Nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa

đa trị phụ thuộc tham số

Trong phần này chúng ta khảo sát sự tồn tại nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình x F ,x (3.2) với I=0; và

 

: 2 \P

F P  là ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục ( compact ). Ta ký hiệu tập nghiệm của phương trình (3.2) là

     ,x I x P x F ,x x,       Đặt      / : ,  S x P    I x F  x Định nghĩa 3.2.1

Ta nói rằng S là một nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  nếu

S  G với mọi tập mở, bi chặn G chứa .

Sử dụng định lý 1.2.3 ta chứng minh được kết quả sau:

Mệnh đề 3.2.1

Cho F P: 2 \P   và G là một lân cận mở bị chặn của  . Giả sử tồn tại  1, 2I và x0P/  sao cho:

i) x F 1,x  x P  G;  1

ii) xx0F2,x  x P  G;  0

44

Định lý 3.2.1

Cho F P: 2 \P   là ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục thoả các điều kiện sau : 1) Tập nghiệm S của (3.2) là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ . 2) Với mỗi x S tồn tại duy nhất    x I để ,xlà nghiệm của (3.2) 3) Với mỗi đoạn  r R; 0; tồn tại đoạn  ; 0; sao cho

     

, ; ;

x S x  r R  x   

4) a)    

0

lim sup o lim inf

x  x   x  x

    

hoặc

b) lim sup   0 lim inf0  

x  x   x  x

    

Khi đó với mọi  0;  ( hoặc  ; 0 ) thì phương trình (3.2) có nghiệm x P \  .

Chứng minh

Ta chứng minh cho trường hợp a) , trường hợp b) chứng minh tương tự. Giả sử phản chứng :    0; :x F ,x  x P\  (3.2.1) Ta xét         1 2 : , : S x S x S x S x          

Từ giả thiết 4) và định nghĩa của S S1, 2 ta có

 1  2

sup x x S:    ; inf x x S:  0 (3.2.2) Kết hợp với 1) suy ra infx x S:  10 (3.2.3)

Ta sẽ chứng minh:inf x y x S y S :  1;  2  0 (3.2.4)

Thật vậy , nếu (3.2.4) không đúng thì ta tìm được các dãy

 xn S1; yn S2 sao cho lim n n 0

n x y

   .

45

Do đó theo 3) thì tồn tại  ; 0; để  xn ; yn  ; . Vì  xn ; yn  bị chặn , xnF xn ,xn ; ynF yn ,yn và F hoàn toàn liên tục nên ta có thể chọn dãy con  nk sao cho

    0 ; 0 ; 1 ; 2 k k k k n n n n x x y y  x   y  Khi đó x0F1;x0 ; y0F2;y0 ;   1  2

Theo 2) ta phải có   1   2 , điều này mâu thuẫn với (3.2.1) Vậy infx y x S y S :  1;  2  0 Đặt 1 ; 2 x S G B x           . Ta có G là tập mở bị chặn chứa  ( do (3.2.3)) . Theo cách xây dựng G ta có S1  G , còn theo (3.2.4) ta có S2  G

Suy ra S  G , điều này mâu thuẫn với 1). Vậy giả thiết (3.2.1) sai và định lý được chứng minh.

46

KẾT LUẬN

Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kết quả cổ điển và một số mở rộng ban đầu về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm , véctơ riêng của ánh xạ đa trị và nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số trong không gian có thứ tự. Tuy nhiên, chúng tôi chưa có điều kiện trình bày các ứng dụng của các kết quả trên vào lớp các phương trình cụ thể , đặc biệt là phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số trong không gian có thứ tự. Một số hướng có thể phát triển của luận văn là:

1) Làm giảm nhẹ các điều kiện của các kết quả trình bày trong luận văn. 2) Tìm các kết quả về phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc nhiều tham số. 3) Tìm các ứng dụng của kết quả lý thuyết vào lớp phương trình cụ thể.

Qua quá trình làm luận văn tôi đã thấy các kiến thức học được trong các học phần giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tôpô … đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này. Quan trọng hơn cả là bước đầu tôi đã học được phương pháp tự học và nghiên cứu.

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. S.Carl (1999), S.Heikkila: Operator and diffrential equations in oedered space , J.Math.Anal.Appl.134, 31-54.

2. S.Carl (2000), S.Heikkila: Nonlinnear Diffrential Equations in ordered spaces , ChapmanHall/CRC.

3. S.Carl (2004), S.Heikkila: Fixed point theorem for multifunctions with appliciations to discontinuous operator and diffrential equations, J.Math.Anal.Appl. 297, 56-69.

4. S.Heikkila: Existence and comparison results for operator and diffrential equations in abstract spaces, J.Math.Anal.Appl.274(2002), 586-607.

5. S.Heikkila: On extremal solutions of inclusions problems with applications to game theory,Non.Anal.69(2008), 3060-3069.

6. N.B.Huy: Fixed points of increasing multivalued operators and an appliciations to discontinuous elliptic equations, Non.Anal.51(2002), 673- 678.

7. W.V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick: A Degree Theory, Fixed Point Theorems, and Mapping Theorems for Multivalued Noncompact Mappings, Trans. Math 194 (1974), 1-25.

8. W.V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick:

Jour.Diff. Equa, 22 (1976) , 428-441.

9. W. V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick: Fixed point theorems and the fixed point index for mappings in cones, J.London Math. Sot. 11 (1975), 75-85.

10.

in ordered Banach spaces and applications. Inter.Jour.Math. 20 (2005), 3247- 3259.

11.

334 (2007),1426-1438.