Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian hilbert

212.2 Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tửtuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert... Để tìm hiểu các vấn đề đó em đã lựa chọn đề tài: " Một số tôpôthường gặp trong k

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Tạ NgọcTrí Người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn em trongquá trình thực hiện luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong nhà trường và cácthầy cô giáo trong tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quátrình em học tập và nghiên cứu

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bàytrong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và của các bạn sinh viên đểkhóa luận hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng

em dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí

Trong nghiên cứu khóa luận, em đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 7

1.1.1 Tích vô hướng 7

1.1.2 Không gian Hilbert 8

1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao 9

1.1.4 Cơ sở trực chuẩn 10

1.1.5 Không gian đối ngẫu 10

1.1.6 Sự hội tụ trong không gian Hilbert 10

1.1.7 Toán tử liên hợp 12

1.2 Không gian tôpô 13

1.2.1 Cơ sở và tiền cơ sở 14

1.2.2 Lân cận và cơ sở lân cận 15

1.2.3 Phần trong, bao đóng 16

1.2.4 Ánh xạ liên tục 16

1.2.5 Lưới 17

1.3 Không gian véctơ tôpô 17

1.4 Không gian lồi địa phương 18

2 Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử

2.1 Tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn 202.1.1 Nửa chuẩn 202.1.2 Tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn 212.2 Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử

tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert 262.3 Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô trên B(H) 28

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành của Giải tích toán học nghiên cứu cáctập hợp được trang bị thêm những tôpô thích hợp Trong đó, không gianHilbert là một lớp quan trọng

Không gian Hilbert là tổng quát hóa các khái niệm, tính chất củakhông gian Euclid trên đó nó xác định tích vô hướng và xây dựng cáckhái niệm có liên quan Ta nhận thấy rằng không gian Hilbert cũng làkhông gian Banach với chuẩn k x k = √

< x, x >, x ∈ H Theo định lí F.Rize ta có thể đồng nhất không gian Hilbert và khônggian liên hợp của nó Trên đó, người ta đã xây dựng các tôpô khác nhaunhư tôpô mạnh, tôpô yếu, tôpô yếu ∗, và từ đó xây dựng các khái niệmhội tụ: hội tụ mạnh, hội tụ yếu, các khái niệm liên tục mạnh, liên tụcyếu Để tìm hiểu các vấn đề đó em đã lựa chọn đề tài: " Một số tôpôthường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của mộtkhông gian Hilbert”

2 Nội dung của khóa luận

Nội dung của khóa luận bao gồm hai chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tửtuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert

3 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểusâu hơn về tôpô, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát củagiải tích hàm Đặc biệt là ba loại tôpô thường gặp trong không gian các

toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert.

4 Phương pháp nghiên cứu

So sánh tổng hợp, phân tích và đọc tài liệu

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung chương này là những kiến thức cơ bản Ở đây, các định lí,các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứngminh Các khái niệm và kết quả trình bày trong chương được trích dẫn

từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [6]

1.1 Không gian Hilbert

Ở mục này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gianHilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Cáckhái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong các tài liệu [2], [6]

1.1.1 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian véctơ trên trường K (với K là

R hoặc C ) Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ:

< , > : H × H → K

(x, y) 7→ hx, yithỏa mãn các điều kiện sau đây:

(1) < x, y > = < y, x > , ∀x, y ∈ H ;

(2) < x + y, z > = < x, z > + < y, z >, ∀x, y, z ∈ H ;

(3) < λx, y > = λ < x, y > , ∀x, y ∈ H và λ ∈ K ;

(4) < x, x > ≥ 0 , ∀x ∈ H và < x, x > = 0 ⇔ x = 0 ;

Số < x, y > gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y

Cặp (H, < x, y >) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gianUntia)

Định lý 1.1.1 Nếu H là không gian tiền Hilbert thì công thức:

kxk = √< x, x >, x ∈ H (1)xác định một chuẩn trên X Với kí hiệu trên thì bất đẳng thức Schwarzđược viết là: | < x, y > | ≤ kxk kyk

Nhận xét: Do định lí 1.1.2 ta thấy không gian tiền Hilbert H chính

là một không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng bởicông thức (1) Như vậy mọi khái niệm, kết quả đã được thiết lập chokhông gian định chuẩn đều có thể áp dụng được cho không gian tiềnHilbert

1.1.2 Không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert, xem như một không gian định chuẩn

có thể đầy hoặc không đầy Nếu H là một không gian tiền Hilbert vàđầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gianHilbert

Công thức này xác định một tích vô hướng, chuẩn sinh ra bởi tích vôhướng này là

k x k =

vuut

Xác định một tích vô hướng trong l2 và nó cảm sinh chuẩn (2) Vậy

l2 là một không gian Hilbert

1.1.3 Khái niệm trực giao, hệ trực giao

Cho H là một không gian tiền Hilbert, x, y là hai véctơ thuộc H còn

S, M và N là các tập con của H Ta có định nghĩa sau:

a) Hai phần tử x, y thuộc H gọi là trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ ynếu < x, y > = 0

b) Một hệ S ⊂ H gọi là hệ trực giao nếu các phần tử khác bất kìcủa S trực giao với nhau từng đôi một, tức là mọi x, y ∈ H và x 6= y ta

có x ⊥ y

c) Cho S là một hệ trực giao Nếu mọi phần tử của S có chuẩnbằng một thì S được gọi là một hệ trực chuẩn

d) Ta nói véctơ x trực giao với tập M , kí hiệu x ⊥ M nếu x trựcgiao với mọi phần tử thuộc M

1.1.4 Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Cho E = {e1, e2, } là một hệ trực chuẩn hữu hạnhay đếm được của không gian Hilbert H Ta gọi hệ này là một cơ sởtrực chuẩn hay một hệ trực chuẩn đầy đủ trong H nếu không gian con

M sinh bởi hệ E trù mật trong H, nghĩa là H = h{e1, e2, }i

Ta gọi cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H là cơ sở Hilbert củaH

Định lý 1.1.2 Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn hữu hạn hayđếm được khi và chỉ khi không gian đó là không gian tách được

1.1.5 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.3 Không gian B (H, C) được gọi là không gian đốingẫu của không gian Hilbert H và được kí hiệu H∗ Mỗi phần tử của H∗được gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lý 1.1.3 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trongkhông gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f (a) = < x, a >, x ∈ H trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhấtbởi phiếm hàm f và k f k = k a k

1.1.6 Sự hội tụ trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert B (H) là không gian các toán tửtuyến tính bị chặn từ H vào H với chuẩn k A k = sup

kxk≤1

k Ax k= k A∗ k

Định nghĩa 1.1.4 Trên B (H), ta định nghĩa sự hội tụ của các toán

tử như sau:

Ta nói các toán tử {An} thuộc B (H) hội tụ đều đến toán tử A thuộc

B (H) khi và chỉ khi k An− A k = sup

Toán tử T : H → H là liên tục yếu-yếu nếu mọi dãy {xn} trong H hội

tụ yếu đến x thì {T xn} hội tụ yếu đếnT x

Toán tử T : H → H là liên tục yếu-chuẩn nếu mọi dãy {xn} trong Hhội tụ mạnh đến x thì {T xn} hội tụ yếu đến T x Khi đó T bị chặn.Toán tử T : H → H là liên tục chuẩn-yếu nếu mọi dãy {xn} trong Hhội tụ yếu đến x thì {T xn} hội tụ mạnh đến T x Một toán tử liên tụcchuẩn-yếu có dạng hữu hạn

Định lý 1.1.4 Cho H là một không gian Hilbert H Ta có:

a) Nếu {xn} hội tụ yếu đến x và {yn} hội tụ mạnh (hội tụ theochuẩn) đến y thì < xn, yn > → < x, y >, n → ∞

b) Nếu {xn} hội tụ yếu đến x và k xn k hội tụ về k x k thì {xn} hội

tụ theo chuẩn về x

1.1.7 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử liên hợp)

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert Xvào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào khônggian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:

< Ax, y > = < x, By >, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A∗

Định lý 1.1.5 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợpvới toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X

Định lý 1.1.6 Cho A là toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert

X vào không gian Hilbert Y Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử Acũng là toán tử bị chặn và k A∗ k = k A k

Chú ý 1.1.1 Ngoài ra toán tử liên hợp A∗ còn một số tính chất sau:Cho hai không gian Hilbert X và Y nếu A, A∗ ∈ B (X, Y ) thì :

1) (A + B)∗ = A∗ + B∗, (∀λ ∈ K) : (λA)∗ = λA∗

2) (AB)∗ = A∗B∗

3) (A∗)∗ = A

4) k A∗A k = k A k2

Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử tự liên hợp)

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính

nó gọi là tự liên hợp (hay đối xứng) nếu:

< Ax, y > = < x, Ay >, ∀x, y ∈ H

Định lý 1.1.7 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert

H vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng < Ax, x > là

số thực với mọi x ∈ H

Định lý 1.1.8 Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert

H vào chính nó, thì:

k A k = sup

kxk=1

| < Ax, x > |

Trong mục 1.2 này ta đi nêu lại các kiến thức cơ bản về không giantôpô và lưới Các khái niệm và kết quả này được tham khảo trong tàiliệu [1], [3], [4], [7]

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một tập hợp tùy ý Một họ τ gồm cáctập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãncác điều kiện sau đây:

i) φ và X thuộc τ ;

ii) Hợp tùy ý của các tập thuộc τ là thuộc τ ;

iii) Giao hữu hạn của các tập thuộc τ là thuộc τ ;

Một tập hợp X cùng với một tôpô τ xác định trên nó được gọi là mộtkhông gian tôpô, kí hiệu là (X, τ )

Cho (X, τ ) là không gian tôpô Tập G ∈ τ được gọi là tập mở của X.Tập con F của X được gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở

Bằng ngôn ngữ tập hợp mở ta có thể phát biểu lại các tiên đề tôpônhư sau:

i) φ và X là các tập mở ;

ii) Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở ;

iii) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở ;

Định nghĩa 1.2.2 Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorffnếu với mọi x, y thuộc X, x 6= y tồn tại lân cận U của x và một lân cận

V của y sao cho U ∩ V = φ

Ví dụ 1.2.1 Cho X 6= φ là một tập hợp tùy ý Khi đó τ = {φ, X} làmột tôpô trên X và được gọi là tôpô thô Khi đó cặp (X, τ ) được gọi làkhông gian tôpô thô

Ví dụ 1.2.2 Với mọi tập X, P(X) = {G | G ⊂ X} là một tôpô trên

X và được gọi là tôpô rời rạc Khi đó tập X cùng với tôpô rời rạc gọi làkhông gian tôpô rời rạc

Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X

Ví dụ 1.2.3 Cho X là một tập Một hàm d : X × X → R là mộtmêtric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

Với mọi không gian mêtric (X, d) họ các tập mở theo mêtric d là mộttôpô trên X Tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi mêtric d

1.2.1 Cơ sở và tiền cơ sở

Cho τ là một tôpô trên X Một họ con A của τ gọi là một cơ sở của

τ , nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc A Nóicách khác, họ con A của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ và mọi x ∈ Gtồn tại V ∈ A sao cho x ∈ V ⊂ G

Một họ σ của τ gọi là một tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữuhạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ

Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sởcủa nó.

Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai nếu tôpôcủa nó có một cơ sở đếm được

1.2.2 Lân cận và cơ sở lân cận

Cho (X, τ ) là không gian tôpô Tập A ⊂ G được gọi là lân cận của

X nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ A ⊂ G

Nếu lân cận A của x là tập mở thì A gọi là lân cận mở của x

Một tập hợp là mở khi và chỉ khi nó là lân cận mở của mọi điểmthuộc nó

Một họ Ux các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của x hay

cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận của x đều tồn tại lân cận Uthuộc Ux sao cho U ⊂ A

Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất nếu mọiđiểm x ∈ X đều có tôpô của cơ sở lân cận đếm được

Định lý 1.2.1 Giả sử σ và τ là hai tôpô trên cùng một tập hợp X Để

τ < σ thì cần vầ đủ là với mọi x ∈ X, với Vxτ và Vxσ là các cơ sở lân cậncủa x tương ứng đối với các tôpô τ và σ thì

(iv) Với mỗi V ∈ Vx có một W ∈ Vx sao cho V ∈ Vy cho mọi

y ∈ W ;

2) Ngược lại: Cho X là một tập hợp tùy ý và với mỗi x ∈ X, có một

họ Vx 6= φ những tập con của X sao cho họ V = {Vx : x ∈ X} có cáctính chất (i) − (iv) Khi đó tồn tại một tôpô duy nhất trên X sao chotại mỗi điểm x thuộc X, họ Vx là cơ sở lân cận của x

Định lý 1.2.3 Để một họ A những tập hợp mở của x là một cơ sở tôpôcủa X thì cần và đủ là mỗi tập hợp mở G ⊂ X đều là hợp của một họcon của A

Tập con O gọi là trù mật trong X nếu O = X

Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu Ao = φ

Tập con A và O của X được gọi là tách nhau nếu A ∩ O = φ và

A ∩ O = φ

1.2.4 Ánh xạ liên tục

Giả sử: f : X → Y là ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào khônggian (Y, σ) Ta nói ánh xạ f là liên tục tại điểm x thuộc X nếu với mọilân cận V của f (x) tồn tại một lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập hợp A ⊂ X nếu f liên tục tạimọi điểm x ∈ A Đặc biệt, nếu A = X thì ta nói f là ánh xạ liên tục

Lưới < xα >α∈D trong không gian tôpô được gọi là hội tụ đến x ∈ X,

x gọi là giới hạn của lưới nếu mọi lân cận V của x, tồn tại αo ∈ D saocho xαo ∈ V với mọi α ≥ αo Kí hiệu là x → xo

Nếu D là N với quan hệ thứ tự thông thường, thì chúng ta nhận đượckhái niệm dãy Nói cách khác, một dãy là một trường hợp đặc biệt củalưới

1.3 Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.3.1 Cho E là không gian véctơ trên trường K (K = Rhoặc C) Một tôpô τ trên E được gọi là tương thích (với phép đại số củaE) nếu phép cộng + : E × E → E và phép nhân vô hướng : K × E → Eliên tục

Ta gọi một không gian véctơ E cùng một tôpô tương thích trên nó làmột không gian véctơ tôpô

Ta nói một không gian véctơ tôpô (X, τ ) là tách nếu tôpô τ là tôpôHausdorff

Ví dụ 1.3.1

(1) Bất kì một không gian định chuẩn thực hay phức nào đều làkhông gian véctơ tôpô khi được trang bị tôpô cảm sinh bởi chuẩn

(2) Bất kì một không gian véctơ đều là không gian véctơ tôpôvới tôpô rời rạc.

Định lý 1.3.1 Cho E là một không gian véctơ tôpô Khi đó :

a) Với mọi a ∈ E, phép tịnh tiến x 7−→ x + a là phép đồng phôi

từ E lên E Đặc biệt, U là một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì a + U ={a + U, U ∈ U } là cơ sở lân cận của a ∈ E

b) Với mọi λ ∈ K, λ 6= 0, ánh xạ x → λx là phép đồng phôi E lên

E Đặc biệt U là lân cận của 0 ∈ E thì λU, λ 6= 0 thì lân cận của 0.Theo định lí trên, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởimột cơ sở lân cận của 0 Lân cận của 0 được viết tắt là lân cận

Hệ quả 1.3.1 Trong không gian véctơ tôpô, mọi lân cận của U đềuchứa một lân cận đóng

Hệ quả 1.3.2 Cho U là một một cơ sở lân cận của một không gianvéctơ tôpô E Khi đó, E là Hausdorff nếu và chỉ nếu

\

U∈U

U = {0}

1.4 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.4.1 Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gianlồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tậplồi Tôpô của nó được gọi là tôpô lồi địa phương

Mỗi tôpô lồi địa phương trên không gian véctơ được xác định bởi họcác nửa chuẩn {ρα | α ∈ P} thỏa mãn tính chất ρα = 0, ∀α ∈ P khi vàchỉ khi x = 0, V là tập mở khi và chỉ khi mỗi v ∈ V tồn tại ε > 0 và hữuhạn α1, α2, , αn ∈ P sao cho

n

T

i=1

{x | ραi (x − v) < ε} ⊂ V [chương 2]