Các dạng bài tập và cách giải số phức

đưa ra các dạng bài tập và cách giải về số phức thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và cao đẳng

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC Dạng : Tìm mơ đun ,căn bậc hai số phức, giải phương trình ,hệ phương trình tập số phức Phương Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b số thực + Mô đun số phức z : z = a + b +Gọi w = x + yi với x,y ∈ R bậc hai số phức z Ta có w = a + bi ⇔ ( x + yi ) 2  x2 − y = a = a + bi ⇔  giải hệ phương trình  xy = b tìm bậc hai số phức z +Việc giải phương trình ,hệ phương trình giải tương tự giải trường số thực ý đến việc tìm bậc hai số âm bậc hai số phức Bài 1: Tìm môđun số phức z = + 4i + ( − i ) Lời giải: Vì ( − i ) = 13 − 3i + 3i − i = − 3i − + i = −2 − 2i Suy ra: z = −1 + 2i ⇒ z = ( −1) + 22 = Bài 2: z z Cho hai số phức: z1 = − 5i ; z2 = − i Tính z z2 Lời giải: z1 − 5i = = z2 −i ( z1 = 22 + − z2 ) ( )( ( − i) ( − 5i −i +i ) ) = 8−4 3i = − 3i = Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z + z + 10 = 2 Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 Lời giải: Ta có: ∆ = 12 - 10 = -9 = 9i2 Phương trình có nghiệm: z1 = - - 3i; z2 = - + 3i 2 2 Ta có: z1 + z2 = ( −1) + ( −3) + ( −1) + 32 = 20 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ , ta có:  z.z = 25  a + b = 25 a + b = 25    ⇔  ⇔   2  z − ( + i ) = 10  ( a − ) + ( b − 1) i = 10 ( a − ) + ( b − 1) = 10     a =  a + b = 25 b = ⇔ ⇔   a = 2a + b = 10   b =  Vậy có hai số phức cần tìm : z = + 4i , z = + 0i Bài 5: z + z2 z 2 Lời giải: z + z = ( − 3i ) + ( + 3i ) = 11 − 27i Cho số phức z = - 3i Tìm z + z 11 − 27i ( 11 − 27i ) ( − 3i ) −37 − 141i ⇒ = = = + 3i 42 + 32 25 z Bài 6: Giải phương trình sau (ẩn z): z + z = ( + 5i ) Lời giải: Giả sử z = a + bi ; z + z = ( + 5i ) ⇒ (*) ⇔ a + bi + ( a − bi ) = + 10i + 25i 3a = −24  a = −8 ⇔ 3a − bi = −24 + 10i ⇔  ⇔ ⇒ z = −8 − 10i  −b = 10 b = −10 Bài 7: 3 +i 2 − 3 2 3π 3π   +i = 3 Lời giải: Ta có: z = −  + i ÷ =  cos + isin ÷ ÷  2    Tìm bậc hai số phức sau: z = − Suy z có hai bậc hai là:   3π k 2π   3π k 2π   + w = cos  + ÷+ isin  ÷ ( k = 0;1)       3π 3π   + Khi k = ⇒ w =  cos + isin ÷ 8    3π 3π      + k = ⇒ w = cos  + π ÷+ isin  + π ÷      11π 11π   + isin =  cos ÷ 8   Bài 8: Tìm bậc hai số phức: z = 21 − 20i Lời giải: Gọi x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai z  x − y = 21 (1) Ta có:  2 xy = −20 (2) 10 (2) ⇔ y = − x 10 100 Thay y = − vào (1) ta được: x − = 21 x x x = ⇒ y = −2; x = −5 ⇒ y = ⇔ x − 21x − 100 = ⇔ x = 25 ⇔ x = ±5 Vậy số phức cho có hai bậc hai là: − 2i −5 + 2i 2 * Cách khác: z = 25 − 2.5.2i + ( 2i ) = ( − 2i ) Vậy số phức cho có hai bậc hai là: − 2i −5 + 2i Bài 9: Giải phương trình: z − ( + i ) z + ( + 4i ) = Lời giải: Ta có: ∆' = −35 − 12i Ta tìm bậc hai x + yi ∆ ' : ( x + yi )  x − y = −35 = −35 − 12i ⇔  2 xy = −12 Do ta giải bậc hai là: − ( − 6i ) ;1 − 6i nên phương trình có hai nghiệm: z1 = − 4i z2 = + 2i Bài 10: Giải phương trình sau £ (ẩn z): z + z − z + z + = Lời giải: z + 2z3 − z + 2z + = ⇔ z + 1  +  z + ÷− = (do z ≠ 0) z z  z = w − , ta được: z  w=1 w − + 2w − = ⇔ w + w − = ⇔   w=-3 1 Do đó: z + = (1) hay z + = −3 (2) z z + Giải (1) ⇔ z − z + = Đặt w = z+ ⇒ z + Ta có: ∆ = − = −3 = ( 3i ) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 = + Giải (2) ⇔ z + 3z + = Ta có: ∆ = − = Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: z3 = + 3i − 3i ; z2 = 2 −3 + −3 − ; z4 = 2 Tóm lại phương trình cho có bốn nghiệm: z1 = + 3i − 3i −3 + −3 − ; z3 = ; z2 = ; z4 = 2 2 Bài 11: Giải phương trình sau £ (ẩn z): z − z + z + z + =  Lời giải: z − z + z + z + = ⇔  z +  1 = w + , ta được: z z2 ( w + ) − w + = ⇔ w2 − w + = Đặt w = z − ⇒ z + z2 1   ÷−  z − ÷+ = z   + Giải: 2w2 − 2w + = (*) Ta có: ∆ ' = − 10 = −9 = ( 3i ) Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: w1 = + 3i − 3i ;w2 = 2 + 3i 1 − 3i (1) hay z − = (2) z  + 3i  2 + Giải (1) ⇔ z −  ÷z − = ⇔ z − ( + 3i ) z − =   z Do đó: z − = Ta có: ∆ = ( + 3i ) + 16 = + 6i Số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai ∆ = + 6i  x2 − y2 = z = + 6i ⇔ ( x + yi ) = + 6i ⇔ x − y + xyi = + 6i ⇔  (**) 2 xy =    x2 =  x − x2 =  x − 8x − =   ⇔ ⇔ Giải (**) ⇔  3 y = y = y = x x    x   x = ±3 x =  x = −3  ⇔ hay  ⇔ y =1  y = −1 y = x  Suy có hai bậc hai ∆ + i − i + 3i + + i + 3i − − i 1 = + i; z = =− + i Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: z1 = 4 2 − 3i   2 + Giải (2) ⇔ z −  ÷z − = ⇔ z − ( − 3i ) z − =   Ta có: ∆ = ( − 3i ) + 16 = − 6i Số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai ∆ = − 6i  x2 − y = z = − 6i ⇔ ( x + yi ) = − 6i ⇔ x − y + xyi = − 6i ⇔  (***)  xy = −6   x4 − 8x2 − =  x − x2 =   ⇔ Giải (***) ⇔  y = − y = − x   x   x =  x = ±3  x2 =      y = −1 ⇔ 3⇔ 3⇔  x = −3 y = − y = − x   x   y =  Suy có hai bậc hai ∆ −3 + i − i − 3i + − i − 3i − + i 1 = − i; z = =− − i Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: z3 = 4 2 2 2 Tóm lại phương trình cho có bốn nghiệm: 1 1 z1 = + i; z2 = − + i ; z3 = − i; z4 = − − i 2 2 Bài 12:  Z1 + Z = + 3i  2  Z1 + Z = − 4i  Giải hệ phương trình sau tập số phức:   Z1 + Z = + 3i  Z1.Z = −5 + 8i Lời giải: hpt ⇔  Z1 Z2 nghiệm phương trình: Z2 - (2 + 3i)Z - + 8i = Có ∆ = 15 − 20i =  ( − i )     3− i  Z1 = + +   3+ i Z2 = − +  ( ) ( ) Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y số thực + Dựa vào giả thiết tốn tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phương trình + Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( − 4i ) = Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y ∈ ¡ , ta có: z − ( − 4i ) = ⇔ ⇔ ( x − 3) ( x − 3) + ( y + ) i =2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 4) = 2 + ( y + 4) = 2 Vậy tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện cho đường tròn tâm I(3; -4); bán kính R = Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − i = z − z + 2i Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y ∈ ¡ ) Ta có: z − i = z − z + 2i ⇔ x + ( y − 1) i = ( + y ) i ⇔ x + ( y − 1) = ⇔ y= ( + 2y) 2 x Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( 5i − ) = Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y ∈ ¡ ) Ta có: z - 5i + = (x + 2) + (y - 5)i Suy ra: z − ( 5i − ) = ⇔ ( x + ) + ( y − ) = ⇔ ( x + ) + ( y − ) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2 2 Dạng 3: Biểu diễn số phức dạng đại số , dạng lượng giác Phương pháp : + Nắm vững Acgumen số phức z ≠ + Dạng đại số : z = a + bi với a,b ∈ R + Dạng lượng giác : z = r ( cosϕ +i.sinϕ ) với r mô đun số phức z ϕ Acgumen số phức z + Nhân chia hai số phức dạng lượng giác n + Công thức Moivre :  r ( cosϕ + i.sinϕ )  = r n (cosnϕ + i.sinnϕ )   Bài 16: ( Viết số phức sau dạng đại số: z =   −i (1+ i)  ) π π      Lời giải: + Xét z1 = ( − i ) =  − i ÷ = cos  − ÷+ isin  − ÷  2 ÷   6       9π ⇒ z19 = 29 cos  −   π π   9π   9 ÷+ isin  − ÷ =  cos + isin ÷ 2      π π   + Xét z2 = ( + i ) =  + i ÷ = cos + isin  4    5 5π 5π  5π 5π   ⇒ z2 =  cos + isin + isin ÷ =  cos ÷ 4  4      3π  z9    3π   ⇒ z = 15 = 64 cos  − − i ÷ = −64 − 64i ÷+ isin  − ÷ = 64  − z2 2        ( ) Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z = − 3i 1 Lời giải: z = − 3i =  −  2   π   π  i ÷ = cos  − ÷+ sin  − ÷i  ÷   3   3  Bài 18: 2010 Viết dạng lượng giác tính: ( + i ) Lời giải: ( + i ) Bài 19: 2010 = 2010π 2010π   + isin  cos ÷ 4   π π  = 21005  cos + isin ÷ 2  1005 1005 = ( + i ) = i ( 2) 2010 Tìm dạng lượng giác số phức sau: z = 1− i 3 +i Lời giải: 1  2 − i÷ 2  1− i z= =  =   +i 2 + i÷  2    π  π   cos  − ÷+ isin  − ÷   π  π      3 = cos  − ÷+ isin  − ÷ π π      2  cos + isin  6  Bài 20: ( − 6i ) 2008 2009 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z =  π 5π   sin − isin ÷   2008 Lời giải: z = ( − 6i ) 2008 2009 5π   π  sin − isin ÷      π  π    2  cos  − ÷+ isin  − ÷÷  3     = 2009   π  π  cos  − ÷+ isin  − ÷       1  i ÷ 2  −   2    = 2009 π π  cos − isin ÷  6  2008   2008π   2008π   cos  − ÷+ isin  − ÷      =  2009π   2009π  cos  − ÷+ isin  − ÷     2008   2008π 2009π   2008π 2009π   = 2  cos  − + ÷+ isin  − + ÷        669π   669π   3012 = 23012 cos  − ÷+ isin  − ÷ = −2 i      ( 2) ( 2008 ) Do đó: phần thực 0; phần ảo -23012 Bài 21: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Hỏi số sau số thực hay số ảo: a) z − ( z ) b) Lời giải: 2 a) z − ( z ) = ( a + bi ) − ( a − bi ) = 4abi số ảo b) z2 + ( z ) + zz ( a + bi ) + ( a − bi ) = + ( a + bi ) ( a − bi ) 2 = ( a + b2 ) + a2 + b2 z2 + ( z ) + zz lầ số thực Bài 22: Tìm phần thực phần ảo số phức z = 2010i 2009 + 2009i 2010 Lời giải: z = 2010i 2009 + 2009i 2010 = 2010(i )1004 i + 2009(i )1005 = 2010i − 2009 ⇒ phần thực phần ảo Bài 23: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z − ( + 2i ) z + 8i = CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Phần 1: Dạng đại số số phức Bài 1: Tính z + z z z với : a) z = + 3i b) z = -5 + 3i ĐS: a) 13 b) -10 34 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)2 – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 d) −i +i − 1+ i i ĐS: a) − 2 −1 − 2 b) c) -16 37 d) a + bi b) a − bi (1+ i) c) ( 1− i ) −1 d) ( 1+ i) +1 Bài 3: Tính : + i t anx a) − i t anx ĐS: a) cos2x + isin2x (1+ i) Bài 4: Tính: a) ( 1− i) b) (1 − i) b) a2 − b2 2ab + 2 a + b a + b2 c) n n −2 -2in+1 −1 − 32i 25 d) (với n số nguyên dương)  i 3 b)  − + ÷  2 ÷   1 i 3  − ÷ ĐS: a) 2 ÷   1+ i 2 Bài 5: Giả sử ε = − + i , tính : 2 a) ( a + bε + cε ) ( a + bε + cε ) b) ( a + b ) ( a + bε ) ( a + bε ) 2 d) ( aε + bε ) ( bε + aε ) HD: Để ý : ε = − − ĐS: a) x = + i , y = i Bài 7: Tìm số liên hợp với : a) Bình phương ĐS: a) 0; 1; − + i i ;− − 2 i vàε = a) a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ac) b) a3 + b3 c) 2(a3 + b3 + c3) – 3(a2b + a2c + b2a + c2a + c2b) + 12abc Bài 6: Giải hệ phương trình sau với x, y, z số phức : ( − i ) x + ( + 2i ) y = + 6i  a)  ( + 2i ) x − ( + 3i ) y = + 4i  c) ( a + bε + cε ) + ( a + bε + cε ) d) a2 – ab + b2 ( + i ) x + (2 − i ) y =  (3 + 2i ) x − (3 − 2i ) y =  b)  b) x = + i , y = – i b) Lập phương b) 0; 1; -1; i; -i Bài 8: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R) Tìm phần thực phần ảo số phức: a) z2 – 2z + 4i b) z +i iz − ĐS: a) x2 – y2 – 2x 2(xy – y + 2); b) −2xy y − x2 − x + ( y + 1) x + ( y + 1) Bài 9: Giải phương trình sau (ẩn z) : 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i b) ( ( − i ) z + + i )  iz + 1 22  + i ÷ = ĐS: a) 2i  25 25  Bài 10: a) Chứng minh : i k +1 = (−1)k i, k ∈ N ; i k = (−1) k , k ∈ N b) Giả sử zk = i k + i k +1 , k ∈ N Tính tổng zk + zk+1 ĐS: b) a) b) -1 + i , ½ Bài 11: Thực phép tính : 3+i (1 + 2i )2 − (1 − i )2 (2 + i )3 + (2 − i)3 ; b) ; c) ; d) (2 – i)6 a) (1 + i )(1 − 2i ) (3 + 2i) − (2 + i ) (2 + i) − (2 − i) 21 ĐS: a) + i b) + i c) − i d) -117 – 44i 5 34 17 11 Bài 12: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i a) Với điều kiện a, b, a’, b’ tổng chúng số thực ? số ảo? b) Cũng câu hỏi hiệu z – z’ ĐS: a) z + z’ số thực b = -b’ , số ảo a = -a’ , b ≠ −b′ b) z – z’ số thực b = b’ , số ảo a = a’, b ≠ b′ Bài 13: a) Với điều kiện a, b bình phương z = a + bi số thực, số ảo? b) Cũng câu hỏi z3 HD: a) z2 = a2 – b2 + 2abi Z2 số thực a = b = a = b = Z2 số ảo a = b ≠ b) z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i z3 số thực b = b2 = 3a2 z3 số ảo a = 0, b ≠ a2 = 3b2, b ≠ Bài 14: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z = a + ai, a ∈ R b) z −i số ảo ĐS: a) Đường thẳng y = x b) Trục ảo Oy trừ (i) Bài 15: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z2 số thực âm b) z − i + + z + i = ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O b) Elip Bài 16: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R thỏa mãn : a) ≤ z ≤ x + y ≤  x ≥ 0, y ≥ b)  Bài 17: Chứng minh : a) Bình phương hai số phức liên hợp liên hợp b) Lập phương hai số phức liên hợp liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp liên hợp Bài 18: Cho z = a + bi Chứng minh z ≥ a + b Khi đẳng thức xảy ? ĐS: b = ±a Bài 19: a) Các điểm A, B, C A’, B’, C’ mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số : – i ; + 3i ; + i 3i ; – 2i ; + 2i CMR ABC A’B’C’ tam giác có trọng tâm b) Biết số phức biểu diễn ba đỉnh hình bình hành mặt phẳng phức , tìm số biểu diễn đỉnh cịn lại HD: b) z1 + z2 – z3 , z2 + z3 – z1 , z3 + z1- z2 Bài 20: a) Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) thỏa mãn điều kiện ( ) z2 + z =0 b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện : z + ( z ) = 0và HD: a) z + ( z ) = ( x − y ) Suy z + ( z ) = ⇔ x = y 2 z −1 =1 z −3 Vậy tập hợp cần tìm hai đường thẳng : y = ± x b) z −1 = ⇔ x = nên có hai số phức thỏa mãn đề : z1 = 2(1 + i) z2 = 2(1 – i) z −3 Bài 21: A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số : + 2i , + + i,1 + − i,1 − 2i Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? HD: cặp số + 2i, – 2i + + i,1 + − i cặp số phức liên hiệp nên hai điểm A, D hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực hai số đầu khác phần thực hai số sau nên ABCD hình thang cân Do tứ giác nội tiếp đường trịn có tâm J nằm trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x cho : u u ur u r u JA = JB ⇔ − x + 2i = − x + + i ⇔ x = Từ suy tâm đường tròn biểu diễn : z = uu ur uu ur * Cách khác: AB biểu diễn số phức − i, DB biểu diễn số phức + 3i Mà uu uu ur ur AB.DB = + 3i = 3i nên −i uu uu ur ur T/tự (hay lí đ/x qua Ox), DC AC = Từ suy AD đ/kính đ/trịn qua điểm A, B, C, D Phần 2: Căn bậc hai phương trình Bài 1: Tìm bậc hai số phức: a) z = 200 b) z = - 13 ĐS: a) ±10 b) ±i 13 Bài 2: Tìm bậc hai số phức: a) + 4i b) − 2i − 2i ĐS: a) ± ( + i ) b) ± ( − i ) Bài 3: Tìm bậc hai số phức sau: a) −1 + 3i b) -8i ĐS: a) ± ( + 2i ) b) ± ( − 2i ) Bài 4: Tìm bậc hai số phức: a) -8 + 6i b) -8 – 6i c) – 6i + 6i ĐS: a) ± ( + 3i ) b) ± ( − 3i ) c) ± ( − i ) d) ± ( + i ) Bài 5: Gọi z bậc hai + i, z’ bậc hai – i Tính z + z’ ĐS: ± + 17 , ±i −8 + 17 d) i i − ;− − 2 2 2 Bài 7: Tìm số phức z mà z4 = -1 ĐS: Có số phức : ( ± i ) ( −1 ± i ) 2 Bài 8: Cho z = a + bi có bậc hai ± ( m + ni ) Tìm bậc hai –a – bi a – Bài 6: Tìm số phức z mà z3 = -i ĐS: Có số phức : i, bi ĐS: ± ( n − mi ) ± ( m − ni ) Bài 9: Giải phương trình bậc hai sau tập hợp số phức C: a) z2 – z + = b) 2z2 – 5z + = (Tốt nghiệp THPT 2006) ĐS: a) z = 1± i b) z = 5±i Bài 10: Giải phương trình : a) z2 + z + = b) z − z + = ĐS: a) z = −1 ± i b) ± i 2 Bài 11: Trong C giải phương trình sau đây: a) x2 - (3 – i)x + – 3i = b) 3x 2 − x + = ĐS: a) + i ; – 2i b) 6 ±i 6 Bài 12: Giải phương trình sau: a) x2 + 3ix + = b) 2x2 – (4 + i)x = 1 593 + 23   593 − 23  4+ ÷+  + ÷i ĐS: a) x1 = i ; x2 = -4i b) x1 =  ÷ 4 ÷ 2     1 593 + 23   593 − 23  4− ÷+  − ÷i x2 =  ÷ 4 ÷ 2     Bài 13: Giải phương trình z + = k trường hợp sau: z 1± i a) k = b) k = ĐS: a) z = b) z = ( 1± i) 2 Bài 14: Giải phương trình C: a) z + z = b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = HD: Đặt z = x + yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y: Kết quả: z1 = ; z2 = -1 ; z3 = b) 1, -2 , 3 +i ; z4 = − i 2 2 −1 + 23i −1 − 23i , 2 Bài 15: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm: z1 = – 3i z2 = i ĐS: z2 – (6 – 2i)z + 6i + = Bài 16: Chứng minh rằng: Nếu phương trình: anzn + an-1zn-1 + … a2z2 + a1z + a0 = với hệ số thực có nghiệm z0 z0 nghiệm phương trình Bài 17: Giải phương trình tập C: a) x4 – 3x2 + = b) x4 – 30x2 + 289 = ĐS: a) x = ± i ± 2 b) x = ±4 ± i Bài 18: Giải phương trình C: x3 + =  x = −2 ⇔  x − 2x + = x = 1± i  x = −2 HD: Ta có: x3 + = ⇔ ( x + ) ( x − 2x + ) = ⇔  Bài 19: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – = a) Chứng tỏ + i nghiệm phương trình b) Tìm nghiệm lại ĐS: b) z2 = – i ; z3 = - + 13 13 − ; z4 = 6 Bài 20: Giải phương trình z4 + = biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức HD: Ta có : z4 + = (z2 + 2i)(z2 – 2i) = Nghiệm z2 + 2i = bậc hai -2i, là: z1 = –i , z2 = -1 + i Nghiệm z2 – 2i = bậc hai 2i, là: z3 = + i, z4 = -1 – i Vậy z4 + = có nghiệm z1, z2, z3, z4 Phần 3: Dạng lượng giác số phức Bài 1: Viết dạng đại số số phức sau: a)   π  π   cos  − ÷+ i.sin  − ÷     4 π  3π 3π   b)  cos + i.sin ÷ 4    π  2     HD: a) cos  − ÷+ i.sin  − ÷ =  − i ÷ = − i  2 ÷     4   3π 3π  2   b)  cos + i.sin ÷ =  − + i ÷ = − + i  4  ÷    2 Bài 2: Biểu diễn số phức sau dạng lượng giác: a) -1 + i c) −i 2 3π 3π π b) − + i π 2π 2π     ĐS: a)  cos + i sin ÷ b)  cos + i sin ÷ c) cos + i.sin 4  2 3   Bài 3: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = + 7i Viết số phức z dạng lượng giác ĐS: z = - − i = 3π ( cosϕ + i sin ϕ ) : cosϕ = − ,sin ϕ = − (π < ϕ < 5 Bài 4: Tìm acgumen số phức sau: π a) − sin − icos π π b) − sin ϕ + icosϕ (0 < ϕ < ) ĐS: a) − 5π ; b) π ϕ − Bài 5: Viết dạng lượng giác số phức: a) − i tan π b) − cosϕ − i sin ϕ (ϕ ≠ k 2π , k ∈ z ) π π HD: a) Ta có : − i tan = − i π = π cos cos 5 sin π π   cos − i sin ÷ = 5  cos π    π  π  cos  − ÷+ i sin  − ÷      b) − cosϕ − i sin ϕ = 2sin ϕ ϕ ϕ − 2i sin cos 2 Bài 6: a) Với điều kiện môđun tổng hai số phức tổng môđun hai số hạng? b) Khi mơđun tổng hai số phức hiệu môđun hai số hạng ? ĐS: a) Nếu hiệu hai acgumen 2k π , k số nguyên b) Nếu hiệu hai acgumen π + 2kπ , với k nguyên Bài 7: Tìm hệ thức liên hệ hai acgumen số phức z1, z2 : Arg z1 Arg z2trong trường hợp sau: a) z1z2 = k , k < b) z1z2 = -i c) z1 = -3z2 π π d) Argz1 + Argz = − + k 2π ĐS: a) Argz1 + Argz = π + k 2π b) Argz1 − Argz = − + k 2π c) Argz1 = π + Argz + 2kπ Bài 8: Tìm số phức z thỏa : z = z1 π π  =  cos + i sin ÷ z2 3  d) = 1− z z Bài 9: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện : a) z + − i ≤ tìm số có acgumen dương nhỏ ĐS: a) z = i b) z − 5i ≤ b) 12 16 + i 5 z1 Bài 10: Viết z1 z2 dạng lượng giác tính z1.z2 z π π sin 12 12 5π 5π b) z1 = + i z2 = – i Suy cos sin 12 12 a) z1 = + i z2 = + i Suy : cos Bài 11: Tìm vị trí điểm biểu diễn số phức có: a) Môđun 2; b) Acgumen π π π 3π , ,− , 4 ĐS: a) Các đường trịn tâm O bán kính R = 2, R = b) Đó tia không kể gốc O , : Oz1, Oz2, Oz3, Oz4 Bài 12: Cho A, B, C D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số : + (3 + 3)i; + (3 + 3)i;1 + 3i + i Chứng minh bốn điểm nằm đường tròn HD: Cách 1: Đưa toán tọa độ; Cách 2: Dự đoán tâm i(3 + 3i) Cách 3: Chứng minh góc lượng giác: Bài 13: Dùng cơng thức Moivre để tính : 12 1 3 b)  + i ÷ 2 ÷   π π   a)  cos + i sin ÷ 15 15   c) (1 + i)16 ĐS: a) +i 2 b) 256 Bài 14: Tính gọn: π π  a)  cos − i sin ÷i + 3i 3  ( ) b) ( ( 1+ i) 10 ) +1 c) z 2000 + z 2000 z biết z + = c) ĐS: a) 128i Bài 15: Tính : b) -1/16 c) -1 nπ nπ   i i b) ε1n + ε 2n với ε1 = − + ;ε2 = − − ĐS: a) 2  cos + i sin ÷ 4 n a) (1 + i)n 2cos 2nπ 2  1− i Bài 16: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức: a)  b) +i b) c) − −i  π  π ĐS: a) z1 = cos  − ÷+ i sin  − ÷  8  8 π π b) z1 = cos + i sin 12 12 7π 7π   c) z1 =  cos + i sin ÷ 12 12    π  π z2 = −cos  − ÷− i sin  − ÷  8  8 π π z2 = −cos − i sin 12 12 7π 7π   z2 = −  cos + i sin ÷ 12 12   Bài 17: Tìm nghiệm phức phương trình : z4 – = i n  7+i  Bài 18: Với n ngun dương số phức:  ÷ số thực, số ảo  − 3i  n nπ nπ   + i sin  cos ÷ 4   nπ Số số thực ⇔ sin = ⇔ n = 4k (k nguyên dương) nπ Số số ảo ⇔ cos = ⇔ n = 4k + (k số ngun khơng âm)  7+i  HD:  ÷ =  − 3i  ( 2) n Bài 19: Biểu diễn cos5x.cos6x theo coskx ĐS: cos5x = 1 ( cos5x + 5cos3x + 10cosx ) ; cos6x = ( cos6x + 6cos4x + 15cos2x + 10 ) 10 32 Bài 20: Chứng minh : ( n − 4) π  1 n ÷; b) Cn + Cn + Cn + =  + 2cos ÷ 3   Bài 21: Cho số phức dạng lượng giác z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) 1 3 n a) Cn + Cn + Cn + =  + 2cos ( n − 2) π  Đặt eiϕ = cosϕ + i sin ϕ Chứng minh : a) z = r.e iϕ i ( ϕ +ϕ ) iϕ iϕ ′ ; z n = r n einϕ ; c) cosϕ = ; b) ( r.e ) ( r ′.e ) = rr ′.e ′ eiϕ + e −iϕ ;sin ϕ = ( 3sin ϕ − sin 3ϕ ) Phần 4: Bài tập tổng hợp số phức Bài 1: Viết số phức sau dạng đại số: a) z = 2i10 + i3 b) z = i2007 + i2008 ĐS: a) -2 –i ; b) – i Bài 2: Viết dạng a + bi số phức sau: a) z = (1 + i)2– (1 – i)2 b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2 c) z = ( + i ) d) z = 1 + 1+ i 1− i ĐS: a) 4i b) – 15i c) -8 Bài 3: Tính : a) (1 + 2i) b) (2 + i) + (2 – i)7 d) ĐS: a) 117 + 44i ; b) -556 Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn số thực: (1 + i ) x + (1 + 2i ) y + (1 + 3i ) z + (1 + 4i)t = + 5i  (3 − i ) x + (4 − 2i ) y + (1 + i ) z + 4it = − i ĐS: x = -2; y = 3/2; z = ; t = -1/2 Bài 5: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Với điều kiện a, b, a’ ,b’ tích z.z’ chúng số thực ?số ảo? ĐS: ab’ + a’b = aa’ – bb’ = ; ab’ + a’b ≠ ( Bài 6: Tính: a) c) HD: a) 3i ( +i − ) ( −i ) ( ) 3 +i − −i ) b) 2(3 + i2) = b) d) ( ( ( ) ( + i) − i) +i + −i ) 2 ( d) ( c) 2i.8 = 16i ) − i) +i 2 = + 3i −1 + 3i = − 3i Bài 7: Tìm phần thực phần ảo số phức: z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + (x, y ∈ R) Với x, y số phức số thực? z Bài 8: Cho số phức: z1 = + i , z2 = – 2i Hãy tính: z12 z1 z2 ; 2z1 − z2 ; z1 z2 z Bài 9: Thực phép tính: a) + 2i b) 1+ i 1− i c) m i m d) a+i a a −i a e) a+i b i a Bài 10: Phân tích thừa số phức : a) a2 + b) 2a2 + c) 4a2 + 9b2 d) 3a2 + 5b2 Bài 11: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : 2 a) z + + 2i ≤ b) ( − i ) z = ( + i ) z c) lg z + i ≤ d) z − + z + = 26 Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z : z = = 1− z z Bài 13: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm gốc tọa độ O, cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn z: a) Nằm hình vng b) Nằm đường chéo hình vng Bài 14: X/định tập hợp điểm M mphẳng phức biểu diễn số phức ( + i ) z + , z − ≤ Bài 15: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2i − z = 2z − b) 2iz − = z + Bài 16: Tìm bậc hai số phức : a) b) -2 ĐS: a) ± b) ± 2i Bài 17: Tìm bậc hai số phức : a) -5 + 12i b) −17 − 20 2i Bài 18: Giải phương trình tập số phức: a) x + 81 = b) x2 – x + = Bài 19: Giải phương trình: a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = b) 3ix2 – 2x – 4+ i = Bài 20: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Bài 21: Lập phương trình có ẩn số x mà x phải thỏa mãn: Nếu số phức z = x + iy nghiệm phương trình z2 + pz + q = 0, p, q số thực Bài 22: Giải phương trình: a) z4 – z3 + z2 +z+1=0 b) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = Bài 23: Tìm điều kiện cần đủ số thực p,q để phương trình: z4 + pz2 + q = a) Chỉ có nghiệm thực b) Khơng có nghiệm thực c) Có nghiệm thực nghiệm không thực Bài 24: Gọi j số phức có hệ số ảo dương thỏa mãn j3 = 1.Chứng minh số phức z = a + bi viết dạng z = x + yj với x y thực Nêu qui tắc cộng nhân hai số phức dạng đó.Viết số dạng z Bài 25: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = có nghiệm -1 Tính nghiệm z1 z2 lại C Vẽ ảnh A, M, N -1, z1,z2 Tính chất tam giác AMN? Bài 26: Viết dạng đại số số phức: 4π 4π  5π 5ππ    + i sin c)  cos + i sin ÷ ÷ 3  3    π π 3π 3π    Bài 27: Cho z1 =  cos + i sin ÷, z2 =  cos + i sin ÷ Tính z1, z2; z1.z2 arg(z1.z2) 7 7    Bài 28: Viết dạng lượng giác số phức: − − i; + i; 4; −3i Bài 29: Cho số phức z1,z2 có acgumen tương ứng ϕ1,ϕ2 Tìm quan hệ ϕ1,ϕ2 để: a) cos π + isin π a) z1z2 = k, k > b)  cos b) z1z2 = 2i c) z1 = z2 Bài 30: Viết số sau dạng lượng giác: a) z = + i tan ϕ b) z = + cosϕ + i sin ϕ Bài 31: Chứng minh số phức z ≠ -1 mà môđun 1, đặt dạng : z = + ti ,trong t số thực − ti Bài 32: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z biết acgumen π z +i z −i Bài 33: a) Xét điểm mặt phẳng biểu diễn số + i, + i để chứng minh tan a = tan b = , π  π với a, b ∈  0; ÷ a + b =  2 b) Xét điểm mặt phẳng phức biểu diễn số + i, + i, + i để chứng minh tan a = 1 π  π ,tan b = , tan c = với a, b, c ∈  0; ÷thì a + b + c =  2 Bài 34: Tính gọn : a) (1 + i) 25 b) 20  1+  Bài 35:Tính gọn: a)   1− i ÷ ÷   ( −i ) c) 1 + cos π + i sin π   ÷ 12 12   n 24  −i  b) 1 − ÷  ÷   ( −1 + i ) c) ( 1− i) 20 15 ( −1 − i ) + ( 1+ i) 20 15 Bài 36: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức: Bài 37: Tìm nghiệm phức phương trình: a) x3 + 2i = 1+ i Tìm n ∈ N* để : a) zn số thực 1− i 1 1 Bài 39: Tìm tổng hữu hạn: a) Cn − Cn3 + Cn5 − Cn7 + − 27 Bài 38: Cho z = a) + i b) −1 + i b) (x + 2)5 + = b) zn số ảo 11 b) Cn3 + Cn7 + Cn + − Bài 40: Biểu thị: a) sin 7x theo sinx, cosx b) tan 6x theo tan x Bài 41 :( Đại học KA 2010) Tìm phần ảo số phức z biết : z= ( +i ) ( − 2i ) − Bài 41: ( Đại học KA 2010) Tim modun số phức z + iz − (1 − 3i ) z= 1− i Biết số phức z thỏa mãn Bài 42: :( Đại học KB 2010) Trong mp tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : z − i = (1 + i ) z