Toán tử tuyến tính đóng trong không gian hilbert

Khóa luận tôt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học đ-ợc xây dựng vào khoảng đầu kỷ XX Trong trình phát triển giải tích hàm tích luỹ đ-ợc nội dung phong phú Những ph-ơng pháp kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Chính điều mở phạm vị nghiên cứu lớn cho ngành toán học Với mong muốn đ-ợc nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn b-ớc đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: Toán tử tuyến tính đóng không gian Hilbert Mục đích nghiên cứu B-ớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải hàm đặc biệt toán tử tuyến tính đóng không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính đóng không gian Hilbert Ph-ơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị Ch-ơng 2: Toán tử tuyến tính đóng Nguyễn Thị Thu -1- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Nội dung Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập tuỳ ý khác rỗng tr-ờng P với hai phép toán + . Giả sử có hai phép toán X : (i) + X X x, y X ; X ; ( x, y) a x y P X (ii) X ; ,x a P; x X ; x Ta gọi X với hai phép toán (i) (ii) không gian vectơ tr-ờng P tiền đề sau đ-ợc thoả mãn: T1: x, y X : x y T2: x, y, z X : ( x y) z T3: Trong X có T4: y x; x X ; x ( y z) ; để: x x: x X ; x ' X để thoả mãn: x x ' P; x, y X ta có: T5: ( x y) ; ( x y) T6: , P; x X ta có: x x T7: , P; x X ta có: ( x) ( ) x; T8: x y; x; x X :1x x ; Các phần tử X đ-ợc gọi vectơ, phần tử P đ-ợc gọi tích vô h-ớng Không gian vectơ X tr-ờng P gọi P - không gian vectơ X Khi P Ă , ta gọi không gian vectơ X không gian vectơ thực Khi P Ê , ta gọi không gian vectơ X không gian vectơ phức Nguyễn Thị Thu -2- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) cho X Hai chuẩn g g , gọi t-ơng đ-ơng tồn hai số d-ơng cho: x1 x2 x 1, x X Ví dụ: Trên không gian vectơ Ă k x j xo k , hai chuẩn: x j ; x ( x1, x2 , , xk ) Ă k (1) max x j ; x ( x1, x2 , , xk ) Ă k j k (2) Các chuẩn g ( xác định công thức (1)) g o (xác định công thức (2)) t-ơng đ-ơng Vì: xo x k x o, x Ă k 1.1.3 Tích vô h-ớng Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian tuyến tính X tr-ờng P ( P tr-ờng số thực Ă tr-ờng số phức Ê ) Ta gọi tích vô h-ớng không gian X ánh , , thoả mãn tiên đề: xạ từ tích Descartes X X vào tr-ờng P , kí hiệu gg (1) x, y X ( y, x) ( x, y) ; (2) ( x, y, z X )( x y, z ) ( x, z) ( y, z) ; (3) ( x, y X ) ( P) ( x, y) (4) ( x X ) ( x, x) , x ( x, y) ; ( ký hiệu phần tử không) ( x, x) x Nguyễn Thị Thu -3- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vô h-ớng, số ( x, y ) gọi tích vô h-ớng hai nhân tử x y Các tiên đề (1), (2), (3), (4) gọi hệ tiên đề tích vô h-ớng Ví dụ: Không gian Ă k không gian vectơ thực k chiều: x ( x1, x2 , , xk ) Ă k , y ( y1, y2 , , yk ) Ă k Đặt: x, y n x1 y1 x2 y2 xn yn Thì Ă k j x j y j (3) với hệ thức (3) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô h-ớng Thật vậy: Kiểm tra tiên đề tích vô h-ớng: (1) x ( x1, x2 , , xk ) Ă k , y ( y1, y2 , , yk ) Ă Ta có: ( y, x) k j yjxj k ( x, y ) Suy ( y, x) ( x, y ) Tiên đề (1) đ-ợc thoả mãn (2) x ( x1, x2 , , xk ) Ă k ; y z ( z1, z2 , , zk ) Ă Ta có: ( x y, z ) y1, y2 , , yk k ( x1, x2 , xk ) ( y1, y2 , yk ),( z1, z2 , , zk ) ( x1, x2 , , xk ),( z1, z2 , , zk ) Suy ra: ( x y, z ) k j Suy ra: x Nguyễn Thị Thu y, z Ă k; xjz j ( y1, y2 , , yk ),( z1, z2 , , zk ) k j y jz j ( x, z ) ( y, z ) -4- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Tiên đề (2) đ-ợc thoả mãn (3) x ( x1, x2 , , xk ) Ă k ; y ( y1, y2 , yk ) Ă k , Ă Ta có: ( x, y ) ( ( x1, x2 , , xk ),( y1, y2 , , yk )) ( x1, x2 , , xk ),( y1, y2 , yk ) k Suy ra: ( x, y ) j x, y Suy xjyj ( x, y) Tiên đề (3) đ-ợc thoả mãn (4) x ( x1, x2 , , xk ) Ă k , ta có: ( x, x) ( x1, x2 , , xk ),( x1, x2 , , xk ) k Suy ra: ( x, x) x 2j ( x, x) x x 2j j k Và ( x, x) j x 2j xj x Tiên đề (4) đ-ợc thoả mãn Vậy Ă k với hệ thức (3) tích vô h-ớng * Một số tính chất bản: (1) x X ( , x) 0; (2) ( x, y X )( (3) ( x, y, z X ) ( x, y P)( x, y ) ( x, y ) ; z ) ( x, y) ( x, z ) ; 1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz Với x X , ta đặt: x Nguyễn Thị Thu ( x, x) -5- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Khi đó, x, y X , ta có bất đẳng thức Schwarz: ( x, y) x y 1.1.5 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Ta gọi H gồm phần từ x, y, z, không gian Hilbert, tập H thoả mãn điều kiện: (1) H không gian tuyến tính tr-ờng P ; (2) H đ-ợc trang bị tích vô h-ớng gg , ; (3) H không gian Banach với chuẩn x ( x, x), x H Ví dụ: Không gian Ă Ta có Ă k k không gian vectơ thực k chiều với hệ thức (3) thoả mãn hệ tiên đề tích vô h-ớng Chuẩn sinh tích vô h-ớng: x ( x, x) k j x 2j , x ( x1, x2 , , xk ) Ă Vậy không gian vectơ thực Ă k k với tích vô h-ớng (3) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.5 ( Không gian không gian Hilbert) Mọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H * Tính trực giao: Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y H gọi trực giao, kí hiệu x y x, y Nguyễn Thị Thu -6- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian Hilbert H tập A trực giao với tập A , x y( y phần tử x H gọi H, A A) , ký hiệu x A * Một số tính chất bản: (1) x( x H ) ( (2) x H mà x ký hiệu phần tử không không gian H ) x x (3) Nếu phần tử x, y j x y j ( j 1,2, , n ) j H ( j 1,2, , n) thoả mãn điều kiện P( j 1,2, , n ), ta có: n x j j yj (4) Cho phần tử x H dãy phần tử ( yn ) theo chuẩn x yn ( n N *) x ( x, x) Nếu x H hội tụ tới y H y (5) Cho A tập trù mật khắp nơi không gian H Khi đó, x H x A x Định lý 1.1.1( Định lý Pythagore) Nếu x, y H x y x Mở rộng cho n phần tử y x y n N , n : giả sử phần tử x j j 1,2, , n cho ( xk , x j ) 0; k n j xj H j Khi đó: n j xj 1.2 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.2.1 Các định nghĩa: Nguyễn Thị Thu -7- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X Y tr-ờng P ( P tr-ờng số thực Ă hay phức Ê ) ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y ánh xạ A gọi toán tử tuyến tính nếu: (1) x, x ' X A( x x ') (2) x X ( Ax ' ; Ax P) : A( x) Ax ; Khi toán tử A thoả mãn điều kiện (1) A gọi toán tử cộng tính Khi toán tử A thoả mãn điều kiện (2) A toán tử Khi Y P toán tử A th-ờng đ-ợc gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C cho: Ax Y C x , x X X Định nghĩa 1.2.3 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , số C nhỏ thoả mãn hệ thức Ax C x X; x Y X gọi chuẩn toán tử A kí hiệu A * Tính chất chuẩn toán tử: (1) (2) ( x x Ax A x 0) ( x X )( A ) x Ax Định nghĩa 1.2.4 ( Hạt nhân) Cho A : X Y toán tử tuyến tính Gọi tập x X \ Ax Vậy Ker A Nguyễn Thị Thu x X \ Ax hạt nhân A kí hiệu KerA -8- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp 1.2.2 Định lý ba mệnh đề t-ơng đ-ơng toán tử tuyến tính liên tục Định lý 1.2.1 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (1) A liên tục; (2) A liên tục điểm x0 thuộc X ; (3) A bị chặn Chứng minh: (1) (2) Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa, toán tử A liên tục điểm x X , toán tử A liên tục điểm x0 (2) X (3) Giả sử toán tử A liên tục điểm x0 X , nh-ng toán tử A không bị chặn Khi đó: n N* xn n xn , đặt yn yn x0 X Axn xn n xn n xn yn n 0(n ) nghĩa yn ) x0 (n Theo giả thiết, ta có: A( yn x0 ) Ax0 Nh-ng Ayn A 0(n xn n xn ) Ayn Axn n xn 0(n ) Điều mâu thuẫn với chứng minh Vậy toán tử A liên tục điểm x0 (3) X bị chặn (1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa: C , Nguyễn Thị Thu -9- Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Ax C x; x X (*) Lấy điểm x X dãy điểm tuỳ ý ( xn ) X hội tụ tới x nhờ hệ thức (*) Axn Ax A( xn x) C xn x 0(n ) Do đó, A liên tục điểm x Suy A liên tục Định lý đ-ợc chứng minh 1.2.3 Định lý tính chuẩn toán tử Định lý 1.2.2 Cho toán tử tuyến tính A , từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì: A sup Ax PxP Hay sup Ax A PxP Chứng minh: + Chứng minh công thức: A sup Ax PxP Đặt sup Ax PxP Với x X mà x Do đó: ta có Ax A x A A sup Ax PxP Lấy điểm x X mà x y x x y , đặt: Ay Ax Bất đẳng thức thoả mãn với x Ax x Nguyễn Thị Thu x x x Suy ra: A - 10 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Nh-ng P2 o P1 Ax, x X nên P2 o P1 x P2 x, Ax A Suy ra, toán tử A liên tục Định lý đ-ợc chứng minh Định nghĩa 2.2.1 Cho A tập không gian định chuẩn X Tính đóng A ký hiệu clA có nghĩa giao điểm tất tập đóng chứa A Định lý 2.2.2 Cho A tập không gian định chuẩn X Tính đóng A tập hợp giới hạn tất dãy hội tụ tới phần tử A , tức là: clA = x X : x1, x2 , A cho xn x Định lý 2.2.3 Nếu A - đóng KerA - đóng Thật vậy: Nếu G A x, Ax : x X - đóng Khi KerA x X / Ax - đóng Định lý 2.2.4 Nếu A - đóng có nghịch đảo A - đóng Thật vậy: Nếu G A = x, Ax : x X - đóng Khi đó: G A = Ax, x : x X - đóng 2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn không gian Hilbert 2.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Nguyễn Thị Thu - 17 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Định nghĩa 2.3.1 Toán tử A đ-ợc xác định không gian Hilbert H Toán tử A không bị chặn dãy phần tử xn n Ơ Axn H cho xn M với số Từ toán tử tuyến tính không bị chặn t-ơng đ-ơng với tính không liên tục Do đó, biểu diễn toán tử A không bị chặn việc tìm dãy xn hội tụ cho dãy Axn không hội tụ tới Ví dụ: Giả sử A toán tử compact không gian Hilbert - n chiều Nếu A có nghịch đảo A không bị chặn Thật vậy: Giả sử H dãy trực giao zn Avn Khi zn nh-ng A 1zn không hội tụ tới không nh ngha 2.3.2( Mở rộng toán tử) Cho A v B l toỏn t khụng gian vect X Ta có B l m rng ca A v vit l A Nu D A Và Ax Bx , B: D B , ( D A xỏc nh ca toỏn t A ) x D A nh ngha 2.3.3( Toán tử xác định trù mật) Toỏn t A khụng gian nh chun X c gi l xác định trù mật nu ca nú l trự mt ca X , ú l clD A X Vớ d: Toỏn t vi phõn D d l xác định trù mật L2 Ă dx Tht vy: Nguyễn Thị Thu - 18 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Vỡ khụng gian ca hm c ly vi phõn C01 Ă l trự mt L2 Ă nh lớ 2.3.1 Cho A l toỏn t xác định trù mật khụng gian Hilbert H v X l b tt c y H vi Ax, y l hm liờn tc trờn D A ú tn ti nht toỏn t B xác định trờn X cho: x, By , Ax, y x D A v y X Chng minh: Vi y X , hm f y x Ax, y liờn tc trờn khụng gian trự mt ca H , cú m rng nht n hm liờn tc f y trờn H Theo nh lớ Riesz, tn ti nht z y H , cho: fy x t B y x, z y , x H zy , Ta cú: Ax, y fy x fy x x, z y x, By , x D A v y X nh lớ c chng minh nh ngha 2.3.4 ( Liên hợp toán tử xác định trù mật) Cho A l toỏn t xác định trù mật khụng gian Hilbert H Liờn hp A* ca A l toỏn t nh ngha trờn tt c y H vi Ax, y l hm liờn tc trờn D A cho: Ax, y Nguyễn Thị Thu x, A* y , x D A , y D A* - 19 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Vớ d: Cho C01 Ă l khụng gian ca hm ly vi phõn c mt cỏch liờn tc trờn ton b Ă , vi giỏ Compact Nú l khụng gian trự mt ca L2 Ă xột toỏn t vi phõn xác định trờn C01 Ă Từ Dx, y l hm liờn tc trờn C01 Ă y ' L2 Ă vi y L2 Ă cho ta cú : Dx, y Vi D* x t d y t dt x t d y t dt dt D l khụng ỳng Vy ca D* khụng l C01 Ă nh lớ 2.3.2 Cho A v B l toỏn t xác định trù mật khụng gian Hilbert H : (a) Nu A B , thỡ B* A* (b) Nu D B* l trự mt H , thỡ B B** Chng minh: (a)Xét y D B* hàm x hàm liên tục D B Ta có: D A Có Bx D B (vì A Ay (vì A B ) nên Bx, y hàm liên tục D A B )với x D A Ax, y hàm liên tục D A Chng minh y D A* : Mt khỏc theo tớnh nht ca toỏn t liờn hp thỡ A* x B* y vi y D B* (b)Thấy điều kiện: Bx, y Nguyễn Thị Thu x, B* y , x D B , y D B* , - 20 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Cú th vit li nh sau: B* y, x y D B* , x D B y, Bx , T iu kin D B* l trự mt H nờn B** , ta cú: B** y, x y, B** x , y D B* , x D B** Bng lp lun ging phn (a) ta cú th chng t D B B x D B** v B** x , x D B nh lớ c chng minh nh lớ 2.3.3 Nu A l toỏn t mt-i-mt khụng gian Hilbert, c toỏn t A v toỏn t ngc A l toỏn t xác định trù mật thỡ A* l toỏn t mt-i- mt v : A* A * Chng minh: Cho y D A* thỡ cho mi x D A , chỳng ta cú A 1x D A Do ú: A 1x, A* y AA 1x, y iu ny chng t A* y D A A * A* y AA Sau ú, ly tựy ý y D A Ax D A 1 * * y * x, y v y (1) thỡ cho mi x D A , chỳng ta cú: Do ú: Ax, A Nguyễn Thị Thu * y A Ax, y - 21 - x, y Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp iu ny cho thy A A* A * y * D A* v y * A 1A y y (2) T (1) v (2) ta cú: A * A* y A* A * y y nh lớ c chng minh nh lớ 2.3.4 Nu A, B v AB l toỏn t xác định trù mật H thỡ B* A* * AB Chng minh: Gi s x D AB v y D B* A* Vỡ x D B v A* y D B* nờn Bx, A* y x, B* A* y Mt khỏc, vỡ Bx D A v y D A* , chỳng ta cú : Bx, A* y ABx, y Hơn nữa: ABx, y Chỳng ta cú, y D AB * x, B* A* y , x D AB v B* A* y AB y * nh lớ c chng minh Đinh nghĩa 2.3.5 ( Toán tử tự liên hợp) Cho A l toỏn t xác định trù mật khụng gian Hilbert H Toỏn t A c gi l t liờn hp nu A A* nh ngha 2.3.6 ( Toán tử đối xứng) Toỏn t xác định trù mật A khụng gian Hilbert H c gi l i xng nu : Nguyễn Thị Thu - 22 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp x, Ay , Ax, y x, y D A Vớ d: Xột toỏn t b chn trờn H l nh ngha bi: xn n A xn Lu ý, A l toỏn t t liờn hp v mt-i-mt Khụng gian R A D A l cho : gm ton b dóy yn n2 yn n V nú l trự mt H Toỏn t ngc A A Rừ ràng, A 1 yn xỏc nh bi : nyn l toỏn t khụng b chn Theo nh lớ 2.3.3 thỡ A* Do ú, A 1 A * A l toỏn t t liờn hp nh lớ 2.3.5 Toỏn t xác định trù mật A khụng gian Hilbert H l i xng nu v ch nu A A* Chng minh: : Gi s A A* Vỡ : Ax, y x, A* y , x D A , y D A* , (1) Ax, y x, Ay , x, y D A (2) Vy: Do ú, A l toỏn t i xng Nguyễn Thị Thu - 23 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp : Nu A l toỏn t i xng, thỡ t (1) v (2), ta cú A A* nh lớ c chng minh 2.3.2 Các tính chất toán tử tuyến tính đóng không bị chặn Định nghĩa 2.3.7 Một toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y đ-ợc gọi đóng đồ thị G( A) đóng X Y tức xn x D A Ax x, Ax : x D( A) D A , xn x Axn X không gian y có nghĩa y Định lý 2.3.6 Nếu A đóng có nghịch đảo A đóng Định lý 2.3.7 Nếu A toán tử xác định trù mật A * đóng Chứng minh: Cho A toán tử xác định trù mật với miền A D( A) Nếu yn D( A*) , yn Ta có: Ax, y y A * yn lim Ax, y x Hơn y D A* A* y z , x D( A) lim x, A* yn x x, z z Điều phải chứng minh Định lý 2.3.8 Cho A toán tử không gian Hilbert H Khi đó, tồn toán tử B cho G ( B) = clG ( A) Nếu điều kiện sau thỏa mãn: xn D A , xn , Axn y tức y (*) Chứng minh: Giả sử G ( B) Nguyễn Thị Thu clG( A) với toán tử B - 24 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp D A , xn Nếu xn tập đóng đây, 0,0 , Axn y , (0, y) G( B) Vì G ( B) G ( B) , ta có y Giả sử (*) thỏa mãn lấy ( x, y1),( x, y2 ) clG( B) Khi đó, tồn ( xn , Axn ),( zn , Azn ) G( A) cho: xn x, zn x , Axn Từ đó: xn - z n yn , Azn G A , xn y2 zn A( xn zn ) y1 y2 (*) có nghĩa y1 y2 Suy B đ-ợc định nghĩa: B( x) y ( x, y ) clG ( A) Điều phải chứng minh Toán tử B phần tử mở rộng đóng nhỏ A Định lý 2.3.9 Mọi toán tử đối xứng, xác định trù mật có phần mở rộng đối xứng đóng Chứng minh: Cho A toán tử đối xứng, xác định trù mật không gian Hilbert H Điều kiện (*) thỏa mãn tức xn D A , xn , Axn y Vì A đối xứng nên: y, z lim x zn , z lim x xn , Az 0 với z D( A) cho: xn yn x, Axn y, Ayn Bx By Vì A đối xứng, ta có: Axn , yn xn , Ayn Cho n , ta đ-ợc Bx, y x, By Do đó, B đối xứng Điều phải chứng minh Nguyễn Thị Thu - 25 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Định lý 2.3.10 Cho A toán tử đóng xác định trù mật không gian Hilbert H : (a) Với u, v H tồn x D A y D A* cho: Ax y u x A* y v (b) Với v H tồn x D A* A cho: A*A x v Chứng minh: (a)Xét không gian Hilbert H1 H H Khi đó, A - đóng, G A - không gian đóng H1 Ta có: H1 G A z, y G A G A với G A G A : x, Ax , z, y x, z 0, x D A Ax, y 0, x D A Do đó: z, y nếu: Ax, y G A Nói cách khác, z, y Do đó, v, u cho: v, u G A x, z , x D A y D A , z A* y H H tồn x D A y D A* A* y, y x, Ax Suy ra, (a) đ-ợc chứng minh (b) Nếu u (a) Khi đó, có x D A y D A* cho Ax y 0, x A* y v Do đó, x A* Ax v A* Ax x v Suy , (b) đ-ợc chứng minh Định lý đ-ợc chứng minh Nguyễn Thị Thu - 26 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận: Toán tử tuyến tính đóng không gian Hilbert Qua trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận d-ới h-ớng dẫn thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên C-ờng em nghiên cứu đ-ợc cách khái quát toán tử tuyến tính đóng không gian Hilbert Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đ-ợc góp ý thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu - 27 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Tài liệu tham khảo Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Lokenath Debnath, Poitr Mokusinski (1990), Introduction to Hilbert Space and application, Acadimic Press, USA A.N.Kolmogorove, S.V.Fomine (1983), sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập III, Nxb Giáo dục Nguyễn Thị Thu - 28 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy h-ớng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên C-ờng, thầy tận tình nghiêm khắc h-ớng dẫn em để em hoàn thành khoá luận Trong trình học tập, tr-ởng thành đặc biệt giai đoạn thực khoá luận, em nhận đ-ợc dạy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy cô Qua cho em đ-ợc bày tỏ biết ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, khoa toán, tr-ờng Đại Học S- Phạm Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu - 29 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài đúng, xác, khách quan, trung thực với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu - 30 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp MụC LụC Mở đầu .1 Nội dung CHƯƠNG 1: số kiến thức chuẩn bị .2 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian định chuẩn .3 1.1.3 Tích vô h-ớng .3 1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz 1.1.5 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Định lý mệnh đề t-ơng đ-ơng toán tử tuyến tính liên tục 1.2.3 Định lý tính chuẩn toán tử .10 1.2.4 Định lý tính liên tục toán tử ng-ợc 11 1.2.5 Toán tử Compact 13 Ch-ơng 2: toán tử tuyến tính đóng .14 2.1 Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa ví dụ .14 2.2 Toán tử tuyến tính đóng bị chặn 15 2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn không gian Hilbert 17 2.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert .17 2.3.2 Các tính chất toán tử tuyến tính đóng không bị chặn 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Nguyễn Thị Thu - 31 - Lớp K33 CNToán [...]... về toán tử tuyến tính liên tục 9 1.2.3 Định lý tính chuẩn của toán tử .10 1.2.4 Định lý về tính liên tục của toán tử ng-ợc 11 1.2.5 Toán tử Compact 13 Ch-ơng 2: toán tử tuyến tính đóng .14 2.1 Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa và ví dụ .14 2.2 Toán tử tuyến tính đóng và bị chặn 15 2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Hilbert. .. 2.2.4 Nếu A - đóng và có nghịch đảo thì A 1 - đóng Thật vậy: Nếu G A = x, Ax : x X - đóng Khi đó: G A 1 = Ax, x : x X - đóng 2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Hilbert 2.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert Nguyễn Thị Thu - 17 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Định nghĩa 2.3.1 Toán tử A đ-ợc xác định trong không gian Hilbert H Toán tử A không bị chặn... toán tử tuyến tính liên tục 1 Định lý đ-ợc chứng minh 1.2.5 Toán tử Compact Định nghĩa 1.2.5 Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là toán tử Compact, nếu toán tử A ánh xạ tập bị chặn bất kỳ trong không gian X thành tập Compact t-ơng đối trong không gian Y Toán tử Compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục Ví dụ: Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử hữu... là toán tử tuyến tính đóng từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y nên A liên tục 2.2 Toán tử tuyến tính đóng và bị chặn Định lý 2.2.1( Định lý đồ thị đóng) Cho toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định Banach X vào không gian Banach Y Toán tử A liên tục khi và chỉ khi A là toán tử đóng Chứng minh Nguyễn Thị Thu - 15 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp + Điều kiện cần: Giả sử toán. .. không gian tuyến tính X ,Y kí hiệu là Z vào không gian tuyến tính thức z x1 chuẩn của phần tử z X Y Ta đ-a x, y xác định bằng công y 2 2.1 Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Cho hai không gian định chuẩn X ,Y và ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y Ta gọi đồ thị của toán tử A , kí hiệu G A là tập: G A x, Ax : x X X Y Nếu đồ thị G A của toán tử A là tập đóng trong không. .. là tập đóng trong không gian tích X Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng Ví dụ: Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy điểm xn X hội tụ tới không và với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục g trên không gian Y đều có dãy g Axn Nguyễn Thị Thu hội tụ tới không Khi đó, A liên tục - 14 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp... ( A) của toán tử tuyến tính A là tập đóng trong không gian tích X Y Xét hai toán tử P1( x, Ax) x; P2 ( x, Ax) Ax( ( x, Ax) G( A)) Ta có P1 , P2 là các toán tử tuyến tính và P1 ánh xạ một đối một đồ thị G ( A) lên không gian X , còn P2 ánh xạ một đối một đồ thị G ( A) vào không gian Y Tính bị chặn của các toán tử đó suy ra từ các hệ thức sau: P1 x, Ax x1 x1 P2 x, Ax Ax 2 Ax 2 x1 Ta có, toán tử ng-ợc... tử hữu hạn chiều, nếu toán tử A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn hữu han chiều Y Mọi toán tử tuyến tính bị chặn hữu hạn chiều đều là toán tử Compact Thật vậy, giả sử E là tâp bị chặn bất kỳ trong không gian X thì A E là tập bị chặn trong gian hữu hạn chiều Y Nh-ng mọi tập bị chặn trong không gian hữu hạn chiều đều là tập Compact t-ơng đối , nên A là toán tử Compact Nguyễn Thị... Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp MụC LụC Mở đầu .1 Nội dung CHƯƠNG 1: một số kiến thức chuẩn bị .2 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Hilbert 2 1.1.1 Không gian vectơ 2 1.1.2 Không gian định chuẩn .3 1.1.3 Tích vô h-ớng .3 1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz 5 1.1.5 Không gian Hilbert 6 1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian định... sử toán t tuyn tính A tha mãn iu kin Ax Khi đó, vi x1, x2 x X , x1 x2 ta có: x1 x2 A x1 x2 Ax1 Ax2 Ax1 Ax2 Do đó, A có toán tử ng-ợc A 1 Theo chng minh trên, toán tử A tuyến tính Theo chứng minh trên, toán tử A 1 1 tuyến tính Từ đó, với mọi phần tử y Y , ta có: y A 1y Nguyễn Thị Thu 1 A A 1 y A 1 y y - 12 - Lớp K33 CNToán Khóa luận tôt nghiệp Suy ra, A và A 1 1 là toán tử tuyến tính bị chặn hay toán ... không gian vectơ thực Ă k k với tích vô h-ớng (3) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.5 ( Không gian không gian Hilbert) Mọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không. .. toán tử tuyến tính đóng .14 2.1 Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa ví dụ .14 2.2 Toán tử tuyến tính đóng bị chặn 15 2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn không gian Hilbert. .. Vậy A toán tử tuyến tính đóng từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y nên A liên tục 2.2 Toán tử tuyến tính đóng bị chặn Định lý 2.2.1( Định lý đồ thị đóng) Cho toán tử tuyến tính