PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Tự Vượng PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Tôi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô nhiệt tình giảng dạy thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ trình học tập thực luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Phan Tự Vượng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2 Bậc tôpô ánh xạ đa trị 10 1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát 14 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 19 2.1 Điểm bất động ánh xạ đa trị tăng 19 2.2 Điểm bất động ánh xạ đa trị lõm 27 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự 39 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị không gian có thứ tự bắt đầu nghiên cứu từ năm 1940 công trình mở đầu M.Krein A.Rutman phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 công trình M.A.Krasnoselskii , H Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các kết trừu tượng lý thuyến có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu định tính định lượng nhiều lớp phương trình bất phương trình vi phân xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị không gian có thứ tự chứng minh áp dụng rộng rãi lý thuyết phương trình vi phân Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy , nguyên lý đệ quy tổng quát, … nhà toán học bỏ giả thiết liên tục compact ánh xạ Do đó, cách tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng kết sang đa trị tìm ứng dụng lý thuyết phương trình Một số định nghĩa định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Nishnianidze, W V Petryshyn, P M Fitzpatrick… đưa công trình họ vào năm 1970 Trong năm gần tác giả S.Carl , S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy… chứng minh số kết ứng dụng phương trình vi phân , toán kinh tế lý thuyết trò chơi… Trong luận văn sử dụng nguyên lý phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm vectơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự áp dụng phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết gần giống với kết đơn trị 2 Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương nhắc lại khái niệm, kết sử dụng.Trong gồm có khái niệm không gian Banach với thứ tự sinh nón ; Bậc tôpô ánh xạ đa trị Nguyên lí đệ quy tổng quát Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo Chương gồm định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Phần 2.1 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị tăng áp dụng vào phương trình dạng Lu  Nu 1 L : V  P ánh xạ đơn trị N : V  P \  ánh xạ đa trị với V, P tập thứ tự, phần tham khảo [3] , [4] Phần 2.2 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị lõm Đây số mở rộng kết qủa cổ điển số kết [10],[11] Chương gồm kết phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô ánh xạ đa trị cô đặc trình bày kết vectơ riêng ánh xạ đa trị cô đặc không gian có thứ tự Các kết qủa tham khảo [8] Phần 3.2 trình bày mở rộng kết qủa cổ điển nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng nguyên lí tổng quát tập có thứ tự bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng Phương pháp bậc tôpô Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach K tập X K gọi nón nếu: i) K đóng, khác rỗng K    ii) a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K iii) x  K  x  K  x  Ví dụ 1: Cho X  n Khi K nón Ta xét K  1 ,  , ,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2, , n n Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  sau: x, y  X , x  y  y  x  K Khi quan hệ  có tính chất: 1) Phản xạ: x  x   K  x  x, x  X 2) Phản xứng: x, y  K , x  y y  x y  x  K x  y  K Do iii) ta có y  x  nên x  y 3) Bắc cầu: x, y , z  X x  y y  z y  x  K z  y  K Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K Do x  z Vậy  quan hệ thứ tự X Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Khi đó:  x   y i)   0, x, y, z  X ; x  y   x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n lim xn  x, lim yn  y x  y n  n  iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) hội tụ x xn  x,  xn  x  n Chứng minh i) Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z ii) xn  yn  yn  xn  K Vì lim  yn  xn   y  x K đóng nên y  x  K Do x  y n  iii) Giả sử  xn  tăng Với n, ta có xn  xn  m Cho m   ta có xn  x, n Định nghĩa 1.1.2 i) Nón K X gọi nón miniheral mạnh tập M bị chặn X tồn supM ii) Nón K không gian Banach X gọi nón chuẩn N  cho x, y  X , x  y x  N y Khi số N gọi số chuẩn K iii) Nón K X gọi nón (chính qui) dãy đơn điệu tăng bị chặn X hội tụ iv) Nón K X gọi nón tách (nón sinh) x  X , u , v  K : x  u  v Ví dụ 2: 1) K   f  C  0,1 : f  0 không nón chuẩn C1  0,1 2) K   x  C  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 nón chuẩn C1  0,1 3) Nón hàm không âm hầu khắp nơi L  0,1 nón L  0,1 4) Nón hàm không âm C0,1 không nón Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: i) u , v  X , u  v u,v   x  X : u  x  v tập đóng bị chặn ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,  lim xn  lim zn  x lim yn  x n  n    iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy xn k k n  hội tụ x  xn n hội tụ x Chứng minh i) u , v đóng: Giả sử xn  u , v , n lim xn  x n  Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v u , v bị chặn: x  u , v u  x  v  x-u  K, v-u  K x-u  v-u Vì K nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u Do x  N v  u  u  M ii) Giả sử xn  yn  zn , n   yn  xn  zn  xn Do K nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  n  n  Từ (*) cho n   yn  xn  Do yn   yn  xn   xn  x  n     *   iii) Giả sử  xn n dãy tăng có dãy xn k Ta có xn  x   , k0 : x  xn k k0   N k hội tụ x Ta có xn  x, k x n  xn nên x n  x, n k k Khi n  nk xn  xn  x   x  xn  x  xn k0 k0  x  xn  N x  xn k0  Vậy lim xn  x n  Định lí 1.1.1 Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho x, y  X ,  x  y  x *  y * Chứng minh Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K  * Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  đủ lớn + Do  K    K  nên B  0,1  A + Chứng minh A  B  0, r  , r  Thật vậy, ngược lại ta xây dựng dãy  xn n  A xn  n y n , zn  B  0,1 , un ,  K cho xn  yn  un  zn  Vì un   zn  yn nên un   Do K nón chuẩn nên un  N un   N Do n  xn  yn  un   N , n (vô lý) với * Xét phiếm hàm Minkovski tập A: x   x *  inf   :  A x  A    * x  X , x  0, gọi 0  x * x x  B  0,1  A x 0 x x x  A  B  0, r  nên x *  x r x 0 x * Theo ta có  x * x  r x * Khi x  đẳng thức xảy Do chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu y  x  * Giả sử  x  y , ta có   :     :      Thật vậy, xét  cho Vì x  nên Vì x  y nên Mà y  Do Vì x  x  K   y   y  x  y  A 0  x  x   B  0,1  K K  K nên theo định nghĩa A ta có x  A x *  y * y   u  v với u  B  0,1  K 33 Trong phần khảo sát tồn điểm bất động toán tử đa trị u0 lõm Trước tiên ta nhắc lại kết có đơn trị Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Đặt P  u; v    x  X : u  x  v Định nghĩa 2.2.2 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0  Fx   u0 iii)  a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx Định lý 2.2.4 Giả sử i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u  Fu ; Fv  v Khi F có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do : Tồn N>0 cho x, y  K ; x  y x  N y Tồn M>0 cho x  P x  M Ta xét hai dãy lặp sau: xn1  Fxn ; yn1  Fyn với x0  u ; y0  v Vì F đơn điệu x0  y0 nên: x0  x1   xn  yn   y1  y0 Suy  xn n dãy tăng,  yn n dãy giảm , xn  yn , n 34 Ta chứng minh  xn n  yn n hội tụ Do X không gian Banach nên ta cần chứng minh  xn n ,  yn n dãy Cauchy Chọn    0;1 cho x0   y0 Chọn  đủ bé cho     MN   Do F toán tử u0 lõm nên   cho x  P, t   ;1    MN  ta có Ftx  1    tFx  N 1          MN Chọn N số tự nhiên thỏa điều kiện:    1    N0     MN Bằng cách giảm  xem  1    N0 1 Ta có: x0   y0 Suy Fx0  1     Fy0 hay x1  1     y1   Tiếp tục ta có : xN0  1     y N0  1  N Vì xN0  y N0 nên  y N0  xN0   MN    yN MN  yN0 Khi n  N ta có  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  nên xn p  xn  N  MN y N0  N  MN  MN yN0 M  Hoàn toàn tương tự ta có  yn  yn p  yn  xn   MN y N0 suy yn  yn p  N Vậy  xn n ,  yn n dãy Cauchy nên hội tụ  MN y N0   35 Giả sử lim xn  x* ; lim yn  y* n  n  Do  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  nên yn  xn   MN  MN yN0 y N0 Cho n   ta suy x*  y* Vậy lim xn  lim yn  x n  n  Do xn  x  yn nên xn1  Fx  yn1 Cho n   ta suy x  Fx hay x điểm bất động F P Định nghĩa 2.2.3 Với A, B  X ta định nghĩa A  B  a  A; b  B : a  b Ánh xạ F : X  X gọi tăng x  y Fx  Fy  A   a a  A Định nghĩa 2.2.4 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0   Fx   u0  iii)   a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx Định lý 2.2.5 Giả sử i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u  Fu ; Fv  v 36 iv) supFx tồn thuộc Fx x  P Khi F có điểm bất động P Chứng minh Xét ánh xạ đơn trị f : P  P xác định f(x)=supFx Rõ ràng f định nghĩa tốt x điểm bất động f điểm bất động F Ta kiểm tra f thỏa điều kiện định lý 2.2.4 Hiển nhiên F tăng nên f tăng x  P,  ,  :  u0   Fx   u0  suy  u0  f  x    u0  a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx f  tx   1    tf  x  Vậy theo định lý 2.2.4 f có điểm bất động x điểm bất động F Nếu X ta xét thứ tự mạnh định lý 2.2.5 ta giảm bớt giả thiết supFx tồn thuộc Fx x  P Định nghĩa 2.2.5 Với A, B  X ta định nghĩa AB  a  A; b  B : a  b Ánh xạ F : X  X gọi tăng x  y FxFy Định nghĩa 2.2.6 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0  Fx  u0  iii)   a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx 37 Định lý 2.2.6 Giả sử: i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u Fu ; Fv v Khi F có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do : Tồn N>0 cho x, y  K ; x  y x  N y Tồn M>0 cho x  P x  M Ta xét hai dãy lặp sau: xn1  Fxn ; yn1  Fyn với x0  u ; y0  v Vì F đơn điệu x0  y0 nên dễ dàng suy : x0  x1   xn  yn   y1  y0 Suy  xn n dãy tăng,  yn n dãy giảm , xn  yn , n Ta chứng minh  xn n  yn n hội tụ Do X không gian Banach nên ta cần chứng minh  xn n ,  yn n dãy Cauchy Chọn    0;1 cho x0   y0 Chọn  đủ bé cho     MN   Do F toán tử u0 lõm nên   cho x  P, t   ;1  ta có Ftx  1    tFx  N 1          MN Chọn N số tự nhiên thỏa điều kiện:    1    N0     MN   MN  38 Bằng cách giảm  xem  1    N0 1 Ta có: x0   y0 Suy Fx0  1     Fy0 suy x1  1     y1   Tiếp tục ta có : xN0  1     y N0  1  N Vì xN0  y N0 nên  y N0  xN0   MN    yN MN  yN0 Khi n  N ta có  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  xn p  xn  N  MN y N0  N  MN  MN MN y N0 nên M  Hoàn toàn tương tự ta có  yn  yn p  yn  xn  y n  yn  p  N   MN y N0 nên y N0   Vậy  xn n ,  yn n dãy Cauchy nên hội tụ Tương tự định lý 2.2.4 ta suy tồn x cho lim xn  lim yn  x n  n  Do xn  x  yn nên Fxn Fx Fyn suy  xn1 Fx   yn1 Do xn1  x  yn1 x  Fx Cho n   ta suy x  x , x  Fx hay  x  Fx (đpcm) 39 Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự Mệnh đề 3.1.1 [8] Cho X không gian Banach M  X với M tập lồi đóng , bị chặn Ánh xạ đa trị F: M  X k1  set co f: F ( M )  M k2  set co giả sử k1k2 ta có  x0  F ( x0 ) r Hệ 3.1.1 Cho X không gian Banach với K nón chuẩn với số chuẩn N  y F: K r  2K k  set co Đặt   sup inf s(0,r ) 2rkN    Khi y  F ( x ), s  x  r  1thì tồn   x  Kr cho  x  F ( x ) Chứng minh x  N y với x, y  K , x  y , suy Do K nón chuẩn nên ta có x  N x  y với x, y  K Chọn  '  s  (0, r ) cho  inf y 2rkN  '  y  F ( x ), s  x  r   ' Chọn   K cho   có y  (r  x )  ' N ' rs Khi x  Kr y  F ( x ) ta với x  K r Áp dụng định lý 3.1.1 ta có điều phải chứng minh 41 Định lý 3.1.2 Cho X không gian Banach với nón K Ánh xạ F: K r  2K k  set co với k  (0;1) ánh xạ G: K r  2K compact Giả sử tồn   ,  0 cho y   với y  G ( x ) x   K K r ; iK ( F , K  Br )  Khi tồn   x   K K r cho x  F ( x )  G ( x ) Chứng minh   Chọn x0  K , x0  cho tx0 t     C ( K Kr ) K   Ta chứng minh tồn 0  cho x  F ( x )  0G ( x )   x0   x   K Kr Thật vậy, 0 không tồn ta chọn n  , n   (0;  )  xn    K Kr cho n    xn  F ( x n )  nG ( xn )   n x0 với n Khi F ( K Kr )  K Kr tập bị chặn nên ta chọn yn  G ( xn )  cho  yn   n  x   Vì yn  bị chặn yn   với n, nên n  n       x0  C ( K Kr ) K Điều mâu thuẫn với cách chọn x0 n Vậy 0 thỏa tính chất tồn Xét H n ,t  F ( x )  0G ( x )  tnx0 với t   0;1 x  Kr Ta có x  H n ,t với t   0;1 x  Kr H n ,t k  set co đồng luân dương Do iK ( F  0G , K  Br )  iK ( F  0G  nx0 , K  Br ) , điều với n nên iK ( F  0G , K  B (0, r ))  Thật , ngược lại ta phải có nx0 n  N    I  F  0G   Kr   I  F  0G   Kr  tập bị chặn điều mâu thuẫn 42 Đặt Ft ( x )  F ( x )  t0G ( x ) với t   0;1 x  Kr Ft k  set co đồng luân dương iK ( F0 , K  Br )  iK ( F1 , K  Br ) Do tồn t   0;1 x   K K  Br cho x  Ft ( x ) Vậy x  F ( x )  G ( x ) với   t0  Hệ 3.1.2 Cho X không gian Banach với nón K Ánh xạ F: Kr  2K k  set co ánh xạ G: Kr  2K compact Giả sử tồn   ,   cho y   với y  G ( x ) x   K K r Khi tồn   ,   cho với   (0; 0 ) tồn    (  )  x   K Kr thỏa x   F ( x )  G ( x ) Chứng minh   Chọn  cho  k  0 F Kr  B(0, r ) Khi với   (0;  )  F  k  set co thỏa  k  Hơn x  t  F ( x) với t   0;1 x   K Kr nên iK (  F , K  B (0, r ))  Do áp dụng định lý 3.1.3 cho  F G ta có điều phải chứng minh 43 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Trong phần khảo sát tồn nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình x  F , x  (3.2) với I=  0;  F : P  2P \  ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục ( compact ) Ta ký hiệu tập nghiệm phương trình (3.2)     , x   I x P x  F   , x  , x    Đặt   S  x  P /     I : x  F   , x  Định nghĩa 3.2.1 Ta nói S nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  S  G   với tập mở, bi chặn G chứa  Sử dụng định lý 1.2.3 ta chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho F : P  2P \  G lân cận mở bị chặn  Giả sử tồn 1 , 2  I x0  P /   cho: i)  x  F  1 , x  x  P  G;   ii) x   x0  F  2 , x  Khi S  G   x  P  G;   44 Định lý 3.2.1 Cho F : P  2P \  ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục thoả điều kiện sau : 1) Tập nghiệm S (3.2) nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  2) Với x  S tồn     x   I để   , x  nghiệm (3.2) 3) Với đoạn  r ; R    0;   tồn đoạn  ;     0;   cho x  S , x   r ; R     x    ;   4) a) lim sup   x   o    lim inf   x  x 0 x  b) lim sup   x     0  lim inf   x  x  x 0 Khi với    0 ;   (     ; 0  ) phương trình (3.2) có nghiệm x  P \   Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp a) , trường hợp b) chứng minh tương tự Giả sử phản chứng :    0 ;   : x  F   , x  x  P \   (3.2.1) Ta xét     x  S :   x    S1  x  S :   x    , S2 Từ giả thiết 4) định nghĩa S1 , S2 ta có sup  x : x  S1   ; inf  x : x  S2   (3.2.2) Kết hợp với 1) suy inf  x : x  S1  (3.2.3) Ta chứng minh: inf  x  y : x  S1 ; y  S2     Thật , (3.2.4) không  xn   S1; yn   S2 cho (3.2.4) ta tìm dãy lim xn  yn  n  Do 4) nên tồn  r ; R    0;   cho  x ; y    r; R  n n 45 Do theo 3) tồn  ;     0;   để   xn  ;  yn    ;   Vì   xn  ;  yn  bị chặn , xn  F    xn  , xn  ; yn  F    yn  , yn  F hoàn toàn liên tục nên ta chọn dãy nk  cho xnk  x0 ; ynk  y0 ;   xn   1 ;   yn   2 k Khi x0  F  1 ; x0  ; y0  F  2 ; y0  k ; 1    2 Theo 2) ta phải có 1    2 , điều mâu thuẫn với (3.2.1) Vậy inf  x  y : x  S1 ; y  S2       Đặt G   B  x;  Ta có G tập mở bị chặn chứa  ( (3.2.3)) xS1   Theo cách xây dựng G ta có S1  G   , theo (3.2.4) ta có S  G   Suy S  G   , điều mâu thuẫn với 1) Vậy giả thiết (3.2.1) sai định lý chứng minh 46 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số kết cổ điển số mở rộng ban đầu điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm , véctơ riêng ánh xạ đa trị nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số không gian có thứ tự Tuy nhiên, chưa có điều kiện trình bày ứng dụng kết vào lớp phương trình cụ thể , đặc biệt phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số không gian có thứ tự Một số hướng phát triển luận văn là: 1) Làm giảm nhẹ điều kiện kết trình bày luận văn 2) Tìm kết phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc nhiều tham số 3) Tìm ứng dụng kết lý thuyết vào lớp phương trình cụ thể Qua trình làm luận văn thấy kiến thức học học phần giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tôpô … giúp nhiều việc hoàn thành luận văn Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Carl (1999), S.Heikkila: Operator and diffrential equations in oedered space , J.Math.Anal.Appl.134, 31-54 S.Carl (2000), S.Heikkila: Nonlinnear Diffrential Equations in ordered spaces , ChapmanHall/CRC S.Carl (2004), S.Heikkila: Fixed point theorem for multifunctions with appliciations to discontinuous operator and diffrential equations, J.Math.Anal.Appl 297, 56-69 S.Heikkila: Existence and comparison results for operator and diffrential equations in abstract spaces, J.Math.Anal.Appl.274(2002), 586-607 S.Heikkila: On extremal solutions of inclusions problems with applications to game theory,Non.Anal.69(2008), 3060-3069 N.B.Huy: Fixed points of increasing multivalued operators and an appliciations to discontinuous elliptic equations, Non.Anal.51(2002), 673678 W.V Petryshyn, P M Fitzpatrick: A Degree Theory, Fixed Point Theorems, and Mapping Theorems for Multivalued Noncompact Mappings, Trans Math 194 (1974), 1-25 W.V Petryshyn, P M Fitzpatrick: Positive eigenvalues for nonlinear multivalued noncompact operators with applications to differential operators Jour.Diff Equa, 22 (1976) , 428-441 W V Petryshyn, P M Fitzpatrick: Fixed point theorems and the fixed point index for mappings in cones, J.London Math Sot 11 (1975), 75-85 10 Zhai Chengbo ,Yang Chen: Some fixed point theorems for multivalued maps in ordered Banach spaces and applications Inter.Jour.Math 20 (2005), 32473259 11 Zengqin Zhao, Xinsheng Du: Fixed points of generalized e-concave (generalizede-convex) operators and their applications J.Math.Anal Appl 334 (2007),1426-1438 [...]... phần tử lớn nhất của ( M,  ) 19 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng Trong phần này chúng ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động lớn nhất và bé nhất của ánh xạ đa trị F : P  2P \  với P là tập được sắp thứ tự Định nghĩa 2.1.1 a) Với A, B  2 x thì A  B  u  A, v  B :u  v b) Cho P  X và ánh xạ đa trị F : P  2P \  Khi đó v  P gọi là điểm... thứ tự. Nếu tập con A của P có phần tử lớn nhất ( bé nhất) thì A compact thứ tự phía trước ( phía sau) trong mọi tập con của P chứa A Một tập compact thứ tự không nhất thiết phải compact tôpô cũng không nhất thiết phải đóng Ngược lại một tập con A compact trong không gian tôpô có thứ tự thì hiển nhiên compact thứ tự trong mọi tập con chứa A Bổ đề 2.1.1 Tập con A của tập sắp thứ tự P là compact thứ tự. .. có supermum trong P thì   y   A : y  C   , trong đó  y   A  , y  C Nếu mọi xích C của P , có infimum trong P mà   y   A : y  C   , trong đó  y   A  , y  C thì ta nói A compact thứ tự phía sau trong Y Nếu A vừa compact thứ tự phía trước vừa compact thứ tự phía sau thì ta nói A compact thứ tự trong Y Nếu Y=A thì ta nói A compact thứ tự 20 Nhận xét: Mọi tập sắp thứ tự. .. 2.1.3 thoả nên F có điểm bất động lớn nhất 25 Sau đây ta sẽ mở rộng một số kết quả được trình bày ở trên Ta xét phương trình dạng: Lu  Nu 1 Trong đó L : V  P là ánh xạ đơn trị và N : V  2 P \  là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự Trên V ta định nghĩa thêm một thứ tự như sau ( gọi là thứ tự theo graph của V ) u  v  u  v và Lu  Lv Định lý 2.1.2 Giả sử P có sup-center hoặc... v, u  M x , v  x 10 1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị Bổ đề 1.2.1 Cho X là không gian mêtric , Y là không gian định chuẩn và F : X  2Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng Khi đó với mọi   0 tồn tại ánh xạ liên tục f : X  co  FX  sao cho với mọi x  X , tồn tại y  X và z  Fy sao cho d  x , y    và f ( x )  z   Chứng minh Với x  X và   0 do F nửa liên tục trên... Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff Nhận xét Mọi ánh xạ cô đặc đều là ánh xạ k-set co với k=1 Mọi ánh xạ compact đều là ánh xạ cô đặc và cũng là ánh xạ k-set co vì vế trái của bất đẳng thức ở định nghĩa trên bằng 0 Cho X là không gian Banach và K  X là tập lồi đóng, U  X là tập mở và U  K   Ta ký hiệu U  K  U K Giả sử F : U K  2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên , cô đặc và x  Fx x  ... x là nghiệm lớn nhất của phương trình Lu  Nu trên V ,   Nếu N tăng trên V ,   thì nó cũng tăng trên V ,   nên kết luận của định lý vẫn đúng 27 2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm Cho X là không gian Banach có thứ tự sắp bởi nón K Với e  K \   ta ký hiệu Pe   x  X    ( x ),    ( x ) :  e  x   e Định nghĩa 2.2.1 Cho u0  K \   , ánh xạ đa trị A : K  2K gọi là u0... sup-center hoặc inf-center và các ánh xạ L : V  P ; N : V  2 P \  thoả các điều kiện sau: (L) Phương trình Lu=x có nghiệm lớn nhất và bé nhất với mỗi x  P và các nghiệm này tăng theo x (N) Tập giá trị N[V] là đầy đủ tương đối theo xích trong P và giá trị của N compact thứ tự trong N[V] Khi đó nếu N tăng trên V ,   hoặc trên V ,   thì phương trình Lu  Nu có nghiệm lớn nhất và bé nhất trên... giá trị compact thứ tự phía sau trong F[P] với F[P]  đầy đủ tương đối theo xích trong P và  S   x  P  x   F  x      Khi đó F có điểm bất động bé nhất và là phần tử bé nhất của S Sử dụng các kết quả trên ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động lớn nhất và bé nhất của ánh xạ F : P  2P \  Định lý 2.1.1 Giả sử F : P  2P \  tăng ,có giá trị compact thứ tự trong F[P] với 0 F[P] đầy đủ... được sắp thứ tự Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp có thứ tự P gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử đầu tiên Mệnh đề 1.3.1 (Nguyên lí đệ quy) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  P,   ,   D và ánh xạ F : D  P Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1) x  C  x  F  C x   * (với C x   y  C , y  x ) (1.3.1) 2) Nếu C  D thì F  C  không phải