Tọa độ trong mặt phẳng

TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTĐH 2013 (Bài đăng số 8) 1)Cho tam giác ABC có A (- 3; ), trực tâm H ( 2; ), trọng tâm G ( các đỉnh B và C GIẢI: ; ) Xác định tọa độ 3 uuur uur 7 1 - Gọi I là trung điểm của BC, ta có AG = GI => I (  ; ÷ 2 uuur uuur  AH = ( 5; −5 ) , đường thẳng BC qua I, có nBC = ( 1; −1) nên có pt: x – y – =  B ( b; b – ) ∈ BC, I là trung điểm của BC nên suy C ( – b; – b ) uuur AB = ( b + 3; b − ) uuur CH = ( b − 5; b − 3) uuur uuur b = AB.CH = ⇒ 2b − 14b + 12 = ⇔  b =1 * Vậy: B ( 6; ),C ( 1; - ) hoặc B ( 1; - ), C ( 6; ) 2) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc d: x – 4y – = 0, BC // d, đường cao BH: x + y + = và trung điểm của cạnh AC là M ( 1; ) Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C GIẢI: Do AC vuông góc BH và qua M ( 1; ) nên có pt: x – y = x − y − = 2 => A ( − ; − ) x= y 3  Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ:  8 3 M là trung điểm AC nên C ( ; ) BC qua C và song song d nên BC: x – 4y + =  x+ y +3= ⇒ B ( −4;1) x − y + =  Tọa độ B là nghiệm của hệ:  3) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 2y + = ( C’): x2 + y2 + 4x – = cùng qua M ( 1; ) Viết pt đường thẳng d qua M, cắt cả hai đường tròn tại A và B cho MA = 2MB GIẢI: ( C ) có tâm I ( 1; ); R = ( C’) có tâm I’ ( - 2; ); R’ = d qua M nên có dạng: ax + by –a = ( a2 + b2 > ) Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm MA, MB Do MA = 2MB nên MH = 2MH’ => IM2 – IH2 = ( I’M2 – I’H2 )  b2 9a  ⇔ 1− =  − : IH = d ( I , d ) ; I ' H ' = d ( I ' , d ) 2 ÷ a +b a +b   ( ⇔ a = 36b ⇔ a = ±6b Với a = 6b, chọn b = =.> a = => d1:6x + y – = Với a = - 6b, chọn b = - => a = => d2:6x – y – = ) 4) Cho tam giác ABC cân tại A, AB:x – y – = 0, BC: x – 2y + = 0, đường thẳng AC qua M ( 1; ) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C GIẢI: Tọa độ B là nghiệm của hệ:  x − y −3= ⇒ B ( 14;11)  x − y + =  1+ cos ·ABC = = 10 ∈ A ( a; a -3 ) AB, M ( 1; ) ∈AC uuuur r AM = ( − a;5 − a ) ⇒ n AC = ( − a; a − 1) r n BC = ( 1; −2 ) − a − 2a + cos ·ABC = cos ·ACB ⇔ = ⇔ a − 6a + 13 = 3a − 2 10 ( − a ) + ( a − 1) 17 17 => A ( ; ) 3 ⇔a= r  14  n AC qua M, AC =  − ; ÷ nên có pt: ( x – ) – 7( y – ) = x -7y + 13 =  3  x − y + 13 = ⇒ C ( −6;1) Tọa độ C là nghiệm của hệ:  x − y + =  17 Vậy: A ( ; ), B ( 14; 11 ), C ( - 6, ) 3 5) Tam giác ABC cân tại A, AB: x + 2y – = 0, AC: 2x + y + = 0, điểm M ( 1; ) thuộc đoạn uuur uuur BC Tìm tọa độ điểm D cho AB AC có giá trị nhỏ nhất GIẢI: BC: a( x – ) + b( y – ) = Tam giác ABC cân tại A nên: cos A = cos B a + 2b a + b =  a=b ⇔ a + b  a = −b 2a + b Với: a = b ,ta chọn b = a = => BC: x + y – = 0, kết hợp với pt các cạnh AB, AC để tìm tọa độ B ( 4; - ), C ( - 4; ) uuur uuur Do MC = − MB => M thuộc đoạn thẳng BC 3 Với: a = - b ta chọn b = - => BC: x – y + = => B ( 0; ), C ( − ; uuur uuur MB => M nằm ngoài đoạn thẳng BC Do MC = Vậy ta chọn B ( 4; - ), C ( - 4; ) ) Gọi I là trung điểm của BC => I ( 0; )Ta có: uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur DB.DC = DI + IB DI + IC = DI + DI IC + DI IB + IB.IC = DI + IB.IC ( )( ) uuur uuur uuur uuur 1 = DI − BC BC = DI − BC ≥ − BC = −32 ⇒ DB.DC = −32 2 4 Khi D ≡ I ( ) Vậy D ( 0; 3) ) Tam giác ABC có trọng tâm G ( 1; 11 ), đường trung trực của BC có pt: x – 3y + = 0, AB: 4x + y – = Xác định tọa độ A, B, C GIẢI: A ( a; – 4a ), B ( b; – 4b ), G là trọng tâm nên suy C ( – a – b; -7 + 4a + 4b ) 3−a ; 2a + ) của BC thuộc trung trực d của BC uuur r 3−a − ( 2a + 1) + = (1) Mặt khác: BC.u d = => Trung điểm I ( => 3( – 2b – a ) + 4a + 8b - 16 = (2 ) Từ ( ) và ( ) suy ra: a = 1, b = Vậy A ( 1; ), B ( 3; - ), C ( - 1; ) ) Cho d1: x – y + = 0, d2: x – = 0, M ( 2; ) Lập pt đường tròn ( C ) qua M, có tâm I d1 và chắn d2 một dây cung có độ dài bằng GIẢI: ( C ) có tâm I ( a; a + ), d2 // Oy và ( C ) cắt d2 theo dây cung có độ dài MN1 = với N1 ( 2; ) hoặc MN2 = với N2 ( 2; -5 ) nên ta có: 1+  a + = =4   a=3  I ( 3; ) ⇔ ⇒   a + = + ( −5 ) = −2  a = −3  I ( −3; −2 )  Với I1 ( 3; ), bán kính R1 = I1M = 10 Với I2 ( -3; -2 ), bán kính R2 = I2M = 34 Vậy có hai pt đường tròn : ( C1 ): ( x – )2 + ( y – )2 = 10 ( C2 ): ( x +3 )2 + ( y + )2 = 34 8) Tam giác ABC có B ( - 2; ), AC: 2x + y + = 0, trung tuyến AM: 3x + 2y + = Tính SABC HD: Từ pt cạnh AC và AM ta tìm được A ( 1; - ) Gọi C ( c; - 2c – ) ∈AC, có B ( -2; ) => trung điểm M của BC có tọa độ M ( c−2 ; - c ), thay tọa độ M vào pt cạnh AM => c = => C ( 0; - ) Pt cạnh BC: x + y + = Ta có: SABC = 1− 1 BC.d ( A; BC ) = =1 2 9) Cho E ( -1; ) và ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = Viết pt d qua E và cắt ( C ) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất HD: ( C ) có tâm I ( 4; ), R = 6; IE = 29 < => E nằm đường tròn ( C ) Giả sử d qua E, d cắt ( C ) tại M, N Gọi H là trung điểm MN => MN = MH = IM − IH = R − IH ⇒ MN ⇔ IH max IH ≤ IE ⇒ IH max = IE , Vậy để cho MNmin thì d qua E, vuông góc với IE Từ đó viết được d: 5x + 2y + = 10) Tam giác ABC có A ( 2; ), trực tâm H ( 14; - ), trung tuyến BM: 9x – 5y – = Tìm tọa độ các đỉnh B, C  x = −2 + 5t => M ( - + 5m ; - + 9m ) , M là trung điểm AC nên suy  y = −5 + 9t C ( - + 10m; - 11 + 18m ); B ( -2 + 5b; - + 9b ) ∈ BM uuur BC = ( −4 + 10m − 5b; −6 + 18m − 9b ) uuur AH = ( 12; −8 ) uuur uuur BC AH = ⇔ −48 + 120m − 60b + 48 − 144m + 72b = ⇔ b = 2m uuur B ( −2 + 10m; −5 + 18b ) ⇒ BH = ( 16 − 10m; −2 − 18m ) uuur : AC = ( −8 + 10m; −12 + 18m ) uuur uuur AC.BH = ⇔ −128 + 240m − 100m + 24 + 180m − 324m = HD: ptts của BM:  26  m =  53 ⇔ −424m + 420m − 104 = ⇔   m=1  Với m = , b = ta được B ( 3; ), C ( - 1; ) 154 203 26 52  58 115  ; ), C  − ; − ,b = Với m = ta được B ( B ( ÷ 53 53 53 53  53 53  11) Cho đường tròn ( C ): x2 + y2 – x – y + 18 = 0, A ( 1; ), B ( - 1; ) Gọi C và D là hai điểm thuộc ( C ) cho ABCD là một hình bình hành Viết pt đường thẳng CD 2 HD: ( C ) có tâm I ( − ; ), bán kính R = Vì ABCD là một hình bình hành nên CD // AB => CD: x – 2y + m = Gọi H là trung điểm CD => CH = CD AB = = 2 − + m + 2m 2 IH = d ( I , CD ) = = 5  m = −1 10  + 2m  IC = HC + IH ⇔ = + ⇔ m + 28 + 24 = ⇔  m = −6 4  ÷   2 Vậy có hai pt đường thẳng CD thỏa yêu cầu bài toán là: x - 2y – = và x – 2y – = 12) Cho ( C ): ( x - )2+ ( y + )2 = 10, B ( 1; ), C ( - 3; ) Tìm tọa độ điểm A thuộc ( C ) cho tam giác ABC có diện tích bằng 19 GIẢI: Giả sử A ( x; y ) ∈ ( C ) => ( x – )2 + ( y + )2 = 10 ( ) BC: x – 2y + = SABC =  x − y = 12 BC.d ( A, BC ) = 19 ⇔ x − y + = 19 ⇔   x − y = −26 Với: x – 2y =12, kết hợp với pt ( ) ta được: y = − A( 14 23 ; − ), A ( 2; −5 ) 5 23 hoặc y = - 5.Từ đó tìm tọa độ Với x – 2y + 26 = 0, kết hợp với pt ( ) => vô nghiệm Vậy có hai điểm A thỏa yêu cầu đề bài: A ( 14 23 ; − ), A ( 2; −5 ) 5 13) Cho tam giác ABC cân tại A, AB: x + 2y – = 0; BC: 3x + y – = Tìm tọa độ các đỉnh A và C, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng HD: Ta có cos B = và điểm A có hoành độ dương ⇒ B = 45o => tam giác ABC vuông cân tại A B ( 2; - ), A ( -2a + 4; a ), C ( c; - 3a + ) SABC = a = 1 2 AB = ( 2a − ) + ( a − 1)  = ⇔   2 2 a = Do uuurA có hoành độ dương nên ta chọn a = 0, lúc đó A ( 4; ) => C ( c; -3c + ) AC = ( c − 4; −3c + ) r u AB = ( 2; −1) uuur r AC.u AB = ⇔ 2c − + 3c − = ⇔ c = ⇒ C ( 3; −2 ) Vậy A (4; ), C ( 3; - ) 14) Cho d: x – 2y + = 0, ( C ): x2 + y2 – 2x + 4y – = Qua điểm M thuộc d, ta kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến ( C ) ( A, B là hai tiếp điểm ) Tìm tọa độ điểm M biết AB = HD: ( C ) có tâm I ( 1; - ), bán kính R = 10 M ( 2m – 5; m ) ∈d Trong tam giác vuông IAM, đường cao AH, ta có: AH = AB = 1 = + ⇒ AM = 10 AH AI AM IM AH = IA AM ⇒ IM = ( ⇒ ( 2m − ) + ( m + ) = 2 ) ⇔m=2 Vậy M ( - 1; ) 15) Cho hình thoi ABCD có tâm I ( 2; ), AC = 2CD Điểm M ( 0; ) thuộc đường thẳng AB, điểm N ( 0; ) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B HD: Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I => N’ ( 4; -5 ) Đường thẳng AB qua điểm M và N’, nên  x = − 3t => B ( -3t ; - + 4t ) ; mặt khác pttq của AB:4x + 3y – = y = − − t  có ptts:  Gọi H là hình chiếu vuông góc của I AB, ta có IH = d ( I, AB ) = + −1 +3 2 =2 Đặt IB = x => IA = 2x, tam giác vuông IAB có: 1 1 1 = + ⇔ = + ⇔ x = IB = IH IA2 IB 4x2 x2   3 t = ⇒ B − ; ÷  2 ⇔ Ta có: IB = ( – 3t ) + ( - + 4t ) =  5   t = ⇒ B ( 1; −1) •  Cách khác: ( không cần viết ptts của AB ) ta có thể giải hệ pt:  4x + y −1 = ( x − ) + ( y − 1) = 2 Cũng tìm được tọa độ B 16) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, AB: 3x + 4y + = 0, CD: 2x – y – = Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D Biết điểm D có hoành độ dương GIẢI: Tọa độ B là nghiệm cùa hệ: 3x + y + = ⇒ B ( 1; −1)  x − y − =  S ABCD = AB AD = 22 ( 1) cos ·ABD = 3.2 + ( −1) = 5 11 AD ⇒ tan ·ABD = = ( 2) AB 125 · ⇒ + tan ABD = = 5 COS ·ABD Từ ( ), ( ) suy ra: AB = 2, AD = 11 D ( d; 2d – ) ∈ BD Ta có: AD = d ( D, AB ) = 11 3d + ( 2d − ) + r AD qua D, n AD  d = 6( N ) = 11 ⇔  => D ( 6; ) d = − L ( )  = ( 4; −3) nên có pt: 4x – 3y – = 4 x − y + =  1 ⇒ A − ; ÷ Tọa đô A là nghiệm của hệ:   5  3x + y + = 7   38 39  ; ÷ Trung điểm I của AB có tọa độ I (  ; ÷⇒ C  5     17) Cho ( C ): x2 + y2 – 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; ) Tìm tọa độ B và C thuộc ( C ) cho tam giác ABC đều GIẢI: ( C ) có tâm I ( 1; ), bán kính R = 10 , A ( 0; ) ∈ ( C ) Tam uur giác ABC đều , I là trọng tâm, AI vuông góc với BC tại trung điểm H của BC AI = ( 1;3) uuur IH = ( xH − 1; yH − ) uur uuur 1 = ( xH − 1) 3 7 Do : AI = 2.IH ⇒  ⇒H ; ÷ 2 2 3 = ( y H − 1) r uur BC qua điểm H, n BC = AI ⇒ BC : x + y − 12 = x = 12 − y  Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:  ( x − 12 ) + ( y − 2) = 10  3+ −  3− + ; ), C  ; Giải hệ tìm được: B ( ÷ hoặc ngược lại 2 2   18) Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc d: x – y – 4= 0, đường thẳng BC qua M ( 4; ), đường thẳng CD qua N ( 0; ), tam giác AMN cân tại A Xác định tọa độ A, B, C, D GIẢI: Giả sử A ( t; t – ) ∈ d AM2 = AN2 ( t -4 )2 + ( t – )2 = t2 + ( t – )2 t = - => A ( - 1; - ) BC qua M có dạng: ax + by – 4a = ( a2 + b2 > ) CD qua N và vuông góc với BC nên có dạng: bx – ay + 2a = Vì ABCD là hình vuông nên: AB = AD ⇔ d ( A, BC ) = d ( A, CD ) ⇔ − a − 5b − 4a a + b2 = −b + 5a + 2a a2 + b2  a = 3b ⇔ 3a = −b - Với 3a = - b, chọn a = 1, b = - 3, ta có: AB: 3x + y + = 0, CD: 3x + y – = 0, BC: x – 3y – = => B ( - 2; - ), C ( 1; ), D ( 2; - ) - Với a = 3b, chọn b = 1, a = 3, ta có: AB: x – 3y + = 0, CD: x – 3y + = 0, BC: 3x + y – 12 = => B ( 5; - ), C ( 3; ), D ( - 3; ) x2 y 19) Cho d: 3x + y – = và elíp ( E ): + = Viết pt d’ vuông góc d và cắt ( E ) tại hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích bằng GIẢI: Do d’ vuông góc d => d’: x – 3y + m = Pt hoành độ giao điểm của d’ và ( E ): 4x2 + ( x + m )2 = 36 5x2 + 2mx + m2 – 36 = ( ) d’ cắt ( E ) tại điểm phân biệt V/ = m − ( m − 36 ) > ⇔ m < AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = = ( x2 − x1 ) 2  x + m x1 + m  + − 3 ÷   10 ( x2 − x1 ) Với (x2 – x1 )2 = ( x1 + x2 )2 – 4x1x2 = 2m m − 36 720 − 16m 10 720 − 16m ( ) − = ⇒ AB = 5 25 15 m 6.15 SOAB = AB.d ( O; d ' ) = ⇔ d ( O; d ' ) = ⇔ = AB 10 10 720 − 16m 45 10 ( 720 – 16m2 ).m2 = 8100 m2 = ⇔m=± ( N) 2 10 Vậy có hai pt d’ thỏa yêu cầu đề bài: x – 3y ± =0 x2 y 20) Cho ( E ): + = Viết pt đường thẳng d // Oy và cắt ( E ) tại hai điểm A, B cho 25 AB = GIẢI: d // Oy => d: x = a Tung độ giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của pt: a2 y2 + = ⇔ y = ± 25 − a ( a < 5) 25   A  a; 25 − y ÷     B  a; − 25 − y ÷   5 25 − a = ⇒ a = ± ( N) 5 5 Vậy có hai pt đường thẳng d là: x = ,x = − 3 ⇒ AB = 21) Lập pt chính tắc của elíp ( E ), biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật của ( E ) là 12.(2 + ) x2 y2 GIẢI: Gọi pt elip cần tìm (E): + = 1( a > b > 0) a b C = a + b2 Với hai tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0) Hai đỉnh trục nhỏ là: B1(0;-b), B2(0;b) Hai đỉnh trục lớn là: A1(-a;0), A2(a;0) • Theo đề ta suy • Từ đó ta có hệ pt: VB1F1F2 đều hoặc VB2F1F2 đều  b=c (1)  2 c = a −b (2)   (3) ( 2a + 2b ) = 12(2 + 3) * Từ (1) và (2): a -b b2 = => a2= b b2= a + b = 3(2+ a b= a , thay vào (3) ta được: 3) a(2 + 3) = 3(2 + 3) => a=6 Với a=6 => b= Vậy (E): , c=3 x2 y2 + =1 36 27 Bài 22: Cho (E): x2 y + = Viết pt chính tắc của đường thẳng d qua điểm I(2;1) và cắt (E) tại hai 16 điểm M, N Sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN GIẢI: PTCT của d qua I(2;1) có dạng => x − y −1 = a b (a, b ∈ R và a ≠ 0; b ≠ 0)  x = + at   y = + bt M(2+at1; 1+bt1) ∈d N(2+at2; 1+bt2) ∈d  + + a (t1 + t2 ) = = xI  * Trung điểm I của MN có tọa độ thỏa hệ pt   + + b(t1 + t2 ) = = y I  a (t1 + t2 ) =  b(t1 + t2 ) = M, N ∈ ( E ) => t1 và t2 => t1 + t2 = (vì a, b ( + at ) là nghiệm của pt 16 ≠ 0) (1) ( + bt ) + =1 + 4at + a 2t + 2bt + b 2t + =1 16  a b2    + ÷t +  a + b ÷t + + − = Đây là pt bậc hai ẩn số t, pt có hai   16  16  16    − a + b÷   16 nghiệm phận biệt t1, t2 Theo Vi-ét, ta có: t1 + t2 = = (theo (1)) a b2 + 16 => a 2b + =0 => 9a + 8b = 0, Chọn a=8, b= -9 Thì có (d): x − y −1 = −9 ... được tọa độ B 16) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, AB: 3x + 4y + = 0, CD: 2x – y – = Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D Biết điểm D có hoành độ dương GIẢI: Tọa độ. .. ( 1; - ) Gọi C ( c; - 2c – ) ∈AC, có B ( -2; ) => trung điểm M của BC có tọa độ M ( c−2 ; - c ), thay tọa độ M vào pt cạnh AM => c = => C ( 0; - ) Pt cạnh BC: x + y + = Ta có: SABC... tại A, AB:x – y – = 0, BC: x – 2y + = 0, đường thẳng AC qua M ( 1; ) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C GIẢI: Tọa độ B là nghiệm của hệ:  x − y −3= ⇒ B ( 14;11)  x − y + =  1+ cos ·ABC