các dạng bài tập và cách giải các bài toán áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 2 1) Phương trình đường thẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ chỉ phương 1 2 3 ( ; ; )u u u u= r : Phương trình tham số: 1 2 3 o o o x x u t y y u t z z u t = + = + = + Phương trình chính tắc 1 2 3 o o o x x y y z z u u u − − − = = VD: Phương trình đường thẳng qua ( ) 0; 1;2M − , có vectơ chỉ phương ( ) 3; 1;2u = − r là 3 1 2 2 x t y t z t = = − − = + hoặc viết dưới dạng chính tắc: 1 2 3 1 2 x y z+ − = = − . b) Đi qua 2 điểm phân biệt M, N: Tính MN uuuur . Đường thẳng qua M, N nhận MN uuuur là một vectơ chỉ phương, chọn 1 trong 2 điểm M hoặc N rồi viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( ) ( ) 2; 1;0 , 1;2;1A B− . Giải: ( ) 1;3;1AB = − uuur . Phương trình đường thẳng AB: 2 1 3 x t y t z t = − = − + = c) Đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng α : Tính vectơ pháp tuyến n r của mặt phẳng α . Đường thẳng qua M vuông góc với α nhận n r là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình như phần a. VD: Viết phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1; 3I − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y α − + = . Giải: Đường thẳng qua ( ) 2;1; 3I − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y α − + = nhận vectơ pháp tuyến ( ) 2; 3;0− của ( ) α làm vectơ chỉ phương nên có phương trình 2 2 1 3 3 x t y t z = + = − = − d) Là giao tuyến của 2 mặt phẳng , α β cắt nhau cho trước: Có 3 cách Cách 1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + = + + + = Cho z t= , giải hệ phương trình để tính x và y theo t khi đó ta có ngay phương trình tham số. 1 Cách 2: Xác định các vectơ pháp tuyến ,n n α β uur uur . Tính ,n n α β uur uur . Giao tuyến của , α β nhận ,a n n α β = r uur uur là một vectơ chỉ phương. Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + = + + + = Cho z = 0 tính x, y để tìm 1 điểm M thuộc giao tuyến. Viết phương trình như phần a). Cách 3: Tìm 2 điểm trên giao tuyến từ hệ 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + = + + + = . Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó. VD: Viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : 2 3 0x y z α + − + = , ( ) : 2 1 0x y z β − + + = . Giải: C1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 2 3 0 2 1 0 x y z x y z + − + = − + + = . Đặt z t = ta được 4 2 3 3 3 1 2 7 11 3 3 t x x y t x y t y t = − − + = − + ⇒ − = − − = − + . Vậy phương trình giao tuyến là 4 3 3 7 11 3 3 t x y t z t = − − = − + = C2: Chỉ nên dùng khi biết trước một giao điểm. Xem phần f. C3: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 2 3 0 2 1 0 x y z x y z + − + = − + + = . Cho 0x = , ta giải được 7, 4y z= − = − . Cho 2z = , ta giải được 2, 3x y= − = . Hai điểm thuộc giao tuyến là ( ) 0; 7; 4A − − , ( ) 2;3;2B − , ( ) 2;10;6AB = − uuur . Phương trình giao tuyến: 2 7 10 4 6 x t y t z t = − = − + = − + . e) Đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng , α β cắt nhau cho trước: Xác định các vectơ pháp tuyến ,n n α β uur uur . Tính ,n n α β uur uur . Đường thẳng qua M song song với , α β có một vectơ chỉ phương là ,a n n α β = r uur uur . Viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng qua ( ) 4; 1;2A − , song song với hai mặt phẳng ( ) : 2z 1 0x y α + − + = và ( ) : 2 3 0x y z β + − + = . Giải: Các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là ( ) 1;1; 2n α = − uur , ( ) 2;1; 1n β = − uur . 2 ( ) 1 2 2 1 1 1 , ; ; 1; 3; 1 1 1 1 2 2 1 n n α β − − = = − − ÷ − − uur uur . Đường thẳng qua ( ) 4; 1;2A − , song song với hai mặt phẳng , α β nhận ( ) , 1; 3; 1n n α β = − − uur uur làm một vectơ chỉ phương nên có phương trình: 4 1 3 2 x t y t z t = + = − − = − . f) Đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng chéo nhau d, d’ cho trước: Xác định M d∈ và một vectơ chỉ phương u r của d. Tính AM uuuur . Mặt phẳng (A,d) có vectơ pháp tuyến ,n u AM = r r uuuur . Xác định 'M d∈ và một vectơ chỉ phương 'u ur của d’. Tính 'AM uuuur . Mặt phẳng (A,d’) có vectơ pháp tuyến ' ', 'n u AM = ur ur uuuur . Tính , 'n n r ur . Đường thẳng qua A cắt cả hai đường thẳng d, d’ chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng (A,d) và (A,d’) nhận , 'u n n = r r ur là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng qua điểm ( ) 2; 1;3A − và cắt các đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 1 2 x y z− + + ∆ = = − , ( ) 4 1 1 ' : 1 2 3 x y z+ − + ∆ = = − . Giải: ( ) ( ) 1; 2; 3 , ' 4;1; 1 'M M− − ∈∆ − − ∈∆ , ( ) ( ) 1; 1; 6 , ' 6;2; 4AM AM= − − − = − − uuuur uuuur . Các vectơ chỉ phương của , '∆ ∆ lần lượt là ( ) ( ) 2; 1;2 , ' 1;2; 3u u= − = − r ur . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ,A ∆ là ( ) , 8; 10;3n u AM = = − − r r uuuur . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) , 'A ∆ là ( ) ' ', ' 2; 22; 14n u AM = = − − ur ur uuuur . Đường thẳng ( ) d qua A cắt cả hai đường thẳng , '∆ ∆ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ,A ∆ và ( ) , 'A ∆ nên nhận ( ) , ' 206; 106;196u n n = = − r r ur làm vectơ pháp tuyến. Phương trình ( ) 2 206 : 1 106 3 196 x t d y t z t = + = − − = + g) Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d, d’: Gọi , 'A d B d∈ ∈ . Viết dạng A, B. Để AB là đường vuông góc chung của d và d’ thì . 0 '. 0 u AB u AB = = r uuur ur uuur 3 VD: Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 3 2 : 2 1 3 x y z− + + ∆ = = , ( ) 2 1 ' : 3 2 3 x y z + − ∆ = = + . Giải: ( ) 2;1;3u = r là vectơ chỉ phương của d. ( ) 2;3;1u = r là vectơ chỉ phương của d’. Gọi ( ) 1 2 ; 3 ; 2 3A t t t d+ − + − + ∈ ; ( ) 2 2 ';1 3 '; 3 'B t t t− + + − + ( ) 3 2 2 ';4 3 '; 1 3 'AB t t t t t t= − − + − + − − + uuur . Để AB là đường vuông góc chung của d và d’ thì . 0 '. 0 u AB u AB = = r uuur ur uuur h) Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng α : Nếu d α ⊥ thì hình chiếu của d lên ( ) α chính là giao điểm của chúng. Ở đây ta chỉ xét trường hợp d không vuông góc với ( ) α . Xác định điểm M d∈ và một vectơ chỉ phương u r của d, vectơ pháp tuyến n r của mặt phẳng α . Tính ' ,n n u = ur r r . Viết phương trình mặt phẳng β chứa d vuông góc với α . Mặt phẳng β đi qua M và nhận 'n ur là vectơ pháp tuyến. Hình chiếu d’ của d chính là giao tuyến của , α β . Dùng cách 1 trong xác định giao tuyến. Trường hợp đặc biệt: M là giao điểm của d và α . Tính ,n u r r . Tính , ,n u n r r r . Khi đó hình chiếu d’ đi qua điểm M và nhận , ,n u n r r r là vectơ chỉ phương. VD: Cho đường thẳng ( ) 3 1 2 : 2 3 1 x y z− + − ∆ = = − − và mặt phẳng ( ) : 2 3 0x y z α + − + = . Viết phương trình hình chiếu của ( ) ∆ lên ( ) α . Giải: ( ) 3; 1;2M − ∈∆ , vectơ chỉ phương của ∆ là ( ) 2; 3; 1u = − − r , vectơ pháp tuyến của ( ) α là ( ) 2;1; 1n = − r . ( ) ( ) , 4;0;8 4 2;0;1u n = = r r . Mặt phẳng ( ) β chứa ∆ vuông góc với ( ) α đi qua ( ) 3; 1;2M − ∈∆ nhận ( ) ' 2;0;1n = ur làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( ) ( ) 2 2 2 0 2 6 0x z x z− + − = ⇔ + − = . Hình chiếu ( ) '∆ của ( ) ∆ lên ( ) α chính là giao điểm của ( ) α và ( ) β . Tọa độ các điểm thuộc ( ) '∆ thỏa 2 3 0 2 6 0 x y z x z + − + = + − = . Đặt z t = , ta được 3 2 9 2 t x y t = − = − + 4 Phương trình ( ) '∆ : 3 2 9 2 t x y t z t = − = − + = 2) Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ pháp tuyến ( ; ; )n a b c= r : ( ) ( ) ( ) 0 o o o a x x b y y c z z− + − + − = b) Đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng: Tính các vectơ ,MN MP uuuur uuur . Tính ,MN MP uuuur uuur . Mặt phẳng nhận ,n MN MP = r uuuur uuur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 3 điểm M, N, P để viết phương trình mặt phẳng như phần a). c) Đi qua 2 điểm M, N và song song với đường thẳng d: Tính MN uuuur và vectơ chỉ phương u r của đường thẳng d. Tính ,u MN r uuuur . Mặt phẳng nhận ,n u MN = r r uuuur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). VD: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox. Giải: Trục Ox có vectơ chỉ phương ( ) 1;0;0i = r , ( ) 1;5; 3AB = − − uuur . Mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox nhận ( ) , 0; 3; 5n AB i = = − − r uuur r là vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 1 0 3 5 4 0y z y z− + − − = ⇔ + + = . d) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và song song với mặt phẳng có phương trình 0ax by cz d+ + + = : ( ) ( ) ( ) 0 o o o a x x b y y c z z− + − + − = e) Đi qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng α : Tính MN uuuur và vectơ pháp tuyến n α uur . Tính ,MN n α uuuur uur . Mặt phẳng qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng α nhận ,n MN n α = r uuuur uur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). f) Đi qua điểm M thuộc mặt cầu (I; R) và tiếp xúc với mặt cầu: Viết phương trình mặt phẳng qua M và có vectơ pháp tuyến n IM= r uuur . g) Đi qua các điểm ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c trong đó 0abc ≠ : 1 x y z a b c + + = h) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB: Tính AB uuur và tọa độ trung điểm I của AB. Viết phương trình mặt phẳng qua I nhận AB uuur là vectơ pháp tuyến. 5 k) Mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 mặt phẳng 0ax by cz d+ + + = và ' ' ' ' 0a x b y c z d+ + + = ( hoặc tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng đó): 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ax by cz d a x b y c z d a b c a b c + + + + + + = ± + + + + l) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm I, bán kính R và song song với mặt phẳng 0ax by cz d+ + + = : Phương trình mặt phẳng ( ) α cần tìm có dạng ' 0ax by cz d+ + + = . Giải phương trình ( , )d I R α = ta tìm được d’. VD: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 4 0S x y z x z+ + + − − = và song song với mặt phẳng ( ) : 4 3 1 0x y α + − = . Giải: Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 1;0;2I − , bán kính ( ) 2 2 2 1 0 2 4 3R = − + + + = . Mặt phẳng ( ) β song song với ( ) α có phương trình dạng 4 3 0x y c+ + = . Để ( ) β tiếp xúc với ( ) S thì ( ) ( ) 2 2 4. 1 3.0 , 3 4 3 c d I R β − + + = ⇔ = + 4 15 19 4 15 4 15 11 c c c c c − = = ⇔ − = ⇔ ⇔ − = − = − Vậy có hai mặt phẳng thỏa là: ( ) 1 : 4 3 19 0x y β + + = và ( ) 2 : 4 3 11 0x y β + − = . 6 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 2 1) Phương trình đường thẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ chỉ phương 1 2 3 ( ; ; )u u u u= r : Phương trình tham. vectơ chỉ phương, chọn 1 trong 2 điểm M hoặc N rồi viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( ) ( ) 2; 1;0 , 1;2;1A B− . Giải: ( ) 1;3;1AB = − uuur . Phương. 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). VD: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox. Giải: Trục Ox có vectơ chỉ phương