Phương pháp chặn dưới đơn điệu và bài toán giá trị riêng cho phương trình đa trị trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hồng Quyến PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hồng Quyến PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TỐN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Phương pháp chặn đơn điệu toán giá trị riêng cho phương trình đa trị khơng gian có thứ tự” cá nhân thực với hướng dẫn khoa học PGS-TS Nguyễn Bích Huy, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Trần Thị Hồng Quyến LỜI CẢM ƠN Sau hồn thành học phần chương trình đào tạo Cao học, lĩnh hội nhiều kiến thức mới, hay bổ ích, sở để thực luận văn tiếp tục nghiên cứu khoa học sau Trong trình học, tơi nhận giúp đỡ hướng dẫn tận tình q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin q Thầy, Cơ cơng tác phịng sau đại học Trước hết, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS-TS Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đưa định hướng giúp tơi hồn thành luận văn Trong suốt trình học học phần thực luận văn, Thầy ln theo dõi, hướng dẫn tận tình để tơi nắm kiến thức hồn thiện luận văn Tiếp đến, tơi xin cảm ơn tất quý Thầy, Cô giảng dạy học phần mà tơi học q trình học Cao học, ban giám hiệu nhà trường q Thầy, Cơ cơng tác phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp luận văn hồn thiện Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè thành viên lớp cao học Tốn Giải tích khóa 25 quan tâm giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Học viên thực Trần Thị Hồng Quyến MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach có thứ tự 1.2 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 1.3 Bậc tô pô ánh xạ đa trị 11 Chương PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU 13 2.1 Sự tồn nhánh liên tục nghiệm 13 2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm 15 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG 27 3.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng 27 3.2 Các tính chất cặp riêng dương 29 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39   1    MỞ ĐẦU Mỗi hệ thống Tự nhiên Xã hội, q trình phát triển chịu tác động nhiều yếu tố Về mặt Tốn học, chúng mơ tả phương trình phụ thuộc tham số, tham số có vai trị yếu tố tác động lên hệ thống Do ý nghĩa khoa học mà phương trình phụ thuộc tham số thu hút quan tâm nghiên cứu nhà Toán học theo hướng: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm, phụ thuộc tập nghiệm vào thay đổi tham số, tìm giá trị tham số mà hệ có thay đổi chất Phương trình đơn trị chứa tham số nghiên cứu lâu thu kết hồn thiện cơng trình Lyapunov, Krasnoselskii, Rabinowitz, Dancer,… Công cụ nghiên cứu phương pháp biến phân, phương pháp bậc tôpô Để nghiên cứu phương trình chứa tham số khơng gian có thứ tự, Krasnoselskii đưa phương pháp chặn đơn điệu áp dụng có hiệu nghiên cứu tập nghiệm phương trình Cùng với phát triển Toán học để nghiên cứu tốn phát sinh q trình phát triển Khoa học tự nhiên Xã hội mà từ năm 1950 phương trình đa trị nhà Toán học đưa vào nghiên cứu Phương pháp bậc tôpô, phương pháp biến phân mở rộng cho phương trình đa trị cho phép thu kết khả quan nghiên cứu ánh xạ đa trị Tuy nhiên, phương pháp chặn đơn điệu gần mở rộng cho phương trình đa trị chưa có nhiều kết theo hướng nghiên cứu Vì lý mà việc thực đề tài phương pháp chặn đơn điệu cho ánh xạ đa trị áp dụng cho toán giá trị riêng cần thiết có ý nghĩa khoa học đào tạo Mục đích luận văn sử dụng phương pháp chặn đơn điệu kết hợp với định lý số điểm bất động để đạt định lý tổng quát tồn nhánh liên tục nghiệm phương trình đa trị phụ thuộc vào tham số Sau sử dụng kết để chứng minh tồn cặp riêng dương ánh xạ đa trị Nội dung luận văn gồm có chương Cụ thể sau: Chương 1: Trình bày kiến thức sử dụng luận văn, bao gồm 2    kiến thức khơng gian Banach có thứ tự, ánh xạ đa trị, tính liên tục bậc tô pô ánh xạ đa trị Chương 2: Trình bày phương pháp chặn đơn điệu, bao gồm định lý tồn nhánh liên tục nghiệm khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm, sau áp dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên có dạng  x(t )   (t ) f ( x(t ))  0, t  [0,1], x(0)  x(1)  0,   (t )  F (t , x(t )), t  [0,1],  Chương 3: Trình bày toán giá trị riêng, bao gồm định lý tồn giá trị riêng, vectơ riêng tính chất cặp riêng dương 3    Chương CÁC KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG Chương giới thiệu khái niệm khơng gian Banach có thứ tự, tính nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị, tính chất ánh xạ đa trị định nghĩa, tính chất bậc tô pô ánh xạ đa trị Nội dung chương chủ yếu tham khảo tài liệu [8] 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach K tập X Tập K gọi nón nếu: i K tập đóng, ii K  K  K,K  K,  0, iii K  (K )  {} Định nghĩa 1.1.2 Cho X khơng gian Banach K nón X Thứ tự X sinh nón K định nghĩa bởi: x  y  y  x  K Khi cặp ( X , K ) gọi khơng gian Banach có thứ tự Ta kiểm tra quan hệ "  " định nghĩa quan hệ thứ tự Thật vậy, Phản xạ:  x  X , ta có x  x    K nên x  x Phản đối xứng: x, y  X , x  y y  x x  y  K  (K) nên theo iii ) ta có x  y   hay x  y Bắc cầu: x, y, z  X , x  y y  z y  x, z  y  K , theo ii ) ta có z  x  (z  y)  ( y  x)  K hay x  z • Ta ký hiệu K  K \ { } , với  phần tử X Ví dụ 1.1.1 Trong khơng gian Banach C  0,1 , không gian hàm thực liên tục 0,1 với chuẩn || || xác định sau:   || x || max x  t  : t   0,1 Khi tập K  {x C[0,1]: x(t )  0,t [0,1]} nón C  0,1 4    ||.|| Thật vậy, dễ thấy K   Giả sử {xn }  K thỏa xn  x ta chứng minh x  K ||.|| Do xn  x nên dãy {xn} hội tụ x  0,1 , mặt khác ta có {xn} liên tục xn (t )  0, t [0,1] , suy x liên tục x(t )  0,t [0,1] Vậy x  K , K tập đóng Dễ thấy K  K  K K  K,   Lấy x  K (K) ta có x(t)  0, t [0,1] x(t)  0, t [0,1] , ta suy x(t)  0, t [0,1] hay x   Vậy K  (K)  {}  Định nghĩa 1.1.3 Cho K nón khơng gian Banach X , nón liên hợp (nón đối ngẫu) K định nghĩa tập hợp K *  { f  X * : f ( x)  0, f  K}, đó, X * khơng gian liên hợp (hay khơng gian đối ngẫu) X , tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X Mệnh đề 1.1.1 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự Khi đó, x0    f ( x0 )  0, f  K * Chứng minh ) Hiển nhiên ) Giả sử f ( x0 )  0, f  K * , ta chứng minh x0   hay x0  K Giả sử x0  K , ta có {x0} compact K đóng, áp dụng định lý tách tập lồi cho  x0  K , tồn g  X * thỏa g ( x0 )  g ( x), x  K (1.1) Với x   từ 1.1 ta có g  x0   Trong 1.1 thay x tx với x  K, t  , ta có g ( x0 )  g (tx), x  K , t  Do g  X * nên ta có g ( x0 )  g ( x), x  K , t  t Cho t   ta  g( x),x  K hay g  K * , g ( x0 )  , dẫn đến mâu 5    thuẫn   Mệnh đề 1.1.2 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự Khi đó, x0  K * f ( x0 )  0, f  K * \ {ˆ} , với ˆ phần tử X Chứng minh Lấy f  K * \{ˆ} tùy ý, ta chứng minh f ( x0 )   Ta có x0  K nên tồn r  thỏa B( x0 , r )  K Mặt khác, f  ˆ nên tồn x1  K \{ } thỏa f ( x1 )  Khi x0  r x1  K , || x1 || Theo mệnh đề 1.1.1 ta có f ( x0  r x1 )  || x1 || Suy f ( x0 )  r f ( x1 )  || x1 || Vậy f ( x0 )  0,  f  K * \ {ˆ}  Định nghĩa 1.1.4 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự Với hai tập A, B  X \{} định nghĩa (a) A  (1) B (x  A, y  B cho x  y) (b) A  (2) B (y  B, x  A cho x  y) (c) A  (3) B (x  A, y  B  x  y) Các kí hiệu “  k  ”,  k  1,  sử dụng hoàn toàn tương ứng cách tự nhiên Ánh xạ F : M  X  X \{} gọi (k ) -tăng, k  1, , x, y  M , x  y kéo theo F ( x) ( k ) F ( y ) , nữa, gọi (3) -tăng x, y  M , x  y kéo theo F ( x) (3) F ( y ) Ví dụ 1.1.2 Dễ dàng thấy A : X  X ánh xạ tuyến tính nhận giá trị đơn 25        1 lim  sup  (u )   lim  inf   (u )   r  r 0 uK r  S  uS ,||u|| r  0b   0 a Giả sử   (u ) || u || s1 , ta có u   A(u ) , u (t )   G (t , s ) x( s ) f [u ( s )]ds với x  u Do giả thiết (i) (a3) , || u || s1 x( s )  F ( s, u ( s )) nên x( s ) f [u ( s )]  au ( s ) , u (t )   a  G  t , s u ( s )ds   aL(u )(t ) Suy u   aL(u ) hay u  L(u ) , mặt khác ánh xạ tuyến tính L u0 -dương thỏa a 0u0  L(u0 ) nên theo bổ đề 2.2.3 ta có 1  0 hay   a 0 a Do   lim  sup  (u )   r 0 uK r  S   0 a Từ giả thiết (a 2) tồn   L1[0,1] thỏa F (t , x)  [0,  ], x [0, s2 ] h.k.n  Đăt m  { f (s) : s [0, s2 ]} , từ giả thiết (ii ) (a3) ta F (t , x) f ( x)  bx, x [ s2 , ] Do F (t , x) f ( x)  [0, m (t )  bx] h.k.n , x    (2.18) Giả sử   (u ),|| u || r (r  0) x  u thỏa mãn u (t )   G (t , s ) x( s ) f [u ( s )]ds với x  u Khi u (t )   x (t ) f [u (t )]  (2.19) Do u hàm lồi, kết hợp với u (0)  u (1)  ta có u (t ) || u || t (1  t ), t  [0,1] có 26    Nhân hai vế (2.19) với u(t ) lấy tích phân [0,1] ta 1   u  t   dt    x  t  f u  t u  t  dt (2.20) Từ (2.18), (2.20) tính chất (2.9) 0 ta có 1  1      m t bu t u t dt            m  t  u  t  dt    0   0  b     0 2     u  t   dt  0  u  t   dt  0  u  t   dt      u  t   dt Suy m    t  dt  c  c     b      b  với c  , u r 0 || ||      t 1  t  dt Do 1 0  c    b r    , nên ta có   lim  inf  (u )   r   uS ,||u||r  0b Do điều kiện định lý 2.2.1 thỏa mãn, tốn (2.12) có nghiệm  1  ,   0 a 0b  dương với    Ngoài ra, b  dương.  1  ,  a 1   , tốn (2.11) có nghiệm 0  0 a 0b  27    Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG   Chương trình bày định lý tồn cặp riêng dương ánh xạ đa trị, tính chất cặp riêng dương: tính đơn hình hình học giá trị riêng, tính cặp riêng dương,…Nội dung chương chủ yếu tham khảo tài liệu [8] 3.1 Sự tồn giá trị riêng, vectơ riêng Định nghĩa 3.1.1 Cho  X , K  khơng gian Banach có thứ tự, cặp (0 , x0 ) gọi cặp riêng dương ánh xạ A : K  2K \{} x0  K \{ }, 0  0 x0  A( x0 ) Định lý 3.1.1 Cho A : K  2K \{} ánh xạ compact, nửa liên tục trên, 1-thuần dương, nhận giá trị lồi, đóng, thỏa mãn (i) A (2)-tăng, (ii) u  K \ { },   :{ u}  (2) A(u ) Khi A thừa nhận cặp riêng dương (0 , x0 ) với 0   || x0 || Chứng minh Áp dụng định lý 2.1.1 cho ánh xạ A( x)  u với A đóng vai trị hàm n con, tìm hai dãy {xn } {n } cho u n n  0, xn  K , || xn || n xn  A( xn )  tương đương n  0, xn  K , || xn || n xn  yn  u với yn  A( xn ) n (3.1) Do A ánh xạ compact  xn  bị chặn nên dãy  yn  có dãy hội tụ, khơng tổng qt giả sử {yn } hội tụ đến y0  K Chúng ta chứng minh n   , n Gọi tn số lớn cho xn  tnu Từ (3.1) có xn  1 u , tn  >0 nn nn { tnu}  (2) A(tnu )  (2) A( xn )  (2) {n xn } 28    Do đó, tn   tn nên n   n u n Ta có  yn  hội tụ nên bị chặn, (3.1) lấy ||.|| hai vế n xn  yn  , ta suy n  bị chặn, có dãy hội tụ, không tổng quát giả sử n  0   Khi đó, xn  n yn  u hội tụ, giả sử nn  xn  hội tụ đến x0  K , (3.1) cho n   ta có 0 x0  y0 || x0 || Do A nửa liên tục nên theo mệnh đề 1.2.1 có y0  A( x0 ) Như (0 , x0 ) cặp riêng dương A  Định lý 3.1.2 Cho A : K  2K \{} ánh xạ compact, nửa liên tục trên, 1-thuần dương, nhận giá trị lồi, đóng thỏa mãn (i) (ii) A (2)-tăng, Số  ( A)  sup {inf{  : x  u , A( x)  (2)  x}} dương uK ,||u|| 1 Khi A có cặp riêng dương (0 , x0 ) với 0   ( A) Hơn nữa, A (3)tăng 0   ( A) Chứng minh Từ định nghĩa  ( A) , tồn dãy {un }  K cho || un || dãy tn  inf{  : x  un , A( x) (2)  x} hội tụ tới  ( A ) Áp dụng định lý 2.1.1 cho ánh xạ A( x)  || xn || 1, n  n xn  A( xn )  un , tồn dãy {xn }  K {n } thỏa mãn n un u , n xn  yn  n với yn  A( xn ) n n Trước hết chứng minh n  tn Thật vậy, từ nn xn  n A( nn xn )  un , A( nn xn )  (2) n ( nn xn ) Do đó, theo định nghĩa tn ta có n  tn có nn xn  un 29    Lý luận tương tự chứng minh định lý 3.1.1, giả sử n  0   ( A); xn  x0 ; yn  y0  A( x0 ) suy 0 x0  A( x0 ) Bây giờ, cho A (3)-tăng, chứng minh 0   ( A) Xét x cho x  x0 A( x )  (2)  x Gọi t số lớn cho x  tx0 Rõ ràng, t  A (3)-tăng nên ta có t 0 x0  A(tx0 )  (3) A( x)  (2) { x} Từ suy t0 x0   x Do tính cực đại t ta có t  t 0 ,   0  Như inf{  : x  x0 , A( x)  (2)  x}  0 với x0  K || x0 || 1,  ( A)  0 Kết thúc chứng minh  3.2 Các tính chất cặp riêng dương Định nghĩa 3.2.1 Cho K nón khơng gian Banach X ánh xạ A : K  K \ {}, u0  K \ { } Chúng ta kí hiệu u0   {tu0 : t  0} A gọi u0 -dương x  K \ { } u0  (2) A( x) (1) u0  tương đương x  K \{ }, y  A( x),  ,   :  u0  y   u0 A gọi u0 -dương mạnh x  K \ { }  ,   cho  u0  (2) A( x)  (1)  u0  Định nghĩa 3.2.2 Giả sử K   Ánh xạ A : K  2K \{} gọi nửa dương •  mạnh g  K * cho x  K \ K g , x  g , z  với z  A( x) Định nghĩa 3.2.3 Cho ánh xạ A : K  2K \{} • Chúng ta kết hợp x  K với tập K * : K * ( x)  { f  K * : f ( x)  0}, S * ( x)  { f  K * : f ( x)  1} với số 30    * ( x)  inf{ f , z : z  A( x), f  S * ( x)}  * ( x)  sup{ f , z : z  A( x), f  S * ( x)}, Chúng ta định nghĩa r* ( A)  sup xK \{ },|| x|| 1 * ( x) r * ( A)  inf xK \{ },|| x|| 1  * ( x )  Nếu K   định nghĩa or* ( A)  sup * ( x) or * ( A)  inf o   * ( x) x K ,|| x|| 1 x K ,|| x|| 1 Bổ đề 3.2.1 * ( x) x  (2) A( x) x  K \ { } Nếu  * ( x)   A( x) (1)  * ( x) x o  * ( x)     : A( x)  (1)  x Nếu x  K A( x ) compact  * ( x)   Chứng minh Từ định nghĩa 3.2.3 suy * ( x)  f , z với z  A( x), f  S * ( x) Do f  S *  x  nên f , x  , ta có * ( x) f , z  f , z , z  A( x), f  S * ( x) (3.2) Khi ta có * ( x) f , x  f , z , z  A( x), f  K * ( x) Thật vậy, f  K *  x  f  x   , ta xét ánh xạ g  (3.3) f , ta có g  S *  x  f  x Vận dụng (3.2) cho hàm g ta *  x  f ,x  f  x f,z , f  x Do f  x   nên *  x  f , x  f , z Mặt khác ta có K * ( x) trù mật K * Thật vậy, lấy f  K * \ K * ( x) tùy ý, ta có f , x  31    Do x   nên theo hệ định lý Hahn Banach tồn f  K * với || f0 || cho f , x  Khi đó, ta có f , x   f0 , x  0,   , f   f  K * ( x),   Rõ ràng, ta có f   f0  f   Suy f  K * ( x) Vậy K *  K * ( x) hay K * ( x) trù mật K * Do từ (3.3) suy f , z  * ( x) x  0, f  K * Vậy theo mệnh đề 1.1.1 ta có * ( x) x  z, z  A( x) hay *  x  x  2 A  x  Tương tự (3.3), có f , z   * ( x) f , x , z  A( x), f  K * ( x) (3.4) Tập hợp K * ( x) trù mật K * (3.4) thỏa f  K * Điều suy z   * ( x) x, z  A( x) tương đương A( x) (1)  * ( x) x Ta chứng minh khẳng định đầu tiên, chiều thuận suy từ tính chất Chiều ngược, giả sử tồn   thỏa A  x  1  x , theo định nghĩa quan hệ “  1 ” ta có z   x, z  A  x  Do f , z  f ,  x   f , x   , z  A  x  , f  S *  x  Suy  *  x      o Tiếp theo, chọn x  K r  thỏa B ( x, r )  K Với y  X , || y || , có x  ry (do x  ry  K x  ry  K ) Do đó,  r | f ( y) |, f  S * ( x) r Như vậy, || f || , f  S * ( x) Tập hợp S * ( x) bị chặn (*)-yếu đóng, (*)- yếu compact Tập hợp S * ( x)  A( x) compact ánh xạ ( f , z )  f , z liên tục tô pô (*)-yếu X * tô pô định chuẩn X 32    Do tập hợp { f , z : z  A( x), f  S * ( x)} bị chặn,  * ( x)    Bổ đề 3.2.2 Cho A ánh xạ  k   tăng 1-thuần dương, k  1, , x, y  K \{ }  ,   cho A( x)  ( k )  x  y  ( k ) A( y ) Hơn nữa, giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) A u0 -dương (ii) x K o Khi    Chứng minh Goi t số lớn thỏa x  ty Chúng ta chứng minh t >0 o  Rõ ràng, điều x  K Thật vậy, x  K nên tồn r  thỏa B ( x, r )  K Mặt khác y   , ta có x  tính cực đại t suy t  r r r y  B( x, r ) nên x  y  K hay x  y, || y || || y || || y || r  || y || Nếu A u0 -dương, định nghĩa quan hệ “  ( k ) ”, suy tồn u  A( x ), v  A( y ) thỏa u   x  y  v Theo định nghĩa ánh xạ u0  dương, tồn  ,   thỏa  u0  u v   u0 Do đó, x    u0  y , điều chứng tỏ t    (do tính cực đại t )    Bởi tính đơn điệu 1- dương A ta có t  y  ( k ) tA( y )  A(ty )  ( k ) A( x )  ( k )  x Do  x  t  y hay x  t  y , điều chứng tỏ    tính cực đại t  Định lý 3.2.1 Giả sử ánh xạ A -thuần dương, compact, nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng Ngồi ra, cho A   -tăng r* ( A)  Khi A có cặp riêng dương (0 , x0 ) với 0  r* ( A) Hơn nữa, Nếu A (1)-tăng (a) r* ( A)  0  r * ( A) A u0 -dương mạnh 33    o (b) x0  K r* ( A)  0  or * ( A) A nửa mạnh dương Nếu A nửa liên tục dưới, nửa mạnh dương (3)-tăng r* ( A)  0  r * ( A) Chứng minh Do r* ( A)  định nghĩa r*  A nên tồn dãy {xn }  K thỏa || xn ||  r* ( A)   * ( xn ) n Từ bổ đề 3.2.1 suy (r* ( A)  ) xn (2) A( xn ) n Mặt khác, sử dụng định lý 3.1.1 tồn dãy { yn }  K {n }  [0, ) thỏa n n  r* ( A)  , || yn || n yn  A( yn ) Sử dụng lý luận tương tự chứng minh định lý 3.1.1 ta kiểm tra A có cặp riêng dương (0 , x0 ) với 0  r* ( A) 1a Do A u0 -dương mạnh nên tồn   thỏa A(u0 )  (1)  u0 Do từ bổ đề 3.2.1, có  * (u0 )   r * ( A)   Bây chọn dãy { yn }  K thỏa || yn ||  * ( yn )  r * ( A) Khi có 0 x0 (1) A( x0 ) , A( yn ) (1)  * ( yn ) yn A u0  dương (do A u0  dương mạnh) nên theo bổ đề 3.2.2 suy 0   * ( yn ) Do 0  r * ( A) o •  1b Trước hết chứng minh x0  K Nếu x0  K \ K với g định nghĩa 3.2.2 có g , x0  0, g , z  0, z  A( x0 ) Mặt khác, ta có 0 x0  A( x0 ) nên 0 g , x0  g , 0 x0  Điều mâu thuẫn o Do x0  K A  x0  tập compact nên sử dụng bổ đề 3.2.1 ta suy  * ( x0 )   or * ( A)   o Chọn { yn }  K thỏa || yn || lim  * ( yn )  or * ( A) n  o Hơn nữa, 0 x0 (1) A( x0 ), A( yn ) (1)  * ( yn ) yn x0  K kết hợp với bổ đề 3.2.2, 34    có 0   * ( yn ) , 0  or * ( A) o Cố định u  K \ { } Với  đủ nhỏ có x0   u  K định nghĩa x  x0   u, y  x0   u ,  ( x )  inf{ f , z : f  S * ( x), z  A( x )}  ( y )  sup{ f , z : f  S * ( x), z  A( y )} Chúng ta chứng minh  ( x )  * ( x0 )  ( y )   * ( x0 )   Do S * ( x0 )  A( x ) compact nên tồn ( f , z )  S * ( x0 )  A( x ) thỏa  ( x )  f , z Chúng ta giả sử f  f  S * ( x0 ) (*)-yếu, z  z0  A( x0 ) Do đó,  ( x )  f , z0  * ( x0 ) Mặt khác, A nửa liên tục x  x0 , từ mệnh đề 1.2.1 suy với v  A( x0 ) , tồn u   A( x  ) thỏa u   v, ({x  } dãy {x } ) Với f  S * ( x0 ) có  ( x  )  f , u   f , v  f , u   v  ( x  )  f , v Như lim  ( x )  * ( x0 ) Điều suy lim  0  0 Do   x   *  x0    Tương tự ta chứng minh  ( y )   * ( x0 ) Cuối cùng, từ định nghĩa x y ta có A( y )  (3) A( x0 )  (3) A( x ) , suy v  0 x0  w với v  A( y ), w  A( x ) Do f , v  0  f , w với f  S * ( x0 ), v  A( y ), w  A( x ) Như vậy,  ( y )  0   ( x ) , điều suy  * ( x0 )  0  * ( x0 ) ,  * ( x0 )  0  * ( x0 )  Định nghĩa 3.2.4 Cho A : K  2K \{} Ánh xạ A gọi u0 -tăng x  y kéo theo u0 •  (2) [ A( y)  A( x)]  K , 35    • tương đương, với v  A( y ), u  A( x ) v  u  K   cho v  u   u0 Cho (0 , x0 ) cặp riêng dương A Khi 0 gọi đơn hình hình học • 0 x  A( x) với x  K kéo theo x  x0  Chúng ta nói cặp riêng dương (0 , x0 ) ánh xạ A với cặp riêng dương ( , x) A   0 x  x0  Định lý 3.2.2 Cho A : K  2K \{} ánh xạ 1-thuần dương, u0 -dương, u0 -tăng (0 , x0 ) cặp riêng dương A Khi đó, 0 đơn hình hình học Nếu A (3)-tăng (0 , x0 ) Chứng minh • Giả sử 0 x  A( x) với x  K Chúng ta cần chứng minh x  x0  Do A u0 -dương nên tồn số dương lớn t cho x0  tx Thật vậy, ta có 0 x  A( x), 0 x0  A( x0 ) A u0 -dương nên tồn  ,   thỏa 0 x   u0  u0  0 x0 Suy x0  Do tính cực đại t nên t    u0  x 0     Chúng ta chứng minh x0  tx Thật vậy, giả sử ngược lại x0  tx có • 0 x0  A( x0 ), 0tx  A(tx), 0 x0  0tx  K Do A u0 -tăng nên tồn    cho 0 ( x0  tx)   u0 Mặt khác, 0 x  A( x) A u0 -dương nên tồn    thỏa  u0  0 x Do 36    0 ( x0  tx)    0  x  x0  (t  ) x,   điều mâu thuẫn với tính cực đại t • Giả sử 1 x1  A( x1 ) với x1  K 1  Chúng ta cần chứng minh 1  0 Giả sử ngược lại 0  1 Do x0 x1 so sánh nên tồn số dương lớn t thỏa x1  tx0 Nếu x1  tx0 có 0tx0  A(tx0 ), 1 x1  A( x1 ), tx0  x1 , Suy 1 x1  0tx0 (do tính chất (3)-đơn điệu A ) Bởi tính cực đại t suy 1  0 , điều mâu thuẫn với 0  1 Như x1  tx0 Lấy 0  a 1 với a  , đạt ax0  A( x0 ), x0  A( x0 ), x0  x0 a1 1 a1 1 Điều mâu thuẫn với A (3)-tăng Như 0  1 x1  x0   o Định lý 3.2.3 Cho K   , A : K  K \ {} ánh xạ -thuần dương (0 , x0 ) cặp riêng dương A Khi đó, 0 đơn hình hình học A nửa mạnh tăng, tức là, g  K * cho • o x  y  K \ K g , x  y  g , u  0, u  A( x)  A( y ) (3.5) Nếu A nửa mạnh tăng (3)-tăng (0 , x0 ) Chứng minh o • o Trước hết chứng minh x0  K Thật vậy, giả sử ngược lại x0  K \ K Lấy y   (3.5), đạt g , x0  g , 0 x0  v  với v  A( ) Do đó,  g , 0 x0  g , 0 x0  v  , điều mâu thuẫn • o Lấy 0 x1  A( x1 ), x1  K Do x0  K , tồn số dương lớn t cho x0  tx1 • o Nếu x0  tx1 , tính cực đại t, ta có x0  tx1  K \ K 37     Thật vậy, giả sử x0  tx1  K , tồn r  thỏa B( x0  tx1 , r )  K Do x1   nên ta có x0  tx1  r x1  B( x0  tx1 , r ) || x1 || Suy x0  (t  Do x0  (t  r ) x1  K || x1 || r ) x1 , mâu thuẫn với tính cực đại t || x1 || Ta có 0 x0  A( x0 ), t0 x1  A(tx1 ) theo (3.5) g( x0  tx1 )  g (0 x0  0tx1 )  Điều mâu thuẫn Vậy x0  tx1 , t  hay x1  x0  Do 0 đơn hình hình học Ta chứng minh (0 , x0 ) Giả sử ngược lại 1 x1  A( x1 ) 0  1 0 Do A nửa mạnh tăng nên ta có x0  K x1  K  Chọn t số lớn cho x1  tx0 , x1  K nên t  • o Nếu x1  tx0 x1  tx0  K \ K Do đó, tồn g  K * thỏa g( x1  tx0 )  g (1 x1  t0 x0 )  Do A (3)-tăng nên t0 x0  1 x1  g (1 x1 )  g (t0 x0 )  1 g ( x1 )  0tg ( x0 )  1tg ( x0 )  0tg ( x0 )  t (1  0 ) g ( x0 )  0, điều mâu thuẫn Như vậy, x1  tx0 Bằng lý luận tương tự chứng minh định lý 3.2.2, kết thúc chứng minh  38    KẾT LUẬN   Sau thời gian nghiên cứu tài liệu góp ý Thầy hướng dẫn, tơi hoàn thành luận văn Trong luận văn này, tơi trình bày tương đối chi tiết rõ ràng định lý tồn nhánh liên tục nghiệm phương trình đa trị phụ thuộc tham số, định lý khoảng tham số để phương trình có nghiệm định lý tồn cặp riêng dương tính chất cặp riêng dương Tuy nhiên, việc vận dụng kết vào phương trình đa trị cụ thể chưa nghiên cứu nhiều, hướng phát triển luận văn Bên cạnh đó, q trình nghiên cứu tính chất cặp riêng dương có u cầu ánh xạ đa trị xét phải ánh xạ 3-tăng, điều kiện dường mạnh điều kiện yếu vấn đề mở hấp dẫn để nghiên cứu 39    TÀI LIỆU THAM KHẢO Brezis H (2010), Function Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, Berlin Chang K C (2003), Methods in Nonlinear Analysis, Springer Verlag, Berlin Deimling K (1992), Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin Deimling K (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, Berlin Fitzpatrick P M., Pettryshn W V (1974), “Fixed point theorem and the fixed point index for multi-valued mappings in cones”, J London Math Soc, 12, pp 75-85 Lasota A , Opial Z (1965), “An application of the Kakutani-KyFan Theorem in the theory of ordinary differential equations”, Bull Acad Polon Sci Ser SeiMath Astronom Phys, 13, pp 781-786 Nguyen Bich Huy, Vo Viet Tri (2016), “Global continuons of solutions and eigenvalue interval for multivalued operators in cone with applications”, (preprint) Nguyen Bich Huy, Vo Viet Tri, Tran Thanh Binh (2015), “The monotone minorant method and eigenvalued problem for mutivalued operators in cone” Fixed Point Theory, (Accepted for publication) Webb J R L (2009), “Remarks on u0 - positive operators”, J fixed point theory appl, 5, pp 37-45 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Hồng Quyến PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun... xạ đa trị Tuy nhiên, phương pháp chặn đơn điệu gần mở rộng cho phương trình đa trị chưa có nhiều kết theo hướng nghiên cứu Vì lý mà việc thực đề tài phương pháp chặn đơn điệu cho ánh xạ đa trị. .. sinh trình phát triển Khoa học tự nhiên Xã hội mà từ năm 1950 phương trình đa trị nhà Tốn học đưa vào nghiên cứu Phương pháp bậc tôpô, phương pháp biến phân mở rộng cho phương trình đa trị cho