Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Gia Huy MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, giúp nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học tập cao học, tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Sau xin cảm ơn người thân bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập TPHCM, tháng năm 2013 Học viên Trần Gia Huy MỤC LỤC MỞ ĐẦU T 0T Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ T T 1.1 Sử dụng nguyên lý Entropy 0T T 1.2 Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát 11 0T T Chương SỬ DỤNG LÁT CẮT 23 T T 2.1 Các định nghĩa 23 0T 0T 2.2 Sự tồn hàm chọn (lát cắt) ánh xạ đa trị 25 0T T 2.3 Ứng dụng vào toán điểm bất động 30 0T T Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 32 T T 3.1 Các định nghĩa 32 0T 0T 3.2 Chỉ số điểm bất động ánh xạ đa trị 33 0T T 3.3 Ứng dụng vào toán điểm bất động 35 0T T KẾT LUẬN 41 T 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 T 0T PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự hình thành thập niên 1940, đạt kết ấn tượng năm 1950 – 1970 tiếp tục hoàn thiện đến ngày Lý thuyết tìm ứng dụng rộng rãi nghiên cứu phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ thuật, nghiên cứu mô hình kinh tế– xã hội, lý thuyết điều khiển – tối ưu Một hướng nghiên cứu gần Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự xét phương trình không gian có thứ tự với ánh xạ đa trị Các ánh xạ đa trị nghiên cứu cách hệ thống Toán học từ năm 1950 – 1960 nhu cầu phát triển nội Toán học nhu cầu mô tả, tìm hiểu mô hình, tượng khoa học xã hội Các phương trình chứa ánh xạ đa trị không gian có thứ tự nghiên cứu phương pháp khác Một mặt, ta áp dụng phương pháp tổng quát phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với tính chất thứ tự không gian Mặt khác, ta áp dụng phương pháp đặc thù không gian có thứ tự sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý dãy lặp suy rộng, … Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết phương pháp nghiên cứu bao hàm thức không gian có thứ tự Đó phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô Luận văn có chương: Chương trình bày nguyên lý tập có thứ tự, nguyên lý Entropy nguyên lý Đệ quy tổng quát Sau áp dụng nguyên lý vào việc xét tồn nghiệm bao hàm thức Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [2], [3], [4] Chương trình bày tồn lát cát (hàm chọn) đơn điệu ánh xạ đa trị, kết hợp với định lý Tarskii, ta kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị không gian Banach sinh nón minihedral mạnh Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [8] Chương giới thiệu số điểm bất động ánh xạ đa trị, từ chứng minh tồn điểm bất động toán tử cô đặc nón Các kết chương chủ yếu trích dẫn tài liệu [10] 3 Chương SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ 1.1 Sử dụng nguyên lý Entropy Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực  Tập K X gọi nón thỏa mãn điều kiện sau: i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ ( ) {} iii) K  −K = θ Định nghĩa 1.1.2 Nếu K nón không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh K sau: ∀x , y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Mệnh đề 1.1.3 Giả sử “ ≤ ” thứ tự không gian Banach X sinh nón K Khi : i) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X λx ≤ λy, ∀λ ≥ , ii) Nếu x n ≤ yn , ∀n ∈ * và= lim x n a= , lim yn b a ≤ b , n →∞ n →∞ iii) Nếu x n ≤ x n +1 (n ∈ * ) lim x n = a x n ≤ a, ∀n ∈ * n →∞ Chứng minh: i) Do x ≤ y nên ta có : (y + z ) − (x + z ) = y − x ∈ K nên x + z ≤ y + z λy − λx = λ (y − x ) ∈ K nên λx ≤ λy ii) Do x n ≤ yn , ∀n ∈ * ⇒ yn − x n ∈ K, ∀n ∈ * ) ( a, lim yn =⇒ b b a lim yn − x n =− Mà lim x n = n →∞ n →∞ n →∞ Mặt khác K đóng nên b − a ∈ K ⇒ a ≤ b ( ) iii) Giả sử x n dãy tăng, x n ≤ x n +m (m, n ∈ * ) Cố định n , cho m → ∞ , ii), ta có: x n ≤ a, ∀n ∈ * Mệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy) Giả sử i) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận ( xn ≤ a ∈ X ) ) ii) S : X →  −∞; +∞ hàm: ( ) () • Đơn điệu tăng, nghĩa u ≤ v ⇒ S u ≤ S v ( ) • Bị chặn trên, nghĩa ∃M : S u ≤ M , ∀u ∈ X ( ) ( ) Khi đó, tồn phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S u = S uo Chứng minh: ( ) {−∞} , ta lấy u • Nếu S X = o ∈ X tùy ý ( ) ( ) { } • Giả sử S X ≠ −∞ , lấy u1 ∈ X , S u1 ≠ −∞ Xây dựng phần tử u1 ≤ u2 ≤  sau: giả sử có un , ta đặt: { { () } } Mn = u ∈ X : u ≥ un , β n = sup S u : u ∈ M n Khi −∞ < βn < +∞ ( )  Nếu βn = S un , ta lấy uo := un Khi đó: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ u ≥ un ⇒ u ∈ M n ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra: S u ≤ βn = S uo Mà S u ≥ S uo ( S hàm đơn điệu tăng) ( ) ( ) Do đó: S u = S uo ( )  Nếu βn > S un , ta tìm un +1 thỏa mãn: un +1 ∈ M n   S un +1 > βn −  βn − S un   ( ( ) ) ( ) Nếu trình vô hạn ta có dãy tăng un thỏa mãn: ( ) ( ) 2S un +1 − S un > βn , ∀n ∈ * ( ) Gọi uo cận số un ( uo ≥ un ) ( ) ( ) ( ) Với u ≥ uo , ta có: u ≥ un ⇒ u ∈ M n ⇒ S u ≤ βn < 2S un +1 − S un ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ S u ≤ lim S un ⇒ S u ≤ S uo n →∞ ( ) ( ) Mặt khác: S u ≥ S uo ( S hàm đơn điệu tăng) ( ) ( ) Do đó: S u = S uo Định nghĩa 1.1.5 Cho X ,Y hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y họ tất tập Y Một ánh xạ F : X → 2Y gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y { } Cho M ⊂ X ánh xạ đa trị F : M → 2M \ ∅ Khi v ∈ M gọi điểm bất động F v ∈ Fv v ∈ Fv gọi điểm bất động cực đại F với u ∈ Fu v ≤ u u =v v ∈ Fv gọi điểm bất động cực tiểu F với u ∈ Fu u ≤ v u =v Định nghĩa 1.1.6 Cho X không gian Banach thứ tự nón K Gọi A, B tập X i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  hai tập A, B sau: ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b AB ⇔  ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : a ≤ b ii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự < hai tập A, B sau: ( A < B ⇔ ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b ) iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  hai tập A, B sau: ( A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b ) Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K = 0; +∞ ) sau: A = Ta xét tập X như= 2;  , B = 1;  ,C 3;  Khi đó: A  C , A < B, B  C Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian Banach thứ tự nón K ánh xạ đa trị F : M ⊂ X → 2X i) Ánh xạ đa trị F gọi ánh xạ đa trị đơn điệu nếu: ( ) () ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x < F y ii) Ánh xạ đa trị F gọi đơn điệu nghiêm ngặt nếu: ( ) () ∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x  F y Định lý 1.1.8 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K , M ⊂ X tập { } đóng F : M → 2M \ ∅ ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn: