ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: TỐN - Lớp: THCS Ngày thi: 22 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (đề thi gồm có 01 trang) - SỞ GD&ĐT HÀ NAM Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = với x ≥ 0; x = √ 10x + 5x √ √ − 5x 5x − 5x + 5x + √ + 5x x √ −1 + 5x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng d : y = d :y= 1 + + m−1 m m+1 x+ 2018 2019 2020 + + m−1 m m+1 (m tham số) Tìm điều kiện tham số m để hai đường thẳng d, d cắt Gọi A giao điểm hai đường thẳng d d , tìm m để độ dài đoạn thẳng OA Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình √ √ 2x2 + x + = 2x2 + x + 2x2 + x + 10 Giải hệ phương trình (x + y)2 = 2xy(xy + 1) (x + y)(1 + xy) = (x2 + y ) Bài 4: (1,5 điểm) Cho hai số m, n nguyên dương thỏa mãn m ước 2n2 Chứng minh n2 + m khơng phải số phương Bài 5: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC K a) Chứng minh BAH = OAC b) Chứng minh đường thẳng KM tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Giả sử điểm A cố định, điểm B, C thay đổi đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC = 3R2 Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M điểm cung nhỏ BC (M không trùng với B C) Đường tròn (O , R ) với (R > R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) điểm M Các đoạn thẳng M A, M B, M C cắt đường tròn (O ; R ) điểm thứ hai D, E, F Từ A, B, C kẻ tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O ; R ), I, J, K tiếp điểm Chứng minh DE song song với AB AI = BJ +CK Bài 6: (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh x2 y y2z2 z x2 + + ≤ 2x2 + 3x2 y + y 2y + 3y z + z 2z + 3z x2 + x2 - HẾT Biên soạn: Long Nguyễn