Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Tự Vượng PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Tôi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô nhiệt tình giảng dạy thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ trình học tập thực luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Phan Tự Vượng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2 Bậc tôpô ánh xạ đa trị 10 1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát 14 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 19 2.1 Điểm bất động ánh xạ đa trị tăng 19 2.2 Điểm bất động ánh xạ đa trị lõm 27 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự 39 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị không gian có thứ tự bắt đầu nghiên cứu từ năm 1940 công trình mở đầu M.Krein A.Rutman phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 công trình M.A.Krasnoselskii , H Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các kết trừu tượng lý thuyến có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu định tính định lượng nhiều lớp phương trình bất phương trình vi phân xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị không gian có thứ tự chứng minh áp dụng rộng rãi lý thuyết phương trình vi phân Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy , nguyên lý đệ quy tổng quát, … nhà toán học bỏ giả thiết liên tục compact ánh xạ Do đó, cách tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng kết sang đa trị tìm ứng dụng lý thuyết phương trình Một số định nghĩa định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Nishnianidze, W V Petryshyn, P M Fitzpatrick… đưa công trình họ vào năm 1970 Trong năm gần tác giả S.Carl , S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy… chứng minh số kết ứng dụng phương trình vi phân , toán kinh tế lý thuyết trò chơi… Trong luận văn sử dụng nguyên lý phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm vectơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự áp dụng phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết gần giống với kết đơn trị 2 Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương nhắc lại khái niệm, kết sử dụng.Trong gồm có khái niệm không gian Banach với thứ tự sinh nón ; Bậc tôpô ánh xạ đa trị Nguyên lí đệ quy tổng quát Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo Chương gồm định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Phần 2.1 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị tăng áp dụng vào phương trình dạng Lu  Nu 1 L : V  P ánh xạ đơn trị N : V  P \  ánh xạ đa trị với V, P tập thứ tự, phần tham khảo [3] , [4] Phần 2.2 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị lõm Đây số mở rộng kết qủa cổ điển số kết [10],[11] Chương gồm kết phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô ánh xạ đa trị cô đặc trình bày kết vectơ riêng ánh xạ đa trị cô đặc không gian có thứ tự Các kết qủa tham khảo [8] Phần 3.2 trình bày mở rộng kết qủa cổ điển nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng nguyên lí tổng quát tập có thứ tự bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng Phương pháp bậc tôpô 3 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach K tập X K gọi nón nếu: i) K đóng, khác rỗng K    ii) a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K iii) x  K  x  K  x  Ví dụ 1: Cho X  n Khi K nón Ta xét K  1 ,  , ,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2, , n n Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  sau: x, y  X , x  y  y  x  K Khi quan hệ  có tính chất: 1) Phản xạ: x  x   K  x  x, x  X 2) Phản xứng: x, y  K , x  y y  x y  x  K x  y  K Do iii) ta có y  x  nên x  y 3) Bắc cầu: x, y , z  X x  y y  z y  x  K z  y  K Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K Do x  z Vậy  quan hệ thứ tự X 4 Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Khi đó:  x   y i)   0, x, y, z  X ; x  y   x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n lim xn  x, lim yn  y x  y n  n  iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) hội tụ x xn  x,  xn  x  n Chứng minh i) Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z ii) xn  yn  yn  xn  K Vì lim  yn  xn   y  x K đóng nên y  x  K Do x  y n  iii) Giả sử  xn  tăng Với n, ta có xn  xn  m Cho m   ta có xn  x, n Định nghĩa 1.1.2 i) Nón K X gọi nón miniheral mạnh tập M bị chặn X tồn supM ii) Nón K không gian Banach X gọi nón chuẩn N  cho x, y  X , x  y x  N y Khi số N gọi số chuẩn K iii) Nón K X gọi nón (chính qui) dãy đơn điệu tăng bị chặn X hội tụ iv) Nón K X gọi nón tách (nón sinh) x  X , u , v  K : x  u  v Ví dụ 2: 1) K   f  C  0,1 : f  0 không nón chuẩn C1  0,1 2) K   x  C  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 nón chuẩn C1  0,1 3) Nón hàm không âm hầu khắp nơi L  0,1 nón L  0,1 4) Nón hàm không âm C0,1 không nón Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: i) u , v  X , u  v u,v   x  X : u  x  v tập đóng bị chặn ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,  lim xn  lim zn  x lim yn  x n  n    iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy xn k k n  hội tụ x  xn n hội tụ x Chứng minh i) u , v đóng: Giả sử xn  u , v , n lim xn  x n  Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v u , v bị chặn: x  u , v u  x  v  x-u  K, v-u  K x-u  v-u Vì K nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u Do x  N v  u  u  M ii) Giả sử xn  yn  zn , n   yn  xn  zn  xn Do K nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  n  n  Từ (*) cho n   yn  xn  Do yn   yn  xn   xn  x  n     *   iii) Giả sử  xn n dãy tăng có dãy xn k Ta có xn  x   , k0 : x  xn k k0   N k hội tụ x Ta có xn  x, k x n  xn nên x n  x, n k k Khi n  nk xn  xn  x   x  xn  x  xn k0 k0  x  xn  N x  xn k0  Vậy lim xn  x n  Định lí 1.1.1 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho x, y  X ,  x  y  x *  y * Chứng minh Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K  * Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  đủ lớn + Do  K    K  nên B  0,1  A + Chứng minh A  B  0, r  , r  Thật vậy, ngược lại ta xây dựng dãy  xn n  A xn  n y n , zn  B  0,1 , un ,  K cho xn  yn  un  zn  Vì un   zn  yn nên un   Do K nón chuẩn nên un  N un   N Do n  xn  yn  un   N , n (vô lý) với * Xét phiếm hàm Minkovski tập A: x   x *  inf   :  A x  A    * x  X , x  0, gọi 0  x * x x  B  0,1  A x 0 x x x  A  B  0, r  nên x *  x r x 0 x * Theo ta có  x * x  r x * Khi x  đẳng thức xảy Do chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu y  x  * Giả sử  x  y , ta có   :     :      Thật vậy, xét  cho Vì x  nên Vì x  y nên Mà y  Do Vì x  x  K   y   y  x  y  A 0  x  x   B  0,1  K K  K nên theo định nghĩa A ta có x  A x *  y * y   u  v với u  B  0,1  K