Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian nguyễn tăng vũ

Phương trình tổng quát đường thẳng Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 11 tháng năm 2020) I PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG → − − Định nghĩa Vectơ → n = có giá vng góc với đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ Tính chất Ta có tính chất sau: (a) Các vectơ pháp tuyến đường thẳng phương (b) Hai đường thẳng song song vectơ phát tuyến phương (c) Hai đường thẳng vng góc vectơ pháp tuyến vng góc Định lý Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(x◦ ; y◦ ), vectơ → − − n Đường thẳng qua I nhận → n = (a; b) vectơ pháp tuyến có phương trình: a(x − x◦ ) + b(y − y◦ ) = Định lý Trong mặt phằng tọa, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = với a2 + b2 = − Trong → n = (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng Định lý (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng qua điểm A(a; 0) B(0; b) (a, b = 0) x y + =1 a b Định nghĩa Xét đường thẳng ∆ : y = kx + m cắt Ox M Tia M t phía trục hồnh Gọi α góc tạo tia M t tia Ox Khi tan α gọi hệ số góc ∆ k = tan α Ví dụ I.1 Cho đường thẳng a : 3x + 4y + = (a) Tìm vectơ pháp tuyến a (b) Trong điểm sau, điểm thuộc a: A(−1; 0), B(1; −1), C(0, 1) (c) Tìm điểm thuộc a mà hồnh độ hai lần tung độ (d) Điểm M (3; 2) có thuộc a khơng? Nếu M khơng thuộc a, viết phương trình đường thẳng qua M song song với a Lời giải − (a) Một vectơ pháp tuyến (a) : → n = (3; 4) (b) Thay tọa độ điểm A, B, C vào đường thẳng (a) ta có: Điểm A: 3.(−1) + 4.0 + = −2 = nên A không thuộc (a) Điểm B : 3.1 + 4.(−1) + = nên B thuộc (a) Điểm C: 3.0+4.1+1 = = nên C không thuộc (a) (c) Gọi D điểm thuộc (a) mà hoành độ hai lần tung độ Khi ta có: xD = 2yD Thay tọa độ điểm D vào ta có: −1 3yD + 4yD + = ⇔ 7yD + = ⇔ yD = −2 −1 Với yD = ⇒ xD = 7 −2 −1 Vậy tọa độ điểm D D( ; ) 7 (d) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (a) ta có: 3.3 + 4.2 + = 18 = nên M không thuộc đường thẳng a Gọi (b) đường thẳng qua M song song với (a) →=− → = (3; 4) Ta có: − n n b a Phương trình đường thẳng (b) là: 3(x − 3) + 4(y − 2) = ⇔ 3x + 4y − −17 = Ví dụ I.2 Cho đường thẳng (d) : ax + 2y + c = (a) Tìm a biết vectơ pháp tuyến d phương − với → n = (2; 1) (b) Tìm c biết đường thẳng qua điểm M (−1; 5) Lời giải (a) Vectơ pháp tuyến đường thẳng (d) là: − → = (a; 2) n d Do vectơ pháp tuyến (d) phương với → − n = (2; 1) nên ta có: a = ⇒a=4 (b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) ta có: 4.(−1) + 2.5 + c = ⇔ c = −6 Ví dụ I.3 Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(2, −1), C(0, 4) (a) Viết phương trình đường cao AH a) www.geosiro.com → − − Khi đó: d = → a = (2; −3) Phương trình đường thẳng (d): 2(x − 1) − 3(y − 2) = ⇔ 2x − 3y + = (b) Viết phương trình đường trung trực BC (c) Viết phương trình đường thẳng AB (b) Đường thẳng (b) vng góc với đường thẳng (a) → − nên b = (3; 2) Vậy phương trình đường thẳng (b) là: 3(x − 1) + 2(y − 2) = ⇔ 3x + 2y − = Tọa độ giao điểm nghiệm  hệ phương trình:   x = 19 2x − 3y + = 13 ⇔ 17 3x + 2y − =  y= 13 19 17 Vậy tọa độ giao điểm là: ( ; ) 13 13 Lời giải −−→ (a) Ta có: BC = (−2, 5) → −−→ Mà BC ⊥ AH nên − n− AH = BC = (−2; 5) −−→ Đường thẳng AH qua điểm A nhận BC làm vectơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng AH là: −2(x + 1) + 5(y − 1) = ⇔ −2x + 5y − = ⇔ 2x − 5y + = (b) Gọi I trung điểm B, C Khi tọa độ điểm I là:   xI = xB + xC xI = ⇔ y + y C yI = y = B I 2 Đường trung trực BC đường thẳng qua −−→ I nhận BC làm vectơ pháp tuyến Phương trình đường trung trực BC là: −2(x − 1) + 5(y − ) = 11 ⇔ −2x + 5y − = ⇔ 4x − 10y + 11 = −−→ → (c) Ta có: AB = (3, −2) ta có: − n− AB = (2; 3) Phương trình đường thẳng AB là: 2(x + 1) + 3(y − 1) = ⇔ 2x + 3y − = III BÀI TẬP Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−1; −2) C(−1; 3) a) Viết phương trình tổng quát đường cao hạ từ A (Đ/s: y = 2) b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC (Đ/s: x = −1) c) Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB (Đ/s: x + 2y = 0) Cho tam giác A(−1; 3), B(1; 5) C(3; −1) II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Tính chất Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Khi a1 b1 = ; Khi tọa độ giao điểm a2 b2 nghiệm hệ phương trình • ∆1 , ∆2 cắt ⇔ a1 x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = • ∆1 ||∆2 ⇔ b1 c1 a1 = = a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 Ví dụ II.1 Cho đường thẳng a : 2x − 3y + = điểm A(1; 2) (a) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với a (b) Viết phương trình đường thẳng b qua A vng góc với a Tìm tọa độ giao điểm a b Lời giải (a) Gọi (d) đường thẳng qua A song song với a a) Viết phương trình đường trung trực AB BC (Đ/s: AB : x + y − = 0, BC : x − 3y + = 0) b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác −1 ; )) ABC.(Đ/s: Tâm đường tròn ngoại tiếp ( 4 Cho đường thẳng d1 : 3x−2y −1 = d2 : x+y −2 = a) Chứng minh A(0; 2) thuộc d2 không thuộc d1 (Đ/s: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d2 d1 : 3.0 − 2.2 − = −5 = ⇒ A không thuộc vào đường thẳng d1 + − = ⇒ A thuộc vào đường thẳng d2 ) b) Chứng minh d1 d2 cắt Tìm tọa độ giao điểm d1 d2 −2 (Đ/s: = nên hai đường thẳng cắt 1 Tọa độ giao điểm là: (1; 1)) c) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d2 (Đ/s: x − y + = 0) d) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với d1 (Đ/s: 3x − 2y + = 0) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh (AB) : x+4y−7 = 0, (AC) : x+y−3 = 0, (BC) : 3x+8y+1 = a) Tìm tọa độ đỉnh tam giác 11 (Đ/s: A( ; ), B(−15; ), C(5; −2)) 3 b) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua BC (Đ/s: Tọa độ điểm đối xứng vơi A qua BC là: 65 −508 ( ; )) 219 219 Cho đường thẳng d1 : 2x + 3y − = điểm A(4; 5) Tìm tọa độ điểm B ∈ d1 cho AB = 19 (Đ/s: B(1; 1), B( ; )) 13 13 Cho đường thẳng (d) : 3x − 2y + = điểm A(2, 3) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với d (Đ/s: 3x − 2y = 0) b) Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua A vng góc với d (Đ/s: 2x + 3y − 13 = 0) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(−3; 4) C(2; 0) a) Viết phương trình đường trung tuyến AM (Đ/s: y = 2) b) Viết phương trình đường cao BK (Đ/s: x − 2y + 11 = 0) c) Viết phương trình đường trung trực AB (Đ/s: 2x − y + = 0) Cho tam giác ABC có A(0; 1), B(−2; 3) C(2; 0) a) Viết phương trình đường cao AD, BE tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC (Đ/s: AD : 4x − 3y + = 0, BE : 2x − y + = 0, H(−9; −11)) b) Viết phương trình trung trực cạnh AB, AC tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (Đ/s: Đường trung trực cạnh AB: x − y + = Đường trung trực cạnh AC; 2x − y − = 15 Tọa độ điểm I( ; )) 2 c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC chứng minh H, I, G thẳng hàng (Đ/s: G(0; ) −−→ −37 −→ 27 37 GH = (−9; ); HI = ( ; ) 2 −37 −9 Ta có: = suy điểm thẳng hàng) 27 37 2 Phương trình tham số đường thẳng Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 21 tháng năm 2020) I II LÝ THUYẾT VÍ DỤ → − − Định nghĩa Vectơ → u = có giá song song trùng với ∆ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ Tính chất Vectơ phương có tính chất sau: • Các vectơ phương đường thẳng phương với vng góc với vectơ pháp tuyến Ví dụ II.1 Cho đường thẳng d có phương trình tham số x = + 2t y = −1 + 4t • Hai đường thẳng song song vectơ phương đường vectơ phương đường thẳng • Hai đường thẳng vng góc vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng Định lý Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm − − I(xo ; yo ), vectơ → u Đường thẳng qua I nhận → u = (a; b) vectơ phương có phương trình tham số: x = xo + at y = yo + bt (a) Tìm vectơ phương d (b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ (c) Tìm điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ tung độ (d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A(−1; 1) song song với d Lời giải − (a) Một vectơ phương d là: → u = (2; 4) Ghi Khi khử tham số t phương trình viết lại dạng x − x0 y − y0 = , (a, b = 0) a b Phương trình gọi phương trình tắc đường thẳng (trong trường hợp ab = đường thẳng khơng có phương trình tắc) Ghi Phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) có dạng x − xA y − yA = xB − xA yB − ya (Trong trường hợp ta cần có xB = xA , yB = yA ) (b) Gọi M điểm thuộc đường thẳng d có hồnh độ 5, tọa độ điểm M có dạng M (5, yM ) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có: = + 2t ⇔ yM = −1 + t=1 yM = Vậy tọa độ điểm M M (5; 3) (c) Gọi N (xN , yN ) điểm thuộc đường thẳng d có hồnh độ ba lần tung độ , ta có: xN = 3yN Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng d ta có:   t= 3yN = + 2t ⇔ yN = −1 + 4t   yN = 21 ⇒ xN = 5 21 Vậy tọa độ điểm N N ( ; ) 5 Với yN = (d) Gọi d1 đường thẳng qua A song song − → với d Khi ta có: − u→ d1 = ud = (2; 4) Phương trình tham số đường thẳng d1 là: x = −1 + 2t y = + 4t a) www.geosiro.com Ví dụ II.2 Cho tam giác ABC A(1; 2), B(−1; 4), C(−2; 0) có đỉnh René Descartes Sinh La Haye, Touraine (trước tỉnh, gọi vùng Pháp), Descartes gia đình q tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng tín hữu Cơng giáo Rơma Lên tám tuổi, ông gửi theo học trường học dịng Tên La Flèche Anjou, ơng học suốt năm Bên cạnh môn học cổ điển, Descartes cịn học tốn thầy theo trường phái Kinh viện, học phái chủ trương dùng lý luận loài người để hiểu lý thuyết Kitơ giáo Thiên Chúa giáo La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt đời Descartes Sau trường, ông theo học luật Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616 Tuy vậy, ông chưa hành nghề luật; năm 1618 ơng phục vụ cho Hồng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo Liên hiệp tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi đời binh nghiệp Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ quân đội khác, ông bắt đầu tập trung vào tốn học triết học Ơng hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau từ 1624 đến 1628, ông Pháp Trong thời gian Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học làm thí nghiệm quang học Năm 1628, sau bán hết tài sản Pháp, ông chuyển sang sống Hà Lan, sống hầu hết quãng đời lại xứ hoa tuylip Descartes sống nhiều thành phố khác Hà Lan, Amsterdam, Deventer, Utrecht, Leiden Dường năm Hà Lan, Descartes viết tác phẩm lớn đầu tiên, Essais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất năm 1637 Tác phẩm gồm bốn phần: tiểu luận hình học, quang học, phần thứ ba băng, Discours de la méthode (Bàn luận phương pháp), ơng trình bày nghiên cứu triết học Sau đời tác phẩm khác, kể Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học, năm 1644) Cuốn sau ông dành tặng cho Công chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, người bạn thân thiết ông Hà Lan Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà triết học triều đình Stockholm Cái lạnh khắc nghiệt xứ Bắc Âu làm ông mắc bệnh viêm phổi qua đời năm 1650 (a) Viết phương trình tham số đường thẳng AB (b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A song song với BC (c) Tìm điểm D thuộc BC cho AD vng góc với BC Lời giải −−→ (a) Ta có: AB = (−2; 2) Vectơ phương đường thẳng AB là: − → u− AB = (1; −1) Phương trình tham số đường thẳng AB là: x=1+t y =2−t −−→ (b) Ta có: BC = (−1; −4) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC −→ →=− Khi đó: − u BC = (−1; −4) d Phương trình tham số đường thẳng BC là: x=1−t y = − 4t (c) Phương trình đường thẳng BC là: x = −2 − t y = −4t → Ta có: AD ⊥ BC Khi đó: − u− AD = (4; −1) Phương trình tham số đường thẳng AD : x = + 4t1 y = − t1 D = AD ∩ BC Khi đó: −2 − t = + 4t1 t = −1 ⇔ −4t = − t1 t1 = −2 Với t = −1 tọa độ điểm D D(−1; 4) III BÀI TẬP Cho đường thẳng d: x = −3 + 2t y = − 3t (a) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ (Đ/s: −7 ; 5)) ( (b) Tìm điểm thuộc đường thẳng có tung độ lần −7 10 hồnh độ.(Đ/s: ( ; )) 9 (c) Cho điểm A(−1; 0) A √ có thuộc d khơng?Tìm điểm B thuộc d cho AB = (Đ/s: A không thuộc vào d −11 −29 Tọa độ điểm B B(−3; 1) B( ; )) 13 13 − Cho → u = (1; −2) Viết phương trình tham số đường thẳng − (a) Qua A(−1; 0) nhận → u làm vectơ phương (Đ/s: Phương trình tham số là: x = −1 + t ) y = −2t (b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua O nhận → − u vectơ pháp tuyến x = 2t (Đ/s: Phương trình tham số là: ) y=t Cho tam giác ABC có A(−2; 3), B(0; 1), C(2; 5) (a) Viết phương trình tham số đường thẳng AB, BC x=t x=t (Đ/s: AB : , BC : ) y =1−t y = + 2t (b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A song song với BC x = −2 + t (Đ/s: Phương trình tham số là: ) y = + 2t Cho đường thẳng d : x = − 3t điểm A(−1; 1) y = −1 + 2t a) Điểm A có thuộc đường thẳng d không? Tại sao? (Đ/s: A ∈ d) b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d ( Đ/s: 2x + 3y − = 0) c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vuông với d x = −1 + 2t (Đ/s: ) y = + 3t Cho đường thẳng d : x + 2y − = điểm A(0, 1) a) Viết phương trình tham số d x = + 2t (Đ/s: ) y = −t b) Tìm điểm M thuộc d cho AM = −3 ; )) (Đ/s: M (1; 1) M ( 5 Cho hai điểm A(1; 3) B(3; 7) a) Viết phương trình tham số đường thẳng d trung x = + 2t trực đoạn thẳng AB (Đ/s: y =5−t b) Tìm d điểm M cho tam giác AM B vuông cân (Đ/s: M (4; 4) M (0; 6)) x = −2 + t Tìm điểm M d y = + −3t cho OM nhỏ O gốc tọa độ −3 −1 (Đ/s: M ( ; )) 2 Cho đường thẳng d : Cho tam giác ABC có A(−2; 4), B(0, 2), C(8, 6) (a) Viết phương trình tham số đường trung tuyến BM CN x=t x = −1 + 3t (Đ/s: BM : ; CN : y =2+t y =3+t (b) Cho điểm K(t; 2t − 1) Tìm t cho trung điểm BK thuộc đường thẳng CN 17 (Đ/s: t = ) Khoảng cách- Góc Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 21 tháng năm 2020) I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ I.3 Định lý Cho đường thẳng : ax + by + c = điểm A(x◦ ; y◦ ) Khi khoảng cách từ A đến là: Cho đường thẳng a : 5x + 12y − 13 = Viết phương trình đường thẳng song song với a cách a khoảng cách 13 d= |ax◦ + by◦ + c| √ a2 + b2 Ví dụ I.1 Cho đường thẳng d : 3x + 4y − = điểm A(−1; 2) B(0; −2) (a) Tính khoảng cách từ A B đến d (b) Viết phương trình đường thẳng AB tính khoảng cách từ O(0; 0) đến AB Lời giải (a) Khoảng cách từ A, B đến d là: | 3.(−1) + 4.2 − | √ d(A, d) = = 2 +4 | 3.0 + 4.(−2) − | √ d(B, d) = = 2 +4 −−→ (b) Ta có: AB = (1; −4), vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là: − n−→ = (4; 1) AB Phương trình đường thẳng AB là: 4(x − 0) + 1(y + 2) = ⇔ 4x + y + = Khoảng cách từ O đến AB là: √ | 4.0 + + | 2 17 d(O; AB) = √ =√ = 17 17 42 + 12 Ví dụ I.2 Cho hai đường thẳng a : 2x−y = b : 2x−y−4 = Chứng minh a b tính khoảng cách hai đường thẳng a b −1 −1 = = nên hai đường thẳng −1 −4 a, b song song với Lấy A(1; 1) ∈ a nên √ | 2.1 − − | d(a, b) = d(A, b) = √ =√ = 5√ 22 + Vậy khoảng cách hai đường thẳng là: Lời giải Ta có: a) www.geosiro.com Lời giải Gọi d đường thẳng song song với a →=− → = (5; 12) ta có: − n n d a Phương trình đường thẳng d có dạng: 5x+12y+m = Lấy A(1, ) ∈ a, đó: | 5.1 + 12 + m | √ = 13 d(a, d) = d(A, d) = 52 + 122 | 13 + m | ⇔ = 13 ⇔| 13 + m |= 169 13 13 + m = 169 m = 156 ⇔ ⇔ 13 + m = −169 m = −182 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 5x + 12y + 156 = 5x + 12y − 182 = Tính chất Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = hai điểm M (xM ; yM ), N (xN ; yN ) Khi • M, N nằm phía ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > • M, N nằm khác phía ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < Tính chất (Phương trình đường phân giác) Cho hai đường thẳng cắt d1 : a1 x + b1 y + c1 , d2 : a2 x + b2 y + c2 = Khi phương trình hai đường phân giác góc tạo d1 d2 là: |a1 x + b1 y + c1 | a21 + b21 =± |a2 x + b2 y + c2 | a22 + b22 Ví dụ I.4 Cho hai đường thẳng a : 3x + 4y − = 0, b : 5x + 12y − 17 = Chứng minh a b cắt viết phương trình phân giác tạo hai đường thẳng a b = nên hai đường thẳng cắt 12 Phương trình đường phân giác tạo hai đường thẳng a, b là: | 5x + 12y − 17 | | 3x + 4y − | √ =± √ 32 + 52 + 122 | 3x + 4y − | | 5x + 12y − 17 | ⇔ =± 13 13(3x + 4y − 7) = 5(5x + 12y − 17) ⇔ 13(3x + 4y − 7) = −5(5x + 12y − 17) 14x − 8y − = 7x − 4y − = ⇔ ⇔ 64x + 112y − 176 = 4x + 7y − 11 = Vậy phương trình đường phân giác tạo hai đường thẳng a, b : 7x − 4y − = 0; 4x + 7y − 11 = Lời giải Ta có: II GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ II.2 Định nghĩa Cho hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc, góc nhỏ góc gọi góc hai đường thẳng a b Nếu hai đường thẳng song song trùng ta quy ước góc chúng 0o Kí hiệu (a, b) (a, b) Ta có 0o ≤ (a, b) ≤ 90o Cho đường thẳng a : x − y = Viết phương trình đường thẳng b qua điểm M (1; 2) cho góc a b 45◦ → = (m, n) vectơ pháp tuyến Lời giải Gọi − n b đường thẳng b Khi đó, phương trình đường thẳng b là: − − Tính chất Nếu → u,→ v vectơ phương (hoặc − − vectơ pháp tuyến) hai đường thẳng a, b Đặt α = (→ u,→ v ) Khi m(x − 1) + n(y − 2) = o • (a, b) = α ≤ α ≤ 90 → = (1; −1) Ta có: VTPT đường thẳng a là: − n a ◦ Góc a, b 45 nên ta có: √ | 1.m − 1.n | √ cos(a, b) = √ = 12 + 12 m2 + n2 √ |m−n| = ⇔| m − n |= m2 + n2 ⇔√ m + n2 m=0 ⇔ 2mn = ⇔ n=0 Với m = chọn n = ta có phương trình đường thẳng b y = Với m = chọn n = ta có phương trình đường thẳng b là: x = • (a, b) = 180o − α 90o < α ≤ 180o • cos(a, b) = | cos α| Ví dụ II.1 Cho hai đường thẳng a : x + y − = 0, b : 3x + 4y − = (a) Tính góc tạo a b với trục hồnh (b) Tính cos góc hai đường thẳng a b Lời giải (a) Phương trình trục hồnh Ox : y = Vectơ pháp tuyến đường thẳn a, b, Ox là: − → = (1; 1), − → = (3; 4); − → n n n− a b Ox = (0; 1) Góc tạo đường thẳng a, b với trục hoành √ là: | 1.0 + 1.1 | √ cos(a, Ox) = √ =√ = 2 12 + 02 12 + 12 ⇒ (a, Ox) = 45o | 3.0 + 4.1 | √ cos(b, Ox) = √ = 2 2 +4 +1 ⇒ (b, Ox) = arccos( ) (b) Góc hai đường thẳng a b là: √ | 1.3 + 1.4 | 7 √ cos(a, b) = √ = √ = 32 + 42 10 12 + 1√ ⇒ (a, b) = arccos( ) 10 III BÀI TẬP Cho hai đường thẳng d1 : 2x + 3y − d2 : −3x + y = điểm A(1; 2) (a) Tính khoảng √ cách từ gốc tọa độ O đến d1 d2 (Đ/s: 13 d(O, d1 ) = , d(O, d2 ) = 13 (b) Tính góc hai đường √ thẳng d1 , d2 130 ) (Đ/s: (d1 , d2 ) = arccos( 130 Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(0, 3), C(2; −1) (a) Viết phương trình đường thẳng BC (Đ/s: BC : 2x + y − = 0) (b) Tính độ dài đường cao hạ từ A diện tích tam giác ABC (Đ/s: SABC = 4) Cho đường thẳng d1 : 3x + 4y − = (a) Tìm điểm A thuộc Ox cho khoảng cách từ A đến −5 d1 2.(A(5; 0), A( ; 0)) (b) Tìm điểm B thuộc Oy cho khoảng cách từ B đến −5 d1 3.(Đ/s: B(0; 5), B(0; )) (c) Viết phương trình đường thẳng song song với d1 cách d1 khoảng (Đ/s: 3x + 4y = 0; 3x + 4y − 10 = 0) Cho đường thẳng d : x − y − = (a) Viết phương trình đường thẳng qua O tạo với d góc 45o (Đ/s: x = 0, y = 0) (b) Cho hai điểm A(1; 0) B(−2; 1) Xét vị trí tương đối A B d (Đ/s: A thuộc d, B không thuộc d) Cho điểm A(−1; 2) B(4; 1) Viết phương trình đường √ thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d 13 (Đ/s: 3x + 2y − = 0, 2x − 3y + = 0) Phương trình đường trịn Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 21 tháng năm 2020) I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Tâm:(−1; 0), bán kính là: (b) Để (∗) phương trình đường trịn: (−(m − 1))2 + (−2m)2 > 5m2 ⇔ m2 − 2m + + 4m2 > 5m2 ⇔ −2m + > ⇔ m < Định lý Đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (c) Tâm I đường tròn (∗) là: I(m − 1, 2m) Ta có: xI = m − 1(1), yI = 2m(2) đó: m = xI + thay vào (2) ta có: yI = 2(xI + 1) ⇔ 2xI − yI + = Vậy điểm I thuộc vào đường thẳng : 2x − y + = Định lý Phương trình dạng x2 + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường trịn và√chỉ a2 + b2 > c Khi tâm I(−a; −b) bán kính R = a2 + b2 − c Ví dụ I.1 Cho điểm I(1; 2) A(−1; 4) (a) Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính R = (b) Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính IA (c) Xét vị trí tương đối B(3; 1) với đường trịn tâm I bán kính IA Lời giải (a) Phương trình đường trịn tâm I bán kính R = là: (x−1)2 +(y−2)2 = 32 ⇔ x2 +y −2x−4y−4 = √ − → (b) Ta có: IA = (−2; 2) ⇒ IA = 2 Phương trình đường trịn tâm I bán kính IA là: (x−1)2 +(y −2)2 = ⇔ x2 +y −2x−4y −3 = √ −→ (c) Ta có: IB =√(2; −1) √⇒ IB = IA > IB (2 > 5) nên B nằm đường tròn tâm I bán kính IA Ví dụ I.2 Cho phương trình x2 −2(m−1)x+y −4my+5m2 = (*) (a) Khi m = 0, (*) có phải phương trình đường trịn khơng?Tìm tọa độ tâm tính bán kính (b) Tìm tất m để (*) phương trình đường trịn (c) Khi (*) phương trình đường trịn, chứng minh tâm I thuộc đường thẳng cố định Lời giải (a) Khi m = thay vào (∗) ta có: x2 + 2x + y = ⇔ (x + 1)2 + y = Khi đó: (∗) phương trình đường trịn II PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cho đường trịn tâm I(a, b) bán kính R Khi phương trình tiếp tuyến điểm A(xo , yo ) là: (x − xo )(xo − a) + (y − yo )(yo − b) = Ví dụ II.1 Cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x + 4y = (a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính (C) (b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) A(2; 0) Lời giải (a) Tọa độ tâm, bán kính đường trịn (C) là: Tâm I(1; −2) √ √ Bán kính R = 12 + 22 − = (b) Phương trình tiếp tuyến (C) A(2; 0) là: (x − 2)(2 − 1) + (y − 0)(0 − (−2)) = ⇔ x − + 2y = Ghi Tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính R đường thẳng cách I khoảng cách R Ta sử dụng tính chất để viết phương trình tiếp tuyến số trường hợp khác Ví dụ II.2 Cho đường trịn (C) : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 25 (a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x + 3y = (b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với 3x + 4y + = Lời giải (a) Phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng 4x + 3y = nên có dạng: d : 4x + a) www.geosiro.com 3y + m = 0(m = 0) Tâm bán kính đường trịn (C) I(1; 3), R = Do d tiếp tuyến đường trịn (C) nên ta có: | 4.1 + 3.3 + m | √ d(I, d) = R ⇔ =5 42 + 32 ⇔| 13 + m |= 25 13 + m = 25 m = 12(N ) ⇔ ⇔ 13 + m = −25 m = −38(N ) Với m = 12 phương trình tiếp tuyến là: 4x + 3y + 12 = Với m = −38 phương trình tiếp tuyến là: 4x + 3y − 38 = III Bài Cho đường tròn (C) : (x − 49 ) + (y + 2)2 = đường thẳng d : 2x + y + = (a) Tìm tọa độ giao điểm A, B d (C) 24 (Đ/s: A( , − ), B(−1; −3) 5 24 A(−1; −3), B( , − )) 5 (b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) A B Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến ( Phương trình hai tiếp tuyến là: 7x + 2y + 13 = 0, 3x + 4y + = 0, 17 12 tọa độ giao điểm là: (− ; − )) 11 11 Bài Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: BÀI TẬP Bài Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 4), B(2; −1).Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: (a) Tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng d : x − 2y − = 49 (Đ/s: (x + 1)2 + (y − 2)2 = ) (a) Tâm A bán kính R = (Đ/s: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 16) (b) Tâm thuộc đường thẳng x + y − = 0, bán kính tiếp xúc Ox (Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1; (x − 4)2 + (y + 1)2 = 1) 2 (b) Tâm B bán kính R = 5.(Đ/s: (x − 2) + (y + 1) = 25) (c) Tâm O(0; 0) bán kính OA.(Đ/s: x2 + y = 25) (d) Đường trịn đường kính AB 13 (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = ) 2 Bài Cho tam giác ABC có A(−1; 0), B(2; 2), C(2; −6) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 65 (Đ/s: (x − )2 + (y + 2)2 = ) Bài Cho đường thẳng d : 4x − 3y − = điểm A(2; 1) (a) Viết phương trình đường tròn tâm A tiếp xúc với d 16 ) (Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25 (b) Cho d cắt Ox B Viết phương trình đường trịn tâm B tiếp xúc với Oy 1 (Đ/s: (x − )2 + y = ) 16 Bài Cho đường tròn (C) : x2 + y − 4x + 2y = (a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn √ (Đ/s: Tâm I(2; −1), bán kính R = 5) (b) Chứng minh A(4; −2) thuộc (C) viết phương trình tiếp tuyến A (C) (Đ/s: 2x − y − = 0) Bài Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = Viết phương trình tiếp (C) biết tiếp tuyến (a) Song song với đường thẳng 2x + y − = (Đ/s: 2x + y + = 0; 2x + y − = 0) (b) Vuông góc với đường thẳng 4x − y + √ = √ (Đ/s: x + 4y + 85 + 11 = 0; x + 4y − 85 + 11 = 0) (c) Đi qua hai điểm A(0, 1), B(2, −3) bán kính R = (Đ/s: (x − 5)2 + (y − 1)2 = 25, (x + 3)2 + (y + 3)2 = 25) (d) Đi qua hai điểm A(1, 2), B(3, 4) tiếp xúc với đường thẳng d : 3x + y − = (Đ/s: (x − 4)2 + (y − 1)2 = 10, (x − )2 + (y − )2 = ) 2 √ (e) Đi qua gốc toạ độ, có bán kính R = có tâm nằm đường thẳng x + y − = (Đ/s: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 5, (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5) √ (f) Có bán kính R = 5, qua gốc toạ độ tiếp xúc đường thẳng 2x √ −y+5=0 √ (Đ/s: (x +√2 − 2)2 + (y −√1 − 2)2 = 5, (x + + 2)2 + (y − + 2)2 = 5) (g) Tiếp xúc với d1 : x − 3y − = 0, d2 : x − 3y + 18 = qua điểm A(4, −2) 28 (Đ/s: (x − 10)2 + (y − 6)2 = 100, (x + )2 + (y − )2 = 5 100) (h) Tiếp xúc với d1 : 2x + y − = 0, d2 : 2x − y + = có tâm thuộc đường thẳng d3 : x − y − = 121 (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = , 2 10 121 ) (x + )2 + (y + )2 = 4 10 (i) Tiếp xúc với d : x − y − = M (1, −1) có bán kính √ √ 2+3 2 2+3 2 (Đ/s: (x − ) + (y + ) = 9, √ √ 2−3 2 2−3 2 (x − ) + (y + ) = 9) 2 (j) Ngoại tiếp tam giác ABC A(−2, 4), B(6, −2), C(5, 5) 50 15 24425 (Đ/s: (x − )2 + (y − )2 = ) 31 31 961 biết Phương trình tắc Elip Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 21 tháng năm 2020) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Lời giải Định nghĩa (Ellipse) Ellipse tập hợp tất điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định cho trước khoảng không đổi Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c (c > 0) số 2a (a > c) Ellipse (E) tập hợp điểm M cho M F1 + M F2 = 2a (E) = {M : M F1 + M F2 = 2a} F1 , F2 gọi tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 = 2c gọi tiêu cự (E) Định lý (Phương trình tắc) Nếu chọn hệ trục có Oxy cho F1 (−c, 0), F2 (c, 0) (E) có phương trình tắc x2 y2 + =1 a b với b = √ a2 − c2 (a) Tâm đối xứng O(0; 0) Trục đối xứng x = 0; y = Phương trình đường √ chuẩn là: x = ±4, y = ±1 Tiêu cự F1 F2 = √15 √ Tiêu điểm: √ F1 (− 15; 0), F2 ( 15; 0) Tâm sai: c 15 e= = a x2 y2 + = 1(1) Do a < b(2 < 3) nên (1) phương trình tắc elip (b) 9x2 + 4y = 36 ⇔ Ví dụ I.2 Tìm phương √ trình √ tắc elip biết hai tiêu điểm 3, and − 3, qua điểm A(0, 3) Lời giải Gọi phương trình tắc elip cần tìm có dạng: Tính chất Nếu elip có phương trình tắc x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 • Tính đối xứng: (E) có trục đối xứng Ox, Oy, tâm đối xứng gốc tọa độ • Trục lớn A1 A2 = 2a nằm Ox, trục bé B1 B2 = 2b nằm Oy • Các đỉnh A1 (−a, 0), A2 (a, 0), B1 (−b, 0), B2 (b, 0) x2 y2 + =1 a b thỏa mãn a2 − b2 = c2 , a √ >b>0 √ √ Elip có hai tiêu điểm ( 3; 0), (− 3; 0) nên c = Khi ta có: a2 − b2 = c2 = (1) Elip qua A(0, 3) nên: = ⇔ b2 = b Thay b2 = vào (1) ta có: a2 − = ⇔ a2 = 12 Vậy phương trình elip cần tìm là: • Hai tiêu điểm F1 (−c, 0), F2 (c, 0) x2 b2 + =1 12 • Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x = ±a, y = ±b √ c b , < e < Vì = − e2 nên e a a gần ellipse “tròn”, e gần ellipse “dẹp” • Tâm sai e = Ví dụ I.3 Cho elip có phương trình (E) : • Bán kính qua tiêu điểm M (x0 , y0 ) (E) x2 y2 + = (a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1 , F2 elip M F1 = a + ex0 ; M F2 = a − ex0 Ví dụ I.1 Vẽ ellipse sau Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng, phương trình đường chuẩn, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai x2 (a) + y = (b) 9x2 + 4y = 36 16 a) www.geosiro.com (b) Tìm điểm M thuộc elip cho M F1 = 2M F2 (c) Tìm điểm M thuộc elip cho ∠F1 M F2 = 90o Lời giải (a) Ta có: a2 = 6, b2 = đó: c = a − b2 = − = Vậy tọa √ độ hai tiêu điểm √ là: F1 = (− 3; 0), F2 = ( 3; 0) (b) Gọi M (xM , yM ) Do M ∈ (E) nên: x2M y2 + M = ⇔ 3x2M + 6yM = 18(1) Mặt khác ta có: M F1 = 2M F2 ⇔ M F12 = 4M F22√ √ 2 ⇔ (− 3√ − xM )2 + yM = 4[( − x)2 +√yM ] 2 ⇔ + 3xM + xM + yM = 4(3 − 3xM + x2M + yM ) √ 2 ⇔ 3xM + 3yM − 10 3xM = −9(2) Lấy ∗ (2) − (1) ta có:  √ xM = √3 √ 3x2M − 20 3xM + 36 = ⇔  xM = √ Với xM = √3 thay vào (1) ta có: yM = −51(L) √ 21 Với xM = thay vào (1) ta có: yM = ± 3 Vậy √ √ tọa độ√ điểm M là: √ 21 21 M( ; ), M ( ;− ) 3 3 (c) Gọi M (m, n) Do M ∈ (E) nên ta có: m2 n2 + = ⇔ m2 + 2n2 = 6(3) Góc F1 M F2 = 90◦ nên ta có: −−−→ −−−→ M F1 ⊥ M √F2 ⇔ F1√M F2 M = ⇔ (m + 3)(m − 3) + y.y = ⇔ m2 − + n2 = 0(4) Từ (3), (4) ta có: hệ phương trình: m2 + 2n2 = m2 = ⇔ 2 m +n =3 n2 = √ √ Vậy tọa độ điểm M M (0; 3), M (0; − 3) x2 y + = Tìm điểm M (E) cho: √ √ √ √ 15 15 (a) M F1 = 2M F2 (Đ/s: M ( ; ), ( ;− ) 9 9 Bài Cho (E) : (b) M nhìn hai tiêu điểm góc 600 35 (Đ/s: (± ; ± ) 3 Bài Cho ABCD hình thoi có đỉnh trùng với đỉnh √ elip Bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi Viết phương trình tắc elip biết tâm sai e = √ Bài toán giải khơng ta biết đỉnh hình thoi nằm elip? x2 y2 ( + = 1) √ x2 y + = dường thẳng d : x − y + Bài Cho (E) : = (a) Chứng minh √ (d) cắt (E) hai điểm A,B Tính AB (AB = 2) (b) Tìm điểm C (E) cho diện tích tam giác ABC lớn √ √ (C(2, − C(−2; 2) Bài Tìm (E) : II BÀI TẬP Bài (Nội thất) Phía cửa số nửa elip Phương trình tắc elip biết gốc tọa độ trung điểm cạnh cửa sổ(hình 1) x2 y2 + = hai điểm M, N cho 16 13 tam giác √ √ F1 M N 13 13 ; ), N ( ;− ) (M ( 5√ 5 √5 −24 13 −24 13 M( ; ), N ( ; − )) 11 11 11 11 x2 y2 + = Tìm A, B thuộc (E) có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn √ √ √ √ 2 ), B( 2, − )) (A( 2; 2 x2 y2 + = Tìm điểm M (E) Bài 11 Cho (E) : 16 cho: √ 16 1463 ) (a) 2M F1 = 3M F2 (M ( ; ± 15 15 √ √ 1 2 238 (b) + = (M (± ;± ) M F1 M F2 F1 F2 √ 21 3 (c) M F1 + M F2 = 182 (M (±2; ± ) Bài 10 Cho (E) : Bài Nhà Trắng Có vùng đất phía nam Nhà Trắng, gọi công viên tổng thống, hình vẽ Viết phương trình elip lấy gốc tọa độ tâm elip.(hình ??) Bài Thiên văn học Quỹ đạo hành tinh quay quanh mặt trời đường elip với mặt trời tiêu điểm quỹ đạo Khoảng cách mặt trời so với tâm elip 21.24 triệu km, gần hành tinh cách mặt trời khoảng 206.75 (xấp xỉ), khoảng cách gần hành tinh cách tâm elip khoảng 226.94 tr km Viết phương trình elip vẽ mơ tả elip Bài Thiên văn học Khi gần nhất, Trái đất cách mặt trời 91.4 tr km xa 94.5 tr km Giả sử tâm quỹ đạo gốc, mặt trời thuộc trục hoành bán kính mặt trời 400,000 dặm Viết phương trình quỹ đạo trái đất (hình 4) Bài 12 Cho (E) : x2 y2 + = điểm M(2,1) (a) Chứng minh M nằm (E) Bài Đấu trường Colosseum Rome hình elip với độ dài trục lớn 190m trục nhỏ 155m Viết phương trình tắc đấu trường (b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm AB (8x + 9y − 25 = 0) (c) Tính khoảng cách từ √ tiêu điểm đến đường √ thẳng + 25 −8 + 25 √ AB (d(F1 , AB) = √ , d(F2 , AB) = ) 145 145 Bài 13 Cho (E) : x2 +2y = đường thẳng d : x+y+m = Tìm m để: (a) Đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt Khi đó: (i) Tìm tập hợp trung điểm AB (ii) Tìm m để độ dài AB lớn (iii) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến AB nửa độ dài đoạn AB (b) Đường thẳng (d) có điểm chung với (E) (M = ±1) Bài 14 Cho (E) : x2 y2 + = 1, a > b > a b (a) Gọi A, B hai điểm (E) cho OA vng góc 1 1 OB Chứng minh + = + OA2 OB a b (b) Chứng minh đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn cố định y2 x2 + = 1, a > b > Gọi F1 , F2 hai a2 b2 tiêu điểm A1 , A2 hai đỉnh trục lớn M điểm tuỳ ý (E) có hình chiếu Ox H Chứng minh rằng: Bài 15 Cho (E) : (a) M F1 M F2 + OM = a2 + b2 (b) (M F1 − M F2 )2 = 4(OM − b2 ) (c) M H = − b2 HA1 HA2 a2 x2 y2 + = Gọi A, B hai điểm (E) cho OA vuông OB Xác định vị trí AB cho tam giác OAB có diện tích lớn (OA; OB nằm hai trục tọa độ) Bài 16 Cho (E) : x2 y2 Bài 17 Cho (E) : + = 1, a > b > đường thẳng a b d : Ax + By + C = (a) Tìm điều kiện a, b, A, B, C để (E) d có điểm chung, khơng có điểm chung (b) Khi (E) d khơng có điểm chung Tìm điểm M thuộc (E) cho khoảng cách từ M đến d đạt GTLN, GTNN Bài 18 Cho (E) : x2 y + = 1, a > b > điểm M (x0 , y0 ) a2 b2 nằm (E) (a) Chứng minh a ≤ OM ≤ b (b) Chứng minh |x0 + y0 )| ≤ √ a + b2 (c) Tìm điểm thuộc (E) cho khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm phải lớn nhất, nhỏ Quỹ đạo Trái Đất đường Trái Đất xung quanh Mặt trời Trái Đất quay quỹ đạo quanh Mặt Trời với khoảng cách trung bình 150 triệu km hết 365,2564 ngày Mặt Trời trung bình (1 năm thiên văn, số liệu đo đến năm 2006) Quỹ đạo Trái Đất xung quanh Mặt Trời gọi đường hồng đạo Trên đường hồng đạo có điểm đặc biệt : điểm cận nhật, điểm viễn nhật, điểm xn phân, điểm hạ chí, điểm thu phân, điểm đơng chí Góc điểm cận nhật điểm xn phân khoảng 77◦ (mỗi năm góc giảm khoảng 1’02") Quan sát từ Trái Đất, chuyển động biểu kiến Mặt Trời thể thay đổi vị trí tương đối so với ngơi sao, với vận tốc góc khoảng 1◦ /ngày, hay khoảng cách đường kính góc Mặt Trăng hay Mặt Trời sau 12 phía đơng Vì chuyển động này, trung bình 24 - ngày Mặt Trời để Trái Đất hồn thành vịng tự quay quanh trục cho Mặt Trời lại trở lại đường Tý Ngọ (kinh tuyến thiên cầu) Bài tập tổng hợp Nguyễn Tăng Vũa) (Dated: Ngày 21 tháng năm 2020) I BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC Ví dụ Cho tam giác ABC có A(0; 3) Xác định tọa độ B, C biết: (a) Phương trình hai đường trung tuyến từ B, C 4x − 9y − = x + 3y − = (b) Có hai đường cao từ B C x − y + = 2x + y − = Lời giải (a) G trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G nghiệm hệ phương trình: x=1 4x − 9y − = ⇔ x + 3y − = y= −→ −8 Suy G(1; ) ⇒ AG = (1; ) 3 Gọi M (xM ; yM ) trung điểm BC, ta có −−→ AM = (xM , yM − 3) −→ −−→ Ta có: AG = AM    xM = xM = ⇔ ⇔ 2   (yM − 3) = − yM = −1 3 C thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C nên tọa độ điểm C có dạng C(2 − 3a; a) tọa độ điểm B có dạng B(1 + 3a, −2 − a) Điểm B thuộc vào đường trung tuyến từ đỉnh B: 4(1 + 3a) − 9(−2 − a) − = ⇔ a = −1 Với a = −1 tọa độ điểm B(−2; −1), C(5; −1) (b) Gọi H(xH , yH ) trực tâm tam giác ABC Tọa độ điểm H  nghiệm hệ phương trình:  x= 2 x − y = −1 ⇔ ⇒ H( ; ) 2x + y =  y= −−→ Gọi B(b, b + 1) ⇒ AB = (b, b − 2) −−→ −−→ − → n− CH = (2; 1) Ta có AB, nCH phương nên ta có: b b−2 = ⇔b=4 ⇒ B(4; 5) −−→ −−→ Ta có: AH = ( , − ) Mà AH ⊥ BC ⇒ BC = (1; −2) 3 Phương trình đường thẳng BC là: 1.(x − 4) − 2(y − 5) = ⇔ x − 2y + = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: x − 2y + = 2x + y − = Ví dụ Cho tam giác ABC có A(−1; 2), đường cao CD : x + 2y + = trung tuyến BM : x − 3y − = (a) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm B (b) Tìm tọa độ điểm C a) www.geosiro.com Lời giải → (a) Vectơ pháp tuyến đường thẳng CD − n− CD = (1; 2) → Khi vectơ phương đường thẳng CD − u− CD = (2; −1) AB ⊥ CD vectơ pháp tuyến đường thẳng → −−→ AB − n− AB = CD = (2; −1) Phương trình đường thẳng AB là: 2(x + 1) − 1(y − 2) = ⇔ 2x − y + = (b) M ∈ BM Gọi tọa độ điểm M M (3b + 3, b) M trung điểm đoạn AC tọa độ điểm C C(6b + 7, 2b − 2) C ∈ CD thay tọa độ điểm C vào đường thẳng CD ta có: 6b + + 2(2b − 2) + = ⇔ 10b + = ⇔ b = − Với b = − tọa độ điểm C(4; −3) Ví dụ Lập phương trình cạnh ABC biết B(−2, 1), đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có phương trình d1 : 5x + 4y − = 0, d2 : 8x + y − = Lời giải Thay tọa độ điểm B vào d1 ta có: 5.(−2) + 4.1 − = −7 = Khi B khơng thuộc vào d1 Giả sử d1 , d2 đường cao, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình là: 5x + 4y − = x=1 ⇔ ⇒ A(1; −1) 8x + y − = y = −1 −−→ Ta có: BA = (3; −2) Khi vectơ pháp tuyến đường thẳng AB − n−→ = (2; 3) AB Phương trình đường thẳng AB 2(x + 2) + 3(y − 1) = ⇔ 2x + 3y + = Vectơ pháp tuyến đường thẳng d1 − n→ d1 = (5; 4) nên − → vectơ phương đường thẳng d1 ud1 = (4; −5) Ta có: d1 ⊥ BC Khi vectơ pháp tuyến đường thẳng → −→ BC − n− BC = ud1 = (4; −5) Phương trình đường thẳng BC là: 4(x + 2) − 5(y − 1) = ⇔ 4x − 5y + 13 = d2 BC = M Tọa độ điểm M nghiệm phương trình: 1 4x − 5y + 13 = x= ⇒ M ( ; 3) ⇔ 8x + y − = y=3 M trung điểm BC suy tọa độ điểm C là: C(3; 5) −→ AC = (2; 6) Vectơ pháp tuyến đường thẳng AC là: − n−→ = (3; −1) AC Phương trình đường thẳng AC là: 3(x − 1) − 1(y + 1) = ⇔ 3x − y − = Ví dụ Cho hình vng ABCD có đỉnh B(4,1) phương trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = Hãy tìm toạ độ đỉnh cịn lại Lời giải → Vectơ pháp tuyến đường thẳng AC là: − n− AC = (1; 3) nên − − → vectơ phương đường thẳng AC là: uAC = (3; −1) Do ABCD hình vng nên ta có: AC ⊥ BD Vậy vectơ → −−→ pháp tuyến đường thẳng BD là: − n− BD = uAC = (3; −1) Phương trình đường thẳng BD là: 3(x − 4) − 1(y − 1) = ⇔ 3x − y − 11 = Gọi I giao điểm hai đường chéo Khi tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình:   x = 22 22 11 3x − y − 11 = ⇔ 11 ⇒ I( ; ) x + 3y − 11 =  y= 24 17 I trung điểm BD nên tọa độ điểm D D( ; ) 5 → Gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là: − n− AB = (a, b) Ta có góc hai đường thẳng AB BD 45◦ nên: → −−→ |− n− AB nBD | → −−→ = cos(45) |− n− AB | | nBD | √ | 3a − b | = ⇔√ √ ⇔| 3a − b |= 5(a2 + b2 ) 10 a2 + b2 ⇔ 9a2 − 6ab + b2 = 5a2 + 5b2 ⇔ 4a2 − 6ab − 4b2 = a = 2b ⇔ (a − 2b)(2a + b) = ⇔ 2a = −b • Với a = 2b chọn b = ⇒ a = Khi phương trình đường thẳng AB là: 2(x − 4) + 1(y − 1) = ⇔ 2x + y − = A = AC AB Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:    x = 16 16 13 2x + y − = ⇔ 13 ⇒ A( ; ) x + 3y − 11 =  y= 28 I trung điểm AC nên tọa độ điểm C là: C( ; ) 5 • Với 2a = −b chọn a = 1, b = −2 Phương trình đường thẳng AB là: 1(x − 4) − 2(y − 1) = ⇔ x − 2y − = Tọa điểm A nghiệm  hệ phương trình:   x = 28 x − 2y − = ⇒ A( 28 ; ) ⇔ x + 3y − 11 = y= 5  16 13 I trung điểm AC nên C( ; ) 5 Vậy tọa độ đỉnh cịn lại hình vng là: 24 17 16 13 28 D( ; ), A( ; ), C( ; ) 5 5 5 28 16 13 24 17 D( ; ), A( ; ), C( ; ) 5 5 5 II BÀI TẬP ĐƯỜNG TRỊN Ví dụ Cho đường tròn (C1 ) : x2 + y − 2x − 4y + = Lập phương trình đường trịn (C2 ) biết (a) (C2 ) đối xứng với (C1 ) qua I(3, 4) Khi tìm giao điểm hai đường trịn có (b) (C2 ) đối xứng với (C1 ) qua đường thẳng d : x−y−1 = Khi tìm giao điểm hai đường trịn có Lời giải (C1 ) : x2 + y − 2x − 4y + = ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = Khi tâm bán kính đường tròn (C1 ) là: O1 (1; 2), R1 = Gọi O2 , R2 tâm bán kính đường trịn (C2 ) (a) (C2 ) đối xứng với (C1 ) qua điểm I nên ta có I trung điểm O1 O2 R1 = R2 = Khi tọa độ (O2 ) O2 = (5; 6) Phương trình đường trịn (C2 ) là: (x − 5)2 + (y − 6)2 = √ Ta có: O1 O2 = > R1 + R2 nên hai đường trịn khơng có giao điểm chung (b) (C2 ) đối xứng với (C1 ) qua đường thẳng d nên d đường trung trực đoạn thẳng O1 O2 → = (1, −1), nên vectơ Vectơ pháp tuyến d − n d → = (1; 1) phương đường thằng d là: − u d d ⊥ O1 O2 nên vectơ pháp tuyến đường thẳng O1 O2 −→ − → là: − n− O1 O2 = ud = (1; 1) Phương trình O1 O2 là: 1(x − 1) + 1(y − 2) = ⇔ x + y − = Gọi M giao điểm d với O1 O2 , M trung điểm O1 O2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: x+y−3=0 x=2 ⇔ ⇒ M (2; 1) x−y−1=0 y=1 M (2; 1) nên tọa độ điểm O2 là: O2 (3; 0) Mặt khác ta lại có:R2 = R1 = 2, phương trình đường tròn (C2 ) là: (x − 3)2 + y = Ví dụ Cho hai đường trịn (C1 ) : (x − 4)2 + (y − 6)2 = 25, (C2 ) : (x − 5)2 + (y + 1) = điểm A(4,1) (a) Chứng tỏ A điểm chung hai đường tròn (b) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường trịn theo hai dây cung có độ dài Lời giải (a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình hai đường ta có: (4 − 4)2 + (1 − 6)2 = 52 = 25 (4 − 5)2 + (1 + 1)2 = + = nên A điểm thuộc hai đường tròn hay A điểm chung hai đường tròn (b) Tâm bán kính đường trịn (C1 ), √ (C2 ) là: O1 = (4; 6), R1 = 5, O2 = (5; −1), R2 = Gọi d đường thẳng d qua A cắt hai đường tròn theo hai dây cung có độ dài Gọi I trung điểm O1 O2 suy tọa độ điểm I là: I( , ) 2 Từ O1 , O2 kẻ O1 M, O2 N vng góc với d Khi M, N trung điểm hai cung nên AM = AN Xét O1 O2 N M có: O1 M//O2 N ( vng góc với d) ⇒ Tứ giác O1 O2 N M hình thang Xét: AM = AN ⇒ AI đường trung bình hình thang O1 I = O2 I O1 O2 N M Suy ra: AI ⊥ d − → Ta có: IA = (− ; − ) 2 → = (1; 3) Vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: − n d Phương trình đường thẳng d là: 1(x − 4) + 3(y − 1) = ⇔ x + 3y − = Ví dụ Cho đường tròn x2 + y − 2x + 4y − = điểm M(1,-1) (a) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm AB (b) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn với I tâm đường tròn 3 Lời giải (a) (C) : x2 + y − 2x + 4y − = ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = Tọa độ tâm bán kính đường tròn (C) là: I(1; −2), R = Ta có: IM = < R nên M nằm phía đường tròn M trung điểm AB nên ta có: IM ⊥ AB ( mối quan hệ dây cung đường kính) −−→ IM = (0; 1) Vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: −→ − →=− n IM = (0; 1) d Phương trình đường thẳng d là: 0(x − 1) + 1(y + 1) = ⇔ y + = (b) III BÀI TẬP Bài Cho hình bình hành ABCD có phương trình cạnh AB : 2x − y = 0, AD : 4x − 3y = tâm I(2, 2) Lập phương trình cạnh CB, CD (BC : 2x − y − = 0; CD : 4x − 3y − = 0) Bài Cho hình vng ABCD có đỉnh B(4,1) phương trình đường chéo AC : x + 3y − 11 = Hãy tìm toạ độ đỉnh lại 16 13 28 17 (A( ; ), C( ; ), D( ; 5 5 5 16 13 28 17 C( ; ), A( ; ), D( ; ) 5 5 5 Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2,0) Biết phương trình AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y − = Tìm toạ độ đỉnh tam giác (B(−3; −2), C(1; 0)) Bài Lập phương trình đường thẳng qua P(2,-1) cho đường thẳng củng với hai đường thẳng d1 : 2x − y + = 0, d2 : 3x + 6y − = tạo thành tam giác cân có đỉnh giao điểm d1 , d2 (3x + y − = x − 3y − 5) có toạ độ A(2,-3), B(3,-2) Trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng 3x − y − = Tìm toạ độ đỉnh C ( C(1; 15) C(4; 16)) Bài Cho tam giác ABC có diện tích Bài Cho đường thẳng d1 : x + y = 0, d2 : x + 2y = 0, d3 : x − 2y + = Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A giao điểm d1 , d2 ; B, C ∈ d3 tam giác ABC vuông cân A −1 −1 (B( ; ), C(−3; −1) B(−3; −1), C( ; )) 7 7 Bài 10 Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d : x − 4y + = Tìm điểm P nằm đường thẳng d cho vẽ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn mà: (a) Tam giác PAB √ √ + 64 + 16 (P ( ; ) 17 √ 17 √ − 64 − 16 P ( ; )) 17 17 (b) Tam giác√PAB vuông √ P + 206 + 206 (P ( ; ) 17 17 √ √ − 206 − 206 P( ; ) 17 17 Bài 11 Cho đường tròn (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d : 3x − 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn cho tam giác PAB (m = 25; m = −35) Bài 12 Cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 6y + = điểm M(3,1) Gọi T1 , T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thăng T1 T2 (T1 T2 : x − y = 0) Bài 13 Cho đường trịn (C) có phương trình (x − 5)2 + (y − 4)2 = 25 P (m, 0) điểm thay đổi trục hồnh (a) Tìm m để từ P kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (m > m < 2) (b) Với điều kiện câu a, giả sử hai tiếp tuyến PA, PB Chứng minh AB qua điểm cố định P di chuyển trục hồnh, tìm toạ độ điểm cố định (Tọa độ điểm cố định (5; − ) Bài 14 Cho đường trịn có phương trình (x−2)2 +(y −1)2 = 25 đường thẳng d : y = k(x + 4) + (a) Chứng minh d qua điểm cố đinh (Tọa độ điểm cố định (−4; 3)) (b) Tìm k để d cắt√(C) hai điểm phân √ biệt −12 + 15 −12 − 15 (m > m < ) 11 11 (c) Khi đường thẳng d cắt đường tròn A, B Chứng minh trung điểm I AB ln thuộc đường trịn cố định, viết phương trình đường thẳng (Phương trình đường trịn là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 10) Bài Trong mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − = Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A ∈ d1 , C ∈ d2 B, D ∈ Ox (A(1; 1), C(1; −1), B(0; 0), D(2; 0) A(1; 1), C(1; −1), B(2; 0), D(0; 0) ) Bài 15 Cho đương tròn (C) : x2 + y − 4x − 2y = đường thẳng d : x + y + = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) Tìm toạ độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (M (2; −4) M (−3; 1)) Bài Cho đường thẳng d : x − 2y + = điểm A(0,2) Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC (B( ; ), C( ; )) 5 5 Bài 16 Cho đường tròn (C) : x2 + y + 4x + 4y + = đường thẳng d : x + my − 2m + = Gọi I tâm đường trịn Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn (m = m = ) 15 Bài Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( , 0), phương trình đường thẳng AB x − 2y + = AB=2AD Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hồnh độ âm (A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2)) Bài 17 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường trịn x2 + y − 2x − 8y + 12 = cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Biết: (a) A(-5,1) (Đ/s: M A đạt GTLN M (3; 5), GTNN M (−1; 3)) (b) A(-1,5) (Đ/s: M A đạt giá trị lớn M (1; 13), M A đạt GTNN M ≡ A) ... đường thẳng (trong trường hợp ab = đường thẳng khơng có phương trình tắc) Ghi Phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) có dạng x − xA y − yA = xB − xA yB − ya (Trong trường... học triết học Ơng hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau từ 1624 đến 1628, ơng Pháp Trong thời gian Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học làm thí nghiệm quang học Năm 1628, sau... đường thẳng • Hai đường thẳng vng góc vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng Định lý Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm − − I(xo ; yo ), vectơ → u Đường thẳng qua I nhận → u = (a; b)