Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian nguyễn hồng điệp

Nguyễn Hồng Điệp ÔN THI TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN u v a 2016 Con bướm vẽ GeoGebra (ˆ ˆ ) 6th −LATEX−201601.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Copyright c 2016 by Nguyễn Hồng Điệp Nguyễn Hồng Điệp Các công thức Vectơ không gian − → − → Trong không gian cho vectơ u = x1 , y1 , z , u = x2 , y2 , z số k tùy ý   x1 = x2 − → − → y1 = y2 • u1 = u2 ⇔  z = z − → − → • u ± u = x1 ± x2 , y1 ± y2 , z ± z − → • k u = k x1 , k y1 , k z − →− → • Tích có hướng: u u = x1 x2 + y1 y2 + z z − →− → Hai vectơ vng góc ⇔ u u = ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z z = − → • u = x12 + y12 + z 12 • Gọi ϕ góc hợp hai vectơ 0◦ ϕ 180◦ − →− → u1 u2 − →− → cos ϕ = cos u , u = − → − → = u1 u2 x1 x2 + y1 y2 + z z x12 + y12 + z 12 x22 + y22 + z 22 −→ • AB = x B − x A , yB − yA , z B − z A AB = (x B − x A )2 + yB − yA + (z B − z A )2 • Tọa độ điểm đặc biệt: x A + x B yA + yB z A + z B , , 2 x A + x B + xC yA + yB + yC z A + z B + z C Tọa độ trọng tâm G tam giác AB C : G , , 3 Tọa độ trọng tâm G tứ diện AB C D : Tọa độ trung điểm I AB : I G x A + x B + xC + xD yA + yB + yC + yD z A + z B + z C + z D , , 4 • Tích có hướng hai vectơ vectơ vng góc hai vectơ xác định − → − →− → u = u1 , u2 = x z z x y1 z , 1 , 1 y2 z z x2 x2 z • Một số tính chất tích có hướng → → − → − → − − →− a b phương ⇔ a , b = −→ −→ − → A, B , C thẳng hàng ⇔ AB , AC = → − → − − → − → − →− → Ba vectơ a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b c = −→ −→ −→ − → Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng ⇔ AB , AC AD = → → → − →− − →− − → − a , b = a b sin a , b • Các ứng dụng tích có hướng −→ −→ Diện tích hình bình hành: SAB C D = AB , AD Nguyễn Hồng Điệp −→ −→ AB , AC −→ −→ −→ Thể tích khối hộp: VAB C D A B C D = AB , AD AA Diện tích tam giác: SAB C = Thể tích tứ diện: VAB C D = −→ −→ −→ AB , AC AD Phương trình mặt phẳng • Phương trình tổng qt (α): a x + b y + c z + d = với (a + b + c = 0) − → • Phương trình mặt phẳng (α) qua M x0 , y0 , z có vectơ pháp tuyến n = (a , b , c ) (α): a (x − x0 ) + b y − y0 + c (z − z ) = • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua A(a , 0, 0); B (0, b , 0); C (0, 0, c ) (α): x − x0 y − y0 z − z + + = 1, a b c với a , b , c = − → − → • Nếu n = (a , b , c ) vectơ pháp tuyến (α) k n , k = vectơ pháp tuyến (α) Do mặt phẳng có vơ số vectơ pháp tuyến Trong số trường hợp ta tìm vectơ pháp tuyến cách chọn giá trị cụ thể cho a (hoặc b c ) tính hai giá trị lại đảm bảo tỉ lệ a : b : c Góc − → • Góc hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến nα , mặt phẳng β −→ có vectơ pháp tuyến nβ , góc (α) β tính − → −→ nα nβ − → −→ cos (α) , β = cos nα , nβ = − → −→ nα nβ − → • Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d d có vectơ phương u − → u , góc d d tính − →− → u1 u2 − →− → cos (d , d ) = cos u , u = − → − → u1 u2 Nguyễn Hồng Điệp − → • Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ phương u , − → mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n , góc d (α) ϕ tính − →− → u n sin ϕ = − → − → u n Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm A x0 , y0 , z tới (α) : a x + b y + c z + d = d (A, (α)) = a x0 + b y0 + c z + d a2 + b2 + c − → • Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M có vectơ phương u d (A, ∆) = −−−→ − → M M0, u − → u • Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 biết ∆1 qua M có vectơ − → − → phương u ; ∆2 qua M có vectơ phương u d (∆1 , ∆2 ) = − →− → −−−→ u , u M M − →− → u1 , u2 • Khoảng cách hai mặt phẳng (α) β song song khoảng cách từ M ∈ (α) tới β • Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 ∆2 song song khoảng cách từ M ∈ ∆1 tới ∆2 • Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (α) song song khoảng cách từ điểm M ∈ d tới (α) Nguyễn Hồng Điệp Xác định tọa độ điểm 2.1 Tọa độ điểm trục tọa độ Tìm tọa độ điểm A trục tọa độ ta tìm khoảng cách từ A đến gốc tọa độ dựa vào chiều dương chọn để xác định tọa độ A Ví dụ chọn tia O A trùng tia O x , điểm A B nằm O x • O A = ⇒ A (0, 0, 2) • O B = ⇒ B (0, 0, −3) (do B nằm phần âm) 2.2 Tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Tìm tọa độ A mặt phẳng tọa độ ta tìm hình chiếu A trục tọa độ dựa vào tọa độ hình chiếu để xác định tọa độ A Ví dụ điểm A, B , C có hình chiếu trục với độ dài hình vẽ, theo chiều dương chọn ta • AK = = x K , AH = = yK : tọa độ A(1, 2) • B I = = −x B (do B nằm phần âm trục hoành), B M = = yB : tọa độ B (−2, 1) • C J = 2, C M = 2: tọa độ C (−2, −2) (do C nằm phần âm trục tung trục hoành) 2.3 Tọa độ điểm trường hợp tổng quát Tìm tọa độ A ta tìm tọa độ hình chiếu H A lên mặt phẳng tọa độ bất kì, sau ta tính độ dài AH Tọa độ A xác định nhờ tọa độ H độ dài AH Nguyễn Hồng Điệp Ví dụ tọa độ hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Oxy H (a , b ), ta tính AH = c A có tọa độ A(a , b , c ) (giả sử thành phần tọa độ A nằm phần dương) Cách chọn hệ trục tọa độ - chọn véctơ 3.1 Chọn véctơ Đối với dạng tập tìm véctơ phương, véctơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng ta gặp trường hợp véctơ chứa tham số a độ dài cạnh Khi đó, để tiện cho việc tính tốn ta chọn lại véctơ phương, véctơ pháp tuyến tham số a a −→ ta chọn lại véctơ véctơ phương mặt phẳng (α) S A = a , −3a , a − → phương khác u = 1, −3, Ví dụ Trường hợp khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách đường −−−→ thẳng chéo véctơ M M ta giữ nguyên 3.2 Chọn hệ trục tọa độ Phần quan trọng phương pháp cách chọn hệ trục tọa độ Khơng có phương pháp tổng quát, có nhiều hệ trục tọa độ chọn, chọn cho việc tìm tọa độ điểm có nhiều số tốt • Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đơi vng góc • Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, hình lăng trụ trùng với đỉnh hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạnh đó, Ví dụ • Tứ diện Nguyễn Hồng Điệp • Hình chóp đáy tứ giác lồi • Hình lăng trụ xiên, lăng trụ đứng tương tự hình chóp, riêng hình hộp có nhiều cách chọn hệ tọa độ Nguyễn Hồng Điệp Các ví dụ Ví dụ 4.1 (Cao đẳng 2014) Cho hình chóp S AB C D có đáy AB C D hình vng cạnh a , S A vng góc đáy, S C tạo với đáy góc 45◦ Tính theo a thể tích khối chóp S AB C D khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S C D ) Giải Thể tích khối chóp Ta có: S A ⊥ (AB C D ) nên góc S C đáy S C A Do AB C D hình vng cạnh a nên AC = 2a Suy S A = AC tan S C A = 2a 2a Thể tích khối chóp VS AB C D = S A.SAB C D = 3 Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, A ≡ O , tia AB ≡ tia O x , tia AD ≡ tia O y , tia AS ≡ tia O z Khi ta có: • A(0, 0, 0) • AB = a ⇒ B (a , 0, 0) Nguyễn Hồng Điệp • AD = a ⇒ D (0, a , 0) • AS = 2a ⇒ S (0, 2a ) • C D = C B = a ⇒ C (a , a , 0) −→ −→ Ta có: S C = a , a , −a , S D = 0, −a , −a suy mặt phẳng (S C D ) có cặp véctơ phương − → − → u = (1, 1, − 2), u = 0, − 2, −1 − → − → − → Véctơ pháp tuyến (S C D ) n = u ∧ u = 0, − 2, −1 Phương trình mặt phẳng (S C D ) : − 2y − z + a = Khoảng cách từ B đến (S C D ): a d (B , (S C D )) = Nhận xét • Thể tích khối chóp ta tính trực tiếp • Ta thấy S A vng góc mặt đáy A, AB C D hình vng, A giao điểm đường thẳng đơi vng góc Đó dấu hiệu nhận biết để chọn hệ trục tọa độ với A gốc • Khi tìm tọa độ S ta thấy có xuất 2a , lúc đừng lo lắng Ví dụ 4.2 (Tốt nghiệp 2015) Cho hình chóp S AB C D có đáy hình vuông AB C D cạnh a , S A vuông góc với mặt phẳng đáy Góc S C mặt phẳng (AB C D ) 45◦ Tính theo a thể tích khối chóp S AB C D khoảng cách hai đường thẳng S B , AC Giải 10 Nguyễn Hồng Điệp Thể tích khối chóp Góc S C mặt phẳng (AB C D ) S C A = 45◦ , suy S A = AC tan 45◦ = 2a Thể tích khối chóp: VS AB C D = S A.SAB C D = 3 2a Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ O x y z hình vẽ với A ≡ O , tia AB ≡ O x , tia AD ≡ O y , tia AS ≡ O z Khi • A(0, 0, 0) • AB = a ⇒ A(a , 0, 0) • AD = a ⇒ D (0, a , 0) • C D = C B = a ⇒ C (a , 0, 0) • AS = 2a ⇒ S (0, 0, 2a ) Gọi d đường thẳng qua S , B ; d đường thẳng qua A, C Khoảng cách S B AC khoảng cách d d Ta có: −→ − → • S B = a , 0, − 2a ⇒ véctơ phương d u = 1, 0, − −→ − → • AC = (a , a , 0) ⇒ véctơ phương d u = (1, 1, 0) − → − → − → • n = u1 ∧ u2 = 2, − 2, −→ • AB = (a , 0, 0) Khoảng cách: − → −→ n AB d (S A, B C ) = (d , d ) = − → n = 10a • Lưu ý: tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng ta chọn lại véctơ −→ phương véctơ pháp tuyến, véctơ AB phải giữ nguyên 11 Nguyễn Hồng Điệp Ví dụ 4.3 (Đề thi minh họa tốt nghiệp 2015) Cho hình chóp S AB C D có đáy AB C D tam giác vuông B , AC = 2a , AC B = 30◦ Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC S H = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S AB C D khoảng cách từ C đến mặt phẳng (S AB ) Giải Thể tích khối chóp Ta có: H A = H C = AC = a S H ⊥ (AB C ) Xét AB C ta có: B C = AC cos AC B = 3a 3a Do đó: SAB C = AC B C sin AC B = 2 6a Vậy VS AB C = S H SAB C = Khoảng cách Kẻ tia B z vng góc với mặt phẳng (AB C D ) Chọn hệ trục tọa độ O x y z hình vẽ, B ≡ O , tia B A ≡ tia O x , tia B C ≡ tia O y Khi ta có 12 Nguyễn Hồng Điệp • B (0, 0, 0) • AB = a ⇒ A(a , 0, 0) • BC = 3a ⇒ C (0, 3a , 0) • Trong mặt phẳng (AB C ) kẻ H I ⊥ AB , H K ⊥ B C Ta có H I = H a , BC = AB 3a ,HK = = a; 2 3a ,0 Do H hình chiếu S xuống (AB C ) S H = 3a 3a −→ , 2a , S A = 0, , 2a 2 3 − → − → , , u = 0, , phương u = 1, 2 −→ Ta có: S B = a , − → − → − → Véctơ pháp tuyến (S AB ): n = u ∧ u = 0, 2, Phương trình mặt phẳng (S AB ): 2y + Khoảng cách từ C đến (S AB ): d (C , (S AB )) = 2a ⇒ S a , 3a , 2a suy mặt phẳng (S AB ) có cặp véctơ z = 3a · + 2a · 2 2 + 2 = 66a 11 Nhận xét • Cách chọn hệ trục tọa độ: ta thấy S H vng góc với mặt đáy mặt đáy chưa có đường thẳng vng góc H nên khơng chọn H làm gốc tọa độ Mặt khác ta có sẵn B A vng góc B C nên cần dựng B z vng góc mặt đáy ta có hệ trục tọa độ với B gốc tọa độ • Tìm độ điểm S : ta tìm tọa độ H hình chiếu vng góc S xuống (AB C ), xS = xH , yS = yH Để tìm tọa độ H ta tìm khoảng cách từ H xuống trục chọn (B A B C ) Và z S = S H Ví dụ 4.4 (Đại học khối B - 2014) ho lăng trụ AB C A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (AB C ) trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng A C mặt đáy 60◦ Tính theo a thể tích khối lăng trụ AB C A B C khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AC C A ) Giải 13 Nguyễn Hồng Điệp Thể tích Gọi H trung điểm AB , suy A H ⊥ (AB C ) A C H = 60◦ Do A H = C H tan AC H = Thể tích khối lăng trụ là: VAB C A B C = A H SAB C 3a = 3a Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với H ≡ O , tia H B ≡ tia O x , tia H C ≡ tia O y , tia H A ≡ tia O z Khi ta có: • H (0, 0, 0) • HA=HB = • AH= • HC = a a −a ⇒B , 0, , A , 0, 2 3a 3a ⇒ A 0, 0, 2 3a 3a ⇒ C 0, 2 −→ a 3a −→ a 3a Ta có: AA = , 0, , AC = , , suy mặt phẳng (AC C A ) có cặp véctơ phương 2 2 − → − → u = (1, 0, 3), u = 1, 3, 14 Nguyễn Hồng Điệp − → − → − → Véctơ pháp tuyến (AC C A ) n = u ∧ u = −3 3, 3, 3a =0 Phương trình mặt phẳng (AC C A ) : −3x + 3y + z − Khoảng cách từ B đến (AC C A ): d B , AC C A = 13a 13 Ví dụ 4.5 (Đại học khối D - 2014) Cho hình chóp S AB C D có đáy AB C tam giác vng cân A, mặt bên S B C tam giác cạnh a mặt phẳng (S B C ) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S AB C khoảng cách hai đường thẳng S A B C Giải Thể tích BC a = , S H ⊥ (AB C ), S H = 2 a2 Diện tích tma giác AB C : SAB C = AH B C = 3a Thể tích khối chóp: VS AB C = S H SAB C = 24 Gọi H trung điểm B C , suy AH = 3a Khoảng cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H ≡ 0, tia H C ≡ tia O x , tia H S ≡ tia O y , tia H S ≡ tia O z 15 Nguyễn Hồng Điệp Khi đó: • H (0, 0, 0, ) • HC =HB = • HA= −a a a ⇒B , 0, , C , 0, 2 a a ⇒ A 0, , 2 • HS = 3a 3a ⇒ S 0, 0, 2 Gọi d , d đường thẳng qua S A B C Khoảng cách d d khoảng cách S A B C Ta có: a 3a −→ − → ⇒ véctơ phương d u = 0, 1, • S A = 0, , 2 −→ − → • B C = (a , 0, 0) ⇒ véctơ phương d u = (1, 0, 0) − → − → − → • n = u ∧ u = 0, 3, −1 a −a −→ • AC = , ,0 2 Khoảng cách − → −→ n AC d (S A, B C ) = d (d , d ) = − → n = 3a Nhận xét Ngoài ta cịn chọn hệ trục tọa độ sau cách giải dài cần phải tìm tọa độ H để tìm tọa độ S Do làm cảm thấy hệ tọa độ chọn việc tính tốn q phức tạp ta nên nghĩ đến việc đổi sang hệ tọa độ khác 16