phương trình sai phân, một số ứng dụng và định tính

18 1.3.4 Nghiệm của hệ thuần nhất dừng qua các vector riêng 22 2 Nghiên cứu các định tính của phương trình sai phân 26 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân... Việc nghiên c

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội - Năm 2011

Mục lục

1.1 Sai phân và phương trình sai phân 3

1.1.1 Thang thời gian Z và sai phân 3

1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân 5

1.2 Phương trình sai phân trong R1 và một vài ứng dụng 7

1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng 7 1.2.2 Một vài ứng dụng 9

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong Rp 13

1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất 14

1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất 16

1.3.3 Ứng dụng kết quả trong R1 cho phương trình trong Rp 18

1.3.4 Nghiệm của hệ thuần nhất dừng qua các vector riêng 22 2 Nghiên cứu các định tính của phương trình sai phân 26 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 26

2.2 Phương pháp nghiên cứu các định tính 28

2.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov 28

2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 38

2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức 43

Kết luận 49

Bảng ký hiệu

ρ(A) - tập giải của toán tử tuyến tính A

σ(A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A

Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

K - lớp hàm Hahn

Các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R) trong Toán học và trong cáclĩnh vực khác đã được nghiên cứu nhiều Gần đây, các thang thời gian tổngquát rất được chú ý trong nghiên cứu lý thuyết cũng như khai thác ứngdụng Thang thời gian rời rạc cách đều, thường được quy về tập số nguyên

là loại thang thời gian rời rạc đơn giản nhưng tiện lợi, được sử dụng nhiềutrong việc thu thập, xử lý các số liệu Luận văn nghiên cứu các đối tượngthay đổi trên thang thời gian này, chúng được gọi là các hệ động lực dạngsai phân Việc giải tường các phương trình vi phân (các lớp thông dụng)nói chung đơn giản hơn nhiều so với các phương trình sai phân có dạngtương tự Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình sai phâncũng khó hơn, ít công cụ hơn so với các phương trình vi phân cùng dạng.Một số công thức là hoàn toàn xác đinh, có biểu thức để tính toán nhưngrất khó thực hiện trên thực tế Ví dụ, nghiệm của phương trình

x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1))

với điều kiện ban đầu(n0, x0), trong đóx0 = (x00, x0−1, x0−2, , x0−k+1)(x0i ∈

Rp) được thiết lập một cách dễ dàng bằng phương pháp truy hồi (xem[2]) Tuy nhiên công thức nghiệm như vậy nói chung là rất khó tính toántrong thực hành Khi số bước là lớn thì biểu thức truy hồi là rất cồngkềnh Luận văn muốn tìm một số trường hợp riêng hoặc một số ví dụ cụthể mà trong đó các công thức tổng quát có thể viết được chi tiết đến cácthành phần của vector hoặc các phần tử của ma trận, Luận văn cũng

giành một phần để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận các nghiệm của một vàiloại phương trình sai phân Cấu trúc của luận văn như sau:

Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan, cơ bản nhất về phương trình saiphân và một vài ứng dụng

Chương 2 trình bày một số định tính, chủ yếu là tính ổn định của cácphương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định

Do em mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên bản luận vănkhông tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong các thầy và các đồng nghiệpchỉ bảo và lượng thứ

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn SinhBảy Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã giúp đỡ em trong việc nắmbắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bảnluận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy

cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN,ĐHQGHN về kiến thức quý giá mà em đã nhận được trong thời gian họctập tại trường Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xem-ina của tổ Giải tích, ĐHKHTN Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Caohọc giải tích Cám ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ

Hà Nội tháng 12 năm 2011

Nguyễn Thị Mỹ Hằng

Phương trình sai phân

và một vài ứng dụng

Ta đã làm việc nhiều với các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R).Nhưng trong thực tế số liệu thu thập được và cần xử lý lại thường là từcác điểm thời gian rời rạc (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]) Quá trình thời gianrời rạc đơn giản nhất là quá trình bao gồm các thời điểm cách đều nhaumột khoảng h > 0, bắt đầu tại thời điểm t0:

Nếu chỉ lấy n = 0, 1, 2, thì ta có I = {0, 1, 2, 3, } = Z+-tập các sốnguyên không âm.

Ta đưa thêm một số ký hiệu sẽ dùng về sau:

Khi đó ta nói f (·) là một hàm có đối số nguyên

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (·) là một hàm số xác định trên tập Z, nhậngiá trị trong Rp Khi đó, sai phân cấp một của hàm f (·) tại n ∈ Z là hiệu

sau đây:

∆f (n) = f (n + 1) − f (n) (1.1)Sai phân cấp hai là:

∆2f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n) (1.2)Sai phân cấp k là:

1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n) là một hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa

biết, cần tìm từ đẳng thức:

F (n, ∆kx(n), ∆k−1x(n), , ∆x(n), x(n)) = 0 (1.4)trong đó không được khuyết ∆kx(n) Khi đó, đẳng thức (1.4) được gọi làmột phương trình sai phân cấp k

Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có thểđưa về dạng tương đương sau đây

F1(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = 0 (1.5)Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phâncấp k dạng chính tắc

x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.6)Trường hợp đặc biệt sau đây của (1.6) được gọi là phương trình saiphân tuyến tính cấp k

x(n + k) + ak−1(k)x(n + k − 1) + · · · + a1(k)x(k + 1) + a0(k)x(k) = f (k)

(1.7)Nếu f (k) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

x(n+k)+ak−1(k)x(n+k −1)+· · ·+a1(k)x(k +1)+a0(k)x(k) = 0 (1.8)Nếu các hệ số ai(k) đều không phụ thuộc vào k thì ta có phương trìnhsai phân hệ số hằng

Tính chất của phương trình sai phân tuyến tính

1/ Nếu x1(n) và x2(n) là nghiệm của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có

x(n) = αx1(n) + βx2(n) cũng là nghiệm của (1.8)

2/ Nếu x1(n), x2(n), , xk(n) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8)

thì nghiệm tổng quát của (1.8) là:

Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc

Phương trình sai phân chính tắc cấp k (1.5) (trong không gian X nào đó)cũng thường được viết theo cách sau

x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1))

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏitính liên tục, tính Lipschtz của hàm f Đây là một điểm khác biệt (đơngiản hơn) so với trường hợp phương trình vi phân Với điều kiện ban đầu

x(n ) = x0; x(n − 1) = x0; ; x(n − k + 1) = x0, việc tìm công thức

nghiệm của phương trình chính tắc thỏa mãn điều kiện ban đầu này làkhông khó Quả vậy, bằng cách truy hồi liên tiếp từ n0, ta có:

Phương trình đặc trưng

P (λ) = λk + ak−1λk−1 + · · · + a1λ + a0 = 0 (1.11)Định lý 1.2.1 Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phânbiệt là λ1, λ2, , λk thì nghiệm tổng quát của (1.10) là

x(n) = c1λn1 + c2λn2 + · · · + ckλnk, (c1, c2, , ck là các hằng số)

Nếu có λj = αj + iβj (nghiệm phức đơn) thì số hạng cjλnj được thaybởi

(αj)n[c0j cos nβj + c1j sin nβj] (1.12)Nếu λj là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng

cjλnj được thay bởi Ps−1(n)λnj, trong đó

Ps−1(n) = (c0j+ c1jn + c2jn2+ · · · + cs−1j ns−1) (đa thức tổng quát bậc s − 1)

Nếu λj là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c0j bởi Ps−1(n) và c1j bởi

Qs−1(n), trong đó Ps−1(n), Qs−1(n) là các đa thức tổng quát bậc s − 1 của

n

Định lý 1.2.2 Giả sử f (n) = Pm(n)αn Khi đó nếu α là nghiệm bội s

của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phươngtrình (1.9) ở dạng

ˆx(n) = ns−1Qm(n)αn

Giả sử f (n) = [Pm(n) cos nβ + Ql(n) sin nβ]αn, trong đó λ = α + iβ

là nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng (1.11) thì có thể tìm đượcmột nghiệm riêng của phương trình (1.9) ở dạng

ˆx(n) = αn[Rh(n) cos nβ + Sh(n) sin nβ]ns−1

trong đó h = max{m, l} và Rh(n), Sh(n) là các đa thức bậc h, hệ số chưaxác định của n

Tính x(n + 1)ˆ và thay x(n), ˆˆ x(n + 1) vào phương trình (∗), so sánh các

B = −1

2

C = 14

D = 0

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (∗) là

1.2.2.2 Tính định thức

Ví dụ 1.2.4 Tính định thức cấp n:

D(n) =

3 2 0 0 0

1 3 2 0 0

0 1 3 2 0

0 0 0 0 3

...

.Vậy nghiệm tổng quát phương trình

R1, Rp Một vài ứng dụng phương trình sai phân trình bày .Một số công thức chưa thật tường minh cụ thể hóa sốtrường hợp đặc biệt... n0 ổn định gọi "ổn định đều"

Ta nghiên cứu chủ yếu tính ổn định Một vài định tính khác nh? ?tính giới nội, phụ thuộc nghiệm vào giá trị ban đầu, giá trị thamsố, trình bày sơ... nhận xét cách tăng số chiều khơng gian ta ln đưa mọiphương trình sai phân tuyến tính cấp k cấp Trường hợp đơn giảnnhất: Đưa phương trình sai phân cấp k R1 phương trình saiphân cấp Rk