Tuyển tập đề tuyển sinh lớp 10 môn toán sở GD đt hà nội (từ 1998 đến 2020)

Mục lục Đề số Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 1998 Đề số Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 1999-2000 Đề số Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2000 Đề số Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2001-2002 Đề số Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2002 Đề số Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2003-2004 13 Đề số Đề thi Toán vào lớp 10 năm học 2004-2005, Hà Nội 14 Đề số Đề thi vào lớp 10, Sở GD&ĐT Hà Nội năm 2006 18 Đề số Đề thi vào lớp 10, Sở GD&ĐT Hà Nội năm 2007 21 Đề số 10 Đề thi vào 10, Sở GD&ĐT Hà Nội năm 2008 24 Đề số 11 Đề thi vào lớp 10, Sở GDHN, năm 2009 - 2010 29 Đề số 12 Đề thi vào lớp 10 - TP Hà Nội năm 2010 32 Đề số 13 Đề Tuyển sinh vào 10 SGD Hà Nội 2011 35 Đề số 14 ĐỀ THI VÀO LỚP 10, SGD HÀ NỘI 2012 38 Đề số 15 ĐỀ THI VÀO LỚP 10, SGD HÀ NỘI 2013 41 Đề số 16 ĐỀ THI VÀO LỚP 10, SGD HÀ NỘI 2014 45 Đề số 17 ĐỀ THI VÀO LỚP 10, SGD HÀ NỘI 2015 48 Đề số 18 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2016-2017 52 Đề số 19 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2017-2018 56 Đề số 20 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2018-2019 61 Đề số 21 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, TP Hà Nội, 2019-2020 64 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 1998 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (khơng kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu tính chất phân thức đại số Các đẳng thức sau hay sai, sao? 3(x2 + 1) = 3; x2 + 5m − 25 m−5 = 15 − 5m m−3 Đề 2: Chứng minh rằng: cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng B Bài tập bắt buộc(8 điểm) ã Å ã Å x+4 2x + √ : 1− Câu Cho biểu thức P = √ −√ x−1 x+ x+1 x3 − a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên dương Lời giải a) Å P = = = = = ã Å ã 2x + x+4 √ √ : 1− −√ x−1 x+ x+1 x3 − √ Å ã 2x + 1 x+ x+1−x−4 √ √ √ −√ : ( x − 1)(x + x + 1) x−1 x+ x+1 √ √ 2x + − x − x − x + x + √ √ · √ ( x − 1)(x + x + 1) x−3 √ √ x− x x+ x+1 √ √ · √ ( x − 1)(x + x + 1) x−3 √ √ √ x( x − 1) x √ √ =√ ( x − 1)( x − 3) x−3 √ x b) Có P = √ =1+ √ x−3 x−3 √ Để P nhận giá trị nguyên dương x − phải ước √ √  x−3=3 x=6 x = 36 √  √     x−3=1  x=4 x = 16 ⇒ ⇔ ⇔ √ √   x=2 x =  x − = −1    √ √ x = x − = −3 x=0 Câu Giải toán sau cách lập phương trình: Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định Sau nửa quãng đường người dừng lại nghỉ 18 phút Do để đến B hẹn người tăng vận tốc thêm km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu thời gian xe lăn bánh đường Lời giải Gọi x km/h vận tốc ban đầu người đó, suy vận tốc lúc sau (x + 2) km/h 18 Thời gian người với vận tốc ban đầu nửa đoạn đường sau x Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 18 x +Å2 ã 18 18 1 18 = = + ⇔ 18 − Do người đến B hẹn nên x 60 x + x x+2 10 x = 10 ⇔ 320 = x2 + 2x ⇔ x2 + 2x − 120 = ⇔  x = −12 Vậy vận tốc ban đầu người x = 10 km/h 18 18 Tổng thời gian xe lăn bánh T = + = 3,3 h x x+2 Thời gian người phải di chuyển tăng tốc Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh AE · AB = AF · AC c) Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I trung điểm BC d) Chứng minh diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vuông cân Lời giải B I E H A F C a) Do E F thuộc đường trịn đường kính AH nên AEH = AF H = 90◦ Mà EAF = 90◦ nên tứ giác AEHF hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vng) b) Tam giác vng ABH có HE đường cao nên AE · AB = AH Tam giác vng ACH có HF đường cao nên AF · AC = AH Vậy AE · AB = AF · AC AE AC = AF AB AEF ACB ⇒ AF E = ABI c) Ta có AE · AB = AF · AC ⇒ Mà góc A chung nên Mà AF E = BAI (cùng phụ với góc AEF ) nên BAI = ABI, suy IAB cân I, IA = IB Chứng minh tương tự ta có IA = IC, nên I trung điểm BC Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh d) Giả sử SABC = 2SAEHF ⇒ Thầy Luân - 0971610990 SAEF EF = = ⇒ EF = BC SACB BC BC EF = AH, nên AH = AI Suy H ≡ I ABC vuông cân A Mà ta có AI = Vậy Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TP HÀ NỘI, 1999-2000 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu hai quy tắc đổi dấu phân thức Viết công thức minh hoạ cho quy tắc 2a2 a + b2 Áp dụng: thực phép tính: + a−b b−a Đề 2: Phát biểu định lí góc nội tiếp đường trịn Chứng minh định lí trường hợp tâm O nằm cạnh góc B Bài tập bắt buộc (8 điểm) Å √ ã Å ã x √ Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P = √ : √ − + x−1 x− x x+1 x−1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm số m để có giá trị x thoả mãn P · √ x=m− √ x Câu (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tải với vận tốc 40 km/h, xe với vận tốc 60 km/h Sau xe nửa đường xe nghỉ 40 phút chạy tếp đến B; xe tải quãng đường lại tăng vận tốc thêm 10 km/h đến B chậm xe nửa Hãy tính quãng đường AB Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AM N với đường tròn (B, C, M , N thuộc đường tròn; AM < AN ) Gọi I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn (E trung điểm M N ) a) Chứng minh điểm A, O, E, C nằm đường tròn b) Chứng minh: AOC = BIC c) Chứng minh: BI ∥ M N d) Xác định vị trí cát tuyến AM N để diện tích tam giác AIN lớn Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2000 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn câu: Câu Thế khử mẫu biểu thức lấy Viết công thức tổng quát   phép √ √ 2− 1− Áp dụng tính: + 2 Lời giải Phép khử mẫu biểu thức lấy phép toán đưa phân thức có mẫu thành phân thức với khơng cịn mẫu … Cơng thức tổng quát: với biểu thức A, B mà A · B ≥ B = 0, ta có Áp   dụng: √ √ 2− 1− + = 2 A = B √ A·B |B| »√ √ √ √ √ √ ( − 1)2 4−2 1− 1− 3−1 1− + = + = + = 2 2 2 Câu Phát biểu chứng minh định lí góc có đỉnh bên đường trịn Lời giải Định lí: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa A m tổng số đo hai cung bị chắn Chứng minh: D Nối B với D Theo định lí góc nội tiếp ta có: ˘ ˘ DBE = sđAmD BDE = sđBnC, 2 Mà BEC = BDE + DBE (góc ngồi tam giác) ä 1Ä ˘ ˘ sđBnC + sđAmD Do đó, BEC = B B Bài tập bắt buộc (8 điểm) Å Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P = O E n C √ √ ã Å√ ã x−4 x+2 x √ √ √ √ √ + : − x( x − 2) x−2 x x−2 a) Rút gọn P √ b) Tính giá trị P biết x = − √ √ c) Tìm giá trị n để có x thoả mãn P · ( x + 1) > x + n Lời giải  x > a) Điều kiện: √ ⇔ < x =  x−2=0 √ √ √ √ x−4+3 x x−4−x Ta có P = √ √ :√ √ = (4 x − 4) : (−4) = − x x( x − 2) x( x − 2) »√ √ √ √ √ b) Với x = − P = − − = − ( − 1)2 = − ( − 1) = − √ √ √ √ √ √ c) Ta có P · ( x + 1) > x + n ⇔ (1 − x)(1 + x) > x + n ⇔ − x > x + n √ 1 ⇔ < x + x + < − n ⇔ n < 4 Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 Câu (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một ca nơ chạy sơng h, xi dịng 81 km ngược dòng 105 km Một lần khác chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy h, xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Lời giải Gọi x km/h y km/h vận tốc xuôi dịng ngược dịng ca nơ (x > y > 0) Ta có hệ phương trình  1  81 105    x + y =8  = x = 27 x 27 ⇔ ⇔ 54 42   y = 21   =  + =4 y 21 x y (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc xi dịng 27 km/h, vận tốc ngược dòng 21 km/h Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, dây M N vng góc với dây AB I cho IA < IB Trên đoạn M I lấy điểm E( E khác M I) Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) Chứng minh tam giác AM E AKM đồng dạng AM = AE · AK c) Chứng minh: AE · AK + BI · BA = 4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác M IO đạt GTLN Lời giải a) Vì AB đường kính nên AKB = 90◦ M ◦ Ta có EKB = EIB = 90 nên tứ giác IEKB nội tiếp ¯ b) Ta có M AE = KAM (do chắn cung nhỏ M K) ˜ ¯ EM A = sđAN = sđAM = M KA 2 Vậy ∆AM E ∆AKM c) Từ ∆AM E ∆AKM suy K E A I O B AE AM = ⇔ AE · AK = AM AM AK Tam giác AM B vuông M (do AB đường kính) M I đường cao nên BI · BA = M B Khi đó, AE · AK + BI · BA = AM + M B = AB = 4R2 d) Ta có CM IO = M I + IO + OM Mà OM = R không đổi nên CM IO lớn M I + IO lớn Ta có (M I + IO)2 ≤ 2(M I + IO2√ ) = 2OM = 2R2 suy M I + IO ≤ R Dấu “=” xảy M I = IO = N √ 2R √ R Vậy chu vi tam giác M IO lớn I nằm AB cách O khoảng Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TP HÀ NỘI, 2001-2002 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Áp dụng: Cho hai hàm số bậc y = 0, 2x − y = − 6x Hỏi hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, sao? Đề 2: Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn B Bài tập bắt buộc (8 điểm) Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P = Å √ x+2 x− √ x+1 √ ã Å √ ã x x−4 : √ − 1−x x+1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P < c) Tìm GTNN P Câu (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một cơng nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm 2h với xuất dự kiến, người cải tiến thao tác nên tăng xuất sản phẩm hoàn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính xuất dự kiến ban đầu Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính EF (E khác A, B) Tiếp tuyến B với đường tròn cắt tia AE, AF H, K Từ K kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt HK M a) Chứng minh tứ giác AEBF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác EF KH nội tiếp đường tròn c) Chứng minh AM trung tuyến tam giác AHK d) Gọi P , Q điểm HB, BK, xác định vị trí đường kính EF để tứ giác EF QP có chu vi nhỏ Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2002 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu √ viết √ dạng tổng quát qui tắc khai phương tích 50 − √ Áp dụng: P = Lời giải Qui tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với √ √ √ Với hai số a b không âm, ta có a · b = a · b Áp dụng: √ √ √ √ √ 50 − 2−2 √ √ P = = = √ = 2 Đề 2: Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây lớn đường tròn Lời giải Định nghĩa đường tròn: Đường trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R, kí hiệu (O; R) Chứng minh đường kính dây lớn đường trịn: Gọi AB dây đường trịn (O; R) Nếu AB đường kính AB = 2R Nếu AB khơng đường kính: A B Xét tam giác AOB, có: AB < AO + OB = R + R = 2R O Vậy ta có AB ≤ 2R hay đường kính dây lớn đường trịn B Bài tập bắt buộc (8 điểm) Å √ ã Å √ ã x 8x x−1 √ √ √ Câu Cho biểu thức P = + : − 2+ x 4−x x−2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = −1 √ c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x − 3)P > x + Lời giải a) ĐKXĐ: x > 0; x = Tháng 4-2020 Trang https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 √ ã Å √ ã x−1 x 8x √ + √ −√ : 2+ x 4−x x−2 x x √ √ √ √ x(2 − x) + 8x x − − 2( x − 2) √ √ √ √ : (2 + x)(2 − x) x( x − 2) √ √ √ x + 4x x( x − 2) √ √ · √ (2 + x)(2 − x) − x+3 √ √ √ √ x(2 + x) x(2 − x) √ √ · √ (2 + x)(2 − x) x−3 4x √ x−3 Å P = = = = = √ x = −1 √ 4x  b) P = −1 ⇔ √ = −1 ⇔ 4x + x − = ⇔ √ ⇔x= (thỏa mãn) 16 x−3 x= Vậy P = x = 16 c) Ta có √ m( x − 3)P > x + ∀x > √ 4x ⇔ m( x − 3) · √ > x + ∀x > x−3 ⇔ 4mx > x + ∀x > ⇔ (4m − 1)x > ∀x > ∀x > x ⇔ 4m − ≥ ⇔m≥ 18 ⇔ 4m − > Câu Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21%, thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch? Lời giải Gọi số sản phẩm giao tổ I tổ II theo kế hoạch x y (0 < x, y < 600; x, y ∈ N) Do hai tổ giao sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình x + y = 600 (1) Do tổ I vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21% hai tổ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình x(1 + 18%) + y(1 + 21%) = 600 + 120 ⇔ 118x + 121y = 72000 Từ (5) (6), ta có hệ phương trình   x + y = 600  118x + 121y = 72000 (2)   x = 200 (thỏa mãn) ⇔  y = 400 (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch, tổ I giao 200 sản phẩm, tổ II giao 400 sản phẩm AO Kẻ dây M N vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn M N , cho C không trùng với M , N B Nối Câu Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AC cắt M N E Tháng 4-2020 Trang 10 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 B F A P O I D H K E T C a) Vì AB tiếp tuyến (O) ⇒ OA ⊥ AB ⇒ OBA = 90◦ Vì DE dây cung (O) mà H trung điểm DE nên OH ⊥ DE ⇒ OHA = 90◦ Xét tứ giác ABOH có OHA + OBA = 90◦ + 90◦ = 180◦ ⇒ tứ giác ABOH nội tiếp b) Vì AB tiếp tuyến (O) B ⇒ ABD = BED = BEA (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BD) Xét ⇒ ABD ABD AEB có ABD = BEA BAD chung AB BD AEB (g-g) ⇒ = AE BE c) Vì tứ giác ABOH nội tiếp nên HAO = HBO (hai góc chắn cung) Mà EK ∥ AO ⇒ KEA = HAO (hai góc so le trong) (1) (2) Từ (1) (2) ⇒ KEH = KBH ⇒ tứ giác HKEB nội tiếp ⇒ EHK = KBE (3) Vì tứ giác DCEB nội tiếp ⇒ CDE = CBE (hai góc chắn cung CE) (4) Từ (3) (4) ta có CDE = KHE mà hai góc nằm vị trí đồng vị ⇒ HK ∥ DC d) Kẻ tiếp tuyến thứ hai với AT với (O) (T ∈ (O)) ⇒ OT ⊥ T A ⇒ OT A = 90◦ Xét tứ giác OT AB có OT A + OBA = 180◦ mà hai góc đối ⇒ tứ giác OT AB nội tiếp ⇒ OAT = OBT (góc nội tiếp chắn cung OT ) Mà (O)có OBT = CBT = CDT (góc nội tiếp chắn cung CT ) ⇒ OAT = CDT hay P AT = CDT =⇒ P AT + P DT = 180◦ Mà hai góc vị trí đối tứ giác T AP D ⇒ T AP D nội tiếp ⇒ AT P = ADP (góc nội tiếp chắn cung AP ) Trên (O) có EBC = EDC (góc nội tiếp chắn cung CE) Mà ADP = EDC (hai góc đối đỉnh)⇒ AT P = CBE (1) Có AT , AB tiếp tuyến (O) ⇒ AO tia phân giác góc T AB ⇒ T AP = BAP Xét ⇒ T AP T AP = BAP có AT = AB, T AP = BAP (cmt) AP chung BAP (c.g.c)⇒ AT P = ABP (2) Từ (1) (2) ⇒ ABP = EBC ⇒ EBP = EBC + CBP = ABP + CBP = CBA = 90◦ ⇒ EBF = 90◦ Mà EF qua O nên EF đường kính (O) ⇒ BF CE có hai đường chéo EF BC cắt trung điểm đường nên hình chữ nhật Tháng 4-2020 Trang 54 https://www.facebook.com/siluan.trinh Câu Với số thực x, y thỏa mãn x − √ x+6 = Thầy Luân - 0971610990 √ y + − y, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Lời giải √ √ Bổ đề a + b ≤ 2(a + b), ∀a, b ≥ √ Thật bổ đề tương đương với ab ≤ a + b (đúng theo bất đẳng thức cô-si) √ √ √ √ Áp dụng ta có x − x + = y + − y ⇔ x + y = x + + y + ≤ 2(x + y + 12) ⇔ (x + y)2 ≤ 2(x + y) + 24 ⇔ −4 ≤ x + y ≤ (1) Dễ thấy x + y ≥ (2) √ √ Ta có x + y = x + + y + ⇔ (x + y)2 = (x + y) + 12 + (x + 6)(y + 6) ⇔ (x + y)2 − (x + y) − 12 = x+y ≤3 (x + 6)(y + 6) ≥ ⇔ (x + y + 3)(x + y − 4) ≥ ⇔  ⇔ x + y ≥ (3) x+y ≥4 Từ (1),(2) (3) suy ≤ x + y ≤  x = −6    x+y =4      y = 10   Dấu ” = ” xảy x + y = ⇔ x+6=0 ⇔     x = 10     y+6=0 y = −6  x + y = Khi x + y = ⇔ ⇔ x = y = x + = y + Vậy giá trị lớn x + y x = y = giá trị nhỏ x + y (x; y) = (−6; 10) (x; y) = (10; −6) Tháng 4-2020 Trang 55 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TP HÀ NỘI, 2017-2018 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (khơng kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: √ √ x+2 20 − x Câu Cho hai biểu thức A = √ B = √ + với x ≥ 0, x = 25 x − 25 x−5 x+5 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Chứng minh B = √ x−5 c) Tìm tất giá trị x để A = B.|x − 4| Lời giải √ 9+2 3+2 a) Khi x = ta có A = √ = =− 3−5 9−2 b) Với x ≥ 0, x = 25 √ 20 − x + B=√ x − 25 x+5 √ 20 − x √ + √ =√ x + ( x − 5)( x + 5) √ √ 3( x − 5) + 20 − x √ √ = ( x − 5)( x + 5) √ √ x − 15 + 20 − x √ √ = ( x − 5)( x + 5) √ x+5 √ = √ ( x − 5)( x + 5) =√ (điều phải chứng minh) x−5 c) Với x ≥ 0, x = 25 ta có: A = B.|x − 4| √ x+2 ⇔√ =√ |x − 4| x−5 x−5 √ ⇔ x + = |x − 4| (∗) Nếu x ≥ 4, x = 25 (∗) trở thành: √ x+2=x−4 √ ⇔x− x−6=0 √ √ ⇔ ( x − 3)( x + 2) = √ √ √ Do x + > nên x = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) √ Nếu ≤ x < (∗) trở thành: x + = − x √ ⇔x+ x−2=0 √ √ ⇔ ( x − 1)( x + 2) = √ √ Do x + > nên x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x = x = thỏa mãn yêu cầu toán Tháng 4-2020 Trang 56 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 Câu Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một xe tơ xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe không đổi toàn quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc xe máy x km/h Điều kiện x > Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc ô tô x + 10 km/h 120 Thời gian xe máy từ A đến B h x 120 Thời gian xe máy từ A đến B h x + 10 Xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút = h nên ta có phương trình: 120 120 − = x x + 10 ⇔ 120.5.(x + 10) − 120.5.x − 3x.(x + 10) ⇔ 3x2 + 30x − 6000 = ⇔ (x  + 50)(x − 40) = x = −50 ⇔ Kết hợp với điều kiện đầu ta x = 40 x = 40 Vậy vận tốc xe máy 40 km/h, vận tốc ô tô 50 km/h Câu √  x+2 a) Giải hệ phương trình 4√x − y−1=5 y−1=2 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y = mx + (a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m (b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) : y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 (với x1 < x2 ) cho |x1 | > |x2 | Lời giải √  x+2 a) Giải hệ 4√x − y−1=5 y−1=2 Điều kiện: x ≥ 0, y ≥  √ a = x Đặt Điều kiện a; b ≥ Khi hệ phương trình ban đầu trở thành b = y −     a + 2b = a = − 2b a = − 2b a = ⇔ ⇔ ⇔ 4a − b = 4(5 − 2b) − b =  − 9b = −18 b = √   x = x =  x=1 Do ⇔ ⇔  y−1=2 y − = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 5) b) (a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m Thay tọa độ điểm A(0; 5) vào phương trình đường thẳng (d) : y = mx + ta được: = m.0 + với giá trị tham số m nên đường thẳng (d) qua điểm A với giá trị m Tháng 4-2020 Trang 57 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 (b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P ) : x2 = mx + ⇔ x2 − mx − = Ta có tích hệ số ac = −5 < nên phương trình hồnh độ giao điểm ln có hai nghiệm phân biệt với m hay đường thẳng (d) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt với m Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x + x = m x x = −5 Ta có: |x1 | > |x2 | ⇔ x21 > x22 ⇔ x21 − x22 > ⇒(x1 + x2 )(x1 − x2 ) > Theo giả thiết: x1 < x2 ⇔ x1 − x2 < x1 + x2 < ⇔ m < Vậy m < thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ ˜ cung nhỏ BC ˜ Hai dây AN CM cắt điểm I Dây M N cắt cạnh AB BC AB điểm H K a) Chứng minh điểm C, N, K, I thuộc đường tròn b) Chứng minh N B = N K.M N c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi d) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M BK , tam giác M CK E trung điểm đoạn P Q Vẽ đường kính N D đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Lời giải A M I H B O C K N a) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Ta có M điểm cung AB ⇒ AM = BM ⇒ M N A = M CB ⇒ KN I = ICK Tứ giác CN KI có C N hai đỉnh kề nhìn cạnh KI hai góc nên CN KI nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Do bốn điểm C, N, I, K thuộc đường tròn b) Chứng minh N B = N K.M N ¯ = CN ¯ ⇒ BM N = CM N (góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Ta có N điểm cung BC ⇒ BN Tháng 4-2020 Trang 58 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 ¯) Mà CBN = CM N (góc nội tiếp chắn cung CN ⇒ CBN = BM N (cùng góc CN N ) ⇒ KBN = BM N  “ chung N Xét KBN BM N có: KBN = BM N ⇒ KBN ∼ BM N ⇒ KN BN = ⇒ N B = N K.N M (điều phải chứng minh) BN MN c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi ˜) Ta có ABC = AN C (góc nội tiếp chắn cung AC ˆ) Mà AM C = AHI (góc nội tiếp chắn cung IC ⇒ ABC = IKC mà hai góc vị trí đồng vị nên HB ∥ IK (1) Chứng minh tương tự phần ta có tứ giác AM HI nội tiếp ˆ ⇒ AN C = IKC (góc nội tiếp chắn cung AI) ˜ Ta có ABC = AM C (góc nội tiếp chắn cung AC) ⇒ ABC = AHI mà hai góc vị trí đồng vị nên BK ∥ HI (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHIK hình bình hành Mặt khác AN, CM tia phân giác góc A C tam giác ABC nên I giao điểm ba đường ph˚ an giác, BI tia phân giác góc B Vậy tứ giác BHIK hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi) d) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng ˜ nên DN trung trực BC ⇒ DN phân giác BDC Ta có Vì N điểm cung nhỏ BC KQC = 2KM C (góc nội tiếp góc tâm đường trịn (Q)) ˜ Lại có N DC = KM C (góc nội tiếp chắn cung BC) Mà BDC = 2N DC ⇒ KQC = BDC Xét tam giác BDC KQC tam giác cân D Q có hai góc BCD = BCQ D, Q, C thẳng hàng nên KQ ∥ P K Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng DQ ∥ P K Do tứ giác P DQK hình bình hành nên E trung điểm P Q trung điểm DK Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Câu Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: a2 + b2 ≥ 2ab, b2 + c2 ≥ 2bc, c2 + a2 ≥ 2ca Do đó: 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) = 2.9 = 18 ⇒ 2P ≥ 18 ⇒ P ≥ √ Dấu xảy a = b = c = √ Vậy P = a = b = c = Vì a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ nên (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab − a − b + ≥ ⇔ ab + ≥ a + b Tương tự ta có bc + ≥ b + c, ca + ≥ c + a Do ab + bc + ca + ≥ 2(a + b + c) ⇔ a + b + c ≤ Tháng 4-2020 9+3 =6 Trang 59 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 Mà P = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − 18  a = 4; b = c =   ⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 Dấu xảy khi: b = 4; a = c =  c = 4; a = b =  a = 4; b = c =   Vậy max P = 18 b = 4; a = c =  c = 4; a = b = Tháng 4-2020 Trang 60 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TP HÀ NỘI, 2018-2019 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: √ √ x+4 x+1 √ Câu Cho hai biểu thức A = √ B = −√ với x x−1 x+2 x−3 x+3 0, x = 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = √ x−1 3) Tìm tất giá trị x để A B x + Lời giải 1) Với x = ta có A = 2) Với x 0, x = ta có B= = = = √ x+1 √ −√ x+2 x−3 x+3 √ x+1 √ √ −√ ( x + 3)( x − 1) x+3 √ √ x + − 2( x − 1) √ √ ( x + 3)( x − 1) √ x−1 √ √ x+4 A 3) Ta có =√ :√ = x + B x−1 x−1 √ √ A x + ⇔ x − x + ⇔ ( x − 2) B ⇔ x = Câu Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật theo đơn vị mét Lời giải Gọi chiều dài chiều rộng mảnh đất x, y (x y > 0) Chu vi mảnh đất 28 mét nên x + y = 14 ⇔ y = 14 − x Độ dài đường chéo mảnh đất 10 mét nên x2 + y = 100 ⇔ x2 + (14 − x)2 = 100 ⇔ x = x = Với x = 8, y = (thỏa mãn) Với x = 6, y = (loại) Vậy chiều dài mảnh đất mét, chiều rộng mét Câu 1) Giải hệ phương trình  4x − |y + 2| = x + 2|y + 2| = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = (m + 2)x + parabol (P ) : y = x2 Tháng 4-2020 Trang 61 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 a) Chứng minh (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ số ngun Lời giải 1) Ta có   x=1    ⇔ ⇔ ⇔ y = −1 x + 2|y + 2| = x + 2(4x − 3) = |y + 2| =      y = −3  4x − |y + 2| =  |y + 2| = 4x −  x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1) (1; −3) 2) a) Phương trình hồnh độ giao điểm x2 = (m + 2)x + ⇔ x2 − (m + 2)x − = Ta có ∆ = (m + 2)2 + 12 > với m nên (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 hoành độ giao điểm (d) (P ) Theo định lý Vi-ét ta có x1 · x2 = −3 Không tổng quát giả sử x1 < x2 , ta có trường hợp • x1 = −3 x2 = ⇒ m = −4 • x1 = −1 x2 = ⇒ m = Câu Cho đường trịn (O; R) với dây cung AB khơng qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO 2) Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD 3) Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đường thẳng CD K Chứng minh tứ giác ADHK nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC 4) Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định Lời giải C N B K M H A O S E A F D Tháng 4-2020 Trang 62 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 1) Dễ thấy góc SCO, SDO, SHO vuông nên điểm S, C, D, O, H thuộc đường trịn đường kính SO √ 2) Ta có SO2 = SD2 + DO2 ⇒ SD2 = 4R2 − R2 = 3R2 Suy SD = R DO sin DSO = = ⇒ DSO = 30◦ ⇒ CSD = 60◦ SO 3) Ta có S, D, O, H thuộc đường trịn nên SHOD tứ giác nội tiếp Suy AHD = SOD = COD (1) Mặt khác AKD = SCD (đồng vị) nên AKD = COD (2) Từ (1) (2) suy AHD = AKD suy tứ giác ADHK nội tiếp Gọi M giao điểm BK SC, N giao điểm AK, BC Ta có KHA = CBS ⇒ HK ∥ BC mà H AK KN trung điểm AB nên K trung điểm AN Suy AK = KN Mặt khác = ⇒ SM = CM SM CM 1 1 AOB = EDF ⇒ F ED = HAO; BF E = DEF = HAO Suy BF D = HAO + 90◦ Cho 2 2 1 nên BF A = 180◦ − HAO − 90◦ = 90◦ − HAO Vậy F nhìn AB góc khơng đổi 2 4) Ta có AOH = Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = √ 1−x+ √ √ + x + x Lời giải Điều kiện xác định: Ta có x − x x √ √ nên − x + x P = √ √ − x + x = 1, suy 1−x+ √ √ 1+x+2 x + = Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ P x = Tháng 4-2020 Trang 63 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ 21 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TP HÀ NỘI, 2019-2020 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: √ √ Å ã √ 4( x + 1) x+1 15 − x Câu Cho hai biểu thức A = B = +√ :√ với x ≥ 0; x = 25 25 − x x − 25 x+5 x−5 a) Tìm giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A · B đạt giá trị nguyên lớn nhât Lời giải √ √ 4( + 1) 4.(3 + 1) 4( x + 1) = = = a) Với x = Thay vào A ta có: A = 25 − x 25 − 16 b) Rút gọn biểu thức B Với x ≥ 0, x = 25, ta có √ ã √ 15 − x x+1 +√ :√ x − 25 x+5 x−5 √ ï ò √ 15 − x x+1 √ √ +√ :√ ( x + 5)( x − 5) x+5 x−5 √ √ √ 15 − x + 2( x − 5) x+1 √ √ :√ ( x + 5)( x − 5) x−5 √ √ √ 15 − x + x − 10 x+1 √ √ :√ ( x + 5)( x − 5) x−5 √ √ x+5 x−5 √ √ ·√ ( x + 5)( x − 5) x+1 √ x+1 Å B = = = = = = c) Tìm tất giá trị nguyên √ x để biểu thức P = A · B đạt giá giá trị nguyên lớn 4( x + 1) Ta có P = A · B = ·√ = 25 − x 25 − x x+1 Để P nhận giá trị nguyên x ∈ Z (25 − x) hay 25 − x ∈ U(4) = {−4; −2; −1; 1; 2; 4} Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x −4 −2 −1 x 29 27 26 24 23 21 P =A·B −1 −2 −4 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P = Khi giá trị cần tìm x x = 24 Câu Tháng 4-2020 Trang 64 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 a) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày hồn thành xong công việc b) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m diện tích đáy 0,32 m2 Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Lời giải a) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Gọi thời gian để đội thứ đội thứ hai làm riêng hồn thành xong công việc x y(x > 15, y > 15), đơn vị (ngày) Một ngày đội thứ làm (công việc) x Một ngày đội thứ hai làm (cơng việc) y Vì hai đội làm 15 ngày hồn thành xong công việc Như ngày hai đội làm (công việc) 15 1 Suy ra, ta có phương trình: + = (1) x y 15 Ba ngày đội đội thứ làm (công việc) x Năm ngày đội thứ hai làm (cơng việc) y Vì đội thứ làm ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp ngày hai đội hồn thành xong 1 (2) 25% = (công việc) Suy ra, ta có phương trình: + = x y    1 1     x + y = 15 x = 24  = x 24 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ⇔ (thỏa mãn) ⇔  y = 40    =  + = y 40 x y Vậy thời gian để đội thứ làm riêng hồn thành xong cơng việc 24 (ngày) thời gian để đội thứ hai làm riêng hồn thành xong công việc 40 (ngày) b) Số mét khối nước đựng bồn thể tích bồn chứa Như số mét khối đựng bồn là: V = 0,32 · 1,75 = 0,56 (m3 ) Câu 1) Giải phương trình: x4 − 7x2 − 18 = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2mx − m2 + parabol (P ) : y = x2 (a) Chứng minh (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt (b) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 −2 + = + x1 x2 x1 x2 Lời giải 1) Giải phương trình: x4 − 7x2 − 18 = (1) Đặt t = x2 (t ≥ 0) (∗) Phương trình (1) trở thành: t2 − 7t − 18 = (2) √ Ta có: ∆ = (−7)2 − · · (−18) = 121 = 112 ⇒ ∆ = 11 Suy ra: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là: t1 = Tháng 4-2020 + 11 − 11 = (thỏa) t2 = = −2 (loại) 2 Trang 65 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 Thay t = vào (∗) ta có: x2 = ⇔ x = ±3 Vậy nghiệm phương trình là: x = ±3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2mx − m2 + parabol (P ) : y = x2 (a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm x2 − 2mx + m2 − (1) Để (d)  cắt (P ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với ∀m a = = Ta có: ∆ = (b )2 − ac > 0, ∀m Xét ∆ = m2 − (m2 − 1) = m2 − m2 + = > 0, ∀m Vậy (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt (b) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 −2 + = +1 x1 x2 x1 x2 (2) Ta có x1 · x2 = ⇒ m2 − = ⇒ m = ±1 Hai nghiệm phương trình: x1 = m − 1; x2 = m + Biến đổi biểu thức (2) ta có: 1 −2 x1 + x2 −2 + x1 x2 + = +1⇒ = ⇒ x1 + x2 = −2 + x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Thay x1 = m − 1; x2 = m + vào biểu thức x1 + x2 = −2 + x1 x2 ta có: m − + m + = −2 + (m − 1)(m + 1) ⇔ m2 − − = 2m ⇔ m2 − 2m − = ⇔ (m − 3)(m + 1) =   m−3=0 m=3 ⇔  ⇔ m+1=0 m = −1 (L) Kết Luận: Với m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn b) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF c) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác AP E đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Lời giải Tháng 4-2020 Trang 66 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 A E M P F B O H D C I K S a) Chứng minh bốn điểmB, C, E, F thuộc đường trịn Xét tứ giác BCEF ta có: BEC = 90◦ (BE đường cao); BF C = 90◦ (CF đường cao) ⇒ BCEF tứ giác nội tiếp (đỉnh E, F nhìn cạnh BC góc vng) b) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF Vẽ tiếp tuyến Ax hình vẽ ⇒ BAF = ACB(tính chất đường tiếp tuyến dây cung) Do tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ AF E = ACB Ta suy BAF = AF E ⇒ EF ∥ Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF (đpcm) c) Chứng minh AP E ABI Ta có: AEB = ABI (Vì AEB + EF C = ABI + EF C = 180◦ ) Mặt khác AP E + P AI = 90◦ (vì AI ⊥ P E); AIB + P AI = 90◦ (vì AH ⊥ BC)⇒ AP E = AIB Vậy AP E ABI (g-g) Chứng minh KH ∥ P I Gọi M giao điểm AO EF , dung đường kính AS Ta có BE ∥ CS vng góc AC; BS ∥ CF vng góc AB ⇒ BHCS hình bình hành nên H, K, S thẳng hàng Ta có AE · AC = AH · AD AE · AC = AM · AS AM AH = ⇒ AHM ⇒ AH · AD = AM · AS ⇒ AS AD ⇒ HM SD nội tiếp đường tròn ASD ⇒ AHM = ASD Kết hợp P M ID nội tiếp đường tròn ⇒ P IM = P DM = HSM ⇒ HS ∥ P I Câu Cho biểu thức P = a4 + b4 − ab với a, b số thực thỏa mãn a2 + b2 + ab = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Lời giải Ta có a2 + b2 + ab = ⇔ a2 + b2 = − ab thay vào P ta P = a4 + b4 − ab = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 − ab = (3 − ab)2 − 2a2 b2 − ab − 6ab + a2 b2 − 2a2 b2 − ab = − 7ab − a2 b2 ï ò Å ã 49 49 85 = − (ab) + · ab · + + + = − ab + + 4 = Vì a2 + b2 = − ab, mà (a + b)2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ −2ab ⇒ − ab ≥ −2ab ⇔ ab ≥ −3 (1) Và (a − b)2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab ⇒ − ab ≥ 2ab ⇔ ab ≤ (2) Tháng 4-2020 Trang 67 https://www.facebook.com/siluan.trinh Thầy Luân - 0971610990 Từ (1) (2) suy 7 7 −3 ≤ ab ≤ ⇔ −3 + ≤ ab + ≤ + ⇔ ≤ ab + ≤ 2 2 2 ã ã Å Å 81 1 81 ≤ ≤− ⇔ ≤ ab + ⇔− ≤ − ab + 4 4 Å ã2 81 85 85 85 ⇔ − + ≤ − ab + + ≤− + 4 4 ã2 Å 85 + ⇔ ≤ − ab + ≤ 21    √ √ b = ab = −3 a = ∨ Vậy max P = 21 Dấu “=” xảy ⇔ a2 + b2 = b = −√3 a = −√3    ab = a = a = −1 P = Dấu “=” xảy ⇔ a2 + b2 = b = b = −1 Tháng 4-2020 Trang 68 ... Thầy Luân - 0971 6109 90 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI VÀO 10, SỞ GD& ĐT HÀ NỘI NĂM 2008 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh:... 0971 6109 90 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ 13 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 SGD HÀ NỘI 2011 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (khơng kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: √ √ x 10 x Câu... Thầy Luân - 0971 6109 90 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NH 2019-2020 ĐỀ SỐ ĐỀ THI VÀO LỚP 10, SỞ GD& ĐT HÀ NỘI NĂM 2006 Thầy Trịnh Văn Luân Thời gian: 90 phút (khơng kể phát đề) Họ tên thí sinh: Số báo danh: