SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2019 Thời gian làm bài: 180 phút (đề thi gồm 01 trang) Bài I (4 điểm) 3 Cho hàm số y x3 x (m 4) x m có đồ thị Cm điểm M 2; Tìm m để đường 2 thẳng y x cắt Cm ba điểm phân biệt A(1; 0) , B, C cho MBC tam giác Bài II (5 điểm) 1) Giải phương trình: x 22 x 29 x 2 x x y 3 y x 3 x x y y 2) Giải hệ phương trình: 4 2 8 x y x y 16 xy ( x y ) Bài III (3 điểm) Cho dãy số un xác định u1 u 1 , un 1 n ; n 1, 2, un 1) Chứng minh un dãy số bị chặn 2) Chứng minh 1 22020 u1 u2 u2019 Bài IV (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I với M, N (1; 1) trung điểm đoạn thẳng IA, CD Biết điểm B có hồnh độ dương đường thẳng MB có phương trình x y , tìm tọa độ điểm C 2) Cho hình chóp S.ABC có CA CB , AB , SAB tam giác đều, mp ( SAB ) mp ( ABC ) Gọi D chân đường phân giác hạ từ đỉnh C tam giác SBC a) Tính thể tích khối chóp D.ABC b) Gọi M điểm cho góc tạo mặt phẳng (MAB), (MBC), (MCA) với mặt phẳng (ABC) Tìm giá trị nhỏ MA MB 4MS MC Bài V (2 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn của: P a b3 c3 3 a b c - HẾT - NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT (Đề thi có 01 trang) NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi : 3/10/2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Bài I (4 điểm) 3 Cho hàm số y x 3x m x m có đồ thị Cm điểm M 2; Tìm m để đường thẳng 2 d : y x cắt Cm ba điểm phân biệt A 1;0 , B, C cho MBC tam giác Bài II NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT HÀ NỘI (5 điểm) 1) Giải phương trình x 22 x 29 x 2 x x y 3 y x 3 x x y y 2) Giải hệ phương trình 8 x y x y 16 xy x y Bài III (3 điểm) Cho dãy số un xác định u1 u2 1 1 , un 1 n ; n 1, 2,3 un 1) Chứng minh un dãy số bị chặn 1 22020 u1 u2 u2019 Bài IV (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I với M , N (1; 1) trung điểm đoạn thẳng IA, CD Biết điểm B có hồnh độ dương đường thẳng MB có phương trình x y 0, tìm tọa độ điểm C 2) Cho hình chóp S ABC có CA CB 2, AB , mặt bên ABC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABC Gọi D chân đường phân giác góc C tam giác SBC a Tính thể tích khối chóp D ABC b Gọi M điểm cho góc tạo mặt phẳng MAB , MBC , MCA với mặt phẳng ABC Tìm giá trị nhỏ MA MB MS MC Bài V (2 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + b3 + c3 − 3 − − a b c - HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 2) Chứng minh NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT HÀ NỘI Đ thi h c sinh gi i l p 12 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC (4 điểm) 3 Cho hàm số y x 3x m x m có đồ thị Cm điểm M 2; Tìm m để đường thẳng 2 d : y x cắt Cm ba điểm phân biệt A 1; , B, C cho MBC tam giác Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 3x m x m x x3 3x m x m (1) NHĨM TỐN VD – VDC Bài I x 1 x x m x 1 x 2x m 2 +) d cắt Cm ba điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt, khác 1 m m * 1 m +) Gọi A 1;0 , B x1; x1 , C x2 ; x2 tọa độ ba giao điểm d Cm x1 , x2 hai nghiệm phương trình NHĨM TOÁN VD – VDC x12 x1 m x1 x2 2 Theo Viet, có x2 x2 m x1.x2 m x x Cách 1: Gọi I trung điểm BC I ; x1 x2 I 1; 3 Ta có MI 3; ; BC x2 x1 ; x2 x1 2 MI BC hay MBC tam giác cân M Do MBC tam giác MI MB MI 3MB 2 7 45 x1 x1 x12 x1 x12 x1 m (Thỏa mãn (*)) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 Vậy m NHĨM TỐN VD – VDC 2 MB MC Cách 2: MBC tam giác MB MC BC 2 MB BC 2 7 7 2 x x x x 2 2 7 2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 5 x12 x22 10 x1 x2 5 x1 x2 x1 x2 65 4 x2 x1 x2 x1 13 x12 x1 x2 x22 5 x1 10 x1 x1 x2 ld (vì x1 x2 ) x x x x x x 13 2 2 4m 16 8m 13 m (thỏa mãn (*)) Vậy m Bài II (5 điểm) Điều kiện : x x 22 x 29 x 2 x Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC 1) Giải phương trình Khi phương trình * x 22 x 29 x x x x x 3 x 3 x x x Đặt t x t 3t x t x 2 t x 0 x2 t x 2 x 2 x 1 (thỏa mãn điều Với t x x x 2 2 x x x x 2x kiện) Với t x x 2 x2 x 2 2x x (Thỏa x 14 x 23 9 x x x x mãn điều kiện) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 Vậy tập nghiệm phương trình S 1; NHĨM TỐN VD – VDC x y 3 y x 3 x x y y 2) Giải hệ phương trình 8 x y x y 16 xy x y Lời giải x y a Đặt thay vào phương trình hệ thu y x b 1 a3 b3 a b x x y y y xy x a b a b a ab b a b 2 a b a b TH1 ab a b x y x y Vậy ta có nghiệm Với x y y x x y 1 1 3 3 ; ; 2 2 2 NHĨM TỐN VD – VDC 39 a ab b ab 69 TH2 a 2ab b ( loại) a b a b 1 1 3 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ; ; 2 2 2 Bài III (3 điểm) Cho dãy số un xác định u1 u2 1 1 , un 1 n ; n 1, 2,3 un 1) Chứng minh un dãy số bị chặn 2) Chứng minh 1 22020 u1 u2 u2019 Lời giải un21 un 1 0; n 2,3, un bị chặn 1) Ta có u1 u1 , un un1 un 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC Lại có un21 un 1 un tan , u2 tan tan un 1 u n 1 1 1 1; n 1, un bị chặn suy 1 1 cos Ta chứng minh quy nạp un tan 3.2n cos tan 1 sin 2sin 2sin 12 12 cos tan un bị chặn NHĨM TỐN VD – VDC 2) u1 Đ thi h c sinh gi i l p 12 12 12 , n 1, Dễ thấy mệnh đề với n Giả sử mệnh đề với n k tức uk tan 3.2k ta chứng minh mệnh đề với n k Thậ uk2 uk 1 uk tan 3.2 tan n 1 1 3.2 cos n 1 3.2 tan n 3.2n cos 3.2n tan 3.2n1 sin n 3.2 Lại có bất đẳng thức tan x x, x 0; 2 hay 1 , x 0; Áp dụng ta tan x x 2 1 1 1 3 22 22019 22019 1 22020 u1 u2 u2019 tan tan tan 2019 3.2 3.2 3.2 Bài IV (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I với M , N (1; 1) trung điểm đoạn thẳng IA, CD Biết điểm B có hồnh độ dương đường thẳng MB có phương trình x y 0, tìm tọa độ điểm C Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TOÁN VD – VDC Thật vậy: xét hàm số f x tan x x liên tục 0; có f x 0, x 0; nên hàm cos x 2 2 số đồng biến 0; Do x 0; suy f x f tan x x 2 2 NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 NHĨM TỐN VD – VDC +) Gọi hình vng ABCD có cạnh 5 Khi ta có BN ; BM BI MI ; MN MC CN 2CM CN co s 45o 8 BN BM MN BMN vuông M +) Đường thẳng MN qua N (1; 1) vng góc với đường thẳng BM : x y có phương trình x y x 3y x M (0; 2) Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 3 x y y +) Gọi B (3 y o 6; y o ), y o yo (tm) Khi MB MN (3 yo 6) (yo 2)2 10 yo (ktm) Với yo xo B (3;3) NHĨM TỐN VD – VDC Cách Ta có BN 20 BC phương trình đường thẳng BN : x y Gọi (C1 ) đường tròn đường kính BN : (x 2) (y 1)2 (C2 ) đường tròn tâm B bán kính BC : (x 3) (y 3) 16 (x 2) (y 1)2 Tọa độ C nghiệm hệ phương trình 2 (x 3) (y 3) 16 y 1 y C 3; 1 x 1 y 1 2 C ; (1 y 2) (y 1) x 5 1 x Mà C M nằm phía BN , nên tọa độ cần tìm C 3; 1 Cách Gọi J giao điểm BN CM, J trọng tâm tam giác BCD, BJ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc BN Trang NHÓM TOÁN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 2 Lại có CJ CI CM CM C (3; 1) 3 2) Cho hình chóp S ABC có CA CB 2, AB , mặt bên ABC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABC Gọi D chân đường phân giác góc C tam giác SBC a Tính thể tích khối chóp D ABC b Gọi M điểm cho góc tạo mặt phẳng MAB , MBC , MCA với mặt phẳng ABC NHĨM TỐN VD – VDC xJ (1 3) 5 1 J ; 3 3 y (1 3) J Tìm giá trị nhỏ MA MB MS MC Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H trung điểm AB Ta có điều sau: + SH ABC + Tam giác CAB vuông cân C + Tam giác SCA, SCB cân S + CH 1, SH + SCH mặt phẳng đối xứng hình chóp S ABC a Ta có VD ABC DB VD ABC DB CB VS ABC SB VS ABC VD ABC DS CS 2 2 11 VS ABC 22 2 3 2 3 b Gọi N hình chiếu M ABC Do tính đối xứng hình chóp S ABC qua SCH Tức VD ABC nên M SCH , tức N CH https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TOÁN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 Do góc tạo MAB , MBC , MCA với ABC nên khoảng cách từ N đến MA MB MS MC MH 2CS MF Dựng hình chữ nhật NN ' FG với N ', G thuộc MN , CH Ta thấy MF nhỏ MF NG CN 1 x 3 2 1 64 1 Tóm lại, giá trị nhỏ MA MB MS MC NHĨM TỐN VD – VDC cạnh tam giác ABC nhau, gọi khoảng cách x ta x x Tìm x 1 Gọi E đối xứng C qua S , dựng hình bình hành CHFE ta Bài V (2 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + b3 + c3 − 3 − − a b c Lời giải + Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a b c a b c a , b c a mà b c bc bc + Xét P = f (a, b, c) = a + b + c − 3 − − ta chứng minh: f (a, b, c) ≤ a b c b + c b + c f a, , 2 3 3 b + c 4b + 4c − (b + c ) 12bc − (b + c ) 3 12 3 − ⇔ b + c − − ≤ ⇔ + ≤0 b c b +c bc (b + c ) ⇔ ( ⇔ ) (b + c ) b − bc + c − (b + c ) (b + c )(b − c ) − (b − c ) bc (b + c ) ≤0 − (b + c ) ≤0 ≤ ⇔ (b − c ) − bc (b + c ) bc (b + c ) (b − c ) 2 ⇔ (b − c ) bc (b + c ) − 4 ≤ ⇔ bc (b + c ) − ≤ (đúng b c 2; bc ) + Đặt t = b +c ⇒ b + c = 2t ⇒ a = − 2t b + c b + c 3 = g (t ) = (3 − 2t ) + 2t − ⇒ f a, , − , t 1 2 − 2t t https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC b + c b + c 3 3 6 + − − ⇔ a + b + c − − − ≤ a + − a b c a b +c b +c NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 ⇒ g ′ (t ) = −6 (3 − 2t ) + 6t − 2 (3 − 2t ) (t − 1) (−2t + 1)(t − 3)(−2t ⇒ g ′ (t ) = t (3 − 2t ) 2 NHĨM TỐN VD – VDC 2 + = − (3 − 2t ) + t 1 − 2 t t (3 − 2t ) ) + 3t + 2 − (3 − 2t ) + t = 1 ⇒ g ′ (t ) = ⇔ ⇔t = =0 1 − 2 t − t ( ) BBT: max g t 0;1 21 21 P f a; b; c g t 4 Dấu xảy a 2; b c 21 hoán vị max P max f a; b; c - HẾT - NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang ...NHĨM TỐN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12 KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12 THPT (Đề thi có 01 trang) NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi : 3/10 /2019 MƠN: TỐN Thời gian: 180... tan 3.2n cos tan 1 sin 2sin 2sin 12 12 cos tan un bị chặn NHĨM TỐN VD – VDC 2) u1 Đ thi h c sinh gi i l p 12 12 12 , n 1, Dễ thấy mệnh đề với n Giả sử mệnh... 0; Áp dụng ta tan x x 2 1 1 1 3 22 22019 22019 1 22020 u1 u2 u2019 tan tan tan 2019 3.2 3.2 3.2 Bài IV (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy