Ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phakdeevichit Phengthanongsak ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phakdeevichit Phengthanongsak ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 846 0102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Ánh xạ tuyến tính dương khơng gian có thứ tự” thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Bích Huy, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2019 Học viên thực PHAKDEEVICHIT phengthanongsak LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Q thầy khoa nhiệt tình giảng dạy tơi suốt q trình học tập trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Khoa học Cơng nghệ Phịng Sau đại học, Phịng Tổ chức - Hành chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Và cảm ơn bạn Học viên K28 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! Học viên thực PHAKDEEVICHIT phengthanongsak MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.2 Nón chuẩn 1.3 Nón sinh 1.4 Nón liên hợp Chương ÁNH XẠ VÀ PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH DƯƠNG 10 2.1 Tính liên tục ánh xạ tuyến tính dương 10 2.2 Mở rộng phiếm hàm tuyến tính dương từ khơng gian 11 2.3 Điều kiện để ánh xạ ngược dương 14 Chương TÍNH CHẤT PHỔ CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 18 3.1 Bán kính phổ giá trị riêng dương 18 3.2 Tính chất vectơ riêng dương ánh xạ u0- dương 24 3.3 Phương trình tuyến tính khơng 29 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 4.1 Đạo hàm theo nón ánh xạ, liên hệ với tính đơn điệu, tính lồi 31 4.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân 39 4.3 Bổ đề Gronwall trừu tượng 42 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Hai đối tượng nghiên cứu Giải tích hàm khơng gian tơpơ tuyến tính ánh xạ tuyến tính liên tục chúng Theo phát triển nội Toán học để ứng dụng cho toán phát sinh khoa học, kĩ thuật xã hội mà việc nghiên cứu hai đối tượng phát triển theo hai hướng Hướng nghiên cứu thứ tăng tính tổng qt khơng gian ánh xạ (ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều mở rộng thành ánh xạ compact, ánh xạ Fredholm,…, không gian định chuẩn mở rộng thành không gian đếm chuẩn, khồn gian lồi địa phương,…) Hướng thứ hại lại xét khơng gian ánh xạ tuyến tính có tính chất đặc biệt để mặt sử dụng tính chất chúng, mặt khác thu kết sâu ( sử dụng tính chất hình học tốt khơng gian lồi đều, khơng gian tuyến tính có thứ tự,…) Lý thuyết khơng gian Banach với thứ tự sinh nón ánh xạ tác động chúng hình thành từ nghiên cứu Rutman Krien, năm 1940 hoàn thiệu tận ngày Nó tìm ứng dụng có giá trị lý thuyết phương trình vi phân tích phân mơn hình kinh tế xã hội lý thuyết điều khiển tối ưu,… Trong lý thuyết kết ánh xạ tuyến tính dương bật Việc tìm hiểu khơng gian Banach với thứ tự sinh nón ánh xạ tuyến tính dương chúng giúp học viên thấy ứng dụng tính chất chúng ánh xạ tuyến tính vào trường hợp cụ thể thấy tính chất đặc thù ánh xạ tuyến tính dương, gắn với quan hệ thứ tự Mục tiêu đề tài trình bày cách hệ thống chi tiết khái niệm tính chất đặc biệt ánh xạ tuyến tính dương có liên quan tới quan hệ thứ tự tính liên tục, mở rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục dương, tính chất phổ ánh xạ,… Chương KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN Khi ta muốn đưa thứ tự vào tập hợp có cấu trúc vectơ cấu trúc tơpơ thứ tự cần phải tương thích với cấu trúc có tập hợp Nhà tốn học Nga M.Krein dùng khái niệm mặt nón để định nghĩa thứ tự không gian định chuẩn 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực K tập X Khi K gọi nón thoả mãn điều kiện sau: i) K đóng, khác rỗng, khác   , ii) Nếu a, b  X , a, b  0, x, y  K ax  by  K, iii) Nếu x  K  x  K x   Ví dụ: Cho X  n   , K  ( x1 , x2 ,L, xn ) : xi  0, i 1.n K nón n Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian Banach với nón K Thứ tự sinh K định nghĩa sau: x, y  X , x  y  y  x  K Nếu nón K có intK   ta định nghĩa x Ở ví dụ trên, thứ tự n y y  x  int K sinh nón K định nghĩa sau: x  ( x1 , x2 ,L, xn ), y  ( y1 , y2 ,L, yn ), x  y  yi  xi  0, i 1.n Mệnh đề 1.1.3 Giả sử "  " thứ tự X sinh nón K Khi : i) Nếu x  y  x   y,   x  z  y  z , z  X , ii) Nếu xn  yn (n  * ) lim xn  x, lim yn  y x  y, n  n  iii) Nếu  xn  dãy tăng hội tụ x xn  x, n  * 1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Nón K gọi nón chuẩn tồn số N>0 cho với x, y  K, x  y ta có x  N y Ví dụ 1:   i) Nón K  f  C0,1 , f  nón chuẩn C0,1 ii) Nón hàm khơng âm, có đạo hàm liên tục khơng nón chuẩn C10,1 Mệnh đề 1.2.2 Cho K nón chuẩn X Khi a) Nếu u , v  X, u  v tập u , v   x  X : u  x  v tập đóng bị chặn b) Nếu xn  yn  zn  n  *  lim x n n  lim zn  x lim yn  x n n   c) Nếu  xn  dãy đơn điệu tăng có dãy xnk hội tụ x  xn  hội tụ x Mệnh đề 1.2.3 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K, tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho x, y  K,   x  y  x *  y * Chứng minh: Đặt A   B  ,1  K  I  B  ,1  K   Ta chứng minh B( ,1)  A  B ( , r ) với r  đủ lớn Vì   K,  K nên ta có B  ,1  B  ,1  K B  ,1  B  ,1  K Do B  ,1  A Giả sử A  B( , r ) với r  đủ lớn khơng Khi ta tìm dãy  xn  A cho xn  n, n  * Do định nghĩa tập A ta tìm yn , zn  B ( ,1), un ,  K cho xn  yn  un  zn  Ta có un   zn  yn nên un   Do K nón chuẩn nên un  N un   2N, (với N số định nghĩa nón chuẩn) Do n  xn  yn  un  yn  un   2N, n  * Ta gặp mâu thuẫn Vậy tồn r  cho A  B  , r   x   Xét phiếm hàm Minkovski tập A : x *  inf   :  A , ta    chứng minh * Thật vậy, lấy x  X tùy ý, x   Ta có x x  B  ,1 nên  A x x x *  x Bất đẳng thức hiển nhiên cho x   Cho   , ta tìm   cho Ta có x  x   B  , r  hay x  r      x  A     x * *  r Do   tùy ý, ta có x  r x * Vậy *  y x     Giả sử   x  y Ta có   :  A    :  A       (1) 32    :t   t0 , t0      0,1   g (t )  g (t0 )  g ' (t0 )   g ' (t0 ) t  t0  g (t )  g (t0 ) 0 t  t0 g (t )  g (t0 )  g ' (t0 )  g ' (t0 ) t  t0  g (t )  g (t0 )  g (0) t   t0 , t0      0,1 Ta gặp mâu thuẫn với t0  sup B Vậy t0  g (1)  g (0) Bổ đề 4.1.3 Nếu hàm g : 0,1  liên tục có g ' (t )  t   0,1 g (0)  g (1) Chứng minh: Cho   , xét k (t )  g (t )   t Ta có k' (t )  g ' (t )    Do k (0)  k (1) (theo bổ đề 4.1.2) hay g (0)  g (1)   Cho   , ta có g (0)  g (1) Bổ đề 4.1.3 chứng minh Định lí 4.1.4 Giả sử: i) M  X tập lồi, ii) A : M  X  X liên tục, có đạo hàm Gateux theo nón K x  M A' ( x) ánh xạ tuyến tính dương x  M Khi A ánh xạ tăng M Chứng minh: Lấy x, y  M tùy ý, x  y Theo mệnh đề 1.2.5, chương 1, để chứng minh Ax  Ay ta cần chứng minh f ( Ax)  f ( Ay ) f  K* 33 Đặt h  y  x   Cố định f  K * Xét hàm g :  0,1  t a g (t )  f  A( x  th)  Ta có g liên tục, có đạo hàm g ' (t )  t   0,1 Thật  Do M tập lồi nên x  th  (1  t ) x  ty  M t   0,1 nên g xác định  0,1 A f liên tục nên g liên tục  lim s 0 f  A  x  (t  s )h    f  A  x  th   g (t  s )  g (t )  lim  s 0 s s  A  x  th  sh   A  x  th    lim f   s 0 s    f  A'  x  th  h    (do h  A' ( x  th) ánh xạ tuyến tính dương) Vậy g ' (t )  t   0,1 Áp dụng bổ đề 4.1.3 cho hàm g ta g (0)  g (1) hay f ( Ax)  f ( Ay ) f  K * , x, y  M , x  y Vậy A ánh xạ tăng M Định nghĩa 4.1.5 Cho không gian Banach X,Y thứ tự nón K X , K Y , D  X tập lồi Ánh xạ f : D  Y gọi lồi nếu: f  x  t  y  x    f ( x)  t  f ( y )  f ( x) t   0,1 , x, y so sánh Định lí 4.1.6 Giả sử D  X tập lồi, K X - mở, f : D  Y ánh xạ liên tục, khả vi theo nón x  D Khi mệnh đề sau tương đương 34 1) f ánh xạ lồi 2) x, y  D, x  y ta có f ' ( x)( y  x)  f ' ( y )( y  x) 3) x, y  D, x  y, x y so sánh được, ta có f ( y )  f ( x)  f ' ( x)( y  x) Để chứng minh định lí 4.1.6 ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 4.1.7 Nếu g :  a, b   hàm lồi g liên tục (a, b) Chứng minh Với r , t , s  (a, b), r  t  s ta có t  g (t )   s t tr r s nên sr sr st tr g (r )  g ( s ) (do g hàm lồi) sr sr g (t )  g (r ) g ( s )  g (t )  tr s t (2) (do cộng vào hai vế bất đẳng thức (1) với tg (t ) ) Ta chứng minh g liên tục khoảng (c, d )  (a, b) Chọn c ', d ' thoả c '  c  d  d ' Với t1 , t2  (c, d ), t1  t2 , ta có g (t2 )  g (t1 ) g (d )  g (t2 ) g (d ')  g (d )   t2  t1 d  t2 d ' d  g (t2 )  g (t1 ) g (t1 )  g (c) g (c)  g (c ')   (do (2)) t2  t1 t1  c c  c' g (c)  g (c ') g (t2 )  g (t1 ) g (d ')  g (d )   c  c' t2  t1 d ' d Vậy hàm g thoả điều kiện Lipshitz (c, d ) nên liên tục Bổ đề 4.1.8 Giả sử g :  a, b   (1) hàm lồi, có đạo hàm phải g ' (t ) t  (a, b) Khi g ' hàm tăng 35 Chứng minh Xét t1 , t2  (a, b), t1  t2  Với t   t1 , t2  ta có Cho t  t1 ta có g ' (t1 )   g (t2 )  g (t1 ) t2  t1 Với t  t2  t1 ta có Cho t  t2 ta có g (t )  g (t1 ) g (t2 )  g (t )  (do (16)) t  t1 t2  t g (t2 )  g (t1 ) g (t )  g (t2 )  (do (16)) t2  t1 t  t2 g (t2 )  g (t1 )  g ' (t2 ) t2  t1 Vậy g ' (t1 )  g ' (t2 ) hay g ' hàm tăng Chứng minh định lí 4.1.6: 1)  2) Lấy x, y  D, x  y Do D tập lồi K X mở nên x, y  D, x  y,   cho x  t ( y  x)  D, t   0,1    Cố định A K *Y , xét hàm g :  0,1     t  g (t )  A f ( x  t ( y  x)) Dễ thấy g xác định  g liên tục (do f, A liên tục),  g lồi (vì A tuyến tính, f lồi),  g ' (t )  lim s 0  lim g (t  s )  g (t ) s A  f  x  (t  s )( y  x)    A  f  x  t ( y  x)   s s 0  lim s 0 A  f  x  (t  s )( y  x)   f  x  t ( y  x)   s 36  A  f '  x  t ( y  x)  ( y  x)  ,  g ' hàm tăng (do bổ đề 4.1.8) Do g ' (0)  g ' (1) hay A  f ' ( x)( y  x)   A  f ' ( y )( y  x)  A  K *Y  f ' ( x)( y  x)  f ' ( y )( y  x) x, y  D, x  y 2)  3) Lấy x, y  D, x  y , cố định A K *Y Xét hàm h :  0,1  t  h(t )  A  f ( x  t ( y  x))  f ' ( x)( x  t ( y  x))  Vì D lồi, K X mở nên x  t ( y  x)  D, x, y  D, t  (0,1) Do hàm h xác định f , f ' ( x), A liên tục nên h liên tục  0,1 , h có đạo hàm phải liên tục  0,1 h' (t )  lim s 0 h(t  s )  h(t ) s  A  f  x  (t  s )( y  x)   f '  x  x  (t  s )( y  x)     lim   s 0 s  A  f  x  t ( y  x)   f '  x  x  t ( y  x)      s   f  x  (t  s )( y  x)   f  x  t ( y  x)   lim A  s 0 s  f '  x  x  (t  s )( y  x)   f '  x  x  t ( y  x)     s   A  f '  x  t ( y  x)  ( y  x)  f ' ( x)( y  x)  37 Mặt khác x  t ( y  x)  x  x  t ( y  x)  x  t ( y  x) nên theo điều kiện (2) ta suy f ' ( x)( y  x)  f ' ( x  t ( y  x))( y  x) x, y  D, x  y, t   0,1 Do A  f '  x  t ( y  x)  ( y  x)  f ' ( x)( y  x)   Vậy h' (t )  t   0,1  h tăng  0,1  h(0)  h(1)  A  f ( x)  f ' ( x )( x )   A  f ( y )  f ' ( x )( y )   A  f ( y )  f ' ( x)( y )  f ( x)  f ' ( x)( x)   A  K *Y  f ( y )  f ( x)  f ' ( x)( y  x) x, y  D, x  y 3)  1) Ta có f ( y )  f ( x)  f ' ( x)( y  x) x, y so sánh (1) Ta thay ( x, y ) (1)  x  t ( y  x), y  ;  x  t ( y  x), x  , với t   0,1 ta f  y   f  x  t ( y  x)   f '  x  t ( y  x)  (1  t )( y  x)  (2) f  x   f  x  t ( y  x)   f '  x  t ( y  x)  (t ( y  x)  (3) Lấy (2) nhân t cộng với (3) nhân (1  t ) ta tf ( y )  (1  t ) f ( x)  f  x  t ( y  x)  t   0,1 , x, y  D, x, y so sánh Vậy f hàm lồi Định lí 4.1.9 Cho  E , P  ,  F , Q  không gian Banach với thứ tự sinh nón, D  E tập lồi P - mở Giả sử f : D  F liên tục, có đạo hàm phải f ' : D  L  E , F  liên tục có đạo hàm phải cấp hai f '' ( x) x  D 38 Khi f lồi f '' ( x) xác định dương, nghĩa f " ( x)(h, h)  h  P Chứng minh Xét x, y  D, x  y Do D lồi, P - mở nên   cho x  t ( y  x)  D t   0,1    Do ánh xạ g :  0,1     t  g (t )  f '  x  t ( y  x)  ( y  x) Dễ thấy g(t) xác định, liên tục, có đạo hàm phải g (t  s )  g (t ) s 0 s f '  x  (t  s )( y  x)  ( y  x)  f '  x  t ( y  x)  ( y  x)  lim s 0 s g ' (t )  lim  f ''  x  t ( y  x)  ( y  x, y  x) Nếu f '' ( x) xác định dương x  D ta có g ' (t )  , theo bổ đề 2.2.9 g hàm tăng  0,1    Từ g (0)  g (1) , ta có f ' ( x)( y  x)  f ' ( y )( y  x) Theo định lí 4.1.6 f ánh xạ lồi Nếu f ánh xạ lồi theo định lí 4.1.6, ta có với s  t , h  P ta có f ' ( x  sh)  (t  s )h   f ' ( x  th)  (t  s )h   f ' ( x  sh)  h   f ' ( x  th)  h  Do g (t )  f ' ( x  th)  h  hàm tăng nên g ' (t )  , ta có f '' ( x  th)  h, h   t   0,1     f '' ( x)  h, h   h  P Định lí chứng minh 39 4.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân Xét tốn tìm nghiệm tuần hồn ( chu kì chưa biết) phương trình: x ¢¢(t ) + f [x (t )] = (1) 4.2.1 Đưa phương trình chứa tham số Đầu tiên ta đặt giả thiết sau lên hàm f : (H ) f : ¡ ® ¡ liên tục, hàm lẻ, f (x ) > x >  Xét tốn tìm nghiệm khơng âm [0,1] tốn ìï x ¢¢(t ) + l f [x (t )] = , ïï í ïï ïïỵ x (0) = x (1) = 0, < t < 1, (2) Giả sử x nghiệm (2); ta mở rộng x lên [- 1; 0] x (t ) = - x (- t ) mở rộng lên ¡ để hàm có chu kỳ 2, thỏa mãn phương trình ỉt x ¢¢(t ) + l f [x (t )] = tồn ¡ Khi hàm y (t ) = x ỗỗỗ ố l ữ cú chu k l ÷ ÷ ø thỏa (1)  Bài tốn biên (2) tương đương với phương trình tích phân sau: ìï s (1 - t ) ,  s  t  ï (3) x (t ) = l ò K (t , s ) f [x (s )]ds = l A x (t ) , với K (t , s ) = ïí ïï t (1 - s ) ,  t  s  ïỵ Ta xét (3) khơng gian C [0, 1] với nón K hàm x (x ) ³ Gọi S tập nghiệm K \ {q} (3) Nếu x  S , ta thấy x "(t ) £ nên hàm lồi; ý x (0) = x (1) = , ta chứng minh: x (t ) ³ x t (1 - t ) 40 Ánh xạ tuyến tính B 0x (t ) = ị K (t , s )x (s )ds u - dương, với u (t ) = t (1 - t ) ; vecto riêng thuộc K x (t ) = sin pt , tương ứng với giá trị riêng dương l0= trùng với bán kính phổ B p2 Giá trị l ìï ïï ïï có tính chất: p = = inf í ïï l0 ïï ïỵï üï ïï ïï 1,2 x W x :  (0, 1), ¹ ý ïï ïï ò x (t )dt ỵùù ũ | x Â(t )| dt kết điểm sử dụng Định nghĩa 4.2.1 cho x khơng gian Banach có thứ tự ánh xạ A : K  K Đặt S   x  K   : x   A(x) Ta nói S nhánh liên tục xuất phát từ có độ dài ∞ với tập mở, bị chặn G  S I G   Định lý 4.2.2 Giả sử A : K  K ánh xạ hoàn toàn liên tục, B: K  K ánh xạ tăng cho (i) A(x)  B(x) x  K (ii) Tồn u  K \ 0 , a, b  thỏa mãn B(tu )  atu t   0, b  Khi tập nghiệm phương trình x   A( x) nhánh liên tục xuất phát từ 0, có độ dài ∞ Định lý 4.2.3 Giả sử tập nghiệm S phương trình x   A( x) nhánh liên tục xuất phát từ có độ dài ∞ thỏa mãn điều kiện sau lim ( x)  a  b  lim (x) xS , x  xS , x  lim ( x)  a  b  lim (x) xS , x  xS , x 0 Khi   (a, b) phương trình có nghiệm Mệnh đề 4.2.4 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện (H ) điều kiện (H ) sau: (H ) f (x ) ³ g(x ) , x  [0; + ¥ ) với g : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) hàm tăng 41 $ r1, a > : g(x ) ³ a x " x  [o, r1 ] Khi tập nghiệm S (3) nhánh liên tục từ q , độ dài ¥ Chứng minh: Xét ánh xạ: Bx (t ) = ò K (t , s )g[x (s )]ds, x Ỵ K Ta có: A x ³ Bx , x Ỵ K , B ánh xạ tăng B (tx ) ³ a tB (x ) = a tx " t  [0, r1 ] p2 Do giả thiết định lý 4.2.2 thỏa mãn Mệnh đề 4.2.5 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện (H1), (H2) (H3) sau: (H3) $ r2 , $ b < a : f (x )  b x " x  [r2, Ơ ) ổp p ữ , ÷ tốn (3) có nghiệm x  K \ {q} èa b ÷ ø Khi với mi l ỗỗ ỗ Chng minh: Ta s ỏp dụng định lý 4.2.3 Ta chứng minh: p2 lim l (x ) £ x ®0 a  p2 lim l (x ) x đƠ b ; Vi x  S , x £ , ta có theo điều kiện (H1): 1 ³ l = (do B u - dương) al p x = l A x ³ l a B (x ) Þ Do liml (x ) £ x ®0  p2 a Đặt a = sup {f (x ) : x  [0, r2 ]}, ta có: f (x ) £ a + b x " x  [0, ¥ ) Với x  S ta có - x "(t ) = l f [x (t )].Nhân hai vế với x (t ) lấy tích phân ta có: 1 ị [x '(t )] dt = l ò f [x (t )]x (t )dt £ l ò [a + b x (t )]x (t )dt 0 Mặt khác: òx (1) (t )dt ³ ò x t (1 - t )2dt = b x (2) 42 ỉa + b÷ Từ (1) (2) tính chất đặc trưng l , ta có: p Ê l ỗỗỗ ữ ốb x ứữ Do ú: lim l (x ) x đƠ p2 b 4.3 Bổ đề Gronwall trừu tượng Định lý 4.3.1 Giả sử A : X  X toán tử liên tục, tuyến tính, dương không gian Banach có thứ tự X với bán kính phổ r ( A)  Giả sử x, y , g  X thỏa mãn: x  g  Ax y  g  Ay Khi đó: x  y Chứng minh Do r  A   nên  I  A 1 1   I  A   An Do A ánh xạ tuyến tính dương nên n 0 ánh xạ tuyến tính dương Ta có x  Ax  g y  Ay  g nên x  I  A 1 (g)  y Ứng dụng 4.3.2 Cho g , h, x  Ca ,b với h   a, b  Đặt: t H (t )   h(s)ds a t Khi x(t )  g (t )   h(s) x( s)ds cho tất t   a, b thì: a t x(t )  g (t )   g ( s)h( s)e H (t ) H ( s ) ds G  a cho tất t   a, b  Trong trường hợp đặc biệt, g hàm đơn điệu tăng h( s )  c với c  ta x(t )  g (t ) exp(c(t  a)) cho tất t   a, b  Đây bổ đề Gronwall 43 Chứng minh Bước 1: Chứng minh bán kính phổ tốn tử t  Ax  t   h  s  x  s  ds a n Ta chứng minh: An   (b  a)c  / n !, n  N c  max h(t ) a t b Thật vậy, ta có: t ( Ax)(t )   h( s ) x( s )ds  c x (t  a ) a t t a a ( A2 x)(t )   h(s ) Ax( s )ds  c x  ( s  a )ds c (t  a)   x Tiếp tục q trình này, ta có: ( An x)(t )  (c(t  a))n  x , t   a, b  , n! Do đó: An x  max An x(t )  a t  b n Suy A  sup x  Vậy ta có: An x x n  , x  Ca ,b (c(b  a))n  x , x  Ca ,b , n  n! (c(b  a))n ,n N  n! c(b  a) n n n! r ( A)  lim n An  lim n n Sử dụng bất đẳng thức 1    e , ta có  n n n!  e (n  N ) n 1 Do r  A   Bước 2: Ta giả sử g  C1a ,b Khi phương trình y  g  Ay tương đương với phương trình vi phân y /  g /  hy , y a  g a 44 Nghiệm y phương trình vế phải  G  Nếu g  Ca ,b ta biểu diễn tương tự cho y cách dùng định lý xấp xỉ Weierstrass chọn dãy đa thức  g n  hội tụ đến g Ca ,b Khi t 1 yn   I  A g n  g n  t   g n  s  h  s  e H (t ) H ( s ) ds a 1 lim yn  lim  I  A g n  y C a ,b n n t Do đó: y  t   g  t    g  s  h  s  e H (t ) H ( s ) ds a Áp dụng bất đẳng thức Gronwall trừu tượng ta thấy  G  Nếu g hàm tăng h(t )  c từ  G  ta có : t x(t )  g (t )  g (t )  ce c t  s  ds a  g (t ) exp  c(t  a )  45 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết ánh xạ tuyến tính dương tác động khơng gian Banach có thứ tự Luận văn coi tài liệu nhập mơn ”Lý thuyết ánh xạ tuyến tính dương khơng gian Banach có thứ tự”, lĩnh vực chưa trình bày cách có hệ thống tài liệu tiếng Việt Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho học viên Cao học chun nghành Tốn Giải tích học phần Giải tích phi tuyến Qua q trình làm luận văn hiểu rõ kiến thức học phần giải tích Giải tích cổ điển, Tơpơ, Độ đo- Tích phân, Giải tích hàm,thấy mối liên hệ chúng biết vận dụng chúng học tập vấn đề Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K.Deimling (1985) Nonlinear Functional Analysis, Springer- Verlag [2] M.A Krasnoselskii, E Lipshit, A Sobolev (1985) Các hệ tuyến tính dương, Nxb Khoa học Moskva [3] E.Zeidler (1985) Nonlinear Funtional Analysis and its Applications, T.1, Springer- Verlag [4] Hoàng Tụy (2005) Lí thuyết hàm Giải tich hàm Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ... ưu,… Trong lý thuyết kết ánh xạ tuyến tính dương bật Việc tìm hiểu khơng gian Banach với thứ tự sinh nón ánh xạ tuyến tính dương chúng giúp học viên thấy ứng dụng tính chất chúng ánh xạ tuyến tính. .. kết ánh xạ tuyến tính dương tác động khơng gian Banach có thứ tự Luận văn coi tài liệu nhập mơn ”Lý thuyết ánh xạ tuyến tính dương khơng gian Banach có thứ tự? ??, lĩnh vực chưa trình bày cách có. .. nghiên cứu thứ tăng tính tổng qt khơng gian ánh xạ (ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều mở rộng thành ánh xạ compact, ánh xạ Fredholm,…, không gian định chuẩn mở rộng thành không gian đếm