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 15 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2) Sau số chẵn lần thực phép tốn f cho nhóm k số liên tiếp X giá trị k số khơng đổi Như vậy, phương án thực hữu hạn lần phép toán f X tương ứng với nhị phân A = [a1, a2, , an-k+1], tính theo modun số lần thực f cho nhóm k số liên tiếp [xi, xi+1, , xi+k-1], X trở thành (1) a1 x1 , (1) a1 a2 x2 , ,(1) a1 a2 ak xk , (1) a2 ak ak 1 xk 1 , ,(1) ank ank 1 xn1 , (1) ank 1 xn Từ đó, dễ thấy A xác định X thoả điều kiện toán nên đáp số toán số A, tức 2nk1 Ví dụ 16: Cho đa giác có 103 cạnh Tô màu đỏ cho 79 đỉnh đa giác tơ màu xanh cho đỉnh lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề a Tìm tất giá trị nhận cặp (A,B) b xác định số cách tô màu đỉnh đa giác để B =14 Biết rằng, hai cách tơ màu xem chúng nhận từ thông qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Hướng dẫn: a Số đỉnh màu xanh 24 đỉnh (103-79) N ếu tất đỉnh đỏ chia thành cụm A=78 N ếu bị cắt thành cụm A=77 Và tiếp tục, tức có k cụm (mỗi cụm đỉnh màu đỏ đứng sát nhau) A=74-k N ếu có k cụm đỏ có k cụm xanh nên có B= k-24 Các giá trị k từ đến 24, nên có 24 khả tất b Để có B=14 k = 10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm) Đếm số cách chia ? Gọi X số cụm điểm đỏ liền nhau, B=24-X Do B=24 X = 10 Áp dụng công thức chia kẹo pt chia kẹo, ta suy số cách chia 24 điểm xanh vào 10 cụm Tiếp theo, ta xem xét việc xếp điểm xanh- đỏ vệc có sẵn 79 điểm đỏ đường tròn, ta bỏ 10 cụm điểm xanh khoảng trống điểm đỏ liên tiếp, khoảng có tối đa cụm Như số cách chọn 10 khoảng trống 79 khoảng Sự trùng lặp theo phép quay chỗ ta chọn 10 vị trí 79 vị trí theo đường tròn Nhờ có (79,10)=1 mà ta khơng phải lo “các cấu hình lộn xộn”, cách tơ bị lặp 79 lần, đáp số Định lý : Cho A B tập hợp hữu hạn, f ánh xạ đơn ánh từ A vào B Khi số phần tử B số phần tử A Và f song ánh A B có số phần tử Ví dụ 17: Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 16 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Với đỉnh đa giác đỉnh (cửu giác) tô màu đỏ xanh da trời Chứng minh tồn tam giác đơn sắc đồng dạng , tam giác đơn sắc tam giác có tất đỉnh màu Lời giải Ta gọi đơn giác đỏ (xanh) tất đỉnh tam giác đỏ xanh Vì đa giác có đỉnh, đỉnh tơ màu xanh đỏ nên có đỉnh có dùng màu Khơng tính tổng qt, giả sử màu đỏ Suy có it = 10 đơn giác đỏ Giờ ta chứng minh có tam giác đỏ đồng dạng Đặt đỉnh đa giác (Hình 1) ω đường tròn ngoại tiếp đa giác đỉnh đa giác chia đường tròn thành cung Gọi cung cung mảnh Gọi tam giác thỏa mãn Định nghĩa số mảnh cung không chứa điểm Ta định nghĩa tương tự với Khi Δ xác định ba ( , Do tam giác có đỉnh, nên ta dễ thấy (trường hợp góc lớn đỉnh nằm kề đường tròn) , Ví dụ với tam giác Δ ta xác định ba tương ứng (2,3,4) Dễ thấy tam giác đồng dạng cho ba, tam giác không đồng dạng có ba khác Từ ta xây dựng song ánh A →B sau: A: tập tam giác đồng dạng B: tập số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a+b+c=9 Ta liệt kê phần tử B (1,1,7), (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3) có tất phần tử Suy A có phần tử hay có tất dạng tam giác khác Trong ta có 10 tam giác đơn sắc, nên tồn tam giác đơn sắc đồng dạng Ví dụ 18: Cho n nguyên dương Hỏi có biểu diễn n thành tổng số nguyên dương Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 17 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP (Ví dụ có cách biểu diễn số thành tổng số nguyên dương: 3=1+1+1=1+2=2+1) Lời giải Ta viết n dạng sau: (1_1_ _1) gồm n số Xét n-1 khoảng trống , khoảng trống có trạng thái N ếu trạng thái 0, ta thay khoảng trống dấu “+”, trạng thái thay “)+(“ Ví dụ 4=(1_1_1_1)= ( Khi ( = (0,0,1) 4=(1+1+1)+(1)=3+1 cách biểu diễn Ta có tất cách biểu diễn cho dãy nhị phân (n-1) bit dãy nhị phân cho cách biểu diễn n Trong dãy nhị phân này, có trường hợp dãy 00…0 không biểu diễn dạng tổng số Do có cách biểu diễn n dạng tổng số nguyên dương Ví dụ 19: [AHSME 1992]: Cho 10 điểm đặt phần dương trục x( ), điểm đặt phần dương trục y ( ) Khi ta có tất 50 đoạn thẳng nối 10 điểm với điểm trục Khi có tối đa giao điểm 50 đoạn thẳng nằm góc phần tư thứ nhất? (Hình 2) Lời giải Ta có, điểm điểm tạo thành tứ giác xác định giao điểm Khi số giao điểm lớn tạo Dấu xảy ⇔ khơng có đường cắt điểm góc phần tư thứ Ví dụ 20: [China 1991, by Weichao Wu]: Cho n số tự nhiên với n≥ , đặt dãy S =(1,2,3,…,n) Một dãy S gọi dãy số học có phần tử cấp số cộng Dãy số học gọi cực đại dãy kéo dài cách thêm vào phần tử khác S Xác định số dãy số học cực đại Lời giải Ta có cơng sai phải lớn để điền thêm phần tử vào bên trái dãy ( phía trước ), nên ≥ Lại có ≤ 2m nên ≤ m Khi để dãy cực đại (1) Ta có, với Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 18 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP ( thỏa mãn điều kiện cho dãy cực đại có phần tử ban đầu cơng sai Suy dãy số cực đại ( thỏa mãn đk (1) song ánh Ta có, với cách chọn có cách chọn Do có m cách chọn nên số ( thỏa mãn đk (1) m là: (n 2a1 1) mn a1 m (n 2a 1) mn a1 2m(m 1) m 2m2 m2 m2 2m(m 1) m m(2m 1) m2 m2 m Vậy có m dãy cực đại với n=2m Xét với n=2m+1, với m số nguyên dương Tương tự ta có: m Lý luận tương tự, ta có số dãy cực đại là: m (n 2a 1) mn a1 m (n 2a 1) mn a1 ≥ , suy ≤ 2m(m 1) m m(2m 1) m2 m2 m 2m(m 1) m m(2m 1) m2 m2 m Vậy, với số tự nhiên n, ta có dãy số học cực đại Song ánh sử dụng tập hợp mà tập hợp không cần hữu hạn Dưới ví dụ Ví dụ 21: [PEA Math Materials] Giả sử có quản trị PEA, người có quyền quay số truy cập vào tệp tài liệu Internet học viện, biết thời điểm tệp xử lý cho yêu cầu truy cập Với 15 phút sử dụng tệp cho lần truy cập tệp sử dụng từ 4h chiều đến chiều ngày Biết khơng có u cầu truy cập thực sau 5h45 chiều, người không yêu cầu truy cập lần Ít người số họ thực thành công gọi Hỏi xác suất để người thực thành cơng gọi mình? Lời giải Gọi An Giang quản trị PEA Ta biết yêu cầu truy cập vào tệp internet học viện thực 105 phút Giả sử An gọi sau 4h x phút, Giang gọi sau 4h y phút, ta ánh xạ thời gian gọi người tới điểm (x,y) mp tọa độ (Hình 3) Rõ ràng song ánh Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 19 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Tập hợp điểm (x,y) hình vng O Rõ ràng người gửi yêu cầu truy cập thành cơng người lại làm việc với tệp, để người truy cập tệp tài liệu ta phải có Xét miền tập hợp điểm (x,y) xác định Đây giao phương trình đường thẳng với hình vng, cắt điểm Ta xác định =(0,15), =(90,105), =(15,0), =(105,90) Từ đó, xác suất để người truy cập vào tệp là: Hệ : Cho số nguyên dương m n a Có nguyên dương ( b Có trình ngun khơng âm ( ) thỏa mãn phương trình ) thỏa mãn phương Ví dụ 22: [Aime 2000]: Cho nhẫn khác nhau, tìm số cách xếp nhẫn xếp ngón tay (khơng tính ngón cái) bàn tay Biết thứ tự nhẫn ngón tay quan trọng khơng bắt buộc ngón phải có nhẫn Lời giải Ta có cách chọn nhẫn để đeo nhẫn cho Đăt a, b, c, d số nhẫn ngón tay Ta có a+b+c+d=5 Theo Hệ ta có cách xếp nhẫn vào ngón tay (giả thiết nhẫn ko phân biệt) Lại có với cách xếp nhẫn ko phân biệt tương ứng có 5! cách xếp nhẫn phân biệt Vậy ta có số cách xếp là: Ví dụ 23: Ngân hàng Bảo Hiểm nước cộng hòa Fatand có 15 nhân viên điều hành cấp cao Mỗi nhân viên có thẻ truy cập vào kho ngân hàng thẻ có bảng gồm m mã hóa khác Để mở kho, người đặt thẻ vào khóa điện tử kho Máy tính thu thập tất mã khác thẻ hầm mở tập mã hóa có n mã hóa Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 20 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP (khác nhau) đặt trước Vì lý bảo mật, hầm mở có thẻ nhân viên cao cấp Tìm n m thỏa mãn n nhỏ để thực sách bảo mật nêu Lời giải Dễ thấy với nhóm gồm nhân viên cao cấp thiếu mã hóa so với n mã hóa đặt trước để mở hầm Đặt A tập hợp nhóm có nhân viên B tập hợp gồm n mã hóa cần để mở hầm Xét ánh xạ từ A vào mã hóa thiếu nhóm người (số mã hóa thiếu nhiều 1, xét ánh xạ 1-1 để dễ thực hiện) Gọi ánh xạ f, ta chứng minh đơn ánh Thật vậy, gọi ∈ A nhóm khác thỏa mãn , c mã thiếu Do khác nên tồn nhóm người lấy từ nhóm mà thiếu mã (mã c), (vô lý so với giả thiết) Vậy f đơn ánh Rõ ràng f ánh xạ từ A vào B nên ta có: Ta chứng minh n=3003 thỏa mãn Khi cho nhóm người nhận mã c(a) khác 3003 mã cho trước (điều thực ta có tất 3003 nhóm) Tiếp theo ta viết mã c(a) vào thẻ thành viên khơng nằm nhóm Khi đó, mã viết cho 10 người khơng nhóm, suy ta viết tất 10 mã, đồng thời chia cho 15 người nên thẻ người có mã khác Xét nhóm gồm người Theo cách xếp mã trên, với nhóm a gồm người thiếu mã c(a) Ta chứng minh nhóm người có đủ n mã khác Thật vậy, xét nhóm người từ người chọn Khi ta có Ta chứng minh nhóm có mã c( ) Giả sử khơng có mã c( ), theo định nghĩa hàm c ban đầu, ta có (vơ lý) Vậy nhóm người có đủ mã để mở kho, hay m=2002 Kết luận: n=3003, m=2002 Ví dụ 24: [AIME 2001, by Richard Parris]: Cho số 1,2,3,4,5,6,7,8 điền lên mặt bát phương cho mặt số khác Tính xác suất để khơng có số liên tiếp (8 cho số liên tiếp) viết mặt có chung cạnh Lời giải Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 21 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP Để giải tốn, ta xét thêm hình lập phương có đỉnh A,B,C,D,E,F,G, H Hình 5, đỉnh hình lập phương trọng tâm mặt bát phương Khi ta kí hiệu sau: số 1,2,3,4,5,6,7,8 thứ tự tương ứng đỉnh A,B,C,D,E,F,G,H Cạnh lập phương nối đỉnh lập phương( nối số) thể mối liên hệ (chung cạnh) mặt bát phương Ta thấy rõ ràng liên hệ 1-1 Khi thay đếm số trường hợp khơng có số liên tiếp mặt, ta đếm số cách điền đỉnh hình lập phương để khơng có đỉnh liền kề lập thành cạnh lập phương Ta chia đỉnh thành nhóm, Dễ thấy đỉnh nhóm khơng liền kề với Ví dụ 25: Cho lưới tam giác có chiều dài cạnh bên n, phủ tam giác có cạnh Xác định có hình bình hành bị giới hạn đoạn thẳng lưới Lời giải Ta chia tất hình bình hành thành tập Có cạnh hình bình hành phải song song với cạnh tam giác Gọi tập hình bình hành có cạnh song song với cạnh XY ZX tam giác Các tập xác định tương tự Do tính đối xứng nên ta có Từ đó, đáp án ta Mở rộng cạnh XY XZ phí Y Z thêm đơn vị, ta đoạn thẳng XY’ XZ’ Xét hình bình hành thuộc , ta kéo dài cạnh hbh đó, cắt đoạn thẳng Y’Z’ điểm phân biệt (hiển nhiên) Từ ta xác định rằng, điểm phân biệt đoạn thẳng Y’Z’ vẽ song song với XY ZX, cắt điểm tạo hình bình hành thuộc Vậy ta có ánh xạ từ điểm đoạn Y’Z’ song ánh, mà đoạn Y’Z’ có tất n+2 điểm, nên ta có Vậy có tất Hình bình hành bị giới hạn cạnh tam giác Ví dụ 26: Bart nhân viên rạp chiếu phim Rạp có sức chứa 200 chỗ ngồi Trong ngày khởi chiếu phần I Star War: The Phantom Menace, có 200 người đứng xếp hàng để mua vé xem phim Giá vé 5$ Trong 200 người mua vé, 100 số họ có hóa đơn loại 5$, nửa lại hóa đơn loại 10$(mỗi người có Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 22 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP hóa đơn) Bart vốn bất cNn không chịu thay đổi 200 người xếp hàng cách ngẫu nhiên khơng muốn chờ để thay đổi vé họ mua vé Xác suất để Bart bán hết tất vé có lợi (thành cơng) Lời giải Để dễ dàng ta thay 100 n Ta xem xét người không phâ biệt Ta cân nhắc xếp n người sở hữu hóa đơn 5$ n người sở hữu hóa đơn 10$ (nói cách khác ta làm phép nhân lên tới hai mẫu số tử số, việc không ảnh hưởng tới giá trị xác suất) Có cách xếp xác số mà không hạn chế Bart thành công chi khi: ta xếp 2n số vào hàng ngang đánh số vị trí chúng từ trái qua phải từ 1,2,3, ,2n Với , đặt số người có hóa đơn 5$ (10$) đứng trước vị trí thứ i Ta cần đếm số xếp thỏa mãn với Gọi S tập hợp tất xếp Gọi T tập hợp xếp khác Ta tìm Ta có Một phần tử t ∈ T , có số , thỏa mãn Gọi ký hiệu số Bởi xác đinh ta, Vì có nhiều số hóa đơn 10$ so với 5$ tính đến (tại) thời điểm thứ Ta thay đổi toàn đồng 5$ thành 10$ đồng 10$ thành 5$ sau thời điểm thứ , ta thu hoán vị n+1 đồng 10$ n−1 đồng 5$ Ví dụ: với n=6 ta có: t = ( 5,10,10,5,10,10,10,5,10,5,5,5) Ta có ( (1,1,1,2,2,2,2,3,3,4,5,6) ( (0,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6) f(t) = 3, = (5,10,10,10,5,5,5,10,5,10,10,10) Do ta xác định ánh xạ từ T vào U tập hợp hoán vị n+1 đồng 10$ n−1 đồng 5$ Ta chứng minh g song ánh Đầu tiên ta chứng minh g toàn ánh Xét u phần tử thuộc U Ta đếm số lần xuất đồng 5$ 10$ tính từ trái qua phải với i giá trị nguyên nhỏ cho tính đến thời điểm thứ i số đồng 10$ nhiều số đồng 5$ Ta thay đổi toàn đồng 5$ thành 10$ toàn đồng 10$ thành 5$ sau thời điểm thứ i Vì số đồng 10$ có số lượng lớn so với số đồng 5$ U nên có số đồng 10$ nhiều số đồng 5$ trước thời điểm i số đồng 10$ nhiều số đồng 5$ 2ni − thời điểm lại Sau bước đổi → 10 10 → ta thu số đồng 5$ 10$ Khơng khó để thấy dãy thuộc T, g tồn ánh Bây ta chứng minh g đơn ánh Xét t ' t phần tử thuộc T Giả sử thời điểm thứ , thời điểm t ' t có khác Khơng giảm tính tổng qt g/s , Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 23 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP Nếu = i− vị trí đầu t ' t hồn tồn giống Khi thời điểm thứ i, g(t) g(t') có giá trị 10 tương ứng, Ta lại xét Thì thời điểm thứ i g(t) , có Bởi ( i-1) vị trí đầu t t’ nhau, Dơ thời điểm thứ i g(t') t’ , 10 Do Suy g song ánh Từ theo ta có: Trở lại tốn, ta có n = 200 , xác suất Ví dụ 27: Cho n số nguyên dương thỏa mãn tính chất: n domino đặt bàn cờ 6x6 với domino chiếm đơn vị diện tích vng, ln ln đặt thêm domino lên bàn mà di chuyển domino khác Xác định giá trị lớn n Lời giải Ta chứng minh giá trị lớn n 11 Hình cách xếp 12 domino bàn cờ khơng thể để thêm domino Suy n≤ 11 Ta chứng minh với 11 domino bàn cờ ln đặt thêm domino Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn cách đặt 11 domino bàn cờ mà khơng thể đặt thêm domino Khi số ô vuông bàn chưa bị phủ 11 domino là: 36-22=14 Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 24 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Đặt phần bàn cở ban đầu có kích thước 5x6 (Hình 8) Đặt A tập vng mà không bị phủ domino, hàng cuối bàn cờ (bàn cờ chia làm phần ) Vì ta khơng thể điền thêm domino vào bàn cờ, nên ô vuông cạnh bao phủ domino, suy có nhiều khơng bị phủ domino (trống), suy có 14-3=11 ô trống Đặt phần bàn cờ có kích thước 5x6 (Hình 8), B tập tất domino nằm Ta định nghĩa ánh xạ f từ A vào B Ta có, với vng trống s , tồn ô vuông t nằm s Suy ô vuông t nằm phủ domino d Rõ ràng domino d phải nằm (vì ko thuộc gồm ô t s-vô lý) Khi ta xác định ánh xạ f f(s) = d Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, giả sử cho Suy d phủ ô vuông Suy nằm cạnh (Hình 9), ta đặt thêm domino phủ lên (vô lý) Vậy f đơn ánh, suy hay Nhưng bàn cờ có 11 domino, suy =11 Khi hàng khơng bị phủ domino nào, đặt thêm quân domino (vô lý) Vậy giá trị lớn n 11 Ví dụ 28: [China 2000, by Jiangang Yao]: Cho số nguyên dương n xác định ánh xạ f xác định M thỏa mãn i số tự nhiên với (x,y)∈ M Hỏi có n ii ( x, y) n với x thỏa mãn x 1 iii N ếu > ( Lời giải Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 25 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP Có kết luận giá trị hàm f Ta coi hàm f M ma trận với n hàng n cột cho Điều kiện i,ii,iii trở thành i’ tất thành phần f M số tự nhiên ii’ tổng tất thành phần theo hàng ngang n−1 iii’ tất thành phần (nhập vào) theo lối từ thành phần (nhập vào) bên trái tới thành phần bên phải bước dịch chuyển xuống sang phải đơn vị lần Điều j ≤ k đường thỏa mãn xác định ma trận đường đòi hỏi phải qua (xuống) tới với Ta gọi ma trận thỏa mãn i’, ii’, iii’ ma trận tốt Rõ ràng có song ánh tập hợp tất hàm thỏa mãn điều kiện toán với tập ma trận tốt Ta cần đếm tất ma trận tốt Do ta xét tốn khác sau: Một cơng viên bị chia thành lưới n × n hình vng đơn vị Người làm vườn công viên phải trồng n−1 vào hàng ngang lưới Anh trồng (các không phân biệt) vào ô vuông Và trồng nhiều vào vng Anh ta làm việc trồng góc tây bắc( bên trái) cơng viên xuống góc đơng nam (dưới bên phải) cơng viên Anh ta trồng hàng thời điểm hoàn thành hàng, tự chuyển xuống hàng ngang phía ( phía nam) Người làm vườn có trạng thái trồng hình vng đứng chuyển tới hình vng phía đơng (phải) tự động xuống (phía nam) trồng đủ n−1 hàng đứng (trừ hàng cuối) Chúng ta lo lắng trường hợp (3) người làm vườn ln cẩn thận đếm số trồng hàng chuyển xuống hàng trồng đủ ( n-1) hàng đứng Anh ta trồng ( n-1) hàng ngang tổng số trồng n(n-1) Do thực n(n-1) trạng thái loại (1) Với trường hợp chuyển vị trí xuống góc phía bên phải phải thực ( n-1) trạng thái loại (2) Và có tất n(n-1)+n-1= trạng thái Vì biểu diễn trạng thái theo ý muốn nên số cách thực công việc (do phải trồng n−1 cây) Khơng khó để thấy có tương ứng một-một ma trận tốt số cách trồng người làm vườn Ví dụ với n=4 , e ký hiệu tương ứng cho trạng thái (1) (2) coi dãy 11ee11111111e11,e1111111111e1e1,11111111e11e11e tương ứng với hình vẽ sau: Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 26 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP 2 0 Và có ma trận tương ứng 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Do số ma trận 0 1 1 số hàm số f Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 27 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP LỜI KẾT Rất nhiều học sinh thân tơi đặt nhiều câu hỏi :’’Học tốn để làm gì?’’,’’Tốn học có ứng dụng gì?’’,… ‘’Học tổ hợp để làm gì?’’.Và để trả lời cho câu hỏi đó, tơi nhiều năm tìm hiểu nhận nhiều điều hay, tốn nói chung tổ hợp nói riêng có ứng dụng nhiều chẳng hạn ‘’Ứng dụng toán tổ hợp – xác xuất để giải toán di truyền – mơn sinh học’’,…Đến lúc tơi thật cảm thấy tổ hợp quan trọng tập trung vào học tổ hợp Còn bạn sao? Liệu bạn có nhận mục đích thật tốn học u thích tơi? Tơi mong cố gắn không ngừng nghỉ để làm tài liệu công nhận, mong tài liệu lưu truyền rộng rãi để người tiếp cận Tơi xin chân thành cảm ơn Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 28 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP Tài liệu tham khảo [1]TiTu Andreescu, Zuming Feng; A path to combinatorics for undergraduates [2]Lê Hải Châu, Giới thiệu thi chọn HỌC SINH GIỎI TỐN phổ thơng trung học tồn quốc (từ năm 1962 ñến năm 2000) [3] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồng Phò; Tuyển tập dự tuyển Olympic toán học quốc tế 1991-2001 [4]Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho; 40 năm Olympic toán quốc tế [5] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề TOÁN RỜI RẠC số vấn đề liên quan (tài liệu dùng cho lớp bồi dưỡng giáo viên THPT Chuyên – hè 2007) [6]Tủ sách toán học tuổi trẻ, Các thi Olympic tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990 – 2006), Nxb Giáo dục (2007) [7]Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2012,2014 [8]tai lieu\CH2.pdf [9]Nguyễn Đình Thành Cơng, tốn rời rạc tổ hợp Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du Trang 29
Ngày đăng: 09/01/2020, 22:36
Xem thêm: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
