Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian nguyễn chín em

MỤC LỤC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian 1 Tọa độ điểm Tọa độ véc-tơ 1 Biểu thức toạ độ phép toán véc-tơ Biểu thức toạ độ tích vơ hướng số ứng dụng Tích có hướng hai véc-tơ ứng dụng 6.1 Tích có hướng 6.2 Ứng dụng Các bất đẳng thức vectơ Phương trình mặt cầu B CÁC DẠNG TỐN Tìm tọa độ vectơ điểm Chứng minh ba vectơ đồng phẳng khơng đồng phẳng Tích vơ hướng ứng dụng Chứng minh tính chất hình học Chứng minh bất đẳng thức 11 Mặt cầu 12 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 13 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 17 Nhận biết 17 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 41 42 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 58 58 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 72 73 4.1 ĐÁP ÁN 80 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 82 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 82 Véc-tơ pháp tuyến 82 Phương trình tổng quát mặt phẳng 82 2.1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc 82 2.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 83 2.3 Góc hai mặt phẳng 83 B CÁC DẠNG TOÁN 83 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước 83 1.1 Bài tập áp dụng 84 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có cặp véc-tơ phương cho trước 84 2.1 Bài tập rèn luyện 85 Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đường thẳng d qua hai điểm A B 88 Bài tập rèn luyện 88 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A , B vng góc với mặt phẳng (Q) 90 4.1 Bài tập rèn luyện 90 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M chứa đường thẳng ∆ 92 5.1 Bài tập rèn luyện 92 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song ∆1 ∆2 93 6.1 Bài tập rèn luyện 93 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt ∆1 ∆2 94 7.1 Bài tập rèn luyện 95 8.1 9.1 10 11 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 song song với đường thẳng ∆2 với ∆1 ∆2 chéo 95 Bài tập rèn luyện 96 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M , đồng thời vng góc với hai mặt phẳng (α) (β) 98 Bài tập rèn luyện 99 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (α), (β) 101 Viết phương trình mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) cho trước góc α 105 11.1 Bài tập rèn luyện 106 12 108 Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến khoảng cách 12.1 Bài tập rèn luyện 109 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 111 Nhận biết 111 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 130 131 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 169 171 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 191 192 4.1 ĐÁP ÁN 203 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 204 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 204 Phương trình tham số đường thẳng 204 Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt chéo 204 Điều kiện để đường thẳng song song, cắt vng góc với mặt phẳng 204 Khoảng cách 205 4.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 205 4.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 205 B CÁC DẠNG TOÁN 205 Đường thẳng qua điểm véc-tơ phương cho trước 205 1.1 Bài tập rèn luyện 206 Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng 209 2.1 Bài tập rèn luyện 209 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.1 4.1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M , cắt vng góc với đường thẳng cho trước 212 Bài tập rèn luyện 213 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M , vng góc với (d1 ) cắt (d2 ) 214 5.1 Bài tập rèn luyện 214 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng (d1 ) (d2 ) 215 6.1 Bài tập rèn luyện 216 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với hai đường thẳng cho trước 211 Bài tập áp rèn luyện 211 Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d ), (d ) 218 7.1 Bài tập rèn luyện 219 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (∆) cắt hai đường thẳng (a) (b)221 8.1 Bài tập rèn luyện 9.1 Viết phương trình đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo (a) (b) 222 Bài tập rèn luyện 223 10 Viết phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc (a) lên mặt phẳng (P)225 221 10.1 Bài tập rèn luyện 225 11 226 Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (a) qua mặt phẳng (P) 11.1 Bài tập rèn luyện 227 12 228 Tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng 12.1 Bài tập rèn luyện 229 13 232 Tìm hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng 13.1 Bài tập rèn luyện 233 14 236 Vị trí tương đối hai mặt cầu 14.1 Bài tập rèn luyện 237 15 240 Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng 15.1 Bài tập rèn luyện 241 16 245 Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 16.1 Bài tập rèn luyện 246 C DẠNG TOÁN TỔNG HỢP 253 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 286 Nhận biết 286 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 304 305 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 344 345 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 389 390 4.1 ĐÁP ÁN 410 MẶT CẦU 411 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 411 Phương trình mặt cầu 411 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra B CÁC DẠNG TỐN 411 Viết phương trình mặt cầu 411 1.1 Bài tập rèn luyện 414 Dạng toán tổng hợp 419 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 422 ĐÁP ÁN 426 D CÂU HỎI TỔNG HỢP 427 ĐÁP ÁN 438 Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục toạ độ Đề - vng góc khơng gian gồm ba trục x Ox, y O y, z Oz vng góc với #» #» #» đơi Gọi i ; j ; k véc-tơ đơn vị trục x Ox, y O y, z Oz Điểm O gọi gốc toạ độ Các mặt phẳng (Ox y), (O yz), (Oxz) gọi mặt phẳng toạ độ Không gian gắn với hệ toạ độ Ox yz gọi không gian Ox yz z x #» k y #» O #» j y i x z TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM Trong không gian Ox yz, cho điểm tuỳ ý z M Khi tồn số ( x; y; z) thoả mãn # » #» #» #» OM = x i + y j + z k M Ta nói điểm M có toạ độ ( x; y; z) viết M = ( x; y; z) M ( x; y; z) #» ! Nếu điểm A thuộc trục Ox toạ độ A có dạng A (a; 0; 0) Nếu điểm B thuộc trục O y toạ độ B có dạng B(0; b; 0) Nếu điểm C thuộc trục Oz toạ độ C có dạng C (0; 0; c) #» i #» k j O y x TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC-TƠ Trong không gian Oxyz cho véc-tơ #» a Khi tồn số ( x; y; z) thoả #» #» #» #» mãn a = x i + y j + z k Ta nói véc-tơ #» a có toạ độ ( x; y; z) viết #» a = ( x ; y; z ) #» a ( x; y; z) BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VÉC-TƠ #» Trong khơng gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = ( x; y; z), b = ( x ; y ; z ) số thực k Khi ta có: #» #» #» #» a + b = (x + x ; y + y ; z + z ) a − b = (x − x ; y − y ; z − z ) #» #» k a = ( kx; k y; kz) #» x=x a = b ⇔ y= y z=z #» #» Cho véc-tơ #» a = Khi véc-tơ b phương với véc-tơ #» a tồn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x = kx #» số thực k cho b = k #» a , điều tương đương với y = k y z = kz # » Nếu A ( x A ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) AB = ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ) # » # » Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB, AC phương, # » # » nghĩa tồn số thực k cho AB = k AC BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG #» Trong không gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = ( x; y; z), b = ( x ; y ; z ) Ta có: #» #» Biểu thức toạ độ tích vơ hướng hai véc-tơ a , b #» #» a b = x.x + y.y + z.z #» Đặc biệt #» a ⊥ b ⇔ x.x + y.y + z.z = Độ dài véc-tơ: #» a = #» a #» a= #» #» #» Gọi ϕ góc hai véc-tơ #» a , b , với #» a b khác Khi x2 + y2 + z2 #» #» a.b = cos ϕ = #» #» | a | b x + y2 + z x 2+y2+z Khoảng cách hai điểm A ( x A ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) là: # » AB = AB = xx + yy + zz ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k =  x A − k.xB    xM =   1−k  # » # »  yA − k.yB M A = k MB ⇔ yM =  1−k       z M = z A − k.zB 1−k Nếu M trung điểm AB toạ độ M xác định công thức: M Nếu G trọng tâm tam giác ABC toạ độ G xác định công thức: M 6.1 x A + xB yA + yB z A + zB ; ; 2 x A + xB + xC yA + yB + yC z A + zB + zC ; ; 3 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG TÍCH CĨ HƯỚNG Cho hai véc-tơ #» u = ( x1 ; y1 ; z1 ), #» v = ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi tích có hướng hai véc-tơ #» u , #» v kí #» #» hiệu u , v xác định bởi: Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» u , #» v = yy12 zz12 ; zz12 xx12 ; xx12 yy12 Tính chất #» #» #» #» #» #» u, v ⊥ u, u, v ⊥ v #» u , #» v #» u , #» v = #» u #» v sin #» u , #» v #» #» u , #» v phương ⇔ #» u , #» v =0 #» v #» #» #» #» #» #» u , v , w đồng phẳng ⇔ u , v w = #» u ỨNG DỤNG 6.2 S ABCD = # » # » D A Diện tích tam giác ABC : # » # » AB, AC AB, AD · A A Thể tích khối tứ diện S.ABC : V = C B Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên A A : # » # » # » V= C AB, AD S ABC = · B Diện tích hình bình hành ABCD : # » # » A D # » AB, AC · S A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ #» Trong không gian Ox yz, cho #» a = (a ; a ; a ); b = ( b ; b ; b ) #» #» #» #» a+b ≤ a + b #» Dấu "=" xảy #» a b phương ⇔ (a + b )2 + (a + b )2 + (a + b )2 ≤ » a21 + a22 + a23 + » b21 + b22 + b23 #» #» #» a b ≤ #» a b #» Dấu "=" xảy #» a b phương ⇔ (a b + a b + a b ) ≤ a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Trong khơng gian Ox yz, phương trình tắc mặt cầu (S ) có tâm I (a; b; c), bán kính R ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R r M Phương trình tổng quát mặt cầu (S ) có dạng: x2 + y2 + z2 − 2ax − b y − cz + d = I với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > Khi (S ) có tâm I (a; b; c) có bán kính R = a2 + b2 + c2 − d B CÁC DẠNG TỐN TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM Phương pháp: Muốn tìm tọa độ vectơ #» x hệ trục Ox yz, ta tìm cách biến đổi đưa dạng: #» #» #» #» x = x1 i + x2 j + x3 k Bô ba số thực ( x1 ; x2 ; x3 ) tọa độ vectơ #» x # » Tọa độ điểm M tọa độ vectơ OM hệ trục Ox yz, nghĩa ta biểu # » thị vectơ OM dạng: # » #» #» #» OM = x i + y j + z k Trong trình biến đổi ta cần ý sử dụng tính chất phép toán nêu phần lý thuyết Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho ba điểm: A (1; 0; −2), B(2; 1; −1), C (1; −2 − 2) # » Tìm tọa độ BC tình độ dài đoạn thẳng BC Tìm trọng tâm G tam giác ABC ✍Lời giải # » BC = (1 − 2; −2 − 1; −2 + 1) = (−1; −3; −1) # » 2 |BC | = (−1) + (−3) + (−1) = 11 # » # » # » #» Gọi G trọng tâm tam giác ABC : ⇔ G A + GB + GC = x A + xB + xC + + = = 3 yA + yB + yC + − yG = = =− 3 z A + zB + zC −2 − − zG = = =− 3 xG = Vậy G ;− ;− 3 #» Ví dụ Cho ba vectơ #» a = (2; −5; 3), b = (0; 2; −1), #» c = (1; 7; 2) 1 #» #» Tìm tọa độ vectơ d = #» a − b + #» c #» Tìm tọa độ vectơ #» e = #» a − b − #» c ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» a = (8; −20; 12); − #» 1 #» b = 0; − ; ; #» c = (3; 21; 6) ⇒ d = 11; ; 18 3 3 #» #» a = (2; −5; 3); −4 b = (0; −8; 4); −2 #» c = (−2; −4; 4) ⇒ #» e = (0; −27; 3) Ví dụ Tìm tọa độ #» x , biết rẳng: #» #» #» #» a + x = với a = (1; −2; 1) #» #» #» #» b + x = b với b = (0; −2; 1) #» #» #» #» #» m + x = n với m = (5; 4; −1), n = (2; −5; 3) ✍Lời giải #» #» #» x = − a , x = (−1; 2; −1) #» #» #» x = b , x = (0; −6; 3) #» #» #» n − m Ta có #» #» = (−3; −9; 4) Vậy #» #») = − ; − ; n −m x = ( #» n −m x = 2 2 CHỨNG MINH BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG HOẶC KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Phương pháp: #» #» Muốn chứng minh ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng ta chứng minh có hệ thức: #» a =mb + #» n #» c b #» c khơng phương #» #» #» Muốn chứng minh ba vectơ a , b , c đồng phẳng ta dùng phương pháp phản chứng, #» #» giả sử chúng đồng phẳng nghĩa có hệ thức #» a = m b + n #» c b #» c khơng phương Sau chứng tỏ khơng tồn đẳng thức (tồn vô lý) #» Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho ba vectơ: #» a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), #» c = (3; −2; 4) #» #» #» Hãy chứng tỏ ba vectơ a , b , c không đồng phẳng #» #» Cho vectơ d = (4; 12; −3) Hãy phân tích vectơ d theo ba vectơ khơng đồng phẳng #» #» a , b , #» c cho ✍Lời giải #» Ta dùng phương pháp phản chứng Theo giả thiết b #» c không đồng phẳng = = −2 #» #» Giả sử #» a , b , #» c đồng phẳng, nghĩa #» a = m b + n #» c #» #» #» Thay tọa độ vectơ a , b , c vào ta hệ phương trình với ẩn m, n: = m + n (1) = m − n (2) = 4n (3)    n = Thay giá trị m, n vào (1) ta có: = + Vậy hệ phương Từ (2) (3) ⇒  m = −  #» #» trình vơ nghiệm, nghĩa khơng tồn hệ thức #» a = m b + n #» c Do đó, ba vectơ: #» a , b , #» c khơng đồng phẳng Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» #» Ta tìm số p, q, r cho d = p #» a + q b + r #» c Ta có: = p + q + 3r p=1 #» #» 12 = p + q + r ⇔ q = ⇒ d = #» a + b − #» c − = p + + 4r r = −1 #» Ví dụ Trong không gian Ox yz cho ba vectơ: #» a = (1; 2; 3), b = (4; 5; 6), #» c = (2; 1; 0) Chứng #» #» #» tỏ ba vectơ a , b , c đồng phẳng ✍Lời giải #» Ta nhận thấy hai vectơ #» a b khơng phương = = #» #» #» #» Để chứng minh a , b , c đồng phẳng ta cần tìm hai số m, n cho #» c = m #» a +nb = m + 4n Theo giả thiết ta có: = m + 5n ⇔ m = −2 n=1 = 3m + 6n #» #» Do #» c = #» a + b , nghĩa ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng Ví dụ Trong không gian Ox yz cho bốn điểm A (1; 1; 02), B(4; 0; −1), C (−1; 7; 0), D (0; −2; −4) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D nằm mặt phẳn ✍Lời giải 1 # » # » # » # » Ta có AB = (3; −1; 1), AC = (−2; 6) ⇒ AB AC khơng phương = − = # » Ta có AD = (−1; −3; −2) Muốn chứng minh A, B, C, D nằm phẳng, ta chứng minh # » # » # » # » # » # » ba vectơ AB, AC, AD đồng  phẳng nghĩa tồn hai số m, n cho AD = m AB + n AC −5   n = − = 3m − 2n 6# » 5# » # » # » # » # » Do AD Ta có − = −m + 6n ⇒ = − AB − AC ⇒ vectơ AD, AB, AC đồng phẳng  8  − = m + 2n m = − Ta suy điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG Phương pháp: #» #» u , #» v phương ⇔ #» u , #» v =0 #» #» đồng phẳng ⇔ #» #» = u , #» v,w u , #» v w Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD = Diện tích tam giác ABC : S ABC = · # » # » AB, AD # » # » AB, AC Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên A A : V= # » # » # » AB, AD · A A Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho A (1; 2; −1), B(2; −1; 3), C (−4; 7; 5) Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD A CD = 17 B CD = 17 11 C CD = 12 17 17 D CD = 13 Câu 36 Trong không gian Ox yz, cho mặt cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = 25 đường thẳng x=t ∆ : y = − t Tìm tập hợp S gồm tất giá trị m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S ) z=m hai điểm M, N cho MN = A S = {4 + 62, − 62} B S={2 + 31, − 31} 62 62 62 62 ,2− D S = −2 + , −2 − C S = + 2 2 Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : x−2 y+2 z = = −2 x y+3 z−2 = = Biết d d cắt nhau, hai đường phân giác góc −2 tạo d1 , d2 x = t, x = + t, x y+3 z−2 x−2 y+2 z A = = B y = −3 − t, C = = D y = −2 + t, −4 z = − t z = −4 t d2 : Câu 38 Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, đường thẳng thẳng d qua A (0; 1; 1), vuông x−3 y−6 z−1 = = cắt ∆2 : −2 y−1 z−1 x y−1 x = = B = = A −1 −3 −1 góc với ∆1 : ✍Lời giải x=t y = − t có phương trình z=2 z−1 x y−1 z−1 C = = −3 D x−1 y z−1 = = −1 −3 1 (P ) : −2 x + y + z − = mặt phẳng qua A vng góc với ∆1 (P ) giao với ∆2 M (− ; ; 2) 4 x y−1 z−1 Đường thẳng cần tìm đường thẳng AM có phương trình = = nên chọn −1 −3 A Chọn đáp án A x=t Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = −6 + t z = 2− t ∆ : x = + 2t mặt phẳng (P ) : x + y − z − = Mặt cầu (S ) có tâm I thuộc d , tiếp xúc với y = 1+ t z = −1 − t ∆ (P ) Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A B C −4 D −2 Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (3; 1; 0), B (−9; 4; 9) mặt phẳng (P ) : x − y + z + = Gọi I (a; b; c) điểm thuộc mặt phẳng (P ) cho | I A − IB| đạt giá trị lớn Khi đó, tổng a + b + c A a + b + c = 22 B a + b + c = −4 C a + b + c = −13 D a + b + c = 13 ✍Lời giải Dễ thấy A , B nằm khác phía so với mặt phẳng (P ) Gọi A điểm đối xứng với A qua (P ) ⇒ A (−1; 3; −2) ⇒ | I A − IB| = I A − IB ≤ A B Dấu " = " xảy I giao điểm A B với mặt phẳng (P ) ⇒ I (7; 2; −13) ⇒ a + b + c = −4 Chọn đáp án B Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có A ( x0 ; 0; 0), B(− x0 ; 0; 0), C (0; 1; 0) B (− x0 ; 0; y0 ), x0 , y0 số thực dương thỏa mãn x0 + y0 = Khi khoảng cách hai đường thẳng AC B C lớn mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bao nhiêu? A R = 29 B R = 17 C R = 17 D R = 29 ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 953 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ z B Ta có y0 = − x0 nên A ( x0 ; 0; 0), C (0; 1; 0), B (− x0 ; 0; − x0 ), C (0; 1; − x0 ) C # » # » # » AC , B C AC Do d ( AC , B C ) = A # » # » AC , B C B y O C A x0 (4 − x0 ) = » ≤ (4 − x0 )2 + x02 x0 (4 − x0 ) = 2( x0 (4 − x0 )) Dấu " = " xảy x0 = − x0 ⇔ x0 = = y0 Khi A (2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C (0; 1; 0), B (−2; 0; 2) x Từ tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (S ) : x2 + y2 + z2 + y − z − = Vậy bán kính mặt cầu (S ) R = 29 Chọn đáp án A x−2 y+1 = = z − hai điểm A (1; 2; 1), B(2; 4; 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho M A + MB đạt giá trị nhỏ Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : A M 11 14 ; ; 3 B M (3; 1; 4) C M ; 2; 2 D M (2; −1; 3) Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; −1; 1), B(0; 1; −2) điểm M thay đổi mặt phẳng tọa độ Ox y Tìm giá trị lớn | M A − MB| A 14 B 12 C 2 D ✍Lời giải - Nhận thấy A B nằm khác phía so với mặt phẳng Ox y nên ta lấy điểm B (0; 1; 2) đối xứng với B qua mặt phẳng Ox y Khi ta có A B phía | M A − MB| = | M A − MB | ≤ AB = Dáu xảy A, B , M thẳng hàng Chọn đáp án D Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho điểm A (9; −3; 5), B(a; b; c) Gọi M, N, P giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng toạ độ (Ox y), (Oxz), (O yz) Biết M, N, P nằm đoạn AB cho AM = MN = NP = PB Giá trị a + b + c A −21 B −15 C 15 D 21 ✍Lời giải Gọi M (m , m , 0) thuộc (Ox y), N (n1 , 0, n2 ) thuộc (Oxz), P (0, p , p ) thuộc (O yz) # » # » AM = ( m − 9, m + 3, −5), NP = (− n , p , p − n ) Ta có AM = MN = NP = PB nên M trung điểm AN , N trung điểm MP , P trung điểm NB  # » # » Khi AM = NP M trung điểm AN 9 + n = m 1  −3 = m  + n2 = ⇒ m1 − = −n1   m2 + = p1 −5 = p − n   m2 = −      n = −5  1=6 ⇒ m n1 =    p = −10      p1 = ⇒ P (0; ; −10), N (3; 0; −5) Do P trung điểm NB nên B(−3; 3; −15) Vậy a + b + c = −15 Chọn đáp án B Câu 45 Trong không gian với hệ tọa Ox yz, cho hai điểm M (−2; −2; 1), A (1; 2; −3) đường x+1 y−5 z thẳng d : = = Tìm vec-tơ phương #» u đường thẳng ∆ qua M , vng góc 2 −1 với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé A #» u = (3; 4; −4) B #» u = (2; 2; −1) C #» u = (2; 1; 6) Th.s Nguyễn Chín Em 954 D #» u = (1; 0; 2) https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x=1 Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = t đường thẳng z = 2− t x=0 d : y = t Tính bán kính nhỏ R mặt cầu tiếp xúc với d d z=t A R = B R = C R = D R = 2 ✍Lời giải Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với d d mặt cầu có độ dài đường kính khoảng cách d d Suy R = d( d, d ) = 2 Chọn đáp án B Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai điểm M (0; 1; 3), N (10; 6; 0) mặt phẳng (P ) có phương trình x − y + z − 10 = Điểm I (−10; a; b) thuộc mặt phẳng (P ) cho | I M − I N | lớn Tính tổng T = a + b A T = B T = C T = D T = ✍Lời giải Từ giả thiết, nhận thấy hai điểm M, N nằm phía so với mặt phẳng (P ) Vậy, | I M − I N | lớn I, M, N thẳng hàng, hay I giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (P ) Chọn đáp án D Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − x + y − z + = x−1 y+2 z−2 x−2 y z−1 = = , d2 : = = Hai điểm M, N thuộc 2 −1 hai đường thẳng d1 d2 cho đường thẳng MN cắt mặt cầu (S ) hai điểm A, B Tìm tọa độ điểm N để đoạn thẳng AB có độ dài lớn 18 16 18 16 B N (4; −3; 1) C N − ; − ; D N (−2; −4; 3) A N ; − ; 7 7 7 hai đường thẳng d1 : ✍Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (3; −2; 1), bán kính R = Giả sử M (1 + t; −2 + t; + t) ∈ d1 N (2 + t ; t ; − t ) ∈ d AB lớn AB đường kính mặt cầu Do M, N, I thẳng hàng Từ tìm N − ; − 18 16 ; 7 Chọn đáp án C Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (0; 1; 1), B(1; 2; 1) đường thẳng d: x y+1 z−2 = = Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho diện tích tam giác M AB có giá trị nhỏ −1 −2 A M (2; −3; −2) B M (0; −1; 2) C M (1; −2; 0) D M (−1; 0; 4) ✍Lời giải # » # » Gọi M ( t; −1 − t; − t) ∈ d , ta có AM = ( t; − t − 2; −2 t + 1), BM = ( t − 1; − t − 3; −2 t + 1) # » # » Xét AM, BM = (−2 t + 1; t − 1; −2 t − 2) 1 # » # » AM, BM = 12 t2 + ≥ Ta có S∆M AB = 2 Vậy S∆M AB ⇐⇒ t = Khi M (0; −1; 2) Chọn đáp án B x = 1+ t y=0 ( t ∈ R) z = −t điểm A (2; 1; −1) , B (−1; 2; 0) Gọi d đường thẳng qua B, cắt đường thẳng ∆ có khoảng cách từ A tới d lớn Khẳng định sau đúng? A Đường thẳng d vng góc với đường thẳng ∆ B Đường thẳng d vng góc với trục Oz C Đường thẳng d vng góc với trục Ox D Đường thẳng d vng góc với trục O y Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : Th.s Nguyễn Chín Em 955 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ✍Lời giải Gọi hình chiếu A lên d H Ta có AH ≤ AB với AB không đổi Suy ra, khoảng cách từ A tới d lớn H trùng B, hay AB ⊥ d Gọi giao điểm d ∆ M # » # » # » Do M ∈ ∆ nên M (1 + t; 0; − t) Véc-tơ phương d BM = (2 + t; −2; − t) Ta có, AB ⊥ BM nên # » suy t = −2 Do đó, véc-tơ phương đường thẳng d BM = (0; −2; 2) Vậy d vng góc với trục Ox Chọn đáp án C Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − x + z + = x−2 y z−m = = , với m tham số Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) −1 1 hai điểm A , B cho mặt phẳng tiếp diện (S ) A B vng góc với A m = B m = −1 C m = −1 D m = m=4 m = −4 m=4 m = −4 đường thẳng d : ✍Lời giải Ta kiểm tra với giá trị m Chọn đáp án B x−4 y−5 z = = Xét mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (α) đạt giá trị lớn Xác định tọa độ giao điểm M (α) trục Oz A M (0; 0; −9) B M 0; 0; C M (0; 0; 3) D M (0; 0; 6) Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : ✍Lời giải # » Để khoảng cách từ O đến (α) lớn (α) nhận OH làm véc-tơ pháp tuyến, với H hình # » #» chiếu O lên d Có H ∈ d OH ⊥ u d nên H (3; 3; −3) Vậy (α) : x + y − z − = ⇒ M = (α) ∩ Oz = (0; 0; −9) Chọn đáp án A Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 −2 x−4 y−6 z +10 = x = 1+ t đường thẳng (d m ) : y = −mt ( t ∈ R), m tham số thực Giả sử hai mặt phẳng (P ) (Q ) chứa z = ( m − 1) t ( d m ), tiếp xúc với (S ) A B Tìm tất giá trị thực m để AB = A m = −3 B m = − C m = ✍Lời giải Mặt cầu có tâm I (1; 2; 3), bán kính R = Gọi M hình chiếu I lên (d m ) Ta có I H = I A − AH = ⇒ IM = IA = IH   Mà I M = d ( I, d m ) =   D m = dm M B (5 m − 2)2 + 13 m2 + ( m − 1)2 + H R=2 I (5 m − 2)2 + 13 = ⇔m= 2 m + ( m − 1) + ⇔ 13 A Chọn đáp án C Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d mặt phẳng (P ) có x = + 2t phương trình (d ) : y = − t ( t ∈ R), (P ) : x + y − z − = Viết phương trình hình chiếu vng góc d (P ) A z = −4 − t x−1 y−3 z−6 = = Th.s Nguyễn Chín Em B 956 x−1 y−4 z−3 = = https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x y−1 z+5 = = Câu 55 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A (3; 5; −1), B(0; −1; 8), C (−1; −7; 3), D (0; 1; 2) điểm M (1; 1; 5) Gọi (P ) : x + a y + bz + c = mặt phẳng qua điểm D, M cho (P ) chia tứ diện ABCD thành hai phần tích Tính S = a + b + c B S = C S = D S = A S = 3 C x y−1 z+3 = = D ✍Lời giải Ta thấy điểm M nằm đoạn AB đồng thời AM = MB Giả sử mặt phẳng (P ) cắt cạnh AC VAMND # » 3# » điểm N Theo giả thiết = ⇒ AN = AC Tính N (0; −4; 2) Viết phương trình VABCD mặt phẳng ( ABC ) : x − z + = ⇒ P = a + b + c = 3 Chọn đáp án A Câu 56 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (5; 8; −11), B(3; 5; −4), C (2; 1; −6) mặt cầu (S ) : ( x − 4)2 + ( y − 2))2 + ( z + 1)2 = Gọi M ( x M ; yM ; z M ) điểm (S ) cho biểu # » # » # » thức M A − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính P = x M + yM A P = B P = C P = −2 D P = ✍Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có M A − MB − MC = MD + D A − MD − DB − MD − DC = − MD + D A − DB − DC # » # » # » #» Chọn điểm D cho D A − DB − DC = ⇒ D (0; −2; 1) Đường thẳng qua D tâm I mặt cầu cắt mặt cầu điểm M1 (2; 0; 0), M2 (6; 4; −2) Vậy điểm M cần tìm M1 (2; 0; 0) ⇒ P = Chọn đáp án D Câu 57 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (2; 3; 5), mặt phẳng (P ) : z − = mặt cầu (S ) : ( x − 3)2 + ( y − 4)2 + ( z − 8)2 = 25 Tìm phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A , nằm (P ) cắt (S ) theo dây cung có độ dài ngắn A x = 2− t y = 3+ t z=5 B x = 2+ t y = 3+ t z=5 C x = 2− t y = + 2t z=5 D x = + 2t y = 3+ t z=5 ✍Lời giải Nhận xét thấy (P ) cắt (S ) A nằm mặt cầu (S ) nên ∆ cắt (S ) theo dây cung ngắn ∆ vng góc với bán kính đường tròn giao tuyến qua A Gọi J tâm đường tròn giao tuyến, I tâm cảu mặt cầu, J hình chiếu I # » # », J lên (P ) ⇒ J (3; 4; 5) ⇒ véc-tơ phương ∆ #» u= n A = (1; −1; 0) Vậy đáp án A P Chọn đáp án A Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng cắt có phương trình x−2 y+2 z x y+3 z−2 = = , d2 : = = Một hai đường phân giác −2 2 −2 góc tạo d1 , d2 có phương trình x=t x = 2+ t x y+3 z−2 x−2 y+2 z A = = B y = −3 + t C = = D y = −2 + t −4 z = − 4t z = −4 t d1 : ✍Lời giải Hai đường thẳng d1 , d2 cắt điểm I (2; −2; 0) # » = (1; −2; 2), đường thẳng d có vec-tơ phương u #» = Đường thẳng d1 có vec-tơ phương u 2 (2; 1; −2) # »| = | u # »| nên vec-tơ phương đường phân giác góc tạo đường thẳng d , d Do | u 2 #w» = (3; #» + u # » w # » = (1; 3; −4) = u #» − u # » −1; 0) = u 1 2 Dễ thấy đáp án D thỏa mãn Chọn đáp án D Câu 59 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho ba điểm A (1; 2; 3), B(0; 1; 1), C (1; 0; −2) mặt phẳng (P ) : x + y + z + = Gọi M điểm thuộc mặt phẳng (P ) cho biểu thức T = Th.s Nguyễn Chín Em 957 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ M A + MB2 + MC đạt giá trị nhỏ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q ) : x − y − z + = 121 91 A B C 24 D 54 54 ✍Lời giải #» # » #» #» Gọi I điểm thỏa mãn I A + IB + IC = 2 ; ;− T = M I + I A + IB2 + IC 3 Như vậy, T đạt giá trị nhỏ đoạn M I ngắn nhất, tức M hình chiếu I (P ) 7 11 91 Từ suy điểm M − ; − ; − d [ M, (Q )] = 18 18 54 Khi đó, I Chọn đáp án D y z x−2 = = mặt −1 cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 1)2 = Hai mặt phẳng (P ) (Q ) chứa d tiếp xúc với (S ) Gọi M , N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN A B C D 2 Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : ✍Lời giải Gọi H hình chiếu I -tâm mặt cầu (S ) lên d MN.H I = I M.HM (= S I MHN ) Trong H I = d ( I, d ) = 6, IM bán kính mặt cầu (S ) 2, HM = I H − I M = Từ ta tính MN = M Khi đó, H I N Chọn đáp án C Câu 61 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; −3) mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Đường thẳng qua A vng góc với (Q ) : x + y − z + = cắt (P ) B Điểm M nằm mặt phẳng (P ) cho M nhìn đoạn AB góc vng độ dài MB lớn Tính độ dài MB A B C 41 D 41 ✍Lời giải Ta có AB khơng đổi M A + MB2 = AB2 nên MB lớn M A nhỏ M hình chiếu vng góc A lên (P ) Vây MB = AB2 − d ( A, (P )) = 41 − 36 = Chọn đáp án B Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho hình lập phương ABCD.A B C D có đỉnh A (0; 0; 0), B(1; 0; 0), D (0; 1; 0), A (0; 0; 1) (P ) mặt phẳng thay đổi chứa đường thẳng CD Gọi ϕ góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (BB D D ) Trong trường hợp góc ϕ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức F = A 27 + 12 B tan2 ϕ + cot ϕ − tan ϕ + cot ϕ + 23 C D 61 − 29 ✍Lời giải #» Từ giả thiết tìm suy C (1; 1; 0), D (0; 1; 1) Gọi #» n (a; b; c) = vectơ pháp tuyến (P ) Khi (P ) chứa CD nên phương trình (P ) có dạng a( x − 1) + b( y − 1) + cz = −a + c = ⇔ c = a nên (P ) có vectơ pháp tuyến #» n (a; b; a) Mặt phẳng (BDB D ) có vectơ pháp tuyến |a + b| # »(1; 1; 0) Ta có cos ϕ = | cos( #» # »)| = n n;n Ta dễ dàng chứng minh cos ϕ ≤ nên Th.s Nguyễn Chín Em 2(2a2 + b2 ) 958 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ϕ đạt giá trị nhỏ cos ϕ = 27 + 3 tan ϕ = nên F = 12 Chọn đáp án A Câu 63 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm I (2; −1; −6) đường thẳng ∆ : x−1 = y z+1 = Gọi (P ) mặt phẳng thay đổi chứa đường thẳng ∆, (S ) mặt cầu có tâm I −2 tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho mặt cầu (S ) có bán kính lớn Tính bán kính R mặt cầu (S ) A R = B R = C R = D R = ✍Lời giải Bán kính mặt cầu (S ) lớn khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆ Từ tính R = Chọn đáp án A Câu 64 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (1; 2; −1), B(0; 4; 0) mặt phẳng (P ) có phương trình x − y − z + 2017 = Gọi α góc nhỏ mà mặt phẳng (Q ) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P ) Tính giá trị cos α A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = ✍Lời giải # » #» # » = [ AB, Gọi d giao tuyến (P ) Q Khi đó, để α góc nhỏ AB ⊥ d Ta có u nP ] = d # » # » = [u # », AB] = (−6; 0; 6) Vậy cos α = (−3; 0; 3) Suy n Q d Chọn đáp án D Câu 65 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (2; −2; −5) đường thẳng d có y+1 z x−1 = = Biết N (a; b; c) thuộc d độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị −1 nhỏ Tính tổng T = a + b + c A T = B T = C T = D T = phương trình ✍Lời giải Điểm N (a; b; c) thuộc đường thẳng d nên {a = + t, b = −1 + t, c = − t} # » Ta có MN = (2 t − 1; + t; − t), MN = t2 − 12 t + 27 Vậy, MNmin ⇔ t = ⇒ T = Chọn đáp án C x = + t, Câu 66 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho N (4; 4; 1) hai đường thẳng d1 : y = + t, z = −1 − t, x−2 y−2 z−2 d2 : = = Gọi d đường vng góc chung d d , điểm M (a; b; c) thuộc d −3 −1 cho độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ Tính a + b − c A B C D Câu 67 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (1; −1; 3) hai đường thẳng d1 : x−1 y−1 z−1 x y z−1 = = , d2 : = = Có đường thẳng qua M, đồng thời cắt −1 −1 −2 hai đường thẳng d1 d2 ? A B C D Vô số x=t x y−2 z Câu 68 Trong không gian Ox yz, cho ba đường thẳng d1 : y = − t , d2 : = = , d3 : 1 z = −1 + t x+1 y−1 z+1 = = Viết phương trình đường thẳng d , biết d cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A , B, C cho AB = BC x y−2 z x y−2 z x y−2 z x y+2 z A = = B = = C = = D = = −1 1 1 1 −1 −1 ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 959 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Gợi ý Tham số A, B, C theo đường thẳng sử dụng điều kiện B trung điểm đoạn AC Chọn đáp án B Câu 69 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; −3) mặt phẳng (P ) có phương trình x + y − z + = Đường thẳng d qua A có véc-tơ phương #» u (3; 4; −4) cắt (P ) B Điểm M thay đổi (P ) cho M ln nhìn AB góc 90◦ Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm sau đây? A H (−2; −1; 3) B I (−1; −2; 3) C K (3; 0; 15) D J (−3; 2; 7) ✍Lời giải x = + 3t Phương trình đường thẳng d : y = + t Tọa độ điểm B B(−2; −2; 1) Gọi A hình chiếu z = −3 − t A lên mặt phẳng (P ) Ta tính tọa độ điểm A A (−3; −2; −1) Ta có, MB ⊥ AM suy MB ⊥ M A Theo tính chất đường vng góc ta có MB ≤ A B Do đó, MB ⊥ A A MB lớn MB = A B, M ≡ A (−3; −2; −1) x = −2 + t Phương trình đường thẳng ( MB) ( MB) : y = −2 Điểm thuộc MB điểm I (−1; −2; 3) z = + 2t Chọn đáp án B Câu 70 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hình lập phương ABCD.A B C D có A (0; 0; 0), B(1; 0; 0), D (0; 1; 0) A (0; 0; 1) Xét mặt phẳng (P ) chứa CD , gọi α góc (P ) mặt phẳng (BB C C ) Giá trị nhỏ α A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Câu 71 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ): x − y + z + = điểm A (0; 0; 4), B(2; 0; 0) Mặt cầu (S ) có bán kính nhỏ nhất, qua O , A , B tiếp xúc với mặt phẳng (P ) có tâm A I (1; 2; 2) B I 1; − 19 ;2 C I (1; −2; 2) D I 1; 19 ;2 ✍Lời giải Điểm I thuộc đường thẳng d : x=1 y = t ⇒ ta thấy đáp án A thỏa mãn I ∈ d z=2 Chọn đáp án A x−2 y−1 z+1 x y−3 z−1 = = d2 : = = Gọi (P ) mặt −2 −2 −4 phẳng chứa d1 cho khoảng cách (P ) d2 lớn Giả sử véc-tơ pháp tuyến (P ) (1; m; n) Khi tổng m + n 9 A B − C D 4 Câu 72 Cho hai đường thẳng d1 : Câu 73 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = x−6 y−2 z−2 = = Phương trình mặt phẳng (P ) qua M (4; 3; 4), song song −3 2 với đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S ) A x + y − z − 10 = B x + y + z − 18 = C x − y + z − = D x + y + z − 19 = đường thẳng ∆ : Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = hai điểm A (3; 3; 1), B(0; 2; 1) Tìm tọa độ điểm I (khác B) thuộc đường thẳng AB cho khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P ) khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P ) A I 2; ; B I ; ;1 2 C I (−3; 1; 1) D I (3; 3; 1) Câu 75 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz cho mặt cầu (S ) : ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 1)2 = hai điểm A (1; 0; 4) , B (0; 1; 4) Các mặt phẳng (P1 ) , (P2 ) chứa đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S ) điểm H1 , H2 Viết phương trình đường thẳng H1 H2 Th.s Nguyễn Chín Em 960 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A x = −1 + t y = 2+ t z=2 B    x= +t   C  y= +t    z = 4+ t x = −1 + t y = 2+ t z=4 D x = −1 + t y = 3+ t z=2 x+4 y−6 z−5 = = hai −3 điểm A (4; 6; −9), B(2; 3; −4) Gọi C, D điểm thay đổi ∆ cho CD = 14 Tìm tọa độ điểm C, D cho khối cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn nhất, biết hồnh độ điểm C lớn hoành độ điểm D 14 13 A C (2; 2; 3), D (−4; 6; 5) B C 4; ; , D −2; ; 3 3 C C (−1; 4; 4), D (−7; 8; 6) D C (5; 0; 2), D (−1; 4; 4) Câu 76 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : ✍Lời giải Mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn ⇔ r ABCD max 3VABCD max ⇔ S ABC + S ABD (do VABCD , S ACD + S BCD không đổi) S ABC + S ABD + S ACD + S BCD ⇔ d (C, AB) + d (D, AB) Gọi X Y đoạn vng góc chung ∆ AB ( X ∈ ∆) Tìm X (2; 2; 3) Gọi ∆ đường thẳng qua X song song với AB; (α) mặt phẳng chứa ∆ ∆ Ta có (∆, ∆ ) = γ = const Gọi H, K hình chiếu C, D lên đường thẳng AB H , K hình chiếu H, K lên (α) ⇔ Ta có d (C, AB) + d (D, AB) = CH + DK = CH + H H + = CH + X Y + ≥ = DK + K K DK + X Y (CH + DK )2 + (2 X Y )2 » (CD sin γ)2 + (2 X Y )2 = const Đẳng thức xảy ⇔ X trung điểm CD Từ tìm C (5; 0; 2), D (−1; 4; 4) Chọn đáp án D Câu 77 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (0; 0; 1), B(1; 1; 1) mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi M điểm nằm mặt phẳng (P ) cho AM + BM đạt giá trị nhỏ Tính độ dài đoạn OM A OM = B OM = 86 C OM = 86 D OM = 59 ✍Lời giải - Mặt phẳng (P ) cắt trục tọa độ Ox, O y, Oz C (4; 0; 0), D (0; 4; 0), E (0; 0; 4) - Do (0 + + − 4)(1 + + − 4) > nên A B nằm phía so với mặt phẳng (P ) Giả sử G 4 # » 1 # » trọng tâm tam giác CDE, suy G ; ; BG ; ; Nhận thấy BG phương 3 3 3 với véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) nên G hình chiếu B mặt phẳng (P ), từ 5 điểm đối xứng B qua mặt phẳng (P ) suy B ; ; 3 x y z−1 - Phương trình đường thẳng A B : = = 5 - Ta có M A + MB ≥ M A + MB ≥ AB Vậy M A + MB đạt giá trị nhỏ M giao 5 86 điểm AB với mặt phẳng (P ), suy M ; ; Từ ta có OM = 4 Chọn đáp án B Câu 78 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho bốn đường thẳng d1 : Th.s Nguyễn Chín Em 961 x−1 y−2 z = = , −2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/  x = + t x = + 2t x y z y = + t d2 : , d : = = , d : y = t Gọi d đường thẳng cắt bốn đường thẳng  1 z = −4 t z = 1− t d , d , d , d Điểm sau thuộc đường thẳng d ? A A (0; 0; 1) B B(2; 2; 2) C C (6; 6; −3) D D (4; 4; −2) ✍Lời giải # »(1; 2; −2) - d1 có véc-tơ phương u # » - Lấy A (1; 2; 0) ∈ d1 , B(2; 2; 0) ∈ d2 suy AB(1; 0; 0) - Nhận thấy đường thẳng d1 ∥ d2 suy mặt phẳng (P ) chứa d1 d2 qua A có véc-tơ # » # », AB pháp tuyến #» n = [u ] = (0; 2; 2), từ ta có (P ) : y + z − = - Giao (P ) với d3 C (1; 1; 1), giao (P ) với d4 D (2; 2; 0), suy đường thẳng d : y−1 z−1 = −1 x−1 = Chọn đáp án D Câu 79 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d : x−1 y+1 z−2 = = , −1 x y+2 z = = Phương trình phương trình hình chiếu song song d theo 1 phương ∆ mặt phẳng y + = 0? x=t x = − 2t x = − 2t x = 3− t A y = −2 B y = −2 C y = −2 D y = −2 z = −1 + t z = − 3t z = − 4t z = + 2t ∆: ✍Lời giải Giao điểm d mặt phẳng cho M (3; −2; 5) (thay y = −2 vào phương trình d ) Lấy điểm (1; −1; 2) d Phương trình đường thẳng d qua điểm có phương (1; 1; 3) x−1 y+1 z−2 = = Thay y = −2 ta tìm tọa độ giao điểm d mặt phẳng cho, 1 # » điểm N (0; −2; −1) Đường thẳng cần tìm có phương song song với N M = (3; 0; 6) ∆ Chọn đáp án D Câu 80 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y − z + = hai điểm A (3; 1; 0), B(−8; −7; −1) Gọi M (a; b; c) điểm mặt phẳng (P ) cho M A + MB đạt giá trị nhỏ Tính K = a + b + c A K = 29 B K = C K = D K = ✍Lời giải x−3 y−1 z = = Giao −2 −1 với mặt phẳng (P ) có tọa độ (2; 3; 1) Từ ta tính điểm đối xứng A qua (P ) A (1; 5; 2) Điểm M giao điểm đường thẳng BA mặt phẳng (P ) Ta tìm tọa độ M (−2; 1; 1) Đường thẳng qua A , vng góc với mặt phẳng (P ) có phương trình Chọn đáp án B x = + 3t Câu 81 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = − t ( t ∈ R) Gọi d z = −2 + t hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng Ox y Viết phương trình d x = + 3t x = + 3t A d : y = − t ( t ∈ R) B d : y = ( t ∈ R) z=0 z = −2 + t x=0 x=0 C d : y = − t ( t ∈ R) D d : y = ( t ∈ R) z = −2 + t z = −2 + t Câu 82 Trong không gian, với hệ tọa độ Ox yz, cho lăng trụ đứng ABC.A B C có A (a; 0; 0), B (−a; 0; 0), C (0; 1; 0), B (−a; 0; b), với a, b dương thay đổi thỏa mãn a + b = Khoảng cách lớn hai đường thẳng B C AC A Th.s Nguyễn Chín Em B C 962 D https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Câu 83 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (6; 0; 6), B(8; −4; −2), C (0; 0; 6), D (1; 1; 5) Gọi M (a; b; c) thuộc đường thẳng CD cho diện tích tam giác M AB nhỏ Tính T = a − b + c A T = 16 B T = −12 C T = 12 D T = Câu 84 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (−5; 2; 2), B(−1; 6; 2) Mặt phẳng # » # » (P ) : x + y − z − = Gọi M (a; b; c) điểm thuộc (P ) thỏa mãn M A + MB nhỏ nhất, tính giá trị tích a.b.c A −20 B C 12 D 24 ✍Lời giải #» # » #» Gọi I ( x, y, z) điểm cho I A + IB = −5 − x + 3(−1 − x) = x = −2 ⇔ y=5 Khi ta có − y + 3(6 − y) = z=2 − z + 3(2 − z) = # » # » # » # » # » # » # » Ta có M A + MB = M I , | M A + MB| nhỏ ⇔ |4 M I | nhỏ ⇔ | M I | nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P ), sau tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (P ) ta tọa độ điểm M hay nói cách khác ta tìm a, b, c Ta tính a.b.c = Chọn đáp án B Câu 85 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, xét mặt phẳng (α) thay đổi có phương trình ax + b y − (a + b) z = 0; đó, hai số a b khơng đồng thời Tìm khoảng cách h lớn từ điểm A (2; 1; 3) tới mặt phẳng (α) A h = C h = B h = 2 D h = ✍Lời giải Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng cố định x = 1+ t : y = + t Do giá trị h lớn d( A, ) = z = 1+ t Chọn đáp án D Câu 86 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + ( y − 1)2 + ( z + 1)2 = đường thẳng d : x − = y = − z Hai mặt phẳng (P ) (Q ) chứa (d ), tiếp xúc với (S ) P Q Tìm tọa độ trung điểm H đoạn thẳng PQ A H 7 ;− ;− 6 B H 5 ; ;− 6 C H ✍Lời giải Goi I (0; 1; −1) tâm mặt cầu (S ) Giả sử (α) mặt phẳng qua I vng góc cắt d K Suy K (2; 0; 0) Khi đó, ta có I, P, K,Q đồng phẳng nằm đường trịn đường kính IK hình vẽ bên Theo hệ thức lượng tam giác vuông IPK , ta có I H.IK = #» #» Suy I H = = IK IP = IK = d( I, d ) = 5 1 = ; − ; Do đó, ta nhận H ; ; − 6 6 5 ;− ; 6 D H ; ;− P K I H Q Chọn đáp án B Câu 87 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, S A ⊥ ( ABCD ) với A (0; 0; 0), B(4; 0; 0), D (0; 4; 0), S (0; 0; 4) Gọi M, N trung điểm BC AD Tính khoảng cách hai đường thẳng SC MN Một học sinh làm sau Th.s Nguyễn Chín Em 963 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ # » # » Bước Do ABCD hình vng nên AB = DC ⇒ # » # » C (4; 4; 0), SC = (4; 4; −4) M (4; 2; 0), N (0; 2; 0) ⇒ MN = (−4; 0; 0) # » # » S SC, MN = 16(0; 1; 1) Bước Mặt phẳng (α) chứa SC song song với MN mặt phẳng qua S (0; 0; 4) có vec-tơ pháp tuyến #» n = (0; 1; 1) có phương trình y + z − = Bước d (SC, MN ) = d ( M, (α)) = |2 + − 4| = N A D B M Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước C D Sai từ bước x−1 y+1 z−1 = = , 1 ∆2 giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x + y − z + = (Q ) : x − y + z + = Trong đường thẳng qua A (2; −1; 2) cắt ∆1 , viết phương trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách ∆ ∆2 lớn x−2 y+1 z−2 x−2 y−1 z−2 A ∆ : = = B ∆ : = = 41 68 −27 41 68 −27 x−2 y+1 z−2 x−2 y+1 z−2 = = D ∆ : = = C ∆ : 41 1 41 68 27 Câu 88 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆1 : ✍Lời giải Từ giả thiết ta có: + ∆2 qua điểm M (−1; 0; 0) có véc-tơ phương #» u (1; −2; −3) # » Gọi N giao điểm ∆ với ∆1 , suy N (1 + t; −1 + t, + t) AN (2 t − 1; t; t − 1) Khi đó: # » # » AN ; #» u AM d [∆, ∆2 ] = # » AN ; #» u = … Khảo sát hàm số f ( t) ta max f ( t) = |20 t − 2| 75 t2 − 72 t + 24   = 400 t2 − 80 t + = f ( t) 75 t2 − 72 t + 24 195 68 t = , từ đáp án A 14 95 Chọn đáp án A Câu 89 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; −3) mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Đường thẳng qua A , có véc-tơ phương #» u = (3; 4; −4) cắt (P ) B Điểm M thay ◦ đổi (P ) cho AMB = 90 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm sau đây? A (−2; −1; 3) B (−1; −2; 3) C (−3; 2; 7) D (3; 0; 15) ✍Lời giải Vì AMB = 90◦ nên M thuộc mặt cầu đường kính AB MB lớn MB đường kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (P ) Suy M hình chiếu A lên (P ) Do x = −2 + t, BM : y = −2 Vậy (−1; −2; 3) ∈ BM z = + t Chọn đáp án B Câu 90 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 = 9, điểm M (1; 1; 2) mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi ∆ đường thẳng qua M , thuộc (P ) cắt (S ) hai điểm A , B cho AB nhỏ Biết ∆ có vectơ phương #» u (1; a; b) Tính T = a − b A T = −2 B T = C T = −1 D T = ✍Lời giải Ta thấy M nằm bên mặt cầu (S ) có tâm O (0; 0; 0) M ∈ (P ) Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu 4 (S ) theo giao tuyến đường tròn tâm H ( ; ; ) H hình chiếu vng góc O lên 3 Th.s Nguyễn Chín Em 964 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ (P ) Đường thẳng ∆ thoả mãn yêu cầu toán ∆ nằm (P ) ∆ ⊥ HM nên ∆ nhận # » # » OH, HM = (12; −12; 0) = 12(1; −1; 0) làm véctơ phương Suy #» u (1; −1; 0) nên T = −1 Chọn đáp án C Câu 91 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm M (2; 2; −3), N (−4; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M , song song với mặt phẳng (P ) : x + y + z = cho khoảng cách từ N tới ∆ đạt giá trị nhỏ nhất? x−2 = x−2 = C ∆ : A ∆ : y−2 = −2 y−2 = −2 z+3 −4 z+3 −8 x−2 y−2 z+3 = = −1 −1 x−2 y−2 z+3 D ∆ : = = −2 −3 B ∆ : ✍Lời giải Gọi (α) mặt phẳng qua M song song với (P ) ⇒ (α) : x + y + z − = Gọi H hình chiếu N lên (α) ⇒ H (−8, 10, 9) Để khoảng cách từ N đến ∆ nhỏ ∆ phải qua H # » Khi véc-tơ phương ∆ MH = (−10; 8; 12) Vậy chọn đáp án C Chọn đáp án D x = 2t x = 3− t z=4 z=0 Câu 92 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d : y = t d : y = t Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d d A (S ) : ( x + 2)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = B (S ) : ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 2)2 = 16 2 C (S ) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = D (S ) : ( x + 2)2 + ( y + 1)2 + ( z = 2)2 = 16 ✍Lời giải Ta tìm đoạn vng góc chung MM hai đường thẳng d d , ta M (2; 1; 4) M (2; 1; 0) Khi mặt cầu S nhận MM làm đường kính Chọn đáp án C Câu 93 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm M (−2; −2; 1), A (1; 2; −3) đường x+1 y−5 z thẳng d : = = Tìm véc-tơ phương #» u đường thẳng ∆ qua M , vng góc 2 −1 với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng lớn A #» u (4; −5; −2) B #» u (1; 0; 2) C #» u (2; 1; 6) D #» u (3; 4; −4) ✍Lời giải Gọi H hình chiếu A lên ∆ ta có AH ≤ AM Dấu xảy ∆ qua M vuông # » # » # » = (2; 2; −1), AM # »; AM góc với d AM Ta có u = (−3; −4; 4) Vậy #» u = [u ] = (4; −5; −2) d d Chọn đáp án A x−1 y z−2 = = điểm 2 A (1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến (P ) lớn A x − y + z − = B x + y − z − 10 = C x + y + z − 15 = D x − y − z + = Câu 94 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : ✍Lời giải Gọi K hình chiếu vng góc A d ⇒ K (3; 1; 4) Gọi H hình chiếu vng góc A (P ) ⇒ AH ≤ AK Dấu " = " xảy H ≡ K ⇒ Phương trình (P ) : x − y + z − = Chọn đáp án A Câu 95 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x + y − z + = 0, điểm x−1 y−2 z+3 = = Gọi B giao điểm mặt phẳng (P ) với −4 đường thẳng d Điểm M thay đổi (P ) cho AMB = 90◦ Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB không qua điểm điểm đây? A I (1; 1; 4) B J (2; −2; 9) C K (−4; −2; −3) D H (−2; −2; 1) A (4; 6; −7) đường thẳng d : Th.s Nguyễn Chín Em 965 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ✍Lời giải 2x + y − z + = x−1 y−2 z+3 ⇔ = = −4 Tọa độ B nghiệm hệ x = −2 y = −2 z=1 A Suy B(−2; −2; 1) Điểm M thay đổi (P ) cho AMB = 90◦ , nên M nằm đường tròn (C ) giao (P ) với mặt cầu đường kính AB Do đó, MB lớn MB đường kính đường tròn (C ) Goi I trung điểm AB, suy I (1; 2; −3) Bán kính mặt cầu R= AB = I 41 B M H Gọi N tâm đường tròn (C ), ∆ đường thẳng qua I vng góc với (P ) Khi đó, x = + 2t phương trình ∆ y = + t , t ∈ R z = −3 − t  x = + 2t   x = −3 y = + 2t ⇔ y = −2 Suy N (−3; −2; −1) Tọa độ N nghiệm hệ phương trình:  z = −3 − t  z = −1 2x + y − z + = x = −2 − t Khi BM lớn nhất, phương trình đường thẳng BM có dạng: y = −2 z = − 2t Nhận thấy điểm J, K, H thuộc đường thẳng BM , điểm I không thuộc BM Chọn đáp án A Câu 96 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A (2; −1; 1), B(1; −1; 0) đường x−1 y−1 z−1 = = Gọi điểm M thuộc d cho diện tích tam giác M AB nhỏ Tính giá trị biểu thức Q = x2M + yM2 + z2M 49 101 53 C Q = D A Q = 29 B Q = 18 18 36 thẳng d : Câu 97 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (2; −1; −1) mặt cầu (S ) : x2 + ( y − 1)2 + ( z − 2)2 = Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A cắt (S ) hai điểm B, C cho BC có độ dài lớn x−2 y+1 z+1 = = −1 x−2 y+1 z+1 C = = −2 −3 x−2 y−1 z−2 = = −1 x−2 y+1 z+1 D = = −3 A B ✍Lời giải Gọi I tâm» mặt cầu (S ) Ta có: BC = R2 − d ( I, d ) BC đạt giá trị lớn d ( I, d ) đạt giá trị nhỏ Kiểm tra nhanh ta có đường thẳng phương án C có d ( I, d ) = Chọn đáp án C Câu 98 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (2; −2; −1) đường thẳng d : x−2 = y−2 z = Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P ) lớn A (P ) : x − y = B (P ) : x − y + = C (P ) : x + y + = D (P ) : x + y − = Câu 99 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho A (2; 3; −1), B(2; 3; 2), C (−1; 0; 2) Tìm tọa độ # » # » # » # » # » điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) để S = | M A − MC | + | M A + MB + MC | nhỏ A M −1; 0; B M − ; 0; C M (0; 3; 0) D M 1; 0; ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 966 https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ - Giả sử G trọng tâm tam giác ABC, suy G (1; 2; 1) # » # » - Lấy D (−2; −1; 3) ta có C A = 3DC - Khi ta có # » # » # » # » # » # » # » S = | M A − MC − MC | + |3 MG | = |C A − MC | + |3 MG | # » # » # » # » # » # » = |3DC − MC | + |3 MG | = |3 MD | + |3 MG | ≥ |3DG | - Vậy S nhỏ M giao điểm DG với mặt phẳng Oxz Viết phương trình DG tìm giao điểm ta M −1; 0; Chọn đáp án A Câu 100 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x + a y + bz − = đường x y z−1 = = Biết (α) ∥ ∆ (α) tạo với trục Ox, Oz góc Tìm −1 −1 giá trị a A a = B a = a = C a = D a = −1 a = thẳng ∆ : 1 11 21 31 41 52 62 72 82 92 ĐÁP ÁN B A C 12 A C 22 D D 32 A A 43 D A 53 C A 63 A B 73 D C 83 C C 93 A 13 23 33 44 54 64 74 84 94 Th.s Nguyễn Chín Em B B B C B B D B B A 14 24 34 45 55 65 75 85 95 A A A A D A C A D A 15 25 35 46 56 66 76 86 96 A D D B B D D D B C 16 26 36 47 57 67 77 87 97 967 A A A C D A C B A C 17 27 37 48 58 68 78 88 98 C A D D C D B D A A 18 28 38 49 59 69 79 89 99 D C A A B D B D B A C 19 D 29 B 39 C 50 C 60 C 70 B 80 B 90 C 100 C 10 20 30 40 51 61 71 81 91 A B C B B B A A D https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục toạ độ Đề - vng góc khơng gian gồm ba trục x Ox, y O y, z Oz vng góc với... y), (O yz), (Oxz) gọi mặt phẳng toạ độ Không gian gắn với hệ toạ độ Ox yz gọi không gian Ox yz z x #» k y #» O #» j y i x z TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM Trong không gian Ox yz, cho điểm tuỳ ý z M Khi tồn số... PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Trong không gian Ox yz, phương trình tắc mặt cầu