Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

L ỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – Năm 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – Năm 2013

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt

những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập cao học,

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Sau cùng tôi xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập

TPHCM, tháng 9 năm 2013

Học viên

Trần Gia Huy

M ỤC LỤC

0

M Ở ĐẦU0 1

0 Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ0 3

1.1 0Sử dụng nguyên lý Entropy0 3

1.2 0Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát0 11

0 Chương 2 SỬ DỤNG LÁT CẮT0 23

2.1 0Các định nghĩa0 23

2.2 0Sự tồn tại hàm chọn (lát cắt) của ánh xạ đa trị0 25

2.3 0Ứng dụng vào bài toán điểm bất động0 30

0 Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ0 32

3.1 0Các định nghĩa0 32

3.2 0Chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị0 33

3.3 0Ứng dụng vào bài toán điểm bất động0 35

0 K ẾT LUẬN0 41

0 TÀI LI ỆU THAM KHẢO0 42

PH ẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập niên 1940, đạt được những kết quả ấn tượng trong những năm 1950 – 1970 và được

tiếp tục hoàn thiện đến ngày nay Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ thuật, trong nghiên cứu các mô hình kinh tế– xã hội, trong lý thuyết điều khiển – tối ưu

Một trong những hướng nghiên cứu gần đây của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự là xét các phương trình trong không gian có thứ tự với ánh xạ đa

trị Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học từ những năm

1950 – 1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả, tìm

hiểu các mô hình, hiện tượng mới của khoa học và xã hội Các phương trình chứa ánh

xạ đa trị trong không gian có thứ tự được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau

Một mặt, ta có thể áp dụng các phương pháp tổng quát như phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với các tính chất thứ tự của không gian Mặt khác, ta có

thể áp dụng các phương pháp đặc thù trong không gian có thứ tự như sử dụng nguyên

lý Entropy, nguyên lý về dãy lặp suy rộng, …

Luận văn trình bày một cách hệ thống và chi tiết 3 phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự Đó là phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô

Luận văn có 3 chương:

Chương 1 trình bày 2 nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự, đó là nguyên lý Entropy

và nguyên lý Đệ quy tổng quát Sau đó áp dụng 2 nguyên lý này vào việc xét sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [2], [3], [4]

Chương 2 trình bày về sự tồn tại lát cát (hàm chọn) đơn điệu của ánh xạ đa trị, kết

hợp với định lý Tarskii, ta được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa

trị trong không gian Banach sinh bởi nón minihedral mạnh Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [1], [8]

Chương 3 giới thiệu chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị, từ đó chứng minh sự

tồn tại điểm bất động của các toán tử cô đặc trong nón Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong tài liệu [10]

Chương 1 SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

V Ề TẬP CÓ THỨ TỰ

1.1 S ử dụng nguyên lý Entropy

Định nghĩa 1.1.1

gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

ii) K K+ ⊂ K K,λ ⊂K,∀ ≥ λ 0 iii) K ( ) { }−K = θ

Định nghĩa 1.1.2

Nếu K là nón trong không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh bởi K như

sau: ∀x y K x y, ∈ , ≤ ⇔ − ∈y x K

M ệnh đề 1.1.3

Giả sử “ ≤ ” là thứ tự trong không gian Banach X sinh bởi nónK Khi đó :

i) Nếu x y≤ thì x z y z z+ ≤ + ∀ ∈ và , X λx ≤λy,∀ ≥ , λ 0 ii) Nếu x n ≤y n,∀ ∈  và limn * n , lim n

→∞ = →∞ = thì a b≤ ,

x ≤x + n∈  và limn→∞x n = thì a x n ≤ ∀ ∈  a n, *

i) Do x y≤ nên ta có :

(y z+ ) (− x z+ ) = − ∈ nên x z y z y x K + ≤ +

λ −λ =λ − ∈ nên xλ ≤ λy

ii) Do x n ≤y n,∀ ∈n * ⇒ y n −x n ∈K,∀ ∈n  *

Mà lim n , lim n lim( n n)

Mặt khác K đóng nên b a− ∈K ⇒ ≤ a b

iii) Giả sử ( )x là dãy tăng, khi đó n x n ≤x n m+ ( ,m n ∈  *)

Cố định n, cho m → ∞ , do ii), ta có: x n ≤ ∀ ∈  a n, *

M ệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy)

Giả sử

(x n ≤ ∈ ) a X

ii) S X: → −∞ +∞ ; ) là một hàm:

• Đơn điệu tăng, nghĩa là u v≤ ⇒S u( ) ( )≤S v

• Bị chặn trên, nghĩa là ∃M S u: ( ) ≤M u X,∀ ∈ Khi đó, tồn tại phần tử u o ∈ có tính chX ất: ∀ ∈u X u u, ≥ o ⇒S u( ) ( )=S u o

• Giả sử S X ≠ −∞ , lấy ( ) { } u1∈X S u, ( )1 ≠ −∞

Xây dựng các phần tử u1 ≤u2 ≤  như sau: giả sử đã có u , ta đặt: n

{ : }, sup{ ( ): }

 Nếu βn =S u( )n , ta lấy :u o =u n

Khi đó: ∀ ∈u X u u, ≥ o ⇒ ≥u u n ⇒ ∈u M n

Suy ra: S u( ) ≤ βn =S u( )o Mà S u( ) ( )≥S u o (S là hàm đơn điệu tăng)

Do đó: S u( ) ( )=S u o

 Nếu βn >S u( )n , ta tìm được u n+1 thỏa mãn:

1 1

1 2

+ +



> − −



Nếu quá trình trên vô hạn thì ta có dãy tăng ( )u thỏa mãn: n

1

2S u n+ −S u n > βn,∀ ∈  n

Với u u≥ o, ta có: u u≥ n ⇒ ∈u M n ⇒ S u( ) ≤ βn <2S u( ) ( )n+1 −S u n

( ) lim ( )n ( ) ( )o

n

→∞

Mặt khác: S u( ) ( )≥S u o (S là hàm đơn điệu tăng)

Do đó: S u( ) ( )=S u o

Định nghĩa 1.1.5

Cho M ⊂ X và ánh xạ đa trị F M →: 2 \M { }∅ Khi đó v M∈ được gọi là

điểm bất động của F nếu v Fv∈

v Fv∈ được gọi là điểm bất động cực đại của F nếu với u Fu∈ và v u≤ thì

v Fv∈ được gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu với u Fu∈ và u v≤ thì

u v=

Định nghĩa 1.1.6

Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K Gọi A B là các tập , con của X

i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập ,A B như sau:

a A b B a b

A B

b B a A a b



⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ≤





ii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự < giữa hai tập ,A B như sau:

A B< ⇔ ∀ ∈a A b B a b∃ ∈ ≤ iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập ,A B như sau:

A B ⇔ ∀ ∈a A b B a b∀ ∈ ≤

Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K = 0;+∞)

Ta xét các tập con của X như sau: A= 2;3 , B = 1;4 , C = 3;4 Khi đó: AC A B B C, < , 

Định nghĩa 1.1.7

i) Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị đơn điệu nếu:

( ) ( )

ii) Ánh xạ đa trị F được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu:

( ) ( )

Định lý 1.1.8

Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K , M ⊂ X là một tập đóng F M →: 2 \M { }∅ là ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn: