phương pháp tọa độ trong không gian

các dạng bài tập và cách giải các bài toán áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 2 1) Phương trình đường thẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ chỉ phương 1 2 3 ( ; ; )u u u u= r : Phương trình tham số: 1 2 3 o o o x x u t y y u t z z u t = +   = +   = +  Phương trình chính tắc 1 2 3 o o o x x y y z z u u u − − − = = VD: Phương trình đường thẳng qua ( ) 0; 1;2M − , có vectơ chỉ phương ( ) 3; 1;2u = − r là 3 1 2 2 x t y t z t =   = − −   = +  hoặc viết dưới dạng chính tắc: 1 2 3 1 2 x y z+ − = = − . b) Đi qua 2 điểm phân biệt M, N: Tính MN uuuur . Đường thẳng qua M, N nhận MN uuuur là một vectơ chỉ phương, chọn 1 trong 2 điểm M hoặc N rồi viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( ) ( ) 2; 1;0 , 1;2;1A B− . Giải: ( ) 1;3;1AB = − uuur . Phương trình đường thẳng AB: 2 1 3 x t y t z t = −   = − +   =  c) Đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng α : Tính vectơ pháp tuyến n r của mặt phẳng α . Đường thẳng qua M vuông góc với α nhận n r là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình như phần a. VD: Viết phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1; 3I − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y α − + = . Giải: Đường thẳng qua ( ) 2;1; 3I − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y α − + = nhận vectơ pháp tuyến ( ) 2; 3;0− của ( ) α làm vectơ chỉ phương nên có phương trình 2 2 1 3 3 x t y t z = +   = −   = −  d) Là giao tuyến của 2 mặt phẳng , α β cắt nhau cho trước: Có 3 cách Cách 1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + =   + + + =  Cho z t= , giải hệ phương trình để tính x và y theo t khi đó ta có ngay phương trình tham số. 1 Cách 2: Xác định các vectơ pháp tuyến ,n n α β uur uur . Tính ,n n α β     uur uur . Giao tuyến của , α β nhận ,a n n α β   =   r uur uur là một vectơ chỉ phương. Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + =   + + + =  Cho z = 0 tính x, y để tìm 1 điểm M thuộc giao tuyến. Viết phương trình như phần a). Cách 3: Tìm 2 điểm trên giao tuyến từ hệ 0 ' ' ' ' 0 ax by cz d a x b y c z d + + + =   + + + =  . Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó. VD: Viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : 2 3 0x y z α + − + = , ( ) : 2 1 0x y z β − + + = . Giải: C1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 2 3 0 2 1 0 x y z x y z + − + =   − + + =  . Đặt z t = ta được 4 2 3 3 3 1 2 7 11 3 3 t x x y t x y t y t   = − −   + = − +   ⇒   − = − −   = − +     . Vậy phương trình giao tuyến là 4 3 3 7 11 3 3 t x y t z t  = − −    = − +   =  C2: Chỉ nên dùng khi biết trước một giao điểm. Xem phần f. C3: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa 2 3 0 2 1 0 x y z x y z + − + =   − + + =  . Cho 0x = , ta giải được 7, 4y z= − = − . Cho 2z = , ta giải được 2, 3x y= − = . Hai điểm thuộc giao tuyến là ( ) 0; 7; 4A − − , ( ) 2;3;2B − , ( ) 2;10;6AB = − uuur . Phương trình giao tuyến: 2 7 10 4 6 x t y t z t = −   = − +   = − +  . e) Đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng , α β cắt nhau cho trước: Xác định các vectơ pháp tuyến ,n n α β uur uur . Tính ,n n α β     uur uur . Đường thẳng qua M song song với , α β có một vectơ chỉ phương là ,a n n α β   =   r uur uur . Viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng qua ( ) 4; 1;2A − , song song với hai mặt phẳng ( ) : 2z 1 0x y α + − + = và ( ) : 2 3 0x y z β + − + = . Giải: Các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là ( ) 1;1; 2n α = − uur , ( ) 2;1; 1n β = − uur . 2 ( ) 1 2 2 1 1 1 , ; ; 1; 3; 1 1 1 1 2 2 1 n n α β − −     = = − −  ÷   − −   uur uur . Đường thẳng qua ( ) 4; 1;2A − , song song với hai mặt phẳng , α β nhận ( ) , 1; 3; 1n n α β   = − −   uur uur làm một vectơ chỉ phương nên có phương trình: 4 1 3 2 x t y t z t = +   = − −   = −  . f) Đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng chéo nhau d, d’ cho trước: Xác định M d∈ và một vectơ chỉ phương u r của d. Tính AM uuuur . Mặt phẳng (A,d) có vectơ pháp tuyến ,n u AM   =   r r uuuur . Xác định 'M d∈ và một vectơ chỉ phương 'u ur của d’. Tính 'AM uuuur . Mặt phẳng (A,d’) có vectơ pháp tuyến ' ', 'n u AM   =   ur ur uuuur . Tính , 'n n     r ur . Đường thẳng qua A cắt cả hai đường thẳng d, d’ chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng (A,d) và (A,d’) nhận , 'u n n   =   r r ur là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng qua điểm ( ) 2; 1;3A − và cắt các đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 1 2 x y z− + + ∆ = = − , ( ) 4 1 1 ' : 1 2 3 x y z+ − + ∆ = = − . Giải: ( ) ( ) 1; 2; 3 , ' 4;1; 1 'M M− − ∈∆ − − ∈∆ , ( ) ( ) 1; 1; 6 , ' 6;2; 4AM AM= − − − = − − uuuur uuuur . Các vectơ chỉ phương của , '∆ ∆ lần lượt là ( ) ( ) 2; 1;2 , ' 1;2; 3u u= − = − r ur . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ,A ∆ là ( ) , 8; 10;3n u AM   = = − −   r r uuuur . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) , 'A ∆ là ( ) ' ', ' 2; 22; 14n u AM   = = − −   ur ur uuuur . Đường thẳng ( ) d qua A cắt cả hai đường thẳng , '∆ ∆ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ,A ∆ và ( ) , 'A ∆ nên nhận ( ) , ' 206; 106;196u n n   = = −   r r ur làm vectơ pháp tuyến. Phương trình ( ) 2 206 : 1 106 3 196 x t d y t z t = +   = − −   = +  g) Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d, d’: Gọi , 'A d B d∈ ∈ . Viết dạng A, B. Để AB là đường vuông góc chung của d và d’ thì . 0 '. 0 u AB u AB  =   =   r uuur ur uuur 3 VD: Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 3 2 : 2 1 3 x y z− + + ∆ = = , ( ) 2 1 ' : 3 2 3 x y z + − ∆ = = + . Giải: ( ) 2;1;3u = r là vectơ chỉ phương của d. ( ) 2;3;1u = r là vectơ chỉ phương của d’. Gọi ( ) 1 2 ; 3 ; 2 3A t t t d+ − + − + ∈ ; ( ) 2 2 ';1 3 '; 3 'B t t t− + + − + ( ) 3 2 2 ';4 3 '; 1 3 'AB t t t t t t= − − + − + − − + uuur . Để AB là đường vuông góc chung của d và d’ thì . 0 '. 0 u AB u AB  =   =   r uuur ur uuur h) Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng α : Nếu d α ⊥ thì hình chiếu của d lên ( ) α chính là giao điểm của chúng. Ở đây ta chỉ xét trường hợp d không vuông góc với ( ) α . Xác định điểm M d∈ và một vectơ chỉ phương u r của d, vectơ pháp tuyến n r của mặt phẳng α . Tính ' ,n n u   =   ur r r . Viết phương trình mặt phẳng β chứa d vuông góc với α . Mặt phẳng β đi qua M và nhận 'n ur là vectơ pháp tuyến. Hình chiếu d’ của d chính là giao tuyến của , α β . Dùng cách 1 trong xác định giao tuyến. Trường hợp đặc biệt: M là giao điểm của d và α . Tính ,n u     r r . Tính , ,n u n         r r r . Khi đó hình chiếu d’ đi qua điểm M và nhận , ,n u n         r r r là vectơ chỉ phương. VD: Cho đường thẳng ( ) 3 1 2 : 2 3 1 x y z− + − ∆ = = − − và mặt phẳng ( ) : 2 3 0x y z α + − + = . Viết phương trình hình chiếu của ( ) ∆ lên ( ) α . Giải: ( ) 3; 1;2M − ∈∆ , vectơ chỉ phương của ∆ là ( ) 2; 3; 1u = − − r , vectơ pháp tuyến của ( ) α là ( ) 2;1; 1n = − r . ( ) ( ) , 4;0;8 4 2;0;1u n   = =   r r . Mặt phẳng ( ) β chứa ∆ vuông góc với ( ) α đi qua ( ) 3; 1;2M − ∈∆ nhận ( ) ' 2;0;1n = ur làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( ) ( ) 2 2 2 0 2 6 0x z x z− + − = ⇔ + − = . Hình chiếu ( ) '∆ của ( ) ∆ lên ( ) α chính là giao điểm của ( ) α và ( ) β . Tọa độ các điểm thuộc ( ) '∆ thỏa 2 3 0 2 6 0 x y z x z + − + =   + − =  . Đặt z t = , ta được 3 2 9 2 t x y t  = −    = − +  4 Phương trình ( ) '∆ : 3 2 9 2 t x y t z t  = −    = − +  =   2) Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ pháp tuyến ( ; ; )n a b c= r : ( ) ( ) ( ) 0 o o o a x x b y y c z z− + − + − = b) Đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng: Tính các vectơ ,MN MP uuuur uuur . Tính ,MN MP     uuuur uuur . Mặt phẳng nhận ,n MN MP   =   r uuuur uuur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 3 điểm M, N, P để viết phương trình mặt phẳng như phần a). c) Đi qua 2 điểm M, N và song song với đường thẳng d: Tính MN uuuur và vectơ chỉ phương u r của đường thẳng d. Tính ,u MN     r uuuur . Mặt phẳng nhận ,n u MN   =   r r uuuur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). VD: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox. Giải: Trục Ox có vectơ chỉ phương ( ) 1;0;0i = r , ( ) 1;5; 3AB = − − uuur . Mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox nhận ( ) , 0; 3; 5n AB i   = = − −   r uuur r là vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 1 0 3 5 4 0y z y z− + − − = ⇔ + + = . d) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và song song với mặt phẳng có phương trình 0ax by cz d+ + + = : ( ) ( ) ( ) 0 o o o a x x b y y c z z− + − + − = e) Đi qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng α : Tính MN uuuur và vectơ pháp tuyến n α uur . Tính ,MN n α     uuuur uur . Mặt phẳng qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng α nhận ,n MN n α   =   r uuuur uur là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). f) Đi qua điểm M thuộc mặt cầu (I; R) và tiếp xúc với mặt cầu: Viết phương trình mặt phẳng qua M và có vectơ pháp tuyến n IM= r uuur . g) Đi qua các điểm ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c trong đó 0abc ≠ : 1 x y z a b c + + = h) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB: Tính AB uuur và tọa độ trung điểm I của AB. Viết phương trình mặt phẳng qua I nhận AB uuur là vectơ pháp tuyến. 5 k) Mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 mặt phẳng 0ax by cz d+ + + = và ' ' ' ' 0a x b y c z d+ + + = ( hoặc tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng đó): 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ax by cz d a x b y c z d a b c a b c + + + + + + = ± + + + + l) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm I, bán kính R và song song với mặt phẳng 0ax by cz d+ + + = : Phương trình mặt phẳng ( ) α cần tìm có dạng ' 0ax by cz d+ + + = . Giải phương trình ( , )d I R α = ta tìm được d’. VD: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 4 0S x y z x z+ + + − − = và song song với mặt phẳng ( ) : 4 3 1 0x y α + − = . Giải: Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 1;0;2I − , bán kính ( ) 2 2 2 1 0 2 4 3R = − + + + = . Mặt phẳng ( ) β song song với ( ) α có phương trình dạng 4 3 0x y c+ + = . Để ( ) β tiếp xúc với ( ) S thì ( ) ( ) 2 2 4. 1 3.0 , 3 4 3 c d I R β − + + = ⇔ = + 4 15 19 4 15 4 15 11 c c c c c − = =   ⇔ − = ⇔ ⇔   − = − = −   Vậy có hai mặt phẳng thỏa là: ( ) 1 : 4 3 19 0x y β + + = và ( ) 2 : 4 3 11 0x y β + − = . 6 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 2 1) Phương trình đường thẳng: a) Đi qua điểm 0 ( ; ; ) o o M x y z và có vectơ chỉ phương 1 2 3 ( ; ; )u u u u= r : Phương trình tham. vectơ chỉ phương, chọn 1 trong 2 điểm M hoặc N rồi viết phương trình như phần a). VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( ) ( ) 2; 1;0 , 1;2;1A B− . Giải: ( ) 1;3;1AB = − uuur . Phương. 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a). VD: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) 2; 3;1 , 1;2; 2A B− − và song song với trục Ox. Giải: Trục Ox có vectơ chỉ phương