Tuyển chọn 100 bài toán hình học giải tích phẳng oxy nguyễn minh tiến

CHUN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC - WWW.TOANMATH.COM Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1 ) : 2x + y + = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng (d2 ) : 2x + y − = Biết điểm M (3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải tham khảo : Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M trung điểm BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH HC phương −−→ −−→ AH = (b − 1; − 2b) HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH HC phương ⇒ b−1 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − −−→ −−→ H chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = (2) Thay (1) vào (2) ta 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + (11 − 6a) + 27 =  b=2  ⇔ 35b − 122b + 104 = ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) : x − 3y − = Biết hai đường chéo AC BD vng góc với cắt điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích Lời giải tham khảo : ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vng cân I Ta có CD = 2d (I; CD) = √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD qua điểm I nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − = D giao điểm BD CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x = SIBC ; SICD = 10  √ (tm) x = √ 45 ⇒ SABCD = x2 + 2x + 10 = ⇔ √ 2 x = −5 (loai) ⇒ −→ −→ DI = ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài toán giải xong Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vng ABCD cho tam giác EBC cân có BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4) Lời giải tham khảo : Tam giác BEC cân có BEC = 150o ⇒ tam giác BEC cân E Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒ H trung điểm AD HE = d (E; AD) = Đặt cạnh hình vng AB = x x Tam giác BEC cân E có BEC = 150o ⇒ EBC = 15o Gọi I trung điểm BC ⇒ BI = ; EI = x−3 Tam giác BIE vuông I có góc EBI = 15o ⇒ tan 15o = Tổng hợp toán đặc sắc EI 2x − = BI x HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒2− √ 3= √ 2x − ⇔x=2 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vng góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = √ √ |α − 4| = BI = ⇔ α = ± 5 √ Phương trình đường thẳng AB (d) : 4x + 3y + ± = Ta có d (E, AB) = Bài toán giải xong Đề 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = M trung điểm AC ⇒ M (1) 4a + − 2c 3a + c + ; Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 (2) Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) Bài toán cở : Biết tọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm đường thẳng AC Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt − n n → = (a; b) vtpt đường thẳng AC Gọi − n 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân A ⇒ cos (− n n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50 10 10 a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại phương với − → Với a = −7b chọn − n n → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − = Với a = b chọn − n Tọa độ C giao điểm BC AC ⇒ C (3; −2) Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) : x + 7y + 11 = Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + = Biết điểm 180 Tìm tọa độ đỉnh tam M (1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC giác ABC Lời giải tham khảo : Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A giao điểm (d1 ) (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) I AC N MN qua M ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − = I giao điểm MN (d2 ) ⇒ I (0; 1) I trung điểm MN ⇒ N (−1; 2) Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − = (AC) : 3x − y + = Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + − a) ⇒ (b − 3a − 1) + (3b + − a) = ⇔ 5b − 7a + = (1) 180 |8b + 14| (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) AB = √ 10  a=  Từ (1) (2) ⇒  thay ngược lại ta có điểm A, B, C 22 a=− (2) Bài toán giải xong Đề 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình (d) : 2x − y + = 0, điểm G 0; trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ bé −2 Lời giải tham khảo : Gọi M trung điểm AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → vtpt đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n √ √ n1 = (2; −1) n2 = (a; b) vtpt đường thẳng BG |2a − b| →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = n2 ) = 2 2 a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = ⇔  a=− b → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − = Với a = 3b chọn − n n 2    x=− loại hoành độ điểm B nhỏ −2 B giao điểm AB BG ⇒ 13   y= Với a = − b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + = chọn − n n 2 B giao điểm AB BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ −−→ M trung điểm AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vng góc với AB ⇒ AC : x + 2y − = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải xong Đề 08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm ; Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F B Biết điểm D (3; 1) phương trình đường thẳng EF có phương trình (d) : y − = Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ khơng âm Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D ⇒ BC : y − = ⇒ BC//EF Do tam giác ABC cân A D trung điểm BC Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒ AD : x − = Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a− 25 + 22 = ⇔ a− 2  a=2 = ⇔ a = −1 a = ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x − 3y + = A giao điểm AB AD ⇒ A 3; 13 a = −1 ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x + 3y − = A giao điểm AB AD ⇒ A 3; − Vậy điểm A 3; ( loại) 13 Đề 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD 3x + 4y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật biết B có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vng A có BD2 = AB + AD2 = 5AB ⇒ BD = AB AB =√ BD → = (3; 4) Gọi → − vtpt − n n = (a; b) vtpt đường thẳng AB  11 a=− b  ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = ⇔  a=− b ⇒ cos ABD = Phương trình đường chéo BD có ⇒ cos ABD = |3a + 4b| √ =√ 2 5 a + b Với a = − 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 14 ; 5 loại B có hồnh độ âm − Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vng góc với AB ⇒ AD : 2x + y − = Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1) Trung điểm I BD có tọa độ I 1; ⇒ C (1; 0) Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) Bài toán giải xong Đề 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √ (d) : x − y = Đường thẳng AB qua điểm P 1; , đường thẳng CD qua điểm √ Q −2; −2 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết độ dài AB = AC điểm B có hồnh độ lớn Lời giải tham khảo : Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC ⇒ ABC = 60o ⇒ ABD = 30o → = (1; −1) Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) vtpt AB √ √ |a − b| →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = ⇔ a = −2 ± b n) = √ √ 2 a2 + b2 √ √ − − Với a = −2 − b chọn → n = −2 − 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ AB : + x − y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 2 √ ; √ 1+ 1+ loại xB > √ √ − − Với a = −2 + b chọn → n = −2 + 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ √ AB : − x − y − + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √ √ Ta có CD // AB CD qua điểm Q ⇒ CD : − x − y + − = Tọa độ điểm D giao điểm BD CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k hình thoi trung điểm BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường chéo AC qua điểm K vng góc với BD ⇒ AC : x + y + = Tọa độ điểm A giao điểm AB AC ⇒ A ( ) Tọa độ điểm C giao điểm CD AC ⇒ C ( ) Bài toán giải xong Đề 11 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trực cạnh BC trung tuyến xuất phát từ đỉnh C (d1 ) : 2x+y−5 = 0; (d2 ) : x+y−6 = 0.Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo : Giả sử điểm B (a; b) Ta có trung điểm AB M ⇒ a+5 b+2 ; 2 ∈ (d2 ) a+5 b+2 + − = ⇔ a + b − = ⇔ b = − a ⇒ B (a; − a) 2 Lấy điểm C (c; − c) ∈ (d2 ) (d1 ) trung trực BC ⇒ trung điểm BC N a + c 13 − a − c ; 2 ∈ (d1 ) 13 − a − c −5=0⇔a+c+3=0 (1) −−→ → −−→ (d1 ) trung trực BC ⇒ BC⊥(d1 ) ⇒ BC⊥− ud1 ta có − u→ d1 = (1; −2) ; BC = (c − a; a − − c) ⇒a+c+ ⇒ c − a − (a − − c) = ⇔ 3c − 3a + =     c + a = −3  a=− Từ (1) (2) ta có ⇔  3c − 3a = −2   c = − 11 (2) ⇒ tọa độ điểm B C Bài toán giải xong Đề 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2) Xác định tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo : Gọi D điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD đường kính đường trịn tâm I I trung điểm AD ⇒ D (5; −1) AD đường kính đường trịn tâm I ⇒ CD⊥AC, H trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD hình bình hành ⇒ BC DH cắt trung điểm đường Tổng hợp toán đặc sắc 10 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − • Với b = 2a ⇒ → n = (1; 2), phương trình đường thẳng CF : x + 2y − = C giao điểm CF CE ⇒ C (6; −1) ( thỏa mãn C có hồnh độ dương ) Phương trình đường thẳng EF qua F vng góc với CF ⇒ EF : 2x − y − = E giao điểm CE EF ⇒ E (0; −3) √ D giao điểm đường trịn tâm C bán kính CD = 3a = đường tròn tâm F bán kính √ F D = b = 2D (3; 2) Đến tốn đơn giản • Với a = −2b xét tương tự Đề 81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình cạnh BC (d) : 2x − y + = Điểm I trung điểm cạnh BC, điểm E (4; 1) nằm cạnh AB Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC 90 Lời giải tham khảo Tam giác ABC cân A ⇒ AI vừa đường cao vừa đường phân giác góc A Phương trình đường phân giác AI qua A vng góc với BC ⇒ AI : x + 2y + = Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AI AC F M Phương trình đường thẳng EM qua E vng góc với AI ⇒ EM : 2x − y − = Tọa độ điểm F giao điểm EM AI ⇒ F (2; −3) F trung điểm EM ⇒ M (0; 7) Lấy điểm B (b; 2b + 3) ∈ BC ⇒ C (−4 − b; − 2b) Tam giác ABC cân A ⇒ ABC = ACB hay (BE, BC) = (M C, BC) −−→ −−→ −−→ BE = (b − 4; 2b − 2) , M C = (4 + b; 2b − 2) , BC = (1; 2)  b=1 |5b| |b − + 2b − 4| ⇒√ √ =√ √ ⇔ 5b2 − 16b + 20 5b2 + 20 b=4 Nguyễn Minh Tiến 23 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ • Với b = ⇒ B (1; 5) ⇒ C (−5; −7) ⇒ BC = √ S = AI.BC = 90 ⇒ AI = Lấy điểm A (−2a − 4; a) ∈ AI   a = A (−14; 5) ⇒ AI = (2a + 2)2 + (a + 1)2 = 90 ⇔  ⇒ a = −7 A (10; −7) • Với b = xét tương tự Bài toán giải xong Đề 82 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = M trung điểm AC ⇒ M ⇒ 4a + − 2c 3a + c + ; Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 Nguyễn Minh Tiến (1) (2) 24 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) Bài toán cở : Biết tọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 83 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M (−1; −1) , N (0; 2) trung điểm AB AC Điểm D (1; 0) chân đường phân giác góc A Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua D song song với MN ⇒ BC : 3x − y − = Điểm B ∈ BC ⇒ B (b; 3b − 3) M trung điểm AB ⇒ A (−2 − b; − 3b), N trung điểm AC ⇒ C (2 + b; + 3b) Ta có DB = (1 − b)2 + (3 − 3b)2 = 10 (b − 1)2 DC = (b + 1)2 + (3 + 3b)2 = 10 (b + 1)2 AB = (b + 1)2 + (3b − 2)2 = 20 2b2 − 2b + AC = (b + 2)2 + (3b + 1)2 = 20 2b2 + 2b + AD phân giác góc BAC ⇒ DB DC DB DC = ⇒ = AB AC AB AC (b − 1)2 (b + 1)2 (b − 1)2 (b + 1)2 = ⇔ = ⇔ b2 (b − 1)2 = b2 (b + 1)2 ⇔ b = 2b2 − 2b + b2 + 2b + b2 + (b − 1)2 b2 + (b + 1)2 Với b = ⇒ A (−2; 1) , B (0; −3) , C (2; 3) Bài toán giải xong Đề 84 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH, thỏa mãn BC = 3BH Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có phương trình (C) : x2 + y − 4x − 2y = 0, phương trình đường thẳng AC x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm A có tung độ dương Lời giải tham khảo : A có tung độ dương A giao điểm (C) AC ⇒ A (1; 3) A (0; 2) • Với A (1; 3) có tam giác ABH vng H ⇒ tâm đường trịn I (2; 1) chình trung điểm AB Nguyễn Minh Tiến 25 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ B (3; −1) Điểm C ∈ AC ⇒ C (c; c − 2) Ta có BC = 3BH ⇒ H H ∈ (C) ⇒ c+6 −2 + c −1 c+6 c ; 3 = ⇒ c = ⇒ C • Với A (0; 2) xét tương tự Bài toán giải xong Đề 85 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm A (−2; 3) Điểm M (4; −1) nằm cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng DC điểm N (7; −3) Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD Lời giải tham khảo : Ta có M N = ⇒ √ √ 13, AN = 13 Tam giác NAD tam giác NMC đồng dạng MN MC = = ⇒ AD = 3M C ⇒ BC = 3M C, BM = 2M C AN AD Tam giác ABM vng B có BM + AB = AM ⇔ BM + BM = 52 ⇒ BM = ⇒ AB = AB = ⇒ B ∈ (C1 ) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 36 BM = ⇒ B ∈ (C2 ) : (x − 4)2 + (y + 1)2 = 14 B giao điểm (C1 ) (C2 ) ⇒ B (4; 3) B 35 ;− 13 13 • Với B (4; 3) ⇒ phương trình đường thẳng BM qua B M BM : x − = Có BM = 2MC ⇒ C (4; −3) Phương trình đường thẳng CD qua C N ⇒ CD : y = −3 Có DC = 2CN ⇒ D (−2; −3) Nguyễn Minh Tiến 26 Maths287 • Với B HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 35 ;− 13 13 xét tương tự Đề 86 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T ) : x2 + y − 4x − 2y = đường phần giác góc BAC có phương trình x − y = Biết diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC với I tâm đường trịn (T ) điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC Lời giải tham khảo : A giao điểm phân giác x − y = đường tròn (T ) ⇒ A (3; 3) ( A có tung độ dương ) Giao điểm thứ hai phân giác x − y = với (T ) O (0; 0) điểm cung BC ⇒ IO ⊥ BC I tâm đường tròn (T ) ⇒ I (2; 1) Phương trình đường thẳng BC vng góc với ID ⇒ BC có dạng (d) : 2x + y + α = Ta có diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC ⇒ d (A, (d)) = 3d (I, (d))   α = −3 (d) : 2x + y − = |9 + α| |5 + α| √ ⇒ √ = ⇔ ⇒ 5 α = −6 (d) : 2x + y − = Đề 87 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD với điểm N (1; 2) trung điểm BC Đường thẳng (d) : 5x − y + = đường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ADN Tìm tọa độ A, B, C, D hình vng Lời giải tham khảo : Đặt cạnh hình vng AB = 2a ⇒ BN = CN = a √ √ Tam giác ABN vuông B ⇒ AN = AB + BN = 5a2 ⇒ AN = a ⇒ DN = a tam giác ADN có AM đường trung tuyến ⇒ AM = tam giác AMN có cos M AN = Nguyễn Minh Tiến AN + AD2 DN 13a2 − = 4 AN + AM − M N =√ 2.AN.AM 65 27 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − Gọi → n = (a; b) vecto pháp tuyến đường thẳng AN  a = 3b |5a − b|  2 ⇒ cos M AN = √ √ = √ ⇔ 27a − 50ab − 93b = ⇔  31 65 26 a2 + b2 a=− b 27 − • Với a = 3b chọn → n = (3; 1) ⇒ AN : 3x + y − = A giao điểm AN AM ⇒ A ; 2 Đến toán đơn giản Đề 88 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho tam giác ABC vuông cân A có I trung điểm cạnh BC Gọi M trung điểm IB N điểm nằm đoạn thẳng IC 11 cho N C = 2N I Biết M ; −4 , phương trình đường thẳng AN : x − y − = điểm A có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : Tam giác ABC vuông cân A ⇒ IA = IB = IC = d ⇒ IM = IB d IC d = , IN = = 2 3 Tam giác AIM vuông I ⇒ AM = AI + IM = Tam giác AIN vuông I ⇒ AN = AI + IN = 5d2 10d2 5d Xét tam giác AMN có √ AM + AN − M N 2 cos M AN = = 2AM.AN M N = IM + IN = a− Điểm A (a; a − 2) ∈ AN ta có cos M AN = √ 11 +a+2 a− 11 2 + (a − 2)2 √ = ⇔ a = −2 ⇒ A (−2; −4) √ √ √ 5 15 Ta có AM = ⇒ d = ⇒ AN = 2, M N = Điểm N ∈ AN ⇒ N (n; n − 2) ⇒ N (3; 1) 2 Đến tốn đơn giản Đề 89 ( THTT lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (T ) : x2 + y = 2x Tam giác ABC vng A có AC tiếp tuyến đường trịn (T ) A tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A điểm H (2; 0) Xác định tọa độ đỉnh B tam giác biết diện tích tam giác ABC S = √ điểm B có tung độ dương Nguyễn Minh Tiến 28 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo : Đường tròn (T ) có tâm I (1; 0) bán kính R = Ta có AC tiếp tuyến đường trịn (T ) ⇒ đường thẳng AB qua điểm I, mặt khác H ∈ (T ) ⇒ IA = IH tam giác ABH vuông H ⇒ (T ) đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH hay AB đường kính AB = 2 1 Diện tích tam giác ABC S = AB.AC = 2.AC = √ ⇒ AC = √ 2 3 Tam giác ABC vuông A ⇒ BC = AB + AC ⇒ BC = √ lại có S = AH.BC = √ AH = √ ⇒ AH = 2 3 √ Tam giác ABH vuông H ⇒ BH = AB − AH = ⇒ BH = √ ⇒ B thuộc đường trịn tâm H bán kính BH = ⇒ (H) : (x − 2)2 + y = √ B giao điểm (T ) (H) ⇒ B ; ( B có tung độ dương ) 2 Đề 90 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên tia đối tia DA lấy điểm P cho ABP = 60o Gọi K, M (1; 2) , N (1; 1) theo thứ tự trung điểm BP, CP KD Xác định tọa độ đỉnh D hình vng ABCD Lời giải tham khảo : Tam giác CPB có MK đường trung bình ⇒ MK // BC M K = BC Gọi Q trung điểm AD ⇒ DQ = AD, ABCD hình vng ⇒ MK // DQ MK = DQ ⇒ MKQD hình bình hành ⇒ MQ cắt KD trung điểm đường ⇒ N trung điểm MQ Tam giác AKD có NQ đường trung bình ⇒ AK = 2NQ hay AK = 2MN = Nguyễn Minh Tiến 29 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác ABP vng A có K trung điểm cạnh huyền BP ⇒ AK = KB = KP = ABP = 60o ⇒ tam giác ABK ⇒ AB = ⇒ DQ = 1, N trung điểm MQ ⇒ Q (1; 0) √ Tam giác AKD cân A có góc KAD = 30o ⇒ DK = AK + AD2 − 2.AD.AK cos KAD = − √ √ 8− ⇒ KD = − ⇒ N D = KD = 2 √ √ 2− 8− 2 Có N D = ⇒ D thuộc đường trịn tâm N bán kính ND (N ) : (x − 1) + (y − 1) = QD = ⇒ D thuộc đường trịn tâm Q bán kính QD (Q) : (x − 1)2 + y = D giao điểm (N ) (Q) Đề 91 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho cho hình chữ nhật ABCD có diện tích √ 2 Gọi M (0; 1), N trung điểm BC CD Đường thẳng AN có phương trình √ 2x + y − = Tìm tọa độ điểm A Lời giải tham khảo : Đặt cạnh hình chữ nhật AB = CD = 2a, AD = BC = 2b ⇒ BM = CM = b, CN = DN = b √ 1 1 theo hình vẽ ta có S1 = 2a.b = ab, S2 = ab, S3 = 2b.a = ab, SABCD = 4ab = 2 ⇒ ab = √ 2 2 ⇒ S4 = SABCD − S1 − S2 − S3 = 4ab − ab − ab − (1) ab 3ab = = √ 2 2 3 d (M, AN ) = 1, S4 = AN.d (M, AN ) = AN = √ ⇒ AN = √ 2 2 Nguyễn Minh Tiến 30 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác ADN vuông D ⇒ AN = a2 + 4b2 = (2) √ √ từ (1) (2) ⇒ a = √ , b = ⇒ AB = 2, AD = ⇒ AM = 3, M N = √ AM + AN − M N 2 xét tam giác AMN có cos M AN = =√ 2.AM.AN 3 Đến toán đơn giản ( viết phương trình đường thẳng AM qua điểm M tạo với AN góc cho trước ) Đề 92 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho cho hình bình hành ABCD, trực tâm , điểm B thuộc tam giác BCD H(4; 0), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD I 2; đường thẳng 3x − 4y = BC qua M (5; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD, biết điểm B có hồnh độ dương Lời giải tham khảo : Gọi K trung điểm AB, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ⇒ IK ⊥ AB H trực tâm tam giác BCD ⇒ BH ⊥ CD hay BH ⊥ AB tam giác ABH vng B Xét ∆ABH có IK // BH K trung điểm AB nên IK qua trung điểm AH Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABD từ ⇒ HA đường kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABD I trung điểm AH ⇒ A (0; 3) Đề 93 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BAC = 135o , trực 11 13 tâm H(−1; 1), trung điểm cạnh BC M ; Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, 2 biết phương trình đường cao BH x − 3y + = Lời giải tham khảo : Nguyễn Minh Tiến 31 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG −−→ Điểm B ∈ BH ⇒ B (3b − 4; b), M trung điểm BC ⇒ C (15 − 3b; 13 − b) ⇒ CH = (16 − 3b; 12 − b) −−→ Ta có AB ⊥ CH ⇒ CH vecto pháp tuyến đường thẳng AB ta có BAC = 135o ⇒ ABH = 45o ⇒ cos ABH = √  b=8 = √ ⇔ b2 − 12b + 32 = ⇔  b=4 10 (16 − 3b)2 + (12 − b)2 |16 − 3b − (12 − b)| • Với b = ⇒ B (4; 8) ⇒ C (3; 9) Phương trình AH qua H vng góc với BC ⇒ AH : x − y + = Phương trình AC qua C vng góc với BH ⇒ AC : 3x + y − 18 = A giao điểm AH AC ⇒ A (4; 6) • Với b = xét tương tự Đề 94 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I(2; 1), bán kính Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tam giác ABC có trực tâm H(−1; −1), sin BAC = điểm A có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : Ta có diện tích ∆ ABC S = AB.AC.BC = AB.AC sin BAC ⇒ BC = 4R Gọi M trung điểm BC dễ tính IM = 3, gọi G trọng tâm tam giác ABC có AH HG = = ⇒ AH = IM GO Có AH = IA = từ suy điểm A Bài toán đến đơn giản Nguyễn Minh Tiến 32 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 95 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC điểm M (3; −1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B qua điểm E (−1; −3) đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm F (1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm D (4; −2) Lời giải tham khảo : Gọi H trực tâm tam giác ABC dễ dàng chứng minh BHCD hình bình hành ⇒ M trung điểm HD ⇒ H (2; 0) Phương trình đường BH qua E H ⇒ BH : x − y − = Phương trình đường thẳng AC qua điểm F vng góc với BH ⇒ AC : x + y − = Phương trình đường thẳng CD qua D vng góc với AC ⇒ CD : x − y − = C giao điểm AC CD ⇒ C (5; −1), M trung điểm BC ⇒ B (1; −1) Phương trình đường cao AH qua H vng góc với BC ⇒ AH : x − = A giao điểm AH AC ⇒ A (2; 2) Đề 96 ( k2pi - Lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B có BC = 2AB, điểm M (2; −2) trung điểm AC Gọi N điểm BC cho BN = BC Điểm H ; giao điểm AN BM Xác định tọa độ đỉnh tam 5 giác ABC biết N thuộc đường thẳng (d) : x + 2y − = Lời giải tham khảo : Tam giác ABC vng B có M trung điểm AC ⇒ M A = M B = M C ⇒ BCA = CBM Tam giác ABC vuông B ⇒ tan BCA = Nguyễn Minh Tiến BA = BC 33 Maths287 Tam giác ABN vuông B ⇒ tan BAN = HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG BN BC = = AB 4AB BCA = BAN ⇒ CBM = BAN , có BN A + BAN = 90o ⇒ CBM + BN A = 90o ⇒ ∆BN H vuông H ⇒ BM ⊥ AN Phương trình đường thẳng NH qua H vng góc với MH ⇒ N H : x − 3y + = N giao điểm NH (d) ⇒ N (2; 2) Tam giác BAH vng H có tan BAH = ⇒ AH = 2BH ⇒ BH = 2N H ⇒ AH = 4HN −−→ −−→ điểm A ∈ N H ⇒ A (3a − 4; a) đồng thời AH = 4HN ⇒ AH = 4HN ⇒ A (−4; 0) tam giác BNH vuông H có tan CBM = M trung điểm AC ⇒ C (8; −4) Phương trình đường thẳng BC qua C N ⇒ BC : x + y − = Phương trình đường thẳng BM qua H M ⇒ BM : 3x + y − = ⇒ B (0; 4) Đề 97 ( boxmath - Lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có CD = 2AB = 2AD Điểm E (3; 4) nằm cạnh AB, đường thẳng (d) qua E vng góc với DE cắt đường thẳng BC điểm F (6; 3) Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD biết đỉnh D có tung độ nhỏ Lời giải tham khảo : Kẻ BH vng góc với CD, tứ giác ABHD có BAD=ADH=BHD=900 ⇒ ABHD hình chữ nhật ⇒ HD = AD ⇒ HD = CD = HC Hình chữ nhật ABHD có AB = AD ⇒ ABHD hình vng ⇒ HB = HD = HC Tam giác BHC vuông cân H ⇒ HBC = 45o Mà ABHD hình vng ⇒ DBH = 45o ⇒ DBC = DBH + HBC = 90o Gọi M trung điểm DE Tam giác EDF vng E có EM = DF Nguyễn Minh Tiến 34 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác DBF vuông B có BM trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ BM = M F = DF ⇒ EM = BM ⇒, tam giác EMB cân M ⇒ M EB = EBM Tam giác ABD vuông cân A ⇒ ABD = 45o ⇒ ABC = 90o + 45o = 135o Tam giác BMF cân M ⇒ M F B = M BF Ta có M EB + M F B = M BE + M BF = ABC = 135o Tứ giác MEBF có ABC + M EB + M F B = 1350 + 135o = 270o ⇒ EM F = 360o − 270o = 90o ⇒ EM vng góc với DF Tam giác EDF có EM vừa trung tuyến vừa phân giác ⇒ tam giác EDF cân E ⇒ ED = EF Đến đơn giản Đề 98 ( boxmath) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (0; 6) , B (−2; 0) , C (5; 0) M N P Q hình vng nội tiếp tam giác ABC cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC , Q thuộc cạnh AB Tìm tọa độ điểm M, N, P, Q Lời giải tham khảo : ta có AB : 3x − y + = 0, BC : y = 0, AC : 6x + 5y − 30 = M, N thuộc cạnh BC ⇒ M (m; 0) , N (n; 0) M N P Q hình vng MQ ⊥ BC ⇒ Q (m; 3m + 6) ( Q ∈ AB) NP ⊥ BC ⇒ N MNPQ hình vng ⇒ MN // PQ ⇒ 3m − = − n ⇔ 15m + 6n = −5 đồng thời MN = MQ ⇒ 3m − = |m − n| n; − n (1) (2) từ (1) (2) ⇒ MNPQ Đề 99 ( boxmath) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm B thuộc đường thẳng (d) : 5x + 3y − 10 = Gọi M điểm đối xứng với D qua C, H K (1; 1) hình chiếu D, C lên AM Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết phương trình đường thẳng qua H tâm I hình vng (d1 ) : 3x + y + = Lời giải tham khảo : Tam giác MDH vuông H có CK // DH ⇒ K trung điểm MH hai tam giác ADM DHM đồng dạng ⇒ AD DH = = ⇒ DH = HK = KM DM MH dễ thấy hai tam giác ∆ADH = ∆M CK ⇒ AH = CK, lại có BAH = BCK Nguyễn Minh Tiến 35 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ∆BAH = ∆BCK ⇒ BH = BK ABH = KBC ⇒ ABH + HBC = KBC + HBC = 90o ⇒ BH ⊥ BK hay tam giác BHK vuông cân B ⇒ BHK = 45o ta có ∆DHI = ∆KHI ⇒ KHI = DHI = 45o ⇒ BHI = BHK + KHI = 90o ⇒ BH ⊥ HI hay BK // HI ( vng góc với BH ) Phương trình đường thẳng BK qua K song song với HI ⇒ BK : 3x + y − = ⇒ B ; 2 Phương trình BH qua B vng góc với HI ⇒ BH : x − 3y + = ⇒ H (−1; 2) K trung điểm MH ⇒ M (3; 0) Phương trình BI qua điểm B vng góc với BM ⇒ BI : x − y + = ⇒ I − ; 4 I trung điểm BD ⇒ D (−2; 0) C trung điểm DM ⇒ C ;0 ⇒ A −2; Đề 100 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tọa độ điểm B (2; 0), đường thẳng qua đỉnh B vng góc với đường chéo AC có phương trình (d) : 7x−y−14 = 0, đường thẳng qua đỉnh A trung điểm BC có phương trình (d1 ) : x+2y−7 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (7 − 2a; a), gọi F trung điểm BC ⇒ F ∈ (d1 ) ⇒ F (7 − 2b; b) −−→ −−→ ta có BF ⊥ AB ⇒ AB ⊥ BF ⇒ (5 − 2a) (5 − 2b) + ab = (1) F trung điểm BC ⇒ C (12 − 4b; 2b), ta có AC ⊥ (d) ⇒ (5 + 2a − 4b) + (2b − a) = (2)      A (−1; 4)  a=4 từ (1) (2) ⇒ 3 ⇒   F 4;  b= ⇒ C (6; 3) 2 Nguyễn Minh Tiến 36 Maths287 Gọi I tâm hình chữ nhật ⇒ I Nguyễn Minh Tiến HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ; 2 ⇒ D (3; 7) 37 ... giao điểm AB BD ⇒ B 14 ; 5 Bài toán giải xong Nguyễn Minh Tiến Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp... ⇒a+b=2 ∈ (d) (2) Từ (1) (2) ⇒ a = ; b = ⇒ A, B Nguyễn Minh Tiến Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 54 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I, điểm K (0; 2) thuộc... BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài toán giải xong Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vng