Toán tử tuyến tính đóng trong không gian hilbert

Với mong muốn đ-ợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và b-ớc đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: Toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert.

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học đ-ợc xây dựng vào khoảng đầu thế

kỷ XX Trong quá trình phát triển giải tích hàm đã tích luỹ đ-ợc một nội dung hết sức phong phú Những ph-ơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở ra phạm

vị nghiên cứu lớn cho ngành toán học Với mong muốn đ-ợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và b-ớc đầu tiếp cận với việc nghiên cứu

khoa học em đã chọn đề tài: Toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert

2 Mục đích nghiên cứu

B-ớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm

hiểu sâu hơn về giải hàm đặc biệt về toán tử tuyến tính đóng trong không gian

Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert

4 Ph-ơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Ch-ơng 2: Toán tử tuyến tính đóng

Nội dung Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Hilbert

Các phần tử của X đ-ợc gọi là các vectơ, các phần tử của P đ-ợc gọi

là tích vô h-ớng Không gian vectơ X trên tr-ờng P còn gọi là P - không gian vectơ X

Khi P Ă , ta gọi không gian vectơ X là không gian vectơ thực

Khi P Ê , ta gọi không gian vectơ X là không gian vectơ phức

Cho không gian tuyến tính X trên tr-ờng P (P là tr-ờng số thực Ă

hoặc tr-ờng số phức Ê ) Ta gọi là tích vô h-ớng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào tr-ờng P , kí hiệu ,gg , thoả mãn tiên đề:

C¸c phÇn tö , , , x y z gäi lµ nh©n tö cña tÝch v« h-íng, sè ( , )x y gäi lµ

Khi đó, x y, X, ta có bất đẳng thức Schwarz:

( , )x y x y

1.1.5 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4

Ta gọi H gồm những phần từ , , , x y z nào đấy là không gian

Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:

(1) H là không gian tuyến tính trên tr-ờng P;

(2) H đ-ợc trang bị một tích vô h-ớng gg ; ,

(3) H là không gian Banach với chuẩn x ( , ),x x x H

Ví dụ:

Không gian Ă k là không gian vectơ thực k chiều

Ta có Ă k cùng với hệ thức (3) thoả mãn hệ tiên đề về tích vô h-ớng Chuẩn sinh ra bởi tích vô h-ớng:

2

1 2 1

Định nghĩa 1.1.5 ( Không gian con của không gian Hilbert)

Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

* Tính trực giao:

Định nghĩa 1.1.6

Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x y, H gọi là trực giao, kí hiệu x y nếu x y, 0

Định nghĩa 1.1.7

Cho không gian Hilbert H và tập con A H A, phần tử x H gọi

là trực giao với tập A, nếu x y( y A), và ký hiệu x A

(4) Cho phần tử x H và dãy các phần tử ( y n) H hội tụ tới y H

theo chuẩn x ( , )x x Nếu x y n( n N*) thì x y

(5) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó, nếu

Định nghĩa 1.2.1

Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên cùng tr-ờng P(

P là tr-ờng số thực Ă hay phức Ê ) ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y ánh xạ A gọi là toán tử tuyến tính nếu:

(1) x x, ' X A x( x') Ax Ax ; '

(2) x X ( P) : (A x) Ax ;

Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện (2) thì A là toán tử thuần nhất Khi Y P thì toán tử A th-ờng đ-ợc gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2

Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính

A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số 0

Ax C x x X gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A

* Tính chất của chuẩn của toán tử:

Định nghĩa 1.2.4 ( Hạt nhân)

Cho A X: Y là toán tử tuyến tính

Gọi tập x X Ax\ là hạt nhân của A và kí hiệu là KerA

1.2.2 Định lý ba mệnh đề t-ơng đ-ơng về toán tử tuyến tính liên tục

Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi

điểm x X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 X

n

x y

Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên

Vậy toán tử A liên tục tại điểm x0 X thì bị chặn

(3) (1)

Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa: C 0,

Cho toán tử tuyến tính A, từ không gian định chuẩn X vào không gian

định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì:

Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian

định chuẩn Y có toán tử ng-ợc A 1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số

0 sao cho: Ax x , x X Khi đú, A 1 1

Do đú: A ax1 bx2 aAx1 bAx2 ay1 by2

Suy ra: A 1 ay1 by2 ax1 bx2 aA y1 1 bA y1 2

+ Điều kiện cần:

Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A liên tục Theo chứng 1

minh trên A là toán tử tuyến tính Do đó, theo định lý ba mệnh đề tương 1

đương về toán tử tuyến tính liên tục A bị chặn 1

Suy ra, tồn tại hằng số C 0 sao cho: A 1y C y ; y Y

Do đó, A có toán tử ng-ợc A Theo chứng minh trên, toán tử 1 A 1

tuyến tính Theo chứng minh trên, toán tử A tuyến tính Từ đó, với mọi phần 1

Suy ra, A là toán tử tuyến tính bị chặn hay toán tử tuyến tính liên tục 1

và A 1 1

Định lý đ-ợc chứng minh

1.2.5 Toán tử Compact

Định nghĩa 1.2.5

Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian

định chuẩn Y gọi là toán tử Compact, nếu toán tử A ánh xạ tập bị chặn bất

kỳ trong không gian X thành tập Compact t-ơng đối trong không gian Y Toán tử Compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục

Ví dụ:

Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử hữu hạn chiều, nếu toán tử A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn hữu han chiều Y

Mọi toán tử tuyến tính bị chặn hữu hạn chiều đều là toán tử Compact

Thật vậy, giả sử E là tâp bị chặn bất kỳ trong không gian X thì A E

là tập bị chặn trong gian hữu hạn chiều Y Nh-ng mọi tập bị chặn trong không gian hữu hạn chiều đều là tập Compact t-ơng đối , nên A là toán tử Compact

Ch-ơng 2: Toán tử tuyến tính đóng

Cho hai không gian tuyến tính X Y trên tr-ờng , P(P Ă hoặc P C )

và hai chuẩn g1, g2 cho t-ơng ứng trên không gian X , không gian Y Ta

lập tích Descartes Z X Y z x y, :x X y Y, và đ-a vào Z hai phép toán:

Cho hai không gian định chuẩn X Y và ánh xạ , A từ không gian X

vào không gian Y Ta gọi đồ thị của toán tử A, kí hiệu G A là tập:

Nếu đồ thị G A của toán tử A là tập đóng trong không gian tích

X Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng

Ví dụ:

Cho X Y là hai không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính , A từ không

gian X vào không gian Y thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy điểm x n X

hội tụ tới không và với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục g trên không gian

Y đều có dãy g Axn hội tụ tới không Khi đó, A liên tục

+ Điều kiện cần:

Giả sử toán tử tuyến tính A liên tục Lấy một dãy bất kì (x Ax n, n)

(n 1, 2,3 ) thuộc G A( ) hội tụ tới phần tử ( , )x y trong không gian X Y, nghĩa là lim n, n ( , ) 0

G A lên không gian X , còn P ánh xạ một đối một đồ thị 2 G A( ) vào không

gian Y Tính bị chặn của các toán tử đó suy ra từ các hệ thức sau:

Nh-ng P P2o 1 1 x P x Ax2 , Ax, x X nên P2oP1 1 A

Suy ra, toán tử A liên tục

Định lý đ-ợc chứng minh

Định nghĩa 2.2.1

Cho A là một tập con của không gian định chuẩn X Tính đóng của A

ký hiệu bởi clA có nghĩa là các giao điểm của tất cả các tập đóng chứa trong

2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Hilbert

2.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert

Định nghĩa 2.3.1

Toán tử A đ-ợc xác định trong không gian Hilbert H Toán tử A

không bị chặn nếu dãy các phần tử x n H sao cho x n M với số bất kỳ và

Từ đó các toán tử tuyến tính không bị chặn t-ơng đ-ơng với tính không liên tục Do đó, chúng ta có thể biểu diễn toán tử A là không bị chặn bởi việc tìm dãy x n hội tụ về 0 sao cho dãy Ax n không hội tụ tới 0

A z không hội tụ tới không

Định nghĩa 2.3.2( Mở rộng của toán tử)

Cho A và B là toỏn tử trong khụng gian vectơ X

Vỡ khụng gian con của hàm được lấy vi phõn C Ă10 là trự mật trong

2

L Ă

Định lớ 2.3.1

Cho A là toỏn tử xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H và X là

bộ tất cả y H với Ax y là hàm liờn tục trờn D A Ở đú tồn tại duy nhất ,toỏn tử B xác định trờn X sao cho:

Ax y, x By , x, D A và y X

Chứng minh:

Với y X , hàm f y x Ax y, liờn tục trờn khụng gian con trự mật của H , cú mở rộng duy nhất đến hàm liờn tục °f y trờn H Theo định lớ Riesz, tồn tại duy nhất z y H , sao cho:

Định nghĩa 2.3.4 ( Liên hợp của toán tử xác định trù mật)

Cho A là toỏn tử xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H Liờn hợp A của * A là toỏn tử định nghĩa trờn tất cả y H với Ax y là hàm liờn ,tục trờn D A sao cho:

Ax y, x A y , , * x D A , y D A *

Vớ dụ:

Cho C Ă là khụng gian của hàm lấy vi phõn được một cỏch liờn tục 01

trờn toàn bộ Ă , với giỏ Compact Nú là khụng gian con trự mật của L Ă2

xột toỏn tử vi phõn xác định trờn C Ă 01

Từ Dx y là hàm liờn tục trờn , C Ă với 01 y L Ă2 sao cho

Cú thể viết lại như sau:

Nếu A là toỏn tử một-đối-một trong khụng gian Hilbert, cả toỏn tử A

và toỏn tử ngược A 1 là toỏn tử xác định trù mật thỡ A là toỏn tử một-đối-*

Điều này cho thấy A 1 * y D A* và

Đinh nghĩa 2.3.5 ( Toán tử tự liên hợp)

Cho A là toỏn tử xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H Toỏn tử

A được gọi là tự liờn hợp nếu A A *

Định nghĩa 2.3.6 ( Toán tử đối xứng)

Toỏn tử xác định trù mậtA trong khụng gian Hilbert H được gọi là

đối xứng nếu :

: Nếu A là toỏn tử đối xứng, thỡ từ (1) và (2), ta cú A A *

Định lớ được chứng minh

2.3.2 Các tính chất của toán tử tuyến tính đóng không bị chặn

Định nghĩa 2.3.7

Một toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn

Y đ-ợc gọi là đóng nếu đồ thị G A( ) x Ax x D A, : ( ) X là không gian

con đóng của X Y tức là x n D A x, n x và Ax n y có nghĩa là

Cho A là toán tử xác định trù mật với miền của A là D A( )

Nếu y n D A( *), y n y và A y* n z, khi đó bất kì x D A( )

Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H Khi đó, tồn tại toán tử B

sao cho G B( ) = clG A( ) Nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

Nếu x n D A , x n 0, Ax n y, khi đó (0, )y G B( ) Vì G B( ) là tập đóng ở đây, 0,0 G B( ), ta có y 0

Giả sử (*) thỏa mãn và lấy ( ,x y1),( ,x y2) clG B ( )

Khi đó, tồn tại(x Ax n, n),(z Az n, n) G A( ) sao cho:

x n x z, n x,Ax n y n,Az n y2

Từ đó:x n- zn G A x, n z n 0 và A x( n z n) y1 y (*) có 2

nghĩa là y1 y2 0

Suy ra B đ-ợc định nghĩa: B x( ) y nếu ( , )x y clG A( )

Điều phải chứng minh

Toán tử B là phần tử mở rộng đóng nhỏ nhất của A

Định lý 2.3.9

Mọi toán tử đối xứng, xác định trù mật có phần mở rộng đối xứng đóng

Chứng minh:

Cho A là toán tử đối xứng, xác định trù mật trong không gian Hilbert H

Điều kiện (*) thỏa mãn tức là x n D A ,x n 0, Ax n y

Nói cách khác, z y, G A nếu và chỉ nếu y D A z, A y*

Do đó, nếu v u, H H thì tồn tại duy nhất x D A và y D A*

sao cho: v u, x Ax, A y y* ,

Suy ra, (a) đã đ-ợc chứng minh

(b) Nếu u 0 trong (a) Khi đó, có duy nhất x D A và y D A* sao cho

*0,

Do đó, x A* Ax v hoặc *A Ax x v

Suy ra , (b) đ-ợc chứng minh

Định lý đ-ợc chứng minh

Kết luận

Trên đây là toàn bộ nội dung của khoá luận: Toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert

Qua quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận d-ới sự h-ớng dẫn

của thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên C-ờng em đã nghiên cứu đ-ợc một cách khái

quát và cơ bản về toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert

Mặc dù có nhiều cố gắng song còn hạn chế vì thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhận đ-ợc sự góp

Tµi liÖu tham kh¶o

1 NguyÔn Phô Hy (2006), Gi¶i tÝch hµm, Nxb khoa häc vµ kÜ thuËt Hµ Néi

2 NguyÔn Xu©n Liªm (2000), Gi¶i tÝch hµm, Nxb Gi¸o dôc

3 Lokenath Debnath, Poitr Mokusinski (1990), Introduction to Hilbert Space

and application, Acadimic Press, USA

4 A.N.Kolmogorove, S.V.Fomine (1983), c¬ së lý thuyÕt hµm vµ gi¶i tÝch

hµm, tËp III, Nxb Gi¸o dôc

lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy h-ớng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên C-ờng, thầy đã tận tình và nghiêm khắc h-ớng dẫn em để em có thể hoàn

thành khoá luận này

Trong quá trình học tập, tr-ởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận đ-ợc sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho em đ-ợc bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các

thầy cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán, tr-ờng Đại Học S- Phạm Hà Nội 2

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

lời cam đoan

Tôi xin cam đoan kết quả đề tài đúng, chính xác, khách quan, trung thực với những kết quả các tác giả khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

MụC LụC

Mở đầu 1

Nội dung CHƯƠNG 1: một số kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Không gian định chuẩn Không gian Hilbert 2

1.1.1 Không gian vectơ 2

1.1.2 Không gian định chuẩn 3

1.1.3 Tích vô h-ớng 3

1.1.4 Bất đẳng thức Schwarz 5

1.1.5 Không gian Hilbert 6

1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 7

1.2.1 Các định nghĩa 7

1.2.2 Định lý 3 mệnh đề t-ơng đ-ơng về toán tử tuyến tính liên tục 9

1.2.3 Định lý tính chuẩn của toán tử 10

1.2.4 Định lý về tính liên tục của toán tử ng-ợc 11

1.2.5 Toán tử Compact 13

Ch-ơng 2: toán tử tuyến tính đóng 14

2.1 Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa và ví dụ 14

2.2 Toán tử tuyến tính đóng và bị chặn 15

2.3 Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Hilbert 17

2.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert 17

2.3.2 Các tính chất của toán tử tuyến tính đóng không bị chặn 24

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28