Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nguyễn chín em

MỤC LỤC CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Vectơ pháp tuyến, vecơ phương Phương trình đường thẳng Góc đường hai thẳng Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + By + C = Công thức đường phân giác Vị trí tương đối hai đường thẳng Vị trí tương đối điểm dối vơi đường thẳng B CÁC DẠNG TỐN Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm có phương Dạng Xác định hình chiếu vng góc điểm đường thẳng 10 Dạng Viết phương trình đường thẳng (∆ ) đối xứng với (∆) : Ax + By + C = cho trước qua điểm I(xI ; yI ) cho trước 12 Dạng Viết phương trình đường phân giác tam giac 13 Dạng Vị trí tương đối đường thẳng 17 Dạng Khoảng cách đường thẳng song 18 Dạng Xác định điểm thuộc miền góc nhọn, góc tù 20 Dạng Viết phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù 21 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 25 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 92 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 92 Phương trình đường trịn 92 Phương trình tiếp tuyến 92 Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 92 Vị trí hai đường trịn 92 Phương tích điểm đường trịn 93 Trục đẳng phương hai đường tròn 93 B CÁC DẠNG TỐN 94 Dạng Nhận dạng phương trình đường tròn 94 Dạng Viết phương đường tròn 94 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn 100 Dạng Đường tròn tiếp xúc 104 Dạng Chùm đường tròn 107 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 111 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 144 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 144 Định nghĩa 144 Phương trình tắc elip 144 Hình dạng elip 144 Đường chuẩn elip 145 Dạng Xác định yếu tố elip 145 Dạng Viết phương trình elip 148 Dạng Tương giao elip đường thẳng, elip elip 149 B BÀI TẬP RÈN LUYỆN 150 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 151 CHƯƠNG BÀI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến, vecơ phương • #» n = (A; B) vectơ pháp tuyến đường thẳng (∆) (∆ ) #» u = (a; b) #» n = (A; B) #» n ∈ (∆ ) (∆ ) ⊥ (∆) (∆) • #» u = (a; b) vectơ phương đường thẳng (∆) #» n ∈ (∆ ) (∆ ) (∆) Chú ý • Nếu #» n , vecu theo thứ tự vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng (∆) #» k n , m #» u , (k, m = 0) pháp vectơ vectơ phương đường thẳng (∆) ! • Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết: hai điểm thuộc điểm biết phương Phương trình đường thẳng a) Phương trình tổng quát đường thẳng Mỗi đường thẳng mặt phẳng Oxy có phương trình Ax + By + C = 0, (A2 + B > 0) Ngược lại phương trình Ax + By = C = 0, (A2 + B > 0) gọi phương trình tổng quát đường thẳng Khi #» n = (A; B) gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng a) Phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M (x0 ; y0 ) có phương cho trước Phương đường thẳng xác định vectơ pháp tuyến, vectơ phương, hệ số góc k (hợp với chiều dương trục Ox góc α có tan α = k) • Phương trình tổng qt đường thẳng (∆) qua điểm có vectơ pháp tuyến #» = (A; B) n #» n = (A; B) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = (1) M (x0 ; y0 ) (∆) Đặc biệt: #» n = (k; −1) phương trình (∆) : y = k(x − x0 ) + y0 (Phương trình qua điểm https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 có hệ số k cho trước.) • Phương trình tham số đường thẳng (∆) qua điểm có vectơ phương #» = (a; b) u #» u = (a; b) x = x0 + a.t y = y0 + b.t , (t ∈ R) (2) M (x0 ; y0 ) (∆) • Đường thẳng (∆) có hệ số k qua M (x0 ; y0 ) b Đường thẳng (∆) có vectơ phương #» u = (a; b) có số góc k = a (∆) : y = k(x − x0 ) + y0 (2’) • Phương trình tắc đường thẳng (∆) qua điểm có vectơ phương #» = (a; b) u #» u = (a; b) x − x0 y − y0 = , với a = 0, b = (3) a b M (x0 ; y0 ) (∆) a) Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) y • y − yA x − xA = (xB = xA , yB = yA xB − xA yB − yA • Nếu xA = xB • Nếu yA = yB x = xA (4) B b (4.1) x = xB y = yA (4.2) A a O y = yB Phương trình theo đoạn chắn A(a; 0), B(0; b) x y • + =1 (5) a b a) Chùm đường thẳng Định nghĩa Tập hợp đường thẳng qua x (∆) (∆ ) điểm I gọi chùm đường thẳng I gọi tâm chùm Phương trình chùm đường thẳng có tâm I(x0 ; y0 ) ã (x x0 ) + à(y y0 ), (2 + à2 > 0) ã (Ax+By+C)+à(A x+B y+C ) = 0, (λ2 +µ2 > 0) I(x0 ; y0 ) với I = (∆) ∩ (∆ ) Trong (∆) : Ax + By + C = 0, (∆ ) : A x + B y + C = 0, (A : A = B : B ) hai đường thẳng (∆), (∆ ) gọi hai đường thẳng sở chùm Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Góc đường hai thẳng Gọi α góc hai đường thẳng (∆) (∆ ) • Nếu (∆) : Ax+By+C = 0, (∆ ) : A x+B y+C = với (A2 + B > 0, A + B > 0) ta có |A.A + B.B | √ cos α = √ A2 + B A + B α (∆) Đặc biệt: (∆) ⊥ (∆ ) ⇔ A.A + B.B = #» n = (A; B) #» n = (A ; B ) α (6) (∆ ) • Nếu (∆) : y = ax + b (∆ ) : y = a x + b a−a Nếu a.a = −1 tan α = + a.a Nếu a.a = −1 (∆) ⊥ (∆ ) ! (7) Chú ý Từ (6) (∆ ) ⊥ (∆) : Ax + By + C = suy (∆ ) : Bx − Ay + m = Từ (7) (∆ ) ⊥ (∆) : y = ax + b suy (∆ ) : y = − x + m a Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + By + C = Khoảng cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng M (x0 ; y0 ) C = (∆) : Ax + By + C = cho công thức + |A.x0 + B.y0 + C| √ A2 + B (∆ ): A x + B y d d = MH = H Công thức đường phân giác Cho (∆) : Ax + By + C = 0, (∆ ) : A x + B y + C = Các đường phân giác (∆) (∆ ) cho công thức Ax + By + C Ax+By+C =± 2 A +B A2 +B2 (∆ ) (l1 ) (l2 ) (∆) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0, (∆) : A x + B y + C = Kí hiệu D= A B A B = A.B − A B; Dx = Th.s Nguyễn Chín Em B C B C = B.C − B C; Dy = C A C A = C.A − C A https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10  Dx   x = A B D 1) (∆) (∆ ) cắt nhau: D = ⇔ = tọa giao điểm I :  A B y = D y D A B C 2) (∆) (∆ ) song song: = = A B C B C A = = 3) (∆) (∆ ) trùng nhau: A B C Hoặc xét hệ phương trình Ax + By + C = (I) Ax+By+C =0 • Nếu (I) có nghiệm (x0 ; y0 ) (∆) (∆ ) cắt • Nếu (I) vơ nghiệm (∆) (∆ ) song song • Nếu (I) vơ số nghiệm (∆) (∆ ) trùng Vị trí tương đối điểm dối vơi đường thẳng Cho hai điểm M , N đường thẳng (∆) : f (x, y) = Ax + By + C = B Nếu f (M ).f (N ) < M N nằm khác phía (∆) Nếu f (M ).f (N ) > M N nằm phía (∆) CÁC DẠNG TỐN Dạng Viết phương trình đường thẳng qua điểm có phương Kỹ thuật Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) Phương pháp: qua M (x0 ; y0 ) (∆) : , phương trình tổng quát (∆) : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = VTPT #» n = (A; B) (∆) : (∆) : (∆) : qua M (x0 ; y0 ) , phương trình tham số (∆) : VTCP #» u = (a; b) x = x0 + at y = y0 + b.t , (t ∈ R) qua M (x0 ; y0 ) x − x0 y − y0 , phương trình tắc (∆) : = #» a b VTCP u = (a; b) qua M (x0 ; y0 ) hệ số góc k , phương trình tổng quát (∆) : y = k(x − x0 ) + y0 x − xA y − yA (∆) qua điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) có phương trình tổng quát: = xB − x A yB − yA x y + = (∆) qua điểm A(a; 0), B(0; b) có phương trình đoạn chắn: a b (∆ ) ⊥ (∆) : Ax + By + C = ⇒ (∆) : Bx − Ay + m = (∆ ) ⊥ (∆) : y = ax + b ⇒ (∆) : y = − x + b a Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ABC có A(0; 3), B(−5; 0), C(−5; −3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho 1) Viết phương trình cạnh Chương - Hình học 10 ABC, đường trung tuyến, đường cao AH 2) Tính diện tích xác định tọa độ trọng tâm ABC Lời giải 1) Phương trình cạnh ABC, đường trung tuyến, đường cao AH y x + = ⇔ 3x − 5y + 15 = • (AB) : −5 H • Ta thấy xB = xC = −5 ⇒ (BC) : x = −1 x − xC x − xC x+5 y+3 • (AC) : = ⇔ = ⇔ 6(x + 5) = xC − xA yC − yA 0+5 3+3 5(y + 3) ⇔ 6x − 5y + 15 = Phương trình trung tuyến BM Gọi M  trung điểm AC x + xC  x M = A ⇒M: ⇒ xM = − yM = hay y + y  C x M = A Å ã M − ;0 Thấy yM = yB = ⇒ (BM ) : y = 2) Tính diện tích, xác định tọa độ trọng tâm Gọi H chân đường cao từ A AH = |xA − xH | = • Diện tích ABC S = BC.AK = • Gọi G trọng tâm y B −5 G M C A x O −3 Oy suy BC = |yB − yC | = 3, ABC Do BC 15 3.5 = (đvdt)   x + xB + x C  ã Å x G = A xG = − 10 10 3 hay G − ; ABC, suy G : ⇒   xG = yA + yB + yC yG = Kỹ thuật Viết phương trình đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) có phương cho trước Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình (∆) qua M (2; −1) thỏa: a) có vecơ pháp tuyến #» n = (1; −3) #» b) có vecơ phương u = (4; 6) c) có hệ số góc k = Lời giải a) Đường thẳng (∆) qua M (2; −1) có vecơ pháp tuyến #» n = (1; −3) có phương trình tổng quát 1.(x − 2) − 3.(y + 1) = ⇔ x − − 3y − = ⇔ x − 3y − = #» b) Đường thẳng (∆) qua M (2; −1) có vecơ phương #» u = (4; 6) hay u = (2; 3) có phương trình tham số x = + 2t y = −1 + 3t , (t ∈ R) c) Đường thẳng (∆) qua M (2; −1) có hệ số góc k = có phương trình tổng qt y = 3.(x − 2) − ⇔ y = 3x − − ⇔ y = 3x − Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Kỹ thuật Viết phương trình (d) qua M (x0 ; y0 ) Cùng phương với đường thẳng (∆) cho trước Vuông góc với đường thẳng (∆) cho trước Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho (∆) : 2x + 3y − = M (1; −2) Viết phương trình đường thẳng (d) thỏa (d) (∆) (d) ⊥ (∆) Lời giải (d) (∆) Cách 1: Đường thẳng (d) (∆) suy (d) có dạng: 2x + 3y + c = (c = −1) (1) Vì M ∈ (d) nên từ (1) 2.1 + 3.(−2) + c = ⇔ c = Thay c = vào (1) phương trình (d) : 2x + 3y + = Cách 1: Vì () (∆) nên #» n d = #» n (∆) = (2; 3) Phương trình (d) : 2.(x − 1) + 3(y + 2) = ⇔ 2x + 3y + = Vì (d) ⊥ (∆) nên đường thẳng (d) có dạng: 3x − 2y + c = (2) Vì M ∈ (d) nên (2) ⇔ 3.1 − 2(−2) + c = ⇔ c = −7 Thay c = −7 vào (2) ta phương trình đường thẳng (d) : 3x − 2y − = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) qua M (1; −1) tạo với Ä√ ä đường thẳng (∆) : y = − x − góclớn nhất, nhỏ Lời giải • (d) tạo với (∆) góc lớn (d) tạo với (∆) góc lớn (d) ⊥ (∆) Khi (d) có dạng: y = − Ä√ Ä√ ä √ ä (x − xM ) + yM ⇔ y = − Ä√ ä (x − 1) − ⇔ y = − − x + 2−1 2−1 • (d) tạo với (∆) góc nhỏ (d) tạo với (∆) góc nhỏ (d) (∆) Khi (d) có dạng: Ä√ ä Ä√ ä Ä√ ä √ y= − (x − xM ) + yM ⇔ y = − (x − 1) − ⇔ y = − x − Kỹ thuật Viết phương trình đường thẳng (d) qua M (xM ; yM ) hợp với đường thẳng (∆) góc α cho trước Phương pháp: • Phương trình (∆) : Ax + By + C = có vecơ pháp tuyến #» n (∆) = (A; B) Phương trình (d) qua M có dạng: λ(x − xM ) + µ(y − yM ) = 0, (λ2 + µ2 > 0) (1) Khi đường thẳng (d) có vecơ pháp tuyến #» n (d) = (λ; µ) Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Đường thẳng (d) hợp với (∆) góc α cho trước cos α = |A.λ + B.µ| + B ) (λ2 + µ2 ) (A2 ⇔ (A.λ + B.µ)2 = A2 + B λ2 + µ2 (2) Với họ nghiệm phương trình đẳng cấp λ, µ tùy chọn cặp (λ; µ) thay vào (1) cho ta đường thẳng cần tìm • Nếu (∆) : y = ax + b, (a = 0) Khi phương trình (d) : y = a (x − xM ) + yM (3) (d) hợp với (∆) góc α cho trước tan α = a−a + a.a (4) Mỗi giá trị a (4) thay vào (3) ta phương trình (d) cần tìm Đặc biệt: Nếu α = 45◦ ta sử dụng cơng thức đường phân giác • Giả sử (∆) : Ax + By + C = Khi Có đường thẳng (∆ ) ⊥ (∆) có dạng Bx − Ay = Các đường phân giác (l1 ), (l2 ) góc (∆) (∆ ) có phương trình Ax + By + C Bx − Ay √ = ±√ ⇔ Ax + By + C = ±(Bx − Ay) A2 + B A2 + B (5) Đường thẳng (d) qua M tạo với (∆) góc α = 45◦ ⇔ (d) phương với (l1 ), (l2 ) Sử dụng Kỹ thuật để hồn thành tốn Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M (0; 1) tạo với đường thẳng (∆) : 2x − y + = góc 30◦ Lời giải Phương trình đường thẳng d qua A có dạng (d1 ) λx + µ(y − 1) = 0, (λ2 + µ2 > 0) y (1) (∆) Theo u cầu tốn ta có ◦ cos 30 = |2λ − µ| ⇔ 5(λ2 + µ2 ) √ |2λ − µ| = 5(λ2 + µ2 ) (d2 ) 30◦ ⇔ 4(2λ − µ)2 = 5.3(λ2 + µ2 ) M ⇔ λ2 − 16λ.µ − 11µ2 = (2) O x Do µ = 0, đặt λ = µ.t Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Khi (2) trở thành √ t = + µ2 (t2 − 16t − 11) = ⇐⇒ t2 − 16t − 11 = ⇔ √ t2 = − √ √ √ • Với t = + ta có λ = µ(8 + 3) Chọn µ = ⇒ λ = + thay vào (1) có phương trình √ (d1 ) : (8 + 3)x + y − = √ √ √ • Với t = − ta có λ = µ(8 − 3) Chọn µ = ⇒ λ = − thay vào (1) có phương trình √ (d2 ) : (8 − 3)x + y − = Vậy qua M có đường thẳng cần tìm: √ √ (d1 ) : (8 + 3)x + y − = 0, (d2 ) : (8 − 3)x + y − = µ=0 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1) tạo với đường thẳng (∆) : 2x + 3y + = góc 45◦ Lời giải Cách 1: Gọi (∆ ) ⊥ (∆) qua góc tọa độ suy y (∆ ) : 3x − 2y = Các đường phân giác (l1 ) (∆ ) : 3x − 2y = (l2 ) góc tạo (∆) (∆ ) 3x − 2y 2x + 3y + √ =± √ 13 13 ⇔ (d1 ) A x (l1 ) O (l1 ) : x − 5y − = 45◦ (l2 ) : 5x + y + = (l2 ) Gọi(d) đường thẳng qua A tạo với (∆) (∆) : 2x + 3y + = góc 45◦ , suy (d) phương với (l1 ) (l2 ) (d2 ) (d1 ) : 1.(x − 2) − 5.(y − 1) = ⇔ x − 5y + = (d2 ) : 5.(x − 2) + 1.(y − 1) = ⇔ 5x + y − 11 = Cách 2: Phương trình đường thẳng (∆ ) qua A có dạng λ(x − 2) + µ(y − 1) = 0, (λ2 + µ2 > 0) (1) Theo yêu cầu toán cos 45◦ = |2λ + 3µ| ⇔ 13(λ2 + µ2 ) |2λ + 3µ| =√ 13(λ2 + µ2 ) 2(2λ + 3µ) = 13(λ2 + µ2 ) ⇔ 5λ2 − 24λ.µ − 5µ2 = (2) Do µ = 0, đặt µ = λ.t, ta có (2) trở thành  t = −5 µ=0 2  λ (5 − 24t − 5t ) = ⇐⇒ 5t + 24t − = ⇔ t= • Với t = −5 ta có µ = −5λ Chọn λ = 1, có µ = −5 thay vào (1) ta có (x − 2) − 5(y − 1) = ⇔ x − 5y + = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 trái đất mặt trời 147, 00 triệu km Hãy viết phương trình tắc elip (E) quỹ đạo trái đất quay quanh mặt trời x2 y2 A (E) : + = 152, 002 147, 002 x2 y2 = C (E) : + 152, 002 149, 00 Lời giải x2 y2 + = 149, 502 149, 482 x2 y2 D (E) : + = 149, 00 147, 00 B (E) : Ta có khoảng cách xa mặt trời trái đất a + c = 152 triệu km khoảng cách ngắn a − c = 147 triệu km Từ đó, ta dễ dàng tìm a = 149, triệu km c = 2, triệu km x2 y2 Từ đó, ta tính b = 149, 48 triệu km Ta có phương trình (E) : + = 149, 502 149, 482 Chọn đáp án B Câu 109 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) Hình chữ nhật sở (E) có cạnh √ nằm đường thẳng d : x − = có độ dài đường chéo Viết phương trình tắc (E) x2 y + = Lời giải A B x2 y2 + = 516 25 C x2 y + = D x2 y + = 25 16 Giả sử x2 y + = a2 b Khi cạnh hình chữ nhật sở (E) nằm đường thẳng có phương trình (E) : x = ±a; y = ±b Suy a = √ √ Ta có chiều dài chiều rộng hình chữ nhật sở 2a = 2b Do độ dài đường chéo hình chữ nhật sở nên ta có (2a)2 + (2b)2 = 62 ⇔ 20 + 4b2 = 36 ⇔ b2 = ⇒ b = (do b > 0) x2 y + = Chọn đáp án C Vậy (E) : Câu 110 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) qua M (2; 3) cắt trục hoành điểm có hồnh độ ngun Biết (E) có đường chuẩn có phương trình x + = Viết phương trình tắc (E) x2 y x2 y2 A + = B + = 39 16 12 52 x2 y C + = D Không tồn elip (E) 12 16 Lời giải x2 y Giả sử + = với < a < b a √b c a Ta có c = a2 − b2 , e = phương trình đường chuẩn x ± = a e a a2 a2 Suy c = ⇔ =8⇒c= (1) c a Do (E) qua M (2; 3) nên + = (2) a a − c2 Th.s Nguyễn Chín Em 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10  c=2  + = ⇔ 2c − 17c + 26 = ⇔ 13 8c 8c − c2 c= √ 13 Với c = ⇒ a = 52 ⇒ a = 13 (loại a nguyên) Với c = ⇒ a2 = 16 ⇒ a = ⇒ b2 = a2 − c2 = 16 − = 12 x2 y Vậy (E) : + = 16 12 Chọn đáp án A Thế (1) (2) ta có √ Câu 111 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có tâm sai e = Biết hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Viết phương trình tắc (E) A x2 y + = B x2 y + = C x2 y + = D x2 y + = Lời giải Gọi độ dài trục lớn trục nhỏ (E) 2a, 2b (a, b > 0) Do chu vi √ hình chữ nhật √ sở √ 20 nên 2(2a + 2b) = 20 ⇔ a + b = (1) c 5 Do e = ⇒ = ⇔c= a (2) a 3 Mặt khác a2 − b2 = c2 (3) Từ (2) (3) suy a2 − b2 − a2 = ⇔ a2 − b2 = (4) 9 Từ (1) (4) suy a=3 a − (5 − a)2 = ⇔ − a2 + 10a − 25 = ⇔ 9 a = 15 Với a = 15 ⇒ b = −10 (loại) Với a = ⇒2 b = 22 x y Vậy (E) : + = Chọn đáp án C Câu 112 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) có độ dài trục lớn Biết giao điểm elip (E) với đường tròn (O) : x2 + y = tạo thành bốn đỉnh hình vng Viết phương trình tắc (E) x2 y2 + = 16 16 x2 y2 C + = 16 16 Lời giải A Th.s Nguyễn Chín Em B x2 y + = 16 D Không tồn elip (E) 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Do độ dài trục lớn nên (E) : Chương - Hình học 10 x2 y + = 1, 16 b2 y (0 < b < 4) Đường tròn (O) : x2 + y = có tâm O(0; 0), bán kính √ R = 2 A B Gọi giao điểm (O) (E) đỉnh hình vng x O ABCD √ Suy OB = 2 ⇒ B(2; 2) ∈ (E) 4 16 + = ⇒ b2 = ⇒ 16 b x2 y2 Vậy (E) : + = 16 16 Chọn đáp án A D C Câu 113 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có AC = 2BD (C) : x2 + y = đường trịn nội tiếp hình thoi Biết A thuộc trục hồnh Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh hình thoi x2 y A + = 20 x2 y B − = 20 x2 y C + = 20 x2 y D − = 20 Lời giải Do ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD ’ = Vì AC = 2BD nên OC = 2OB ⇒ tan BCO (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = y B I A Dựng OI ⊥ BC ⇒ OI = C x O Ta có: OI = = 4; ‘ tan ICO OI IB = = = ‘ tan OBI Suy BC = + = IC = D √ √ Từ OB + OC = BC ⇒ OB + 4OB = 25 ⇒ OB = ⇒ OB = ⇒ OC = √ √ Suy trục lớn trục nhỏ (E) AC = 2OC = 5, BD = 2OB = x2 y Vậy (E) : + = 20 Chọn đáp án C Câu 114 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trục Ox, điểm B chạy trục Oy độ lớn đoạn AB = Tập hợp điểm M đoạn thẳng AB thoả mãn M B = 2M A đường elip có phương trình đây? A x2 y + = 36 B x2 y + = C x2 y + = 25 D x2 y + = 16 Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Giả sử A(b; 0), B(0; c) Do AB = nên b2 + c2 = (1) y Gọi M (x; y) điểm thuộc đoạn AB thoả mãn M B = # » # » 2M A ⇒ M B = −2M A # » # » Mà M B = (−x; c− y), M A = (b − x; −y) nên b = x −x = −2(b − y) (2) ⇔  c − y = −2(−y) c = 3y Å ã2 x2 y Từ (1) (2) ta có x + (3y)2 = 92 ⇔ + = 36 B M A O x Chọn đáp án A Câu 115 Trong √ mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình tắc e-líp (E) biết (E) có chu vi hình chữ nhật sở 20 tâm sai x2 y + = −1 x2 y2 C (E) : + = 225 100 Lời giải x2 y + = x2 y D (E) : + = A (E) : B (E) : x2 y Gọi phương trình tắc e-líp có dạng (E) : + = a b √ a a + b = theo đề ta có c = a=3 mặt khác a2 = b2 + c2 nên ta có a = 15 So với điều kiện a + b = chọn a = 3, b = x2 y Vậy phương trình tắc e-líp (E) : + = Chọn đáp án A x2 y + = Gọi M , N lần 16 lượt điểm di chuyển tia Ox, Oy cho M N tiếp xúc với (E) Hãy tìm độ dài nhỏ Câu 116 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) có phương trình M N A 21 B C 48 D 49 Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 185 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Gọi M (m; 0), N (0; n) (với m, n > 0) Khi OM = m, y ON = n, M N = m2 + n2 x y Phương trình đường thẳng M N có dạng + =1⇒ m n n y = − x + n Thay vào phương trình (E) ta có m n − x + n x m + =1 16 Å ã n 2n2 2 ⇔ 9x + 16 x + n = 144 x − m m Å ã 16n2 n2 ⇔ 9+ x − 32 x + 16n2 − 144 = m2 m n2 Có ∆ = 32 m N O M x ã2 Å ã ï ò 16n2 144n2 2 −4 9+ (16n − 144) = 64 + 81 − 9n m2 m2 81 144 Để M N tiếp xúc (E) ∆ = ⇒ + = n m 81 144 (9 + 12)2 212 Ta có = + ≥ = ⇒ M N ≥ 49 Vậy M Nmin = 49 n m m + n2 MN2 Å Chọn đáp án D Câu 117 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho t thay đổi, điểm M (5 sin t; cos t) di động đường sau đây? A Elip B Đường tròn C Đường thẳng D Parabol Lời giải Ta có xM + yM =1⇔ x2M yM + = Vậy t thay đổi, điểm M di động đường Elip 25 Chọn đáp án A c gọi tâm sai elip Qũy a đạo trái đất quanh mặt trời elip (E) mặt trời tiêu điểm Biết khoảng cách nhỏ lớn mặt trời trái đất 147 triệu km, 152 triệu km Câu 118 Một elip với bán trục lớn a bán tiêu cự c, tỉ số e = Tâm sai elip (E) gần với giá trị giá trị sau? A 0, 0167 B 0, 0168 C 0, 0169 D 0, 017 Lời giải x2 y + = 1, a > b > 0, khoảng cách từ tiêu điểm đến điểm M a2 b c · xM có hồnh độ xM dM = a ± , khoảng cách lớn nhỏ từ tiêu điểm a đến điểm thuộc elip a + c  a − c 299  a = a + c = 152 Vậy tâm sai (E) e = c = ≈ 0, 0167 Ta có hệ phương trình ⇐⇒  a 299 a − c = 147 c = Một elip có phương trình Chọn đáp án A Câu 119 Th.s Nguyễn Chín Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Ơng Thanh có mảnh vật liệu hình elip với trục lớn, trục nhỏ có độ dài 80 cm 60 cm Ông Thanh muốn cắt hình chữ nhật có N M P Q cạnh song song với trục elip đỉnh thuộc elip Tính MN tỉ số để hình chữ nhật có diện tích lớn MQ 16 Lời giải A B 16 C D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y N M x Q P y2 x2 Phương trình elip là: + = Giả sử M (x; y), SM N P Q = 4|xy|, theo BĐT Cauchy ta 30 … 40 x2 x2 y y2 |xy| có + = ≥ = , SM N P Q = 4|xy| ≤ 240 Dấu xảy 2 40 30 40 · 30 60 |y| |x| |x| = ⇐⇒ = 40 30 |y| Chọn đáp án D Câu 120 Minh cần mua mảnh vật liệu hình đa giác A3 A1 A2 A8 nội tiếp elip tâm O có độ dài trục lớn A4 A2 trục nhỏ 10 m, m Đa giác có hai trục đối ◦ ◊ xứng trục đối xứng elip góc A OA2 = 45 Minh cần tiền để mua biết giá vật liệu 100000 đồng/m2 (làm trịn đến hàng nghìn) A5 A6 A 11240000 đồng B 11242000 đồng A1 O C 11245000 đồng A8 A7 D 11248000 đồng Lời giải x2 y2 Phương trình elip + = 1, A2 giao điểm đường thẳng y = x elip, suy 25 16 Ç √ √ å 20 41 20 41 ; A2 41 41 √ 20 41 Gọi S diện tích đa giác, ta có S = · SA1 OA3 = · (SA1 OA2 + SA2 OA3 ) = · · (5 + 4) = 41 √ 720 41 41 Th.s Nguyễn Chín Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 √ 720 41 Số tiền cần · 100000 ≈ 11245000 41 Chọn đáp án C Câu 121 Qũy đạo trái đất quanh mặt trời elip, mặt trời tiêu điểm Khoảng cách nhỏ lớn mặt trời trái đất 147, triệu km, 152, triệu km Chu vi elip với bán trục a, b tính gần theo C = π 3(a + b) − (3a + b)(a + 3b) (công thức Ramanujan) Biết trái đất chuyển động quanh mặt trời vòng hết 365, 25 ngày, vận tốc trung bình trái đất gần với giá trị giá trị sau? A 29 km/s B 30 km/s C 31 km/s D 32 km/s Lời giải a + c = 152,1 a = 149,6 ⇔ ⇒ b = 149,08 a − c = 147,1 c = 2,5 936,2 · 106 ≈ 30 km/s C ≈ 936,2 triệu km, vtb = 365,25 · 24 · 3600 Chọn đáp án B Ta có hệ phương trình Câu 122 Sao chổi Halley có quỹ đạo hình elip với tâm sai e = 0,967 Khoảng cách ngắn tử chổi đến mặt trời 0,587 AU (1 AU ≈ 149,6 triệu km) Tính khoảng cách xa chổi Halley đến mặt trời A 32 AU B 33 AU C 34 AU D 35 AU Lời giải  a − c = 0,587 Ta có hệ phương trình c ⇔  = 0,967 a Chọn đáp án D a ≈ 17,8 c ≈ 17,2 ⇒ a + c ≈ 35 Câu 123 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : 9x2 + 25y = 225 Tìm tọa độ điểm M ∈ (E) ◊ thỏa mãnÇF M F2 =å 90◦ xM > Ç 0, y√ các√tiêu điểm 1√ M < (biết å F1 , F2 Ç å (E)) Ç √ å 3 15 15 A M ;− B M ;− C M ;− D M ;− 4 2 4 8 Lời giải Ta có x2 y 9x + 25y = 225 ⇔ + = 25 Elip có a = 5, b = suy c = Hai tiêu điểm elip F1 (−4; 0), F2 (4; 0) # » # » Giả sử M (x; y),(x > 0, y < 0) ta có F1 M (x + 4; y); F2 M (x − 4; y), 2 # » # » ◦ 2 ◊ F M F2 = 90 ⇔ M F1 ⊥ M F2 ⇔ F1 M · F2 M = ⇔ x + y = 16 Vì M ∈ (E) nên 9x2 + 25y = 225 Từ (1) (2) ta có Ç √ å Vậy M ;− 4 Th.s Nguyễn Chín Em (1) (2)  √  175    x = x = x2 + y = 16 16 ⇒ ⇔ 2 81   9x + 25y = 225 y =  y = − 16 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Chọn đáp án A x2 + y = Tìm tọa độ điểm M nằm Câu 124 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : elip (E) cho M có tung độ dương thỏa mãn M F1 = 2M F2 (với F1 tiêu điểm có hồnh độ âm, F2 tiêu hồnh độ dương củẩelip (E)) Ç √ Ç Ç điểm√có å Ç √ å √ å 3 3 7 √ ; √ B D − ; A ; C − √ ; √ 2 2 2 2 2 2 Lời giải Ä √ ä Ä √ ä √ Elip có a = 3, b = suy c = 2 Ta có hai tiêu điểm F1 −2 2; , F2 2; Giả sử M (x; y) » √ (x > 0), F2 M = (x − 2)2 + y Ta lại có M F1 + M F2 = ⇒ 3M F2 = ⇔ M F2 = √ Nên suy (x − 2)2 + y = (1) x2 + y = (2) Do điểm M nằm elip nên Từ (1) (2) suy √   √ 2  (x − 2) + y = √ x = √ ⇒ x − 2x + = ⇔   x2  15  + y2 = x= Ç √ å √ ; √ Do M có tung độ dương nên M 2 2 Chọn đáp án A Câu 125 Cho elip (E) có tâm sai e = Gọi B1 đỉnh trục nhỏ, F1 , F2 hai tiêu điểm ◊ (E) Tính F1 B1 F2 ◦ ◦ ◦ ◦ ◊ ◊ ◊ ◊ A F B F C F D F B1 F2 = 60 B1 F2 = 120 B1 F2 = 90 B1 F2 = 45 Lời giải √ nên a = 2c, suy b = 3c ◦ ◦ ÷ ÷ ◊ Trong tam giác OF1 B2 có tan OB F1 = √ suy OB2 F1 = 30 , F1 B1 F2 = 60 Chọn đáp án A Do elip (E) có tâm sai e = Câu 126 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 16x2 + 25y = 100 Tìm tất giá trị tham √ số b để√đường thẳng y = x + b có điểm chung √ với (E) √ 41 41 41 41 A − ≤b≤ B − 2 2 Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng elip nghiệm hệ 16x2 + 25y = 100 ⇒ 16x2 + 25(x + b)2 = 100 ⇔ 41x2 + 50bx + 25b2 − 100 = (∗) y =x+b Đường thẳng có điểm chung với elip (∗) có nghiệm √ √ 41 41 41 ⇔ (25b)2 − 41(25b2 − 100) ≥ ⇔ b2 ≤ ⇔− ≤b≤ 2 Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Chọn đáp án A Câu 127 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 4x2 + 9y = 36 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : x − y − 2m = tiếp xúc với (E) √ √ √ √ 13 13 13 B m = C m = − D m = ± 13 A m = ± 2 Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng elip nghiệm hệ 4x2 + 9y = 36 y = x − 2m ⇒ 4x2 + 9(x − 2m)2 = 36 ⇔ 13x2 − 36mx + 36m2 − 36 = (∗) Đường thẳng tiếp xúc với elip (∗) có nghiệm √ 13 13 ⇔ (18m) − 13(36m − 36) = ⇔ m = ⇔m=± 2 2 Chọn đáp án A x2 y + = có tiêu điểm F1 , F2 với F2 có hồnh độ dương Đường thẳng d qua F2 song song với đường phân giác góc phần tư Câu 128 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : thứ cắt (E) A, B Tính diện tích S tam giác ABF1 16 A S = B S = C S = 3 Lời giải D S = Ta có a2 = 8, b2 = ⇒ c2 = a2 − b2 = ⇒ c = 2, suy F1 (−2; 0), F2 (2; 0) x2 (x − 2)2 Phương trình đường thẳng d : y = x − 2, thay vào phương trình đường Elip ta có + =  x = ⇒ y = −2 1⇔ x= ⇒y= √ √ Å3 ã √ 10 Suy A(0; −2), B ; ⇒ AF1 = 2, BF1 = , AB = 3 3 16 Theo cơng thức Hê rơng ta có S = Chọn đáp án B x2 y2 + = hai điểm A(−3; 0), I(−1; 0) Tìm tọa độ điểm B, C ∈ (E) cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết tung độ điểm B dương Ç Ç Ç Ç √ å √ å √ å √ å 6 6 ; ,C − ;− B B − ; ,C ;− A B 5 5 5 5 Ç Ç Ç Ç √ å √ å √ å √ å 6 6 C B − ; ,C − ; D B − ; ,C − ;− 5 5 5 5 Lời giải Câu 129 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Ta có AI = 2, nên phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC có phương trình (x + 1)2 + y = Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10     x = −  √    2  (x + 1) + y =  y =  Tọa độ B, C (xB , xC = −3) thỏa mãn hệ x2 y ⇔     + =1    x = −  √   y = − Ç Ç √ å √ å 6 Vì B có tung độ dương nên B − ; ,C − ;− 5 5 Chọn đáp án D y2 x2 + = điểm M (2; 1) Viết 25 phương trình đường thẳng d qua M cắt (E) hai điểm A, B cho trung điểm đoạn thẳng Câu 130 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : AB nằm đường thẳng ∆ : y = 2x 34 A y = − x y = − x + 50 25 34 C y = x y = − x + 50 25 Lời giải 34 B y = − x y = x + 50 25 34 D y = x y = x + 50 25 Nếu d qua M song song với Oy AB có trung điểm có tọa độ (2; 0) Điểm không thuộc ∆ Suy đường thẳng d có hệ số góc k, d có dạng y = k(x − 2) + Hoành độ giao điểm đường thẳng d (E) nghiệm phương trình x2 (kx − 2k + 1)2 + =1 25 ⇔(9 + 25k )x2 + 50k(1 − 2k)x + 25(1 − 2k)2 − 225 = Điểm M thuộc miền elip (E) nên đường thẳng d cắt (E) hai điểm phân biệt Gọi A, B giao điểm đườngÅthẳng d (E), A(x ã ; k(x1 − 2) + 1), B(x2 ; k(x2 − 2) + 1) 25k(2k − 1) 18 − 36k Tọa độ trung điểm AB I ; + 25k  2(9 + 25k ) k=  Điểm I ∈ y = 2x ⇒ 100k − 32k − = ⇔  k=− 50 34 Do y = x y = − x + 50 25 Chọn đáp án C Câu 131 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x + y − = elip (E) : x2 + y2 = Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng d cắt (E) hai điểm A, B cho diện tích tam giác OAB √ √ A ∆ : 2x − 6y + 10 = ∆ : 2x − 6y − 10 = √ √ B ∆ : 2x + 6y + 10 = ∆ : 2x + 6y − 10 = √ √ C ∆ : 6x − 2y + 10 = ∆ : 6x − 2y − 10 = √ √ D ∆ : 6x + 2y + 10 = ∆ : 6x + 2y − 10 = Lời giải x+c x2 (x + c)2 Đường thẳng ∆ : x − 3y + c = ⇒ y = Thay vào phương trình elip ta có + = 36 ⇔ 5x2 + 2cx + c2 − 36 = (1) Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 90 (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt c2 − 5(c2 − 36) > ⇔ c2 < x1 + c x2 + c Gọi A x1 ; , B x2 ; , x1 , x2 nghiệm phương trình (1) 3  −2c  x + x = Theo định lí Viet ta có c − 36  x x = … 16 144 144 16c2 − = 18 ⇔ c − c + 324 = ⇔ c2 = Ta có SOAB = AB · d(O, AB) = ⇔ |c| 25 25 √2 45 10 ⇔c=± (thỏa mãn) 2 √ √ Vậy phương trình đường thẳng cần tìm ∆ : 2x − 6y + 10 = ∆ : 2x − 6y − 10 = Chọn đáp án A y2 x2 + = điểm I(1; 2) Lập Câu 132 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 16 phương trình đường thẳng qua I cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho I trung điểm đoạn thẳng AB A d : 9x + 32y + 73 = B d : 9x + 32y − 73 = C d : 9x − 32y + 73 = Lời giải D d : 9x − 32y − 73 = + Nhận xét trường hợp đường thẳng qua I(1; 2) có phương trình x = không thỏa mãn yêu cầu tốn + Đường thẳng d qua I có hệ số góc k có phương trình y = kx + − k x2 (kx + − k)2 Hoành độ A, B thỏa mãn phương trình + = ⇔ (9 + 16k )x2 + 32k(2 − k)x + 16 16(2 − k)2 − 144 = Điểm I thuộc miền elip nên d cắt elip hai điểm phân biệt A, B Gọi A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), theo ta có  x + x2   =1 −16k(2 − k) ⇔ = ⇔ k = −  + 16k 32  y1 + y2 = 2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : 9x + 32y − 73 = Chọn đáp án B Câu 133 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : x2 y + = Hỏi có đường thẳng d cắt (E) hai điểm phân biệt có tọa độ nguyên? A B C D Lời giải x2 Vì y ≥ ⇔ x2 ≤ 8, x ∈ Z ⇒ x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Từ phương trình (E) ⇔ y = − + Với x = ±2 ⇒ y = ⇔ y = ±1 + Với x = ±1 ⇒ y = ( loại) + Với x = ⇒ y = 2( loại) Vậy có tất điểm có tọa độ nguyên elip, số đường thẳng cắt elip điểm có tọa độ nguyên Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Å ã x2 2 Câu 134 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : + y = điểm M ; Viết 3 phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho M A = 2M B A ∆ : x + 2y − 10 = ∆ : x + 14y − = B ∆ : x − 2y − = ∆ : x − 14y − 10 = C ∆ : x + 2y − = ∆ : x + 14y − 10 = D ∆ : x − 2y − 10 = ∆ : x − 14y − = Lời giải Nhận thấy điểm M thuộc miền elip (E) y x # » # » Gọi A(x; y), theo ta có M A = −2M B ⇒ B − ; − 2 Điểm A, B thuộc (E) nên ta có   x   2−x  + y =   4 y = x=2  ⇒ ⇔ x 2 −6   1−   x + (2 − x) = x= y   + 1− =1 16 Với x = ⇒ A(2;Å 0), phương ã trình đường thẳng ∆ : x + 2y − = 6 ⇒ ∆ : x + 14y − 10 = Vơi x = − ⇒ A − ; 5 Chọn đáp án C x2 y + = đường thẳng d : 3x + 16 4y − 12 = Gọi giao điểm đường thẳng d elip (E) A B Tìm điểm C ∈ (E) cho Câu 135 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : tam giácÅABC có diện ã tích Å ã √ √ 3 A C 2; − √ C −2 2; √ 2ã Å Å ã2 √ √ 3 C C 2; − √ C − 2; √ 2 Lời giải Å ã Å ã √ √ 3 B C −2 2; − √ C 2; √ 2ã Å Å ã2 √ √ 3 D C − 2; − √ C 2; √ 2  2  x + y = x=0⇒y=3 Tọa độ giao điểm đường thẳng d (E) nghiệm hệ 16 ⇔  x=4⇒y=0 3x + 4y = 12 Khi AB = Gọi C(x, y) điểm cần tìm, diện tích tam giác 3x + 4y = |3x + 4y − 12| ·5 = ⇔ |3x+4y−12| = 12 ⇔ SABC = ⇔ d(C, AB)·AB = ⇔ · 2 3x + 4y = 24  √ −3 x=2 2⇒y= √  Với 3x+4y = ⇔ y = − x thay vào phương trình (E) ta có x2 = ⇔   √ x = −2 ⇒ y = √ 24 − 3x Với 3x + 4y = 24 ⇒ y = thay vào phương trình (E) ta phương trình vơ nghiệm Å ã Å ã √ √ 3 Vậy C 2; − √ C −2 2; √ 2 Chọn đáp án A x2 + y = Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Câu 136 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y + = elip (E) : cho diện tích tam giác OAB Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 A ∆ : x + 2y + = ∆ : x + 2y − = B ∆ : x − 2y + = ∆ : x + 2y − = C ∆ : x + 2y + = ∆ : x − 2y − = D ∆ : x − 2y + = ∆ : x − 2y − = Lời giải ∆ đường thẳng vng góc với d, phương trình đường thẳng ∆ : x − 2y + c =   x = 2y − c x = 2y − c Tọa độ giao điểm A, B nghiệm hệ phương trình x2 ⇔ ⇒  (2y − c)2 + 4y =  + y2 = 8y − 4yc + c2 − = 2 (1) có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 4c − 8(c − 4) > ⇔ …c < 8 − c2 Gọi A(2y1 − c; y1 ), B(2y2 − c; y2 ) ⇒ AB = ((y1 + y2 )2 − 4y1 y2 ) = · Theo SOAB = ⇔ d(O, AB) · AB = ⇔ c4 − 8c2 + 16 = ⇔ c2 = ⇔ c = ±2 (thỏa mãn) Vậy ∆ : x − 2y + = ∆ : x − 2y − = Chọn đáp án D x2 y + = Hãy tìm giá trị 16 tham số m để đường thẳng mx − = cắt (E) điểm A m = ±2 B m = C m = −2 D m = − Lời giải Câu 137 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) có phương trình Giả sử M (x; y) giao điểm (E) đường thẳng cho Ta có  2  x + y = 16  mx − = Nhận xét, m = từ phương trình thứ xảy điều vơ lí Do m = Từ phương trình thứ ta x = Thế vào phương trình thứ nhất, ta m 64 9m2 − 36 2 2 · + 16y = 16 · ⇔ 36 + m y = 9m ⇔ y = m m2 Đường thẳng cho (E) có điểm chung 9m2 − 36 = ⇔ m = ±2 Chọn đáp án A Câu 138 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) có phương trình x2 +9y = Trong khẳng định sau, chọn khẳng định sai A Đường thẳng qua đỉnh A(−3; 0) vng góc với trục lớn (E) có phương trình x = −3 B Đường thẳng d vng góc với đường thẳng x − y = cắt (E) điểm có phương trình √ d : x + y ± 10 = C Có đường thẳng qua điểm M (3; −2) cắt (E) điểm D Có hai đường thẳng qua điểm M (3; −2) cắt (E) điểm Lời giải x2 x2 y2 Phương trình elip cho viết lại + y = 1, có dạng + = 1, a = 3, b = a b Elip có trục lớn nằm Ox A(−3; 0) đỉnh Do đó, đường thẳng qua đỉnh A(−3; 0) vng góc với trục lớn có phương trình x = −3 Đường thẳng d vng góc với đường thẳng x − y = có phương trình dạng x + y + m = Từ Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 phương trình ta x = −y − m, vào phương trình elip ta (y + m)2 + 9y = ⇔ 10y + 2my + m2 − = Elip d có điểm chung √ m2 − 10(m2 − 9) = ⇔ −9m2 + 90 = ⇔ m = ± 10 x2 + y = ta vế trái lớn vế phải Suy điểm M nằm (E) Suy tồn đường thẳng qua M cắt (E) điểm Chọn đáp án C Thế toạ độ M (3; −2) vào vế trái phương trình x2 Câu 139 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + y = Tìm (E) điểm M cho M F1 Ç = 3M Ç √ Ç √ √ å Ç √ √ å √ å √ F2√ å 46 9 46 46 46 ; , M2 ;− B M1 − ; , M2 − ;− A M1 8 8 8 8 Ç √ √ å Ç √ Ç √ Ç √ √ å √ å √ å 46 46 46 9 46 C M1 ; , M2 − ;− D M1 ;− , M2 − ; 8 8 8 8 Lời giải a2 = a=3 x2 +y =1⇒ ⇔ Vì (E) : b2 = b = √ 2 2 2 Vì a = b + c nên c = a − b = − = ⇒ c = 2 x2 + y = (1) Gọi M (x; y) ∈ (E) ⇒ √ √ 2 2 Ta có M F1 = a + ex = + x M F2 = a − ex = − x Ç √ å3 √ √ 2 2 x=3 3− x ⇔x= Theo giả thiết M F1 = 3M F2 ⇔ + 3 Ä √ ä2 √ 46 Thay vào (1) ⇒ +y =1⇔y =± Ç √ 8√ å Ç √ √ å 46 46 Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 ; , M2 ;− 8 8 Chọn đáp án A x2 y2 Câu 140 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) : + = Có tất điểm 25 121 M ∈ (E) thỏa mãn M F1 · M F2 = ? A điểm B điểm C điểm D Vơ số điểm Lời giải Ta có (E) có a = 5, b = 3, c = Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (E) điểm cần tìm Khi cx0 cx0 M F1 = a + , M F2 = a − a a 121 16x20 121 16x20 21 Vậy M F1 · M F2 = ⇒ 25 − = ⇔− = (vô nghiệm) 25 25 Vậy khơng có điểm M thoả mãn yêu cầu toán Chọn đáp án A x2 y + = Gọi ∆ đường thẳng qua tiêu 25 điểm F2 (4; 0) vng góc với trục Ox, ∆ cắt (E) hai điểm M N Tính độ dài đoạn M N 18 18 A M N = B M N = C M N = D M N = 5 25 25 Câu 141 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : Th.s Nguyễn Chín Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 10 Lời giải Đường thẳng ∆ : x = Thay vào phương trình elip ta có 42 y + =1⇔y=± 25 ã Å ã Å 18 4; − Vậy M N = Vậy tọa độ M, N 4; 5 Chọn đáp án A B C D C C B D D D 10 C 11 C 12 A 13 B 14 B 15 C 16 D 17 A 18 C 19 A 20 D 21 D 22 C 23 C 24 C 25 A 26 C 27 A 28 A 29 B 30 A 31 D 41 A 32 A 42 A 33 D 43 A 34 D 44 B 35 B 45 A 36 C 46 C 37 A 47 B 38 B 48 B 39 A 49 D 40 D 50 A 51 D 52 C 53 B 54 C 55 C 56 B 57 A 58 B 59 A 60 C 61 B 62 C 63 B 64 C 65 D 66 A 67 A 68 A 69 C 70 D 71 D 81 B 72 B 82 C 73 C 83 B 74 A 84 A 75 A 85 A 76 A 86 B 77 A 87 A 78 C 88 A 79 D 89 C 80 D 90 D 91 B 92 D 93 A 94 C 95 B 96 B 97 A 98 A 99 D 100 C 101 A 102 D 103 B 104 A 105 D 106 C 107 B 108 B 109 C 110 A 111 C 121 B 112 A 122 D 113 C 123 A 114 A 124 A 115 A 125 A 116 D 126 A 117 A 127 A 118 A 128 B 119 D 129 D 120 C 130 C 131 A 132 B 133 B 134 C 135 A 136 D 137 A 138 C 139 A 140 A 141 A Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... với I = (∆) ∩ (∆ ) Trong (∆) : Ax + By + C = 0, (∆ ) : A x + B y + C = 0, (A : A = B : B ) hai đường thẳng (∆), (∆ ) gọi hai đường thẳng sở chùm Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra... y = − x + b a Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ABC có A(0; 3), B(−5; 0), C(−5; −3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho 1) Viết... phương trình đường thẳng theo phương pháp chùm Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/