Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định dựa vào một loại hàm bổ trợ, gọi là hàm Lyapunov. Hầu hết các dấu hiệu ổn định chỉ được phát biểu dưới dạng các điều kiện đủ. Trong một vài trường hợp đặc biệt cũng có thể có được cả điều kiện cần, nghĩa là có thể xây dựng được hàm Lyapunov cho hệ. Trước tiên ta ký hiệu một lớp hàm số trong R như sau (gọi là lớp
hàm Hahn):
K = {a(·) : R+ →R+ sao cho a(0) = 0, liên tục, đơn điệu tăng}.
Định lý 2.2.10. Xét hệ sai phân trong Rp:
xn+1 = f(n, xn) (2.6)
f(n,0) = 0, với mọi n. (2.7)
Nếu tồn tại hàm V :Z+ ×Rp → R+, sao cho 1)
V(n,0) = 0, V(n, x) > 0, với mọi x khác 0. (2.8)
2) V(n, x) liên tục theo x (trong một lân cận U của x = 0). 3) Tồn tại hàm a(·) ∈ K sao cho
a(||x||) ≤ V(n, x), (∀ n ∈ Z+, ∀ x ∈ U), (2.9)
4)
∆V(n, xn) = V(n+ 1, xn+1)−V(n, xn) ≤0, (∀ n ∈ Z+) (2.10)
trong đó xn+1 xác định ở (2.6). Khi đó, nghiệm tầm thường xn ≡ 0
của (2.6) và (2.7) là ổn định. Hơn nữa:
5) Nếu tồn tại thêm hàm c(·) : R+ →R+ đơn điệu tăng và c(0) = 0 sao cho
∆V(n, xn) ≤ −c(||xn||) (2.11)
thì xn ≡0 là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Ta chỉ sẽ trình bày cách chứng minh ý đầu. Phần chứng minh sự ổn định tiệm cận có thể xem ở [7]. Giả sử có 1) 2) 3) 4), ta cần chứng
minh hệ ổn định. Không mất tổng quát coi U = Rp. Với ε > 0 cho trước và n0 ∈ Z+ cho trước, dễ thấy
a(ε) > 0. DoV(n0,0) = 0,V(n0,·)liên tục theo biến thứ hai,V(n0, x) > 0
với mọi x khác 0 nên tồn tại một hình cầu mở Bδ(0) của x = 0 sao cho
x ∈ Bδ(0) kéo theo V(n0, x) < a(ε). Lấy xn0 ∈ Bδ(0), ta sẽ có với mọi
n≥ n0, từ 3) và 4):
a(||xn||) ≤ V(n, xn) ≤V(n0, xn0) < a(ε).
Chú ý. Nếu các điều kiện chỉ cho trên một lân cận U của x = 0 thì ta xử lý như sau: Gọi Bδ0(0) là hình cầu mở có bán kính δ0 là lớn nhất chứa trong U. Lấy δ ≤ δ0 là được. Sự tồn tại δ0 > 0 là do x ≡ 0 là điểm trong của U.
Định lý 2.2.11. Điều kiện cần và đủ để nghiệm tầm thường xn ≡ 0 của hệ (2.6) ổn định đều là tồn tại một hàm V(·,·) : Z+×Rp →R+ sao cho: a) a(||x||) ≤ V(n, x) ≤b(||x||) với a, b ∈ K, x tùy ý thuộc một lân cận
của 0 trong Rp.
b) ∆V(n, xn) =V(n+ 1, xn+1)−V(n, xn) ≤ 0 với mọi xn.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Với ε > 0. Do a(0) = 0 và a(·) đơn điệu tăng, liên tục nên a(ε) > 0. Do b(·) liên tục, đơn điệu tăng nên khả nghịch. Đặt
δ(ε) = b−1[a(ε)]. Vì b(0) = 0 và b(·) liên tục, đơn điệu tăng nên
δ(ε) =b−1[a(ε)] > 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Gọi xn là nghiệm của (2.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu (n0, xn0). Khi đó nếu ||xn0|| < δ(ε) thì từ ∆V(n, xn) ≤ 0 với mọi n ≥ n0 (ở b)), ta có với n≥ n0:
Lại theo a), ta có
a(||xn||) ≤ V(n, xn) ≤V(n0, xn0) ≤ b(||xn0||) < b(δ(ε)) = b[b−1a(ε)] = a(ε).
Do a(·) đơn điệu tăng nên từ a(||xn||) < a(ε), ta suy ra
||xn|| < ε. (2.12)
Đây là điều kiện cần chứng minh. Do (2.12) thỏa mãn với mọi n≥ n0 và biểu thức
δ(ε) = b−1[a(ε)] (2.13) không phụ thuộc vào n0. Vậy ổn định ở trên là ổn định đều.
Điều kiện cần: Với mỗi điểm ban đầu
(n, x) ∈ Z+×Rp, (2.14) ta gọi nghiệm của (2.6) đi qua điểm này là
xk(n, x), (k ≥ n). (2.15) Ta chọn hàm V(n, x) như sau V(n, x) = sup
k≥n
||xk(n, x)||. Ta cần chỉ ra sự tồn tại của các hàm a(·), b(·) ∈ K thỏa mãn a) và ∆(Vn) ≤C.
+/ Chỉ ra sự tồn tại a(·) ∈ K: Ta có
V(n, x) = sup
k≥n
||xk(n, x)|| ≥ ||xn(n, x)|| = ||x||.
Lấy a(||x||) := ||x||, a(·) ∈ K. Ở đây, ta lưu ý ký hiệu xn(n0, xn0)
là nghiệm của (2.6) xuất phát từ điểm khởi tạo (n0, xn0) còn xn(n, x)
hay xn(n, xn) là vector nghiệm nói trên tại thời điểm n. Còn xk(n, x)
hay xk(n, xn) (k ≥ n) là nghiệm của (2.6) với điểm khởi tạo (n, xn). Do
f(·) là một ánh xạ đơn trị nên nghiệm xuất phát từ (n0, xn0) cùng trùng với nghiệm xuất phát từ (n, xn) ≡ (n, x). Nói cách khác xk(n, xn) và
+/ Chỉ ra sự tồn tại hàm b(·) ∈ K: Hệ (2.6) ổn định đều nên với mọi
ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) (chứ không phải δ = δ(ε, n0)) sao cho:
||xn0|| < δ ⇒ ||xk(n0, xn0)|| < ε.
Ta có thể chọn hàm δ(·) của biến ε > 0 (trên R+\ {0}) sao cho δ(·) là hàm liên tục, đơn điệu tăng. Giả sử 0< ε1 < ε2, theo định nghĩa ổn định đều, với εi ta chọn được δi = δ(εi) (i = 1,2). Xây dựng hàm
δ(ε1) = max{δ1, δ2} ....
δ(ε) = max
εi≤ε{δi(εi)}.
Khi đó δ(·) là đơn điệu tăng, liên tục (do max của các hàm liên tục). Do δ : R+∗ → R+∗ đơn điệu tăng nên khả nghịch, nghĩa là tồn tại hàm ngược
δ−1 : R+∗ →R∗ và δ−1 cũng liên tục và đơn điệu tăng. Nhắc lại: δ = δ(ε), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
δ−1(δ) = δ−1[δ(ε)] = ε. Vậy ε = ε(δ) là một hàm dương, liên tục, đơn điệu tăng trên R+∗ .
Theo định nghĩa ổn định đều, với điều kiện ban đầu (n, x), với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε), ký hiệu δ−1(·) = ε(·). ||x|| < δ ⇒ ||xk(n, x)||< δ, ∀ k ≥n ⇒V(n, x) = sup k≥n ||ck(n, x)|| < ε δ−1||x|| | {z } ε||x|| ≤ δ−1[δ(ε)] = ε ⇒V(n, x) = sup k≥n ||xk(n, x)|| < ε = δ−1(||x||) = b(||x||).
Do δ liên tục, đơn điệu tăng trên R+∗ nên b(·) = δ−1(·) cũng vậy. Vậy việc tồn tại hàm b(·) ∈ K thỏa mãn a) đã được chứng minh.
cũng chỉ là một (do là vector nghiệm xuất phát từ (n0, xn0) tại t = ε). Do đó, ta có V(n+ 1, xn+1) = sup k≥n+1 ||xk(n+ 1, xn+1)||= sup k≥n+1 ||xk(n, xn)|| ≤ sup k≥n ||xk(n, xn)|| = V(n, xn) ⇒∆V(n, xn) = V(n+ 1, xn+1)−V(n, xn) ≤ 0.
Tóm lại V(n, x) xây dựng như trên là một hàm Lyapunov không chặt. Việc xây dựng hàm Lyapunov chăt có thể thực hiện cho trường hợp hệ là ổn định tiệm cận đều. Kết quả chỉ mới nhận được cho trường hợp hàm
f(·,·) là Lipschitz. Ta chỉ nêu mà không chứng minh kết quả này:
Định lý 2.2.12. Giả sử hệ
xn+1 = f(n, xn) (2.16)
f(n,0) = 0
là ổn định tiệm cận đều và với mọi (n, x), (n, y) ∈ Z+ ×Sρ có tồn tại
L >0 sao cho:
||f(n, x)−f(n, y)|| ≤ L||x−y|| (2.17)
Khi đó, tồn tại hàm Lyapunov chặt (theo nghĩa ∃c(.) ∈ K : ∆V(n, x) ≤ c(||x||) và V(·,·) cũng thỏa mãn điều kiện Lipschitz (với hằng số Lípchitz có thể khác L).