Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian hilbert

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí Người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn em trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình em học tập nghiên cứu Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu khóa luận, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Hilbert 1.1.1 Tích vô hướng 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao 1.1.4 Cơ sở trực chuẩn 10 1.1.5 Không gian đối ngẫu 10 1.1.6 Sự hội tụ không gian Hilbert 10 1.1.7 Toán tử liên hợp 12 Không gian tôpô 13 1.2.1 Cơ sở tiền sở 14 1.2.2 Lân cận sở lân cận 15 1.2.3 Phần trong, bao đóng 16 1.2.4 Ánh xạ liên tục 16 1.2.5 Lưới 17 1.3 Không gian véctơ tôpô 17 1.4 Không gian lồi địa phương 18 Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 20 2.1 2.2 Tôpô sinh họ nửa chuẩn 20 2.1.1 Nửa chuẩn 20 2.1.2 Tôpô sinh họ nửa chuẩn 21 Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 2.3 26 Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô B(H) 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành Giải tích toán học nghiên cứu tập hợp trang bị thêm tôpô thích hợp Trong đó, không gian Hilbert lớp quan trọng Không gian Hilbert tổng quát hóa khái niệm, tính chất không gian Euclid xác định tích vô hướng xây dựng khái niệm có liên quan Ta nhận thấy không gian Hilbert √ không gian Banach với chuẩn x = < x, x >, x ∈ H Theo định lí F.Rize ta đồng không gian Hilbert không gian liên hợp Trên đó, người ta xây dựng tôpô khác tôpô mạnh, tôpô yếu, tôpô yếu ∗ , từ xây dựng khái niệm hội tụ: hội tụ mạnh, hội tụ yếu, khái niệm liên tục mạnh, liên tục yếu Để tìm hiểu vấn đề em lựa chọn đề tài: " Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert” Nội dung khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu tôpô, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Đặc biệt ba loại tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu So sánh tổng hợp, phân tích đọc tài liệu Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương kiến thức Ở đây, định lí, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh Các khái niệm kết trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] 1.1 Không gian Hilbert Ở mục ta nhắc lại số kiến thức mở đầu không gian Hilbert toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Các khái niệm kết tham khảo tài liệu [2], [6] 1.1.1 Tích vô hướng Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian véctơ trường K (với K R C ) Tích vô hướng xác định H ánh xạ: < , > : H×H→K (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) < x, y > = < y, x > , ∀x, y ∈ H ; (2) < x + y, z > = < x, z > + < y, z >, ∀x, y, z ∈ H ; (3) < λx, y > = λ < x, y > , ∀x, y ∈ H λ ∈ K ; (4) < x, x > ≥ , ∀x ∈ H < x, x > = ⇔ x = ; Số < x, y > gọi tích vô hướng hai véctơ x y Cặp (H, < x, y >) gọi không gian tiền Hilbert (hay không gian Untia) Định lý 1.1.1 Nếu H không gian tiền Hilbert công thức: x = √ < x, x >, x∈H (1) xác định chuẩn X Với kí hiệu bất đẳng thức Schwarz viết là: | < x, y > | ≤ x y Nhận xét: Do định lí 1.1.2 ta thấy không gian tiền Hilbert H không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng công thức (1) Như khái niệm, kết thiết lập cho không gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem không gian định chuẩn đầy không đầy Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1.1 (1) Kí hiệu Rk không gian véctơ thực k chiều Với x = (xn ) ∈ Rk ta đặt: k < x, y > = xn yn n=1 Công thức xác định tích vô hướng, chuẩn sinh tích vô hướng x = √ k x = (xn ) ∈ Rk xn , < x, x > = n=1 Chuẩn trùng với chuẩn mà ta biết không gian Rk Nên không gian véctơ thực Rk với tích vô hướng không gian Hilbert ∞ x = (xn )n ⊂ K (2) Xét không gian l2 = |xn |2 < +∞ n=1 Với l2 không gian Banach với chuẩn ∞ x |xn |2 = (2) n=1 Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , ta đặt ∞ < x, y > = xn yn n=1 Xác định tích vô hướng l2 cảm sinh chuẩn (2) Vậy l2 không gian Hilbert 1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao Cho H không gian tiền Hilbert, x, y hai véctơ thuộc H S, M N tập H Ta có định nghĩa sau: a) Hai phần tử x, y thuộc H gọi trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ y < x, y > = b) Một hệ S ⊂ H gọi hệ trực giao phần tử khác S trực giao với đôi một, tức x, y ∈ H x = y ta có x ⊥ y c) Cho S hệ trực giao Nếu phần tử S có chuẩn S gọi hệ trực chuẩn d) Ta nói véctơ x trực giao với tập M , kí hiệu x ⊥ M x trực giao với phần tử thuộc M 1.1.4 Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho E = {e1 , e2 , } hệ trực chuẩn hữu hạn hay đếm không gian Hilbert H Ta gọi hệ sở trực chuẩn hay hệ trực chuẩn đầy đủ H không gian M sinh hệ E trù mật H, nghĩa H = {e1 , e2 , } Ta gọi sở trực chuẩn không gian Hilbert H sở Hilbert H Định lý 1.1.2 Không gian Hilbert H có sở trực chuẩn hữu hạn hay đếm không gian không gian tách 1.1.5 Không gian đối ngẫu Định nghĩa 1.1.3 Không gian B (H, C) gọi không gian đối ngẫu không gian Hilbert H kí hiệu H ∗ Mỗi phần tử H ∗ gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục Định lý 1.1.3 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H biểu diễn dạng f (a) = < x, a >, x ∈ H phần tử a ∈ H xác định phiếm hàm f 1.1.6 f = a Sự hội tụ không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert B (H) không gian toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H với chuẩn A = sup x ≤1 10 Ax = A∗ < εpi (x) + (|t| + ε) s < r Lấy ε > : εpi (x) < 2r , ≤ i ≤ k, s > thỏa mãn (|t| + ε) s < 2r Vì tv xv ∈ V (tx, p1 , p2 , , pk ; r) v ≥ vo Ta kết luận rằng: (t, x) → tx liên tục τ không gian véctơ tôpô X Để chứng tỏ p ∈ P liên tục, ta cho ε > giả sử xv → x (X, τ ) tồn vo thỏa mãn xv ∈ V (x, p; ε) v ≥ vo Do |p(x) − p(xv )| ≤ p (x − xv ) < ε v ≥ vo điều chứng tỏ p : X → R liên tục Bây ta chứng minh (X, τ ) Hausdorff P họ tách Giả sử P tách cho x, y ∈ X với x = y Thì tồn nửa chuẩn p ∈ P thỏa mãn δ = p (x − y) > Khi tập V x, p; 2δ V y, p; 2δ lân cận tương ứng x y giao hai lân cận tập φ Vì (X, τ ) Hausdorff Ngược lại, giả sử (X, τ ) Hausdorff Đối với x ∈ X với x = 0, tồn lân cận không chứa x Đặc biệt, tồn p1 , p2 , , pn ∈ P r > cho x ∈ / V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Điều cho thấy pi (x − 0) = pi (x) ≥ r, với ≤ i ≤ m hiển nhiên pi (x) > ta thấy P họ tách nửa chuẩn X Định nghĩa 2.1.1 Tôpô τ không gian véctơ X trường K xây dựng gọi (không gian) tôpô sinh họ nửa chuẩn P cho trước Định lý 2.1.3 Cho τ không gian véctơ không gian véctơ X xác định họ nửa chuẩn P Một lưới (xv ) hội tụ tới (X, τ ) p(xv ) → với p ∈ P 23 Chứng minh Giả sử xv → (X, τ ) Thì p(xv ) → p(0) = với p ∈ P, p liên tục Ngược lại, giả sử p(xv ) → với p ∈ P Cho p1 , p2 , , pm ∈ P r > Thì tồn vo cho pi (xv ) < r v ≥ vo , ≤ i ≤ m Do đó, xv ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) v ≥ vo Suy xv → Chú ý 2.1.1 Sự hội tụ lưới (xv ) đến x chưa suy từ hội tụ p(xv ) → p(x) R với p ∈ P Thật vậy, với x = p ∈ P bất kì, p ((−1)n x) → p(x), n → ∞, (−1)n x → x không (X, τ ) tách Định lý 2.1.4 Tôpô không gian véctơ X trường K xác định họ nửa chuẩn P tôpô tương hợp yếu X làm cho phần tử P liên tục Chứng minh Đặt τ không gian véctơ tôpô yếu X có tính chất làm cho phần tử P liên tục Hiển nhiên τ ⊆ τ Cho p1 , p2 , , pn ∈ P n {x ∈ X : pi (x) < r} ∈ τ V (0, p1 , p2 , , pn ; r) = i=1 tập {x ∈ X : pi (x) < r} = p−1 i ((−∞, r)) thuộc τ , ≤ i ≤ n Ta biết, phép tịnh tiến phép đồng phôi τ chứa tất tập có dạng V (x, p1 , p2 , , pn ; r) với x ∈ X Suy τ ⊆ τ Do ta có τ = τ Hệ 2.1.1 Tôpô τ xác định họ nửa chuẩn cho trước không gian véctơ X tôpô yếu làm cho phần tử P liên tục với xo ∈ X cố định, phép tịnh tiến x → x+xo liên tục 24 Chứng minh Thật vậy, với ánh xạ tịnh tiến Txo , xo ∈ X phép đồng phôi (giống phần chứng minh định lí trên) Từ đó, suy liên tục ánh xạ x → x + xo , x ∈ X Định lý 2.1.5 Giả sử ρ nửa chuẩn không gian véctơ (X, τ ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) ρ liên tục ; (ii) ρ liên tục ; (iii) ρ bị chặn số lân cận ; Nếu tôpô τ không gian véctơ tôpô định nghĩa họ nửa chuẩn P (i), (ii), (iii) tương đương với mệnh đề sau: (iv) Tồn tập hữu hạn nửa chuẩn p1 , p2 , , pm P số C > thỏa mãn ρ(x) ≤ C (p1 (x) + + pm (x)), với x ∈ X Chứng minh Từ bất đẳng thức |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) hàm ý (ii) suy từ (i) Nếu xv → x thuộc X, xv − x → Vì |ρ(xv ) − ρ(x)| ≤ ρ(xv − x) → 0, nghĩa ρ liên tục x Rõ ràng, (ii) kéo theo (i) (iv) kéo theo (i) xv lưới hội tụ tới 0, ρ(xv ) → với p ∈ P, ρ(xv ) → = ρ(0) (iv) Tiếp theo, ta thấy (i) suy tồn số lân cận U thỏa mãn ρ(U ) ⊆ {t ∈ K : |t| < ε} tức |ρ(x)| < x ∈ U (iii) Ngược lại, có (iii) tồn số lân cận V số C > thỏa mãn |ρ(x)| < C với x thuộc X Suy với ε > bất kì, |ρ(x)| < ε x ∈ C ε V ρ liên tục Đây (i) 25 Cuối ta chứng minh (i) kéo theo (iv) Giả sử ρ liên tục 0, tồn lân cận U thỏa mãn ρ(U ) ⊆ {t ∈ R : |t| < 1}, có nghĩa ρ(x) < với x ∈ U Nhưng tồn p1 , p2 , , pm P r > thỏa mãn V (0, p1 , p2 , , pm ; r) ⊆ U , ρ(x) < với tất x ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Đặt s(x) = p1 (x) + + pm (x) giả sử x thỏa mãn s(x) = Thì rx s(x) ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) ρ (rx s(x)) ∈ V (0, p1 , p2 , , pm ; r) Do ρ (rx s(x)) < 1, nghĩa , ρ(x) < (p1 (x) + · · · + pm (x)) r Mặt khác, s(x) = 0, s(nx) = với n ∈ N Do đó: x ∈ V (0, p1 , p2 , · · · , pm ; r) Suy ρ(nx) = nρ(x) < với n ∈ N Suy ρ(x) = Vậy ta kết luận ρ(x) < (p1 (x) + + pm (x)) r với x ∈ X 2.2 Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert B(H) không gian toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H, H không gian Hilbert, trang bị tích vô hướng Có nhiều tôpô xác định không gian B(H) Các tôpô lồi địa phương định nghĩa họ nửa chuẩn Các tôpô 26 thường gặp B(H) tôpô chuẩn, tôpô toán tử yếu tôpô toán tử mạnh Bây ta định nghĩa ba tôpô Định nghĩa 2.2.1 (1)Tôpô chuẩn hay tôpô toán tử hay tôpô Từ B(H) không gian định chuẩn chuẩn sinh mêtric, B(H) không gian mêtric Do tôpô chuẩn định nghĩa tôpô sinh mêtric Trong tôpô chuẩn Tn → T Tn − T → (2) Tôpô toán tử mạnh (hay tôpô mạnh viết tắt SOT) Tôpô toán tử mạnh B(H) tôpô xác định lân cận có dạng: V (To , x1 , x2 , , xk ; ε) = {T ∈ B(H) : (T − To )xi < ε, i = 1, 2, , n} x1 , x2 , , xk thuộc H, To ∈ B(H) ε dương Dãy {Ti } hội tụ toán tử mạnh đến To (Ti −To )x →0 với x thuộc H (3) Tôpô toán tử yếu (được viết tắt WOT) Tôpô toán tử yếu B(H) tôpô yếu B(H) sinh họ J phiếm hàm tuyến tính wx.y (T ) = < T x, y >, x, y ∈ H, T ∈ B(H) Theo định lí 2.1.1, tôpô toán tử yếu B(H) tôpô lồi địa phương sinh nửa chuẩn |wx.y (T )| Ta xét họ tập: V To : wx1 y1 , , wxm ym ,ε = {T ∈ B(H) : ||(T − To )xi yi || < ε, i = 1, , m} x1 , x2 , , xm , y1 , y2 , , ym thuộc H ε dương Họ lân cận lồi (mở) T tôpô toán tử yếu Chú ý 2.2.1 Trong không gian B(H) ba loại tôpô chuẩn, tôpô toán tử yếu tôpô toán tử mạnh tôpô sinh họ 27 nửa chuẩn Cụ thể: Tôpô chuẩn tôpô sinh họ nửa chuẩn T với T ∈ B(H) Tx Tôpô toán tử mạnh tôpô sinh họ nửa chuẩn với T ∈ B(H), x ∈ X Tôpô toán tử yếu tôpô sinh họ nửa chuẩn | T x, y | với T ∈ B(H), x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.2 (i) Tập không gian véctơ tôpô đóng yếu đóng với tôpô toán tử yếu đóng mạnh đóng với tôpô toán tử mạnh (ii) Một hàm số gọi liên tục mạnh liên tục tôpô toán tử mạnh gọi liên tục yếu liên tục tôpô toán tử yếu 2.3 Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô B(H) Định lý 2.3.1 Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu Chứng minh ∗) Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh Giả sử tôpô chuẩn Tn → T Suy Suy Tn x − T x s Tn − T →0 s → với x ∈ X Từ suy Tn → T ∗) Giả sử Tn → T Suy Tn x − T x → với x ∈ X Ta lại có | Tn x, y − T x, y | = | Tn x − T x, y | = | (Tn − T )x, y | với x, y ∈ H 28 Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz: | (Tn − T )x, y | ≤ (Tn − T )x y Tn x − T x = y → với x, y ∈ H Suy | Tn x, y − T x, y | → Tn x, y Hay w → T x, y với x, y ∈ H Vậy Tn → T Định lý 2.3.2 Các mệnh đề sau B(H): (i) Nếu An x, y → Ax, y với y = 1, An x − Ax → (ii) Nếu An x − Ax → với x An − A = 1, → Chứng minh 1) Trường hợp A = , mệnh đề Với A = 0, ta có: An x, y → Ax, y ⇒ (An − A + A)x, y ⇒ (An − A)x + Ax, y ⇒ (An − A)x, y + < Ax, y ⇒ (An − A)x, y y =1 → Ax, y → Ax, y → Ax, y → Vậy đặt Bn = An − A, ta có Bn x, y → y =1 Vậy từ giả thiết có khẳng định ( Đó : An x, y → với Bn x → : y An x → ), ta nhận = 1, (An − A)x = An x − Ax → ) 2) Trường hợp A = Với A = 0: Bây giờ, giả sử An x → x = 1, có nghĩa với ε > tồn số N cho với n ≥ N x = Tính có nghĩa N không phụ thuộc vào x 29 An x < ε Từ suy với n ≥ N An ( x −1 x) Thật với n ≥ N : < ε x = x −1 An x < ε x = Suy với n ≥ N : An x < x ε x = Suy với n ≥ N : An x < x ε với x ∈ H Điều suy với n ≥ N, An < ε, cho thấy An → Định lý 2.3.3 Phép nhân toán tử B(H) liên tục tôpô chuẩn gián đoạn tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử yếu Chứng minh ∗) Tôpô chuẩn : AB − Ao Bo ≤ ≤ AB − ABo A B − Bo ≤ ( A−Ao + ABo − Ao Bo + + Ao ) A − Ao B−Bo Bo + A−Ao Bo Từ bất đẳng thức, ta suy phép nhân toán tử B(H) liên tục ∗) Gián đoạn phép nhân tôpô toán tử mạnh Bước 1: Chứng minh tập N tất lũy tính cấp tức tập tất toán tử A thỏa mãn A2 = A, trù mật mạnh Để chứng minh điều này, ta giả sử V = (Ao ; x1 , , xk , ε) := {A ∈ B(H) : (A − Ao )xi < ε, i = 1, , k} sở tôpô toán tử mạnh Không tính tổng quát, ta giả sử x độc lập tuyến tính chí trực giao (nếu không, thay chúng tập độc lập tuyến tính chí trực giao với khoảng, đồng thời cần làm cho ε nhỏ nhiều lần) 30 Với i (i = 1, , k) tìm véctơ yi thỏa mãn Ao xi − yi < ε khoảng cách y thông thường với khoảng cách x Vì vậy, không gian Hilbert vô hạn chiều, điều xảy Thực tế, giả sử không gian Hilbert vô hạn chiều, không tất tôpô trùng Cho A toán tử thỏa mãn : Axi = yi Ayi = (i = 1, , k), Az = 0, < z, xi > = < z, yi > = (i = 1, , k) Rõ ràng A toán tử lũy tính cấp rõ ràng A xác định sở mạnh Bước 2: Nếu phép nhân liên tục mạnh trường hợp đặc biệt liên tục mạnh cặp có dạng (A, A) Nhưng liên tục mạnh (A, A) −→ lưới chuỗi liên tục (A, A), nghĩa là: Nếu (An , An ) → (A, A) A2n → A2 Bây ta lấy A ∈ B(H) A ∈ B(H) = cls (N ), tồn lưới Aλ ⊆ N cho Aλ → A, (Aλ , Aλ ) → (A, A) (theo định nghĩa tôpô tích ) Nếu phép nhân có lưới liên tục A2λ → A2 Nhưng Aλ ⊆ N , với λ ta có A2λ = Vậy ta có → A2 từ tính giới hạn mạnh, tồn tại, ta có A2 = Nhưng A bất kì, đặc biệt ta lấy A ánh xạ đồng H, mâu thuẫn với ∗) Gián đoạn phép nhân tôpô toán tử yếu: Vì tôpô mạnh mạnh tôpô yếu, tập trù mật mạnh định trù mật yếu, tập N tất toán tử lũy tính cấp trù mật yếu Chứng minh trên, cần thay tất chỗ mạnh yếu ta điều cần chứng minh 31 Định lý 2.3.4 1) Phép nhân phải liên tục mạnh yếu Tức là, cho B cố định, ánh xạ B(H) → B(H) định nghĩa A → AB liên tục mạnh yếu 2) Phép nhân trái liên tục mạnh yếu Tức là, cho A cố định, ánh xạ B(H) → B(H) định nghĩa B → AB liên tục mạnh yếu Chứng minh Ta sử dụng hội tụ: ∗) Liên tục mạnh : Đối với phép nhân phải: Giả sử Aλ → A mạnh nghĩa Aλ x → Ax mạnh với x ∈ H Vậy, trường hợp đặc biệt, Aλ Bx → ABx với x ∈ H điều xác lập tính liên tục mạnh A Đối với phép nhân trái: Giả sử Bλ → B nghĩa Bλ x → Bx mạnh với x ∈ H Thì, A liên tục nên bị chặn Vậy giả sử ABλ x → ABx mạnh với x ∈ H điều xác lập tính liên tục mạnh A ∗) Liên tục yếu : Đối với phép nhân phải: Nếu Aλ → A yếu, nghĩa Aλ x → Ax yếu với x ∈ H Aλ x, y → Ax, y với x, y ∈ H Thì trường hợp đặc biệt Aλ Bx, y → ABx, y với x, y ∈ H liên tục yếu A Đối với phép nhân trái: Nếu Bλ → B yếu Bλ x → Bx yếu với x ∈ H Bλ x, y → Bx, y với x, y ∈ H Thì trường hợp đặc biệt, Aλ Bx, y = Bλ x, A∗ y → Bx, A∗ y = ABx, y với x, y ∈ H liên tục yếu B Chú ý 2.3.1 Ta dễ thấy nhận xét tôpô : Nếu hàm từ 32 không gian đến không gian khác liên tục, hàm liên tục tôpô miền tạo ảnh lớn hàm liên tục tôpô miền ảnh nhỏ Định lý 2.3.5 Chuẩn (tức T → T ) liên tục tôpô chuẩn gián đoạn tôpô toán tử mạnh tôpô toán tử yếu Chứng minh ∗) Đối với tôpô chuẩn : Việc chứng minh tôpô chuẩn chứng minh bất đẳng thức: | A − B |≤ A−B Chứng minh với liên tục Ao ∈ B(H) Chúng ta nên chứng minh: Với ε > 0, tồn số δ > cho | − A A − Ao < ε | ta lấy δ = ε A − Ao < ε | − A Ao |⊆ A − Ao < ε Lưu ý : Các chứng minh với không gian định chuẩn không B(H), đẳng thức | |≤ A−B A − B không gian định chuẩn ∗) Đối với tôpô toán tử mạnh tôpô toán tử yếu : Sử dụng ý 2.3.1 Gián đoạn tôpô toán tử mạnh −→ gián đoạn tôpô toán tử yếu Vì vậy, ta phải gián đoạn chuẩn tôpô toán tử mạnh Chúng ta lấy ví dụ chuẩn không liên tục theo −→ không liên tục Lấy không gian Hilbert vô hạn chiều H Xây dựng dãy giảm dần không gian khác dạng x ⊃ x1 ⊃ x2 ⊃ x3 ⊃ Điều không gian hữu hạn chiều chúng 33 ta xét với không gian vô hạn chiều đặt Pn dãy toán tử chiếu (trực giao) tương ứng Dãy Pn hội tụ mạnh tới Dãy ảnh Pn Pn không hội tụ tới = 0, dãy ảnh dãy không đổi 1, với phép chiếu trực giao ta có : P = P = P P = P ∗P = P ⇒ P = P ⇒ P = Định lý 2.3.6 Phép liên hợp(tức hàm T → T ∗ ) liên tục tôpô chuẩn tôpô toán tử yếu gián đoạn tôpô toán tử mạnh Chứng minh ∗) Liên tục chuẩn: Ta cần sử dụng đẳng thức A∗ − B ∗ = A−B (và lấy δ = ε) ∗) Liên tục yếu: Liên tục yếu suy đồng thức : | A∗ x, y − B ∗ x, y | = | (A∗ − B ∗ )x, y | = | x, (A∗ − B ∗ )∗ y | = | x, (A − B)y | = | x, Ay − x, By | = | Ay, x − By, x | Mà bất đẳng thức trước ta sử dụng tính chất |z| = |z| với z ∈ C ∗) Gián đoạn mạnh : Để chứng minh gián đoạn mạnh liên hợp, ta xét B(l2 ) Lấy U chuyển dịch phía (một chuyển dịch tọa độ bên phải) ta có U : B(l2 ) −→ B(l2 ) cho U (ξo , ξ1 , ξ2 , ) = (0, ξo , ξ1 , ) định nghĩa Ak = U ∗k , k = 1, 2, 34 Chú ý U ∗ (ξo , ξ1 , ξ2 , ) = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , ) (dịch chuyển tọa độ sang trái) Ta khẳng định Ak → mạnh, dãy A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Thật vậy: Ak (ξo , ξ1 , ξ2 , ) Vì với x Ak x chuỗi hội tụ, Ak x = (ξk , ξk+1 , ξk+2 , ) |ξn |2 = (trong x = (ξo , ξ1 , ξ2 , )) phần dư → với x → với Ak x x, Ak → mạnh A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Vì không, với = x ∈ H ta có A∗k → mạnh, nghĩa A∗k x → Nhưng A∗k x → không đúng, không dãy Cauchy: A∗k không hội tụ mạnh tới 0∗ = Vì không, với = x ∈ H ta có A∗k → mạnh, nghĩa A∗k x → Nhưng A∗k x → không đúng, không dãy Cauchy: A∗m+n − A∗n x = U n (U m x−x) = x = 2( x 2 = = U m x−x −2Re U m x, x + x 2 = = (U m x) = 2( x U n (U m x) − U n (x) −2Re U m x, x + x −Re U m x, x ) −Re x, U ∗m x ) Ở ta ra : Vậy U m+n x − U n x A∗m+n − A∗n x A∗m+n x − A∗n x → định nghĩa Am x → √ →2 x = x 35 U ∗m x m, n lớn → Nó KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành số vấn đề sau đây: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn Ba loại tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Do thời gian có hạn lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Trước kết thúc khóa luận em xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt TS Tạ Ngọc Trí người dẫn tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua đề em hoàn thành khóa luận Tài liệu tham khảo [1] TS Nông Quốc Chinh , Tôpô đại cương , NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Phụ Hy(2006) ,Giải tích hàm , NXB Khoa học Kĩ thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994) , Tôpô đại cương – Độ đo tích phân, NXB Giáo dục [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] V.H Moscovich, Norm, Strong, and weak operator topologies on B(H) Tìm đọc đường link://u.cs.biu.ac.il/ megereli/updated.pdf [6] M.Reed and B.Simon (1980), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol Functional Analysis Academic Press, revised edition [7] F Wilde, Basic Analysis – Gently Done Topological Vector Spaces, Lecture Notes, Department of Mathematics, King’s College, London Tìm đọc đường link: homepage.ntlword.com/ivan.wilde/notes/fa2/fa2.pdf 37 [...]... 2.2 Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert B(H) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H, trong đó H là không gian Hilbert, được trang bị một tích vô hướng Có nhiều tôpô được xác định trên không gian B(H) Các tôpô này đều là lồi địa phương và được định nghĩa họ các nửa chuẩn Các tôpô 26 thường gặp trên B(H) là tôpô chuẩn, tôpô toán. .. Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu: < Ax, y > = < x, By >, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A∗ Định lý 1.1.5 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Định lý 1.1.6 Cho A là toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert. .. P là tập con của không gian lồi địa phương X, convP là tập đóng nhỏ nhất của X chứa P Ví dụ 1.4.1 Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi họ chỉ gồm một tập Vo = {B(0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là V = {εB(0; 1) | ε > 0} = {B(0; ε) | ε > 0} 19 Chương 2 Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert Trong chương... vào không gian Hilbert Y Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử A cũng là toán tử bị chặn và A∗ = A Chú ý 1.1.1 Ngoài ra toán tử liên hợp A∗ còn một số tính chất sau: Cho hai không gian Hilbert X và Y nếu A, A∗ ∈ B (X, Y ) thì : 1) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (∀λ ∈ K) : (λA)∗ = λA∗ 2) (AB)∗ = A∗ B ∗ 3) (A∗ )∗ = A 4) A∗ A = A 2 Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử tự liên hợp) Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không. .. Trong không gian B(H) thì ba loại tôpô chuẩn, tôpô toán tử yếu và tôpô toán tử mạnh đều là những tôpô được sinh bởi họ 27 các nửa chuẩn Cụ thể: Tôpô chuẩn là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn T với T ∈ B(H) Tx Tôpô toán tử mạnh là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn với T ∈ B(H), x ∈ X Tôpô toán tử yếu là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn | T x, y | với T ∈ B(H), x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.2 (i) Tập con của một không. .. với tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu : Sử dụng chú ý 2.3.1 Gián đoạn đối với tôpô toán tử mạnh −→ gián đoạn đối với tôpô toán tử yếu Vì vậy, ta phải chỉ ra gián đoạn của chuẩn đối với tôpô toán tử mạnh Chúng ta sẽ lấy một ví dụ trong đó chuẩn không liên tục theo −→ không liên tục Lấy một không gian Hilbert vô hạn chiều H Xây dựng một dãy giảm dần của không gian con khác không có dạng x ⊃ x1 ⊃ x2... một không gian véctơ tôpô E Khi đó, E là Hausdorff nếu và chỉ nếu U = {0} U∈U 1.4 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.4.1 Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi Tôpô của nó được gọi là tôpô lồi địa phương Mỗi tôpô lồi địa phương trên không gian véctơ được xác định bởi họ các nửa chuẩn {ρα | α ∈ P} thỏa mãn tính. .. chuẩn, tôpô toán tử yếu và tôpô toán tử mạnh Bây giờ ta đi định nghĩa ba tôpô đó Định nghĩa 2.2.1 (1 )Tôpô chuẩn hay tôpô toán tử đều hay tôpô đều Từ B(H) là một không gian định chuẩn và chuẩn sinh ra bởi một mêtric, vì vậy B(H) là một không gian mêtric Do đó tôpô chuẩn được định nghĩa bởi tôpô sinh bởi mêtric Trong tôpô chuẩn Tn → T khi và chỉ khi Tn − T → 0 (2) Tôpô toán tử mạnh (hay tôpô mạnh và được... luận đã hoàn thành được một số vấn đề cơ bản sau đây: 1 Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn 2 Ba loại tôpô thường gặp trên không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Do thời gian có hạn và lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn Trước khi kết... lưới 1.3 Không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.3.1 Cho E là không gian véctơ trên trường K (K = R hoặc C) Một tôpô τ trên E được gọi là tương thích (với phép đại số của E) nếu phép cộng + : E ×E → E và phép nhân vô hướng : K ×E → E liên tục Ta gọi một không gian véctơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian véctơ tôpô Ta nói một không gian véctơ tôpô (X, τ ) là tách nếu tôpô τ là tôpô Hausdorff ... 2.2 Một số tôpô thường gặp không gian toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert B(H) không gian toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H, H không gian Hilbert, trang bị tích vô hướng Có nhiều tôpô. .. 1.1.7 Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử liên hợp) Cho A toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X... X vào không gian Hilbert Y Khi tồn toán tử A∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Định lý 1.1.6 Cho A toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert