TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8)

)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ). Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh B và C GIẢI: - Gọi I là trung điểm của BC, ta co´ => I ( , đường thẳng BC đi qua I, co´ nên co´ pt: x – y – 3 = 0  B ( b; b – 3 ) BC, I là trung điểm của BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b

TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8) 1)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ). Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh B và C GIẢI: - Gọi I là trung điểm của BC, ta co´ => I ( , đường thẳng BC đi qua I, co´ nên co´ pt: x – y – 3 = 0  B ( b; b – 3 ) BC, I là trung điểm của BC nên suy ra C ( 7 – b; 4 – b ) * Vậy: B ( 6; 3 ),C ( 1; - 2 ) hoặc B ( 1; - 2 ), C ( 6; 3 ) 2) Cho tam gia´c ABC co´ đỉnh A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC // d, đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M ( 1; 1 ) Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh A, B, C. GIẢI: Do AC vuông go´c BH và đi qua M ( 1; 1 ) nên co´ pt: x – y = 0 Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ: => A ( ) M là trung điểm AC nên C ( ) BC đi qua C và song song d nên BC: x – 4y + 8 = 0 Tọa độ B là nghiệm của hệ: 3) Cho ( C ): x 2 + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0 ( C ’ ): x 2 + y 2 + 4x – 5 = 0 cùng đi qua M ( 1; 0 ). Viê´t pt đường thẳng d đi qua M, că´t cả hai đường tròn tại A và B sao cho MA = 2MB. GIẢI: ( C ) co´ tâm I ( 1; 1 ); R = 1 ( C ’ ) co´ tâm I ’ ( - 2; 0 ); R ’ = 3 d đi qua M nên co´ dạng: ax + by –a = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ). Gọi H, H ’ lần lượt là trung điểm MA, MB. Do MA = 2MB nên MH = 2MH ’ => IM 2 – IH 2 = 4 ( I ’ M 2 – I ’ H 2 ) Vơ´i a = 6b, chọn b = 1 =.> a = 6 => d 1 :6x + y – 6 = 0 Vơ´i a = - 6b, chọn b = - 1 => a = 6 => d 2 :6x – y – 6 = 0 4) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB:x – y – 3 = 0, BC: x – 2y + 8 = 0, đường thẳng AC đi qua M ( 1; 2 ). Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C. GIẢI: Tọa độ B là nghiệm của hệ: A ( a; a -3 ) AB, M ( 1; 2 ) AC => A ( ) AC đi qua M, nên co´ pt: ( x – 1 ) – 7( y – 2 ) = 0 <=> x -7y + 13 = 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ: Vậy: A ( ), B ( 14; 11 ), C ( - 6, 1 ) 5) Tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 2 = 0, AC: 2x + y + 1 = 0, điểm M ( 1; 2 ) thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho co´ gia´ trị nhỏ nhâ´t. GIẢI: BC: a( x – 1 ) + b( y – 2 ) = 0 Tam gia´c ABC cân tại A nên: cos A = cos B <=> Vơ´i: a = b ,ta chọn b = a = 1 => BC: x + y – 3 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ca´c cạnh AB, AC để tìm ra tọa độ B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 ) Do => M thuộc đoạn thẳng BC Vơ´i: a = - b ta chọn b = - 1 => BC: x – y + 1 = 0 => B ( 0; 1 ), C ( ) Do => M nằm ngoài đoạn thẳng BC Vậy ta chọn B ( 4; - 1 ), C ( - 4; 7 ) Gọi I là trung điểm của BC => I ( 0; 3 )Ta co´: Khi D Vậy D ( 0; 3) 6 ) Tam gia´c ABC co´ trọng tâm G ( 1; ), đường trung trực của BC co´ pt: x – 3y + 8 = 0, AB: 4x + y – 9 = 0. Xa´c định tọa độ A, B, C. GIẢI: A ( a; 9 – 4a ), B ( b; 9 – 4b ), do G là trọng tâm nên suy ra C ( 3 – a – b; -7 + 4a + 4b ) Trung điểm I ( ) của BC thuộc trung trực d của BC => (1). Mặt kha´c: => 3( 3 – 2b – a ) + 4a + 8b - 16 = 0 (2 ). Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra: a = 1, b = 3 Vậy A ( 1; 5 ), B ( 3; - 3 ), C ( - 1; 9 ) 7 ) Cho d 1 : x – y + 1 = 0, d 2 : x – 2 = 0, M ( 2; 1 ) Lập pt đường tròn ( C ) đi qua M, co´ tâm I trên d 1 và chă´n trên d 2 một dây cung co´ độ dài bằng 6. GIẢI: ( C ) co´ tâm I ( a; a + 1 ), do d 2 // Oy và ( C ) că´t d 2 theo dây cung co´ độ dài MN 1 = 6 vơ´i N 1 ( 2; 7 ) hoặc MN 2 = 6 vơ´i N 2 ( 2; -5 ) nên ta co´: Vơ´i I 1 ( 3; 4 ), ba´n ki´nh R 1 = I 1 M = Vơ´i I 2 ( -3; -2 ), ba´n ki´nh R 2 = I 2 M = Vậy co´ hai pt đường tròn : ( C 1 ): ( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 10 ( C 2 ): ( x +3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 34 8) Tam gia´c ABC co´ B ( - 2; 1 ), AC: 2x + y + 1 = 0, trung tuyê´n AM: 3x + 2y + 3 = 0. Ti´nh S ABC . HD: Từ 2 pt cạnh AC và AM ta tìm được A ( 1; - 3 ). Gọi C ( c; - 2c – 1 ) AC, co´ B ( -2; 1 ) => trung điểm M của BC co´ tọa độ M ( ; - c ), thay tọa độ M vào pt cạnh AM => c = 0 => C ( 0; - 1 ). Pt cạnh BC: x + y + 1 = 0 Ta co´: S ABC = 9) Cho E ( -1; 0 ) và ( C ): x 2 + y 2 – 8x – 4y – 16 = 0. Viê´t pt d đi qua E và că´t ( C ) theo một dây cung co´ độ dài ngă´n nhâ´t. HD: ( C ) co´ tâm I ( 4; 2 ), R = 6; IE = < 6 => E nằm trong đường tròn ( C ). Giả sử d đi qua E, d că´t ( C ) tại M, N. Gọi H là trung điểm MN => MN = 2. MH Vậy để cho MN min thì d đi qua E, vuông go´c vơ´i IE. Từ đo´ viê´t được d: 5x + 2y + 5 = 0 10) Tam gia´c ABC co´ A ( 2; 1 ), trực tâm H ( 14; - 7 ), trung tuyê´n BM: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ ca´c đỉnh B, C. HD: ptts của BM: => M ( - 2 + 5m ; - 5 + 9m ) , do M là trung điểm AC nên suy ra C ( - 6 + 10m; - 11 + 18m ); B ( -2 + 5b; - 5 + 9b ) BM : Vơ´i m = , b = 1 ta được B ( 3; 4 ), C ( - 1; 2 ) Vơ´i m = ta được B ( 11) Cho đường tròn ( C ): x 2 + y 2 – 9 x – y + 18 = 0, A ( 1; 4 ), B ( - 1; 3 ). Gọi C và D là hai điểm thuộc ( C ) sao cho ABCD là một hình bình hành . Viê´t pt đường thẳng CD. HD: ( C ) co´ tâm I ( ), ba´n ki´nh R = . Vì ABCD là một hình bình hành nên CD // AB => CD: x – 2y + m = 0 Gọi H là trung điểm CD => CH = Vậy co´ hai pt đường thẳng CD thỏa yêu cầu bài toa´n là: x - 2y – 1 = 0 và x – 2y – 6 = 0 12) Cho ( C ): ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 10, B ( 1; 4 ), C ( - 3; 2 ) . Tìm tọa độ điểm A thuộc ( C ) sao cho tam gia´c ABC co´ diện ti´ch bằng 19. GIẢI: Giả sử A ( x; y ) ( C ) => ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 10 ( 1 ) BC: x – 2y + 7 = 0 S ABC = Vơ´i: x – 2y =12, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) ta được: y = hoặc y = - 5.Từ đo´ tìm ra tọa độ A ( Vơ´i x – 2y + 26 = 0, kê´t hợp vơ´i pt ( 1 ) => vô nghiệm Vậy co´ hai điểm A thỏa yêu cầu đề bài: A ( 13) Cho tam gia´c ABC cân tại A, AB: x + 2y – 4 = 0; BC: 3x + y – 7 = 0. Tìm tọa độ ca´c đỉnh A và C, biê´t rằng diện ti´ch tam gia´c ABC bằng và điểm A co´ hoành độ dương. HD: Ta co´ cos B = => tam gia´c ABC vuông cân tại A B ( 2; - 1 ), A ( -2a + 4; a ), C ( c; - 3a + 7 ) S ABC = Do A co´ hoành độ dương nên ta chọn a = 0, lu´c đo´ A ( 4; 0 ) => C ( c; -3c + 7 ) Vậy A (4; 0 ), C ( 3; - 2 ) 14) Cho d: x – 2y + 5 = 0, ( C ): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 5 = 0. Qua điểm M thuộc d, ta kẻ hai tiê´p tuyê´n MA, MB đê´n ( C ) ( A, B là hai tiê´p điểm ). Tìm tọa độ điểm M biê´t AB = 2 HD: ( C ) co´ tâm I ( 1; - 2 ), ba´n ki´nh R = M ( 2m – 5; m ) d Trong tam gia´c vuông IAM, đường cao AH, ta co´: AH = Vậy M ( - 1; 2 ) 15) Cho hình thoi ABCD co´ tâm I ( 2; 1 ), AC = 2CD. Ðiểm M ( 0; ) thuộc đường thẳng AB, điểm N ( 0; 7 ) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ điểm B. HD: Gọi N ’ là điểm đô´i xư´ng của N qua I => N ’ ( 4; -5 ). Ðường thẳng AB đi qua điểm M và N ’ , nên co´ ptts: => B ( 4 -3t ; - 5 + 4t ) ; mặt kha´c pttq của AB:4x + 3y – 1 = 0 Gọi H là hình chiê´u vuông go´c của I trên AB, ta co´ IH = d ( I, AB ) = = 2 Ðặt IB = x => IA = 2x, trong tam gia´c vuông IAB co´: Ta co´: IB 2 = ( 2 – 3t ) 2 + ( - 6 + 4t ) 2 = 5 • Ca´ch kha´c: ( không cần viê´t ptts của AB ) ta co´ thể giải hệ pt: Cu˜ng tìm được tọa độ B. 16) Cho hình chư˜ nhật ABCD co´ diện ti´ch bằng 22, AB: 3x + 4y + 1 = 0, CD: 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C, D. Biê´t điểm D co´ hoành độ dương. GIẢI: Tọa độ B là nghiệm cùa hệ: Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra: AB = 2, AD = 11. D ( d; 2d – 3 ) BD. Ta co´: AD = d ( D, AB ) = 11 <=> => D ( 6; 9 ) AD đi qua D, nên co´ pt: 4x – 3y – 3 = 0 Tọa đô A là nghiệm của hệ: Trung điểm I của AB co´ tọa độ I ( 17) Cho ( C ): x 2 + y 2 – 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; 1 ). Tìm tọa độ B và C thuộc ( C ) sao cho tam gia ´c ABC đều. GIẢI: ( C ) co´ tâm I ( 1; 2 ), ba´n ki´nh R = , A ( 0; 1 ) ( C ) Tam gia´c ABC đều , I là trọng tâm, AI vuông go´c vơ´i BC tại trung điểm H của BC BC đi qua điểm H, Tọa độ B, C là nghiệm của hệ: Giải hệ trên tìm được: B ( hoặc ngược lại. 18) Cho hình vuông ABCD co´ đỉnh A thuộc d: x – y – 4= 0, đường thẳng BC đi qua M ( 4; 0 ), đường thẳng CD đi qua N ( 0; 2 ), tam gia´c AMN cân tại A. Xa´c định tọa độ A, B, C, D. GIẢI: Giả sử A ( t; t – 4 ) d AM 2 = AN 2 <=> ( t -4 ) 2 + ( t – 4 ) 2 = t 2 + ( t – 6 ) 2 <=> t = - 1 => A ( - 1; - 5 ) BC đi qua M co´ dạng: ax + by – 4a = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ) CD đi qua N và vuông go´c vơ´i BC nên co´ dạng: bx – ay + 2a = 0 Vì ABCD là hình vuông nên: AB = AD - Vơ´i 3a = - b, chọn a = 1, b = - 3, ta co´: AB: 3x + y + 8 = 0, CD: 3x + y – 2 = 0, BC: x – 3y – 4 = 0 => B ( - 2; - 2 ), C ( 1; 1 ), D ( 2; - 4 ) - Vơ´i a = 3b, chọn b = 1, a = 3, ta co´: AB: x – 3y + 6 = 0, CD: x – 3y + 6 = 0, BC: 3x + y – 12 = 0 => B ( 5; - 3 ), C ( 3; 3 ), D ( - 3; 1 ) 19) Cho d: 3x + y – 4 = 0 và eli´p ( E ): . Viê´t pt d ’ vuông go´c d và că´t ( E ) tại hai điểm A, B sao cho tam gia´c OAB co´ diện ti´ch bằng 3. GIẢI: Do d ’ vuông go´c d => d ’ : x – 3y + m = 0 Pt hoành độ giao điểm của d ’ và ( E ): 4x 2 + ( x + m ) 2 = 36 <=> 5x 2 + 2mx + m 2 – 36 = 0 ( 1 ) d ’ că´t ( E ) tại 2 điểm phân biệt <=> Vơ´i (x 2 – x 1 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = <=> ( 720 – 16m 2 ).m 2 = 8100 <=> m 2 = Vậy co´ hai pt d ’ thỏa yêu cầu đề bài: x – 3y 20) Cho ( E ): . Viê´t pt đường thẳng d // Oy và că´t ( E ) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4. GIẢI: d // Oy => d: x = a Tung độ giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của pt: Vậy co´ hai pt đường thẳng d là: x = 21) Lập pt chi´nh tă´c của eli´p ( E ), biê´t rằng co´ một đỉnh và hai tiêu điểm của ( E ) tạo thành một tam gia´c đều và chu vi hình chư˜ nhật của ( E ) là 12.(2 + ). GIẢI: Gọi pt elip cần tìm (E): C 2 = a 2 + b 2 Vơ´i hai tiêu điểm F 1 (-c;0), F 2 (c;0) Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B 1 (0;-b), B 2 (0;b) Hai đỉnh trên trục lơ´n là: A 1 (-a;0), A 2 (a;0) • Theo đề ta suy ra B 1 F 1 F 2 đều hoặc B 2 F 1 F 2 đều • Từ đo´ ta co´ hệ pt: * Từ (1) và (2): a 2 -b 2 = => a 2 = <=> b 2 = <=> b= , thay vào (3) ta được: a + b = 3(2+ => a=6 Vơ´i a=6 => b= 3 , c=3 Vậy (E): Bài 22: Cho (E): . Viê´t pt chi´nh tă´c của đường thẳng d đi qua điểm I(2;1) và că´t (E) tại hai điểm M, N. Sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN. GIẢI: PTCT của d đi qua I(2;1) co´ dạng (a, b và => M(2+at 1 ; 1+bt 1 ) d N(2+at 2 ; 1+bt 2 ) d * Trung điểm I của MN co´ tọa độ thỏa hệ pt <=> => t 1 + t 2 = 0 (vì a, b ) (1) M, N => t 1 và t 2 là nghiệm của pt <=> [...]... Ðây là pt bậc hai ẩn sô´ t, pt luôn co´ hai nghiệm phận biệt t1, t2 Theo Vi-e´t, ta co´: => t1 + t2 = => 9a + 8b = 0, Chọn a=8, b= -9 Thì co´ (d): (theo (1)) . TỌA ÐỘ TRONG MẶT PHẲNG – LTÐH 2013 (Bài đăng sô´ 8) 1)Cho tam gia´c ABC co´ A (- 3; 6 ), trực tâm H ( 2; 1 ), trọng tâm G ( ). Xa´c định tọa độ ca´c đỉnh B và. bằng 22, AB: 3x + 4y + 1 = 0, CD: 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ ca´c đỉnh A, B, C, D. Biê´t điểm D co´ hoành độ dương. GIẢI: Tọa độ B là nghiệm cùa hệ: Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra:. nên co´ pt: 4x – 3y – 3 = 0 Tọa đô A là nghiệm của hệ: Trung điểm I của AB co´ tọa độ I ( 17) Cho ( C ): x 2 + y 2 – 2x – 4y -5 = 0, A ( 0; 1 ). Tìm tọa độ B và C thuộc ( C ) sao