Phương pháp thứ nhất Lyapunov khảo sát tính ổn định dựa vào tập phổ, bao gồm từ các số mũ Lyapunov.
Hệ thuần nhất dừng trong Rp:
X(n+ 1) = AX(n) (2.3) thì tập phổ của ma trận A là: σ(A) ={λ ∈ C : det (A−λE) = 0}. Đây chính là tập các giá trị riêng của ma trận A. Dễ thấy hệ (2.3) có nghiệm tầm thường X(n) ≡ 0 với mọi n.
Định lý 2.2.1. Nghiệm tầm thường X(n) ≡ 0 của hệ (2.3) (hay bản thân hệ (2.3)) là ổn định nếu σ(A) ⊆ B1(0), trong đó các nghiệm của phương trình đặc trưng có modul bằng 1 chỉ là nghiệm đơn.
Nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếu σ(A) ⊆ B1(0), ở đây
B1(0) = {λ ∈ C : |λ| < 1} B1(0) = {λ ∈ C : |λ| ≤1}.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh cho trường hợp σ(A) ⊆ B1(0). Với
ε > 0 tùy ý và n0 ∈ Z+, trước tiên ta chỉ ra phương trình X(n + 1) =
AX(n) là ổn định. Trong lý thuyết về ma trận, người ta thường dùng ký hiệu λmax(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} λmin(A) = min{|λ| : λ ∈ σ(A)} và có đẳng thức q := λmax(A) = lim n→∞ n q
||An|| ở đây ||A||= sup
||x||6=0
||Ax|| ||x||
. Do σ(A) ⊆ B1(0) nên λmax(A) < 1, hay là
lim n
q
Vậy tồn tại số n1 ∈ Z+ sao cho qn
||An|| ≤q < 1 với mọi n ≥ n1. Suy ra ||An|| = qn < q < 1 với mọi n ≥ n1. Khi đó với n ≥ n1, ta có
x(n) =An−n1x(n1) ⇒ ||x(n)|| ≤ ||An−n1||·||x(n1)|| ≤ qn−n1||x(n1)|| ≤q||x(n1)||.
Nếu chọn δ0 = εthì ta có||x(n1)|| < δ0 ⇒ ||x(n)|| < ε với mọin ≥n1. Quay lại đánh giá với||x(n)||vớin0 ≤ n≤ n1, ta cóx(n) =An−n0x(n0). Suy ra
||x(n)|| ≤ ||An−n0|| · ||x(n0)||.
Đặt p = max
n0≤n≤n1
||An−n0||, ta có ||x(n)|| ≤ p||x(n0)|| với mọi n thỏa mãn n0 ≤ n ≤ n1. Chỉ cần chọn δ = ε
p thì ta sẽ có khi ||x(n0)|| < δ sẽ kéo theo ||x(n)|| < ε với mọi n: n0 ≤ n ≤ n1. Kết luận hai trường hợp:
n0 ≤ n ≤ n1 và n ≥ n1 ta có ||x(n0)|| < δ kéo theo ||x(n)|| < ε với mọi
n≥ n0.
Tiếp theo, ta kiểm tra tính hút về 0. Theo đánh giá ở trên, với mọi
n≥ n1, ta có
||x(n)|| ≤ qn−n1||x(n1)||.
Do 0 < q <1 nên qn−n1||x(n1)|| → 0 khi n →+∞.
Trường hợp σ(A) ⊆ B1(0), hệ chỉ là ổn định (chưa thể nói gì về ổn định tiệm cận). Ta bỏ qua phần chứng minh.
Hệ quả 2.2.2. Nếu ||A||< 1 thì hệ x(n+ 1) = Ax(n) ổn định tiệm cận. Chứng minh. Ta có ||An|| ≤ ||A||n. Vậy sử dụng phần chứng minh của định lý 2.2.1, ta có điều phải chứng minh.
Tiêu chuẩn Hurwitz với hệ sai phân dừng
Nhận xét. Khi n lớn, việc giải đúng phương trình đặc trưng:
det(λI −A) := P(λ) =anλn +an−1λn−1 +· · ·+a1λ+a0 = 0
là khó và nói chung là không thể. Ta cần phải sử dụng các phương pháp khác để tránh điều khó khăn này. Ta đã có tiêu chuẩn Hurwitz cho các hệ
vi phân. Ta muốn "cải biên" tiêu chuẩn đó để sử dụng cho việc khảo sát ổn định các hệ sai phân. Muốn vậy, đầu tiên ta cần tìm một ánh xạ 1−1
giữa miền C− = {λ : Re λ < 0} của hệ vi phân và phần trong hình tròn
B1(0) = {λ : |λ| < 1} ⊆ C của hệ sai phân:
Phép tương ứng: Ký hiệu λ là nghiệm đặc trưng của hệ vi phân
˙
x(t) = Ax(t). (*)
µ là nghiệm đặc trưng của hệ sai phân
x(k + 1) = Ax(k) (**) Xét tương quan µ = 1 +λ 1−λ (***) Bổ đề 2.2.3. Phép tương ứng (∗ ∗ ∗) là một ánh xạ 1 − 1 giữa C− và B1(0), cụ thể là λ ∈ C− ⇔µ ∈ B1(0).
Chứng minh. +/ Chiều thuận: Đặt λ = a+ib (a, b ∈ R). Giả sử Re λ =
a < 0. Cần chứng minh |µ| < 1. Quả vậy:
|µ| = 1 +a+ ib 1−a−ib < 1 ⇔ |1 +a+ ib| < |1−a−ib| ⇔(1 +a)2 +b2 < (1−a)2 +b2 ⇔ 1 + 2a+a2 +b2 < 1−2a+a2 +b2 ⇔a < −a ⇔ a < 0 (Đúng).
+/ Ngược lại giả sử |µ| < 1. Cần chỉ ra Reλ < 0. Quả vậy, đặt
µ= a+ib. Khi đó |µ| < 1⇔ a2 +b2 < 1. Do |µ| < 1 nên ta có µ = 1 +λ 1−λ ⇔λ = µ−1 µ+ 1 ⇒λ = a−1 +ib a+ 1 +ib = (a−1 +ib)(a+ 1 +ib) (a+ 1)2 +b2 = a 2 +b2 −1 +i2b (a+ 1)2 +b2 ⇒Re λ = a 2 + b2 −1 (a+ 1)2 +b2 < 0 do a2 +b2 < 1 ⇒(đpcm).
Chú ý: Từ bổ đề trên, khi xét tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình sai phân thuần nhất dừng:x(n+ 1) = Ax(n), thay vì khảo sát tập nghiệm của phương trình đặc trưngP(λ) = det(A−λI) = 0so với tậpB1(0) ⊂ C, ta khảo sát tập nghiệm của phương trình: P1 +λ
1−λ = 0 so với tập C−. Giả sử P 1 +λ 1−λ = a0λn+a1λn−1 + · · ·+ an−1λ +an.
Không giảm tổng quát khi coi a0 > 0 (ngược lại thì đổi dấu). Áp dụng định lý Hurwitz cho hệ vi phân x˙(t) = Ax(t), ta có:
Định lý 2.2.4. Hệ phương trình sai phân thuần nhất dừng x(n + 1) =
Ax(n) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi định thức con chính của ma trận sau đều dương
Hn = a1 a0 0 0 0 . . . 0 0 a3 a2 a1 a0 0 . . . 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 . . . 0 0 . . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 an ở đây ain = 0 nếu i > n. Ví dụ 2.2.5. Xét hệ phương trình x(n+ 1) = Ax(n), trong đó A = −1 −1 −0,2 1 0 0 0 1 0 .
Lời giải. Đầu tiên ta lưu ý rằng các cách giải khác, chẳng hạn: Tính
||A|| = sup
||x||6=0
||Ax||
||x|| và chỉ ra rằng ||A|| < 1 hoặc tính đúng các nghiệm
của phương trình đặc trưng det(A−λI) = 0 và chỉ ra |λ| < 1 với mọi λ
đều là khó. Sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz cải biên cho hệ sai phân ở trên ta dễ dàng giải quyết bài toán. Quả vậy, phương trình đặc trưng của hệ là
Đặt λ = 1 +z
1−z, thay vào phương trình trên ta có
1 +z 1−z 3 +1 +z 1−z 2 +1 +z 1−z + 1 5 = 0 ⇔ z 3 + 2z2 + 3z+ 4 (1−z)3 = 0.
Giá trị z = 1 có Re z = 1 > 0, ta không quan tâm. Ta xét
f(z) = z3 + 2z2 + 3z + 4 = b0z3 +b1z2 +b2z +b3 trong đó b0 = 1 khác 0, b3 = 4 > 0 và H3 = b1 b0 0 b3 b2 b1 0 0 b3 = 2 1 0 4 3 2 0 0 4 Các định thức con chính: D1 = 2 > 0, D2 = 2 1 4 3 = 2 > 0, D3 =
|H3| = 8 > 0. Vậy Re z < 0 với mọi z. Theo bổ đề 2.2.3, ta có |λ| < 1
với mọi λ ∈ σ(A). Vậy hệ phương trình sai phân: x(n+ 1) =Ax(n) là ổn định tiệm cận.
Sự ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất không dừng Ta bắt đầu từ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong Rp:
x(k + 1) = A(k)x(k) (2.4) ở đây ma trận A(k) phụ thuộc vào k (k ∈ N(n0)). Với ma trận hàm A(k)
ta không có khái niệm phương trình đặc trưng. Với loại phương trình này, ta thường tiếp cận theo cách khác khi nghiên cứu các định tính.
Nếu lấy điều kiện ban đầu là (n0, x(n0)) = (n0, C) thì như đã trình bày ở chương 1, ta có nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu này là
trong đó Φ(n, n0) = A(n−1)A(n−2)· · ·A(n0 + 1)A(n0).
Không khó để thấy rằng, với m ≤ n, ta có x(n) = Φ(n, m)x(m). Trong trường hợp A(k) không suy biến với mọi k, ta thường đưa vào ma trận:
G(n, m) = G(n, n0)G−1(m, n0)
kể cả cho trường hợp m ≤ n cũng như m ≥n.
Khái niệm nghiệm tầm thường ổn định đã được nêu lên ở phần đầu. Trường hợp A(k) không suy biến với mọi k ta lưu ý rằng:
Φ−1(k, n0) = A−1(n0)A−1(n0 + 1)· · ·A−1(k−2)A−1(k −1).
Định lý 2.2.6. Hệ phương trình sai phân sau trong Rp:
x(k + 1) = A(k)x(k) (2.5)
ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản Φ(k, n0) bị chặn với mọi k ≥ n0, nghĩa là tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||Φ(k, n0)|| ≤ C với mọi k ≥n0. Chứng minh. +/ Thuận: Giả sử tồn tại C > 0 như trên. Với k0 ∈ N(n0)
tùy ý vàx0 ∈ Rp. Gọix(k) = x(k, k0, x0) là nghiệm của hệ(2.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu (k0, x0), nghĩa là x(k0, k0, x(k0)) = x0. Để đơn giản và không giảm tổng quát, ta lấy k0 = n0. Khi đó x(k) = Φ(k, n0)x(n0). Với
ε > 0 tùy ý cho trước
||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0)|| · ||x(n0)|| ≤C||x(n0)|| < ε.
Chỉ cần chọn δ = ε
C, ta sẽ có ||x0||= ||x(n0)|| < δ ⇒ ||x(k)|| < ε với mọi
k ≥ n0.
+/ Ngược lại: Nghiệm x(k) ≡ 0 ổn định. Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại
δ >0 sao cho
||x(n0)|| = ||x0|| < δ ⇒ ||x(k)|| = ||x(k, n0, x0)|| ≤ε, ∀ k ≥ n0.
Nhưng x(k) =x(k, n0, x0) = Φ(k, n0)x0 nên theo trên
Lấy x0 = δ 2e
j
, trong đó ej là vector đơn vị thứ j. Gọi Φj(k, n0) là cột thứ j của ma trận Φ(k, n0), ta có Φ(k, n0)ej = δ 2Φ j (k, n0) ⇒ δ 2||Φj(k, n0)|| = ||Φ(k, n0)δ 2e j || < ε, ∀ k ≥ n0 ⇒||Φj(k, n0)|| ≤ 2ε δ ⇒ ||Φ(k, n0)|| = max j ||Φj(k, n0)|| ≤ 2ε δ .
Do các chuẩn của Φ đều tương đương nhau nên tồn tại C > 0 sao cho
||Φ(k, n0)|| ≤ C với mọi k ∈ N(n0).
Định lý 2.2.7. Xét hệ (2.5). Nếu x ≡ 0 ổn định thì mọi nghiệm của nó đều ổn định (theo các nghĩa ổn định khác nhau).
Chứng minh. :Giả sử x(k) ≡ 0 là ổn định. Xét một nghiệm tùy ý x(k), không mất tính tổng quát, ta lấy điểm khởi tạo là (n0, x0). Nhắc lại rằng, nghiệm x ≡0 là ổn định khi và chỉ khi tồn tại c > 0 sao cho ||Φ(k, n0)|| ≤ c, với mọi k.
Gọi y(k) là nghiệm tùy ý của (2.5). Ta có
||y(k)−x(k)|| = ||Φ(k, n0)y(n0)−Φ(k, n0)x(n0)|| ≤ ||Φ(k, n0)|| · ||y(n0)−x(n0)|| ≤c||y(n0)−x(n0)|| < ε.
Vậy nếu chọn δ = ε
c thì ta có ||y(k)−x(k)|| < ε, với mọi k ≥ n0, hay nghiệm x = x(k) là ổn định. Do x(k) là tùy ý nên mọi nghiệm của (2.5)
đều ổn định.
Các nghĩa ổn định khác nhau như: ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận đều, ... được chứng minh tương tự.
Định lý 2.2.8. Xét hệ (2.5). Hệ là
(i) Ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||Φ(k, n0)|| ≤C
(ii) Ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại C > 0 sao cho
||G(k, l)|| = ||Φ(k, n0)Φ−1(l, n0)|| ≤ C
với mọi l ≤ k, l ∈ N(n0).
(iii) Ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ||Φ(k, n0)|| → 0 khi k → +∞.
(iv) Ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương C, λ
sao cho
||G(k, l)|| = ||Φ(k, n0)Φ−1(l, n0)|| ≤Ce−λ(k−l), ∀ l : n0 ≤l ≤ k.
Chứng minh. (i)Ý này chính là nội dung định lý 2.2.6 mà ta đã chứng minh.
(ii) Chiều thuận: Với ε > 0, k1 ∈ N(n0) tùy ý. Với điều kiện ban đầu
(n0, x0), ta xét x(k) =x(k, n0, x0) = Φ(k, n0)Φ−1(k1, n0)x(k1). Suy ra
||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0)|| · ||Φ−1(k1, n0)|| · ||x(k1)|| ≤C2||x(k1)||< ε.
Chỉ cần chọn δ = ε
C2 thì từ ||x(k1)|| < δ kéo theo ||x(k)|| < ε. k1 tùy ý, δ không phụ thuộc vào k1. Vậy hệ (2.5) là ổn định đều.
Ngược lại: Nếu hệ là ổn định đều, khi đó với mọi ε > 0, tồn tại δ =
δ(ε) > 0 sao cho với mọi k1 ∈ N(n0):
||x(k1)|| < δ ⇒ ||x(k)|| = ||G(k, k1)x(k1)|| < ε.
Lấy x(k1) = δ 2e
j
, tương tự như ở ý sau định lý 2.2.6. Ta có
||G(k, k1)|| = ||Φ(k, n0)Φ−1(k1, n0)|| ≤C, ∀ k1 ∈ N(n0).
(iii) Chiều thuận: x(k) = Φ(k, n0)x(n0). Do Φ(k, n0) → 0 nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số C > 0 sao cho: ||Φ(k, n0)|| ≤ C với mọi
k ∈ N(n0). Khi đó theo Định lý 2.2.6, hệ là ổn định. Hơn nữa, mỗi nghiệm
x(k) =x(k, n0, x0) là ổn định nên:
||x(k)|| = ||Φ(k, n0)x(n0)|| = ||Φ(k, n0)x0|| ≤ ||Φ(k, n0)|| · ||x0|| k−→→∞ 0.
Vậy hệ là ổn định tiệm cận.
Ngược lại: Với mọi x0: ||x(k)|| = ||Φ(k, n0)x0|| → 0 khi k → ∞ do ổn định tiệm cận. Từ đây, ta có ||Φ(k, n0)|| → 0.
(iv) Chiều thuận:||G(k, l)|| ≤ Ce−λ(k−l)với mọil ≤ k. Doe−λ(k−l) < 1
nên
||G(k, l)|| ≤C với mọi l ≤ k. Vậy theo (ii), hệ là ổn định đều. Do
x(k) = Φ(k, n0)x0 = Φ(k, n0)Φ−1(k1, n0)x(k1)
nên suy ra
||x(k)|| ≤ ||Φ(k, n0)Φ−1(k1, n0)|| · ||x(k1)|| ≤ C||x(k1)||e−λ(k−k1) →0 khi k → +∞
(do ||x(k1)||, k1 là ổn định). Do k1 tùy ý, ổn định tiệm cận là đều.
Ngược lại: Nghiệm x(k) ≡ 0 của hệ (2.5) là ổn định tiệm cận đều. Với một số η ∈ (0,1) tùy ý cho trước, do
||x(k)|| = ||G(k, k1)x(k1)|| ⇒ 0
khi k → +∞, với mọi k1 nên với mọi ε > 0, tồn tại k(ε) ∈ N(n0) sao cho
||x(k)|| = ||G(k, k1)x(k1)|| < ε, ∀ k ≥ k(ε).
Bằng cách chọn x(k1) (theo tọa độ thích hợp), ta có thể lấy ε > 0 đủ nhỏ sao cho ||G(k, k1)x(k1)|| < ε, ∀k ≥k(ε), ∀ k1 ∈ N(n0), suy ra
Với mọi k ≥k(ε) k ≥k1
đều tồn tại số nguyên dương m (m ∈ N(n0)) sao cho
k1 +mk(ε) ≤ k ≤ k1 + (m+ 1)k(ε).
(Điều này không ảnh hưởng đến quá trìnhk →+∞vì m dương tùy ý, cho
m → +∞ ...). Khi đó với k ∈ N(k1+mk(ε), k1+ (m+ 1)k(ε)),m ∈ N(0), ta có ||G(k, k1)|| ≤ ||G(k, k1 +mk(ε))|| | {z } ≤n · ||G(k1 +mk(ε), k1 + (m −1)k(ε))|| | {z } η ....||G(k1 +k(ε), k1)|| | {z } ≤C ≤ Cηm (m ∈ N(0)) = Cη−1η m+1 k(ε)k(ε) ≤Cη−1η k−k1 k(ε) (**) (do k ≤k1 + (m+ 1)k(ε) ⇒(m+ 1)k(ε) ≥k−k1. Lại do 0 < η < 1 nên từ đây η(m+ 1)k(ε) < ηk−k1). Đặt C1 = Cη−1, λ = − 1
k(ε) lnη. Khi đó
(**) trở thành
||G(k, k1)|| ≤ C1e−λ(k−k1)
, ∀ k ≥ k1.
Nhận xét: Như vậy với hệ tuyến tính thuần nhất trong Rp, ổn định tiệm cận đều kéo theo ổn định mũ.
Định lý 2.2.9. Xét hệ (2.5). Nếu lim k→∞ k Y l=0 λmaxA(l) = 0 thì hệ (2.5) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Nếu có k ≥ n0 sao cho A(k) = 0 thì ta có x(n) = 0,∀n≥ k
mọi k. Khi đó, ma trậnA(k) = AT(k)A(k) là đối xứng và xác định dương với mọi k. Ta có
||x(k+ 1)||2 = xT(k+ 1)x(k + 1) = xT(k)AT(k)A(k)x(k)
≤λmax[AT(k)A(k)]||x(k)||2.
Để cho gọn, ta ký hiệu M(k) =λmax(AT(k)A(k)). Như vậy
||x(k + 1)||2 ≤ M(k)||x(k)||2.
Thay lần lượt k bởi 0,1,2, ....
||x(1)||2 ≤ M(0)||x(0)||2 ||x(2)||2 ≤ M(1)||x(1)||2 ||x(3)||2 ≤ M(2)||x(2)||2 ... ||x(k)||2 ≤M(k −1)||x(k−1)||2 ⇒||x(k)||2 ≤ k−1 Y l=0 M(l)||x(0)||2. Do ||x(0)|| cố định nên khi k−1 Q l=0 M(l) →0 khi k → ∞, ta có ||x(k)|| →
0. Từ đó suy ra, hệ là hút. Do hệ là tuyến tính thuần nhất nên tính chất hút về 0 kéo theo tính ổn định tiệm cận.